aiMOOC

M4 Sicher - Zufall Möglichkeiten und Knobelideen - Mathematik

QR-Code

M4 Sicher - Zufall Möglichkeiten und Knobelideen - Mathematik

Mathematik · Klasse 4 · Übungsstufe Sicher

Einleitung

Beim Zufall weißt Du vorher nicht genau, was passiert. Du lernst, Ergebnisse zu zählen, Möglichkeiten zu finden und Zahlenrätsel zu lösen.

Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen. Sie sind keine Schulzweige. In diesem Kurs übst Du auf der Stufe Sicher. Wenn Du Hilfe brauchst, kannst Du mit Start-Aufgaben beginnen.

Du arbeitest mit Gegenständen, Bildern und Rechnungen. Wir rechnen mit passenden kleinen Zahlen. Zahlenrätsel dürfen bis 1 000 000 reichen.

Das brauchst Du: einen Würfel, eine Münze, Papier und einen Stift. Für einige Aufgaben helfen Ziffernkarten.

Bildauftrag: Welche Augenzahlen können auf einem normalen Würfel oben liegen?

Deine Übungswelt auf MOOCwiki

Übe passend zum Thema weiter:

Diese Übungen gehören zur bestehenden Mathe-4-Lernwelt auf MOOCwiki. Dort heißen manche Übungsgruppen Start, Weiter und Knobeln. Das sind Lernangebote und keine Schulformen.

Zufall verstehen

Zufallsversuch bedeutet: Du führst einen Versuch durch. Das genaue Ergebnis kennst Du vorher nicht.

Ein normaler Spielwürfel zeigt die Zahlen 1 bis 6.

Sicher: Du würfelst eine Zahl von 1 bis 6.
Möglich: Du würfelst eine 4.
Unmöglich: Du würfelst eine 8.

Verständnisfrage: Ist eine gerade Zahl beim Würfeln sicher? Begründe.

Gegenprobe: Schreibe alle sechs Würfelzahlen auf. Gerade Zahlen sind 2, 4 und 6. Es gibt auch ungerade Zahlen. Also ist „gerade“ möglich, aber nicht sicher.

Münzwurf

Eine faire Münze kann Kopf oder Zahl zeigen. Beide Seiten haben dieselbe Chance. Chance bedeutet: Wie wahrscheinlich ist ein Ergebnis?

Commons-Animation: Eine Münze dreht sich. Sie zeigt keine Vorhersage des nächsten Wurfs.

Denkfrage: Du wirfst viermal Kopf. Muss jetzt Zahl kommen?

Antwort: Nein. Beim nächsten Wurf einer fairen Münze haben Kopf und Zahl weiterhin dieselbe Chance.

Ergebnisse zählen

Du würfelst zehnmal. Nach jedem Wurf machst Du einen Strich.

Eine Strichliste zeigt, wie oft etwas vorkommt. Die Anzahl heißt Häufigkeit.

Bildauftrag: Erkläre, wie aus vier Strichen eine Fünfergruppe wird.

Beispiel mit erfundenen Würfelergebnissen:

Augenzahl	Striche	Anzahl
1	II	2
2	I	1
3	II	2
4	II	2
5	I	1
6	II	2
Gesamt		10

Gegenprobe: 2 + 1 + 2 + 2 + 1 + 2 = 10. So viele Würfe wurden gezählt.

Hier sind alle sechs Würfelzahlen gleich wahrscheinlich. Das heißt nicht, dass bei zehn Würfen jede Zahl gleich oft vorkommen muss.

Erklärvideos zum Zählen

Strichliste und Häufigkeitstabelle: Achte darauf, wie aus einzelnen Ergebnissen eine übersichtliche Zählung wird.

Säulendiagramm: Achte darauf, wie eine Zahl als Säule gezeigt wird.

Videoauftrag: Zeichne nach dem Anschauen drei Säulen für die Zahlen 2, 4 und 6.

Möglichkeiten finden

Möglichkeit heißt: Eine Auswahl kann so vorkommen.

Du hast zwei T-Shirts: rot und blau. Dazu gibt es drei Kappen: gelb, grün und weiß.

Handeln: Lege zwei farbige Karten für die T-Shirts und drei Karten für die Kappen bereit. Verbinde jede T-Shirt-Karte mit jeder Kappen-Karte.

Bildliche Darstellung:

T-Shirt	Kappe
Rot	Gelb
Rot	Grün
Rot	Weiß
Blau	Gelb
Blau	Grün
Blau	Weiß

Rechnung: 2 · 3 = 6 Kombinationen.

Kombination bedeutet hier: ein T-Shirt zusammen mit einer Kappe.

Ein Baumdiagramm zeigt verzweigte Wege. Die Abbildung erklärt das Grundprinzip, nicht genau die Kleidung aus unserem Beispiel.

Verständnisfrage: Wie viele Möglichkeiten gibt es mit drei T-Shirts und zwei Kappen?

Gegenprobe: Zähle alle Paare einzeln und prüfe mit 3 · 2 = 6.

Kleine Knobelideen

Aufgabe A: Lege mit den Ziffernkarten 1, 2 und 3 dreistellige Zahlen. Jede Karte darf nur einmal vorkommen.

Lösung zur Kontrolle: 123, 132, 213, 231, 312 und 321. Es sind sechs Zahlen.

Gegenprobe: Beginne nacheinander mit 1, mit 2 und mit 3. Zu jeder ersten Ziffer passen zwei Reihenfolgen.

Aufgabe B: Du hast die Ziffern 2, 4 und 6 sowie drei Nullen. Lege daraus eine möglichst große und eine möglichst kleine sechsstellige Zahl. Verwende jede Ziffer genau einmal.

Kontrolle: Größte Zahl: 642 000. Kleinste Zahl: 200 046.

Unterschied: 642 000 − 200 046 = 441 954.

Gegenprobe: 200 046 + 441 954 = 642 000.

Merke: Auch bei Zahlen bis 1 000 000 helfen Dir Stellenwerte, geordnete Versuche und Gegenproben.

So helfen Dir drei Stufen

Hilfe 1 – Handeln: Lege Gegenstände oder Ziffernkarten. Probiere verschiedene Lösungen.

Hilfe 2 – Bild: Zeichne eine Tabelle, ein Baumdiagramm oder eine kleine Skizze.

Hilfe 3 – Zeichen und Rechnung: Schreibe die passende Rechnung auf. Prüfe sie mit einer zweiten Methode.

Beispiel: Drei Eissorten und zwei Soßen ergeben 3 · 2 = 6 Möglichkeiten.

Gegenprobe: Zähle alle sechs Eis-Soßen-Paare. Oder prüfe: 6 : 3 = 2.

Wenn Du schon sicher bist

Die Commons-Animation zeigt viele Würfe einer Münze mit zwei farbigen Seiten. Die Anteile verändern sich. Bei vielen Würfen können sie sich ungefähr der Hälfte annähern. Bei wenigen Würfen können die Ergebnisse stark abweichen.

Denkfrage: Warum sind zehn Münzwürfe nicht immer fünfmal Kopf und fünfmal Zahl?

Interaktive Aufgaben

Beantworte die Fragen zuerst selbst. Lies danach die jeweilige Begründung.

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie viele verschiedene Augenzahlen besitzt ein normaler Spielwürfel? (Sechs) (!Vier) (!Fünf) (!Acht)

Feedback: Der Würfel zeigt die Zahlen 1 bis 6. Das sind sechs Ergebnisse.

Welche Zahl ist bei einem normalen Spielwürfel unmöglich? (Acht) (!Zwei) (!Vier) (!Sechs)

Feedback: Die 8 steht nicht auf einem normalen sechsseitigen Würfel.

Was passiert bei einem normalen Würfel sicher? (Eine Zahl von eins bis sechs fällt) (!Eine Sechs fällt) (!Eine gerade Zahl fällt) (!Eine Acht fällt)

Feedback: Jede mögliche Augenzahl liegt zwischen 1 und 6. Eine bestimmte Zahl ist nicht sicher.

In einem Beutel sind drei rote und eine blaue gleich große Kugel. Welche Farbe ist wahrscheinlicher? (Rot) (!Blau) (!Beide gleich wahrscheinlich) (!Keine Farbe)

Feedback: Es gibt mehr rote als blaue Kugeln. Deshalb ist Rot wahrscheinlicher.

Was gilt für eine faire Münze? (Kopf und Zahl sind gleich wahrscheinlich) (!Kopf ist sicher) (!Zahl ist unmöglich) (!Kopf ist immer häufiger)

Feedback: Eine faire Münze hat zwei gleich wahrscheinliche Seiten.

Du hast viermal Kopf geworfen. Was gilt beim nächsten Wurf einer fairen Münze? (Beide Seiten bleiben gleich wahrscheinlich) (!Jetzt muss Zahl kommen) (!Jetzt muss Kopf kommen) (!Zahl ist jetzt unmöglich)

Feedback: Ein früherer Münzwurf legt den nächsten Wurf nicht fest.

Wie viele Kombinationen ergeben zwei T-Shirts und drei Kappen? (Sechs) (!Fünf) (!Sieben) (!Neun)

Feedback: Zu jedem der zwei T-Shirts passen drei Kappen. Also 2 · 3 = 6.

Wie viele dreistellige Zahlen kannst Du mit 1, 2 und 3 ohne Wiederholung legen? (Sechs) (!Drei) (!Neun) (!Zwölf)

Feedback: Jede der drei Ziffern darf vorne stehen. Danach gibt es jeweils zwei Anordnungen. Das ergibt sechs Zahlen.

Du zählst zwei rote und drei blaue Kugeln. Wie viele sind es zusammen? (Fünf) (!Vier) (!Sechs) (!Sieben)

Feedback: 2 + 3 = 5. Mit der Strichliste kannst Du das prüfen.

Welche Zahl ist mit den Ziffern 2, 4, 6 und drei Nullen am größten? (642000) (!624000) (!462000) (!426000)

Feedback: Die größte Ziffer kommt an die höchste Stelle. Deshalb beginnt die größte Zahl mit 642.

Memory

Verbinde jeden Begriff mit seiner Bedeutung.

Würfel	Spielkörper mit sechs nummerierten Seiten
Zufall	Ergebnis steht vorher nicht genau fest
Strichliste	Ergebnisse mit Strichen zählen
Baumdiagramm	Möglichkeiten als verzweigte Wege darstellen
Gegenprobe	Ein Ergebnis auf anderem Weg prüfen
Kombination	Zusammenstellung aus mehreren Auswahlen

Drag and Drop

Ordne die Begriffe den passenden Beispielen zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Beispiel
sicher	Ein normaler Würfel zeigt eine Zahl von eins bis sechs
unmöglich	Ein normaler Würfel zeigt eine Acht
möglich	Ein normaler Würfel zeigt eine Drei
Strichliste	Würfelergebnisse mit Strichen zählen
Gegenprobe	Eine Subtraktion durch Addition prüfen

Kreuzworträtsel

Zufall	Wie heißt es, wenn der genaue Ausgang vorher nicht feststeht?
Chance	Wie nennt man die Aussicht auf ein bestimmtes Ergebnis?
Strichliste	Wie heißt eine Liste, in der Du mit Strichen zählst?
Karten	Welche Gegenstände mit Ziffern helfen beim Zahlenlegen?
Probe	Wie heißt die kurze Kontrolle einer Rechnung?
Auswahl	Wie nennt man das Aussuchen aus mehreren Möglichkeiten?

LearningApps

Hier findest Du eine Suche nach weiteren Lernspielen. Prüfe, ob das gewählte Spiel zu Klasse 4 passt.

Lückentext

Offene Aufgaben

Bearbeite Aufgaben allein oder mit einem anderen Kind. Nutze Material, Zeichnungen und Rechnungen.

Leicht

Würfel: Würfle zehnmal. Erstelle eine Strichliste und zähle die Ergebnisse.
Münzwurf: Wirf eine Münze zehnmal. Notiere Kopf und Zahl. Vergleiche Deine Vorhersage mit dem Ergebnis.
Wahrscheinlichkeit: Schreibe je zwei Beispiele für sicher, möglich und unmöglich.
Ziffernkarten: Lege mit 1, 2 und 3 möglichst viele dreistellige Zahlen. Prüfe, ob Du alle gefunden hast.

Standard

Kombinatorik: Kombiniere drei Getränkesorten mit zwei Becherfarben. Lege alle Möglichkeiten und zeichne eine Tabelle.
Baumdiagramm: Zeichne ein Baumdiagramm für zwei T-Shirts und drei Kappen. Vergleiche es mit einer Rechnung.
Datenerhebung: Befrage zehn Kinder nach einer von drei Lieblingsfarben. Erstelle eine Strichliste und ein Säulendiagramm.
Gegenprobe: Erfinde ein Zahlenrätsel bis 100 000 und löse es vorwärts und rückwärts.

Schwer

Zahlrätsel: Lege mit 2, 4, 6 und drei Nullen die größte und die kleinste sechsstellige Zahl. Berechne ihren Unterschied mit Gegenprobe.
Spielregeln: Erfinde ein Würfelspiel. Prüfe, ob alle Mitspielenden die gleiche Gewinnchance haben, und begründe.
Systematisches Probieren: Untersuche drei verschiedene Eissorten und drei verschiedene Soßen. Finde alle Kombinationen auf zwei Wegen.
Zufallsexperiment: Vergleiche 20 Münzwürfe von zwei Gruppen. Erkläre, warum die Listen nicht gleich aussehen müssen.

Lernkontrolle

Hier zählt Dein Lösungsweg. Begründe Deine Antworten.

Wahrscheinlichkeit: Zwei Kinder behaupten: „Nach fünfmal Kopf muss Zahl kommen.“ Erkläre mit einem passenden Versuch, warum das nicht stimmt.
Kombinatorik: Ein Kind findet bei drei T-Shirts und zwei Kappen nur fünf Kombinationen. Zeige, wie Du die fehlende Möglichkeit findest.
Datenauswertung: Zwei Gruppen würfeln jeweils zehnmal und erhalten verschiedene Häufigkeiten. Erkläre, warum beide Ergebnisse möglich sind.
Baumdiagramm: Du sollst zwischen Tabelle und Baumdiagramm wählen. Welche Darstellung eignet sich für zwei aufeinanderfolgende Entscheidungen? Begründe.
Rechenstrategien: Bei einer Zahlenaufgabe kommt ein falsches Ergebnis heraus. Beschreibe, wie Du mit einer Gegenprobe den Fehler suchst.
Zahlenraum bis 1000000: Erfinde zwei sechsstellige Zahlen, berechne ihren Unterschied und prüfe ihn durch Addition.

Lernnachweis

Das kannst Du am Ende zeigen:

Ich unterscheide sichere, mögliche und unmögliche Ereignisse.
Ich erkläre mit einem Beispiel, warum Zufallsergebnisse nicht genau vorhersagbar sind.
Ich führe einen einfachen Zufallsversuch durch und dokumentiere ihn mit einer Strichliste.
Ich finde Möglichkeiten mit Material, einer Tabelle oder einem Baumdiagramm.
Ich schreibe eine passende Rechnung auf und erkläre meinen Rechenweg.
Ich löse Zahlenrätsel im Zahlenraum bis 1 000 000.
Ich prüfe Ergebnisse mit einer Gegenprobe.
Ich kann erklären, was ich nach einem Fehler verändert habe.

Abgabe: Zeige eine Strichliste, eine vollständig geordnete Sammlung von Kombinationen, ein Zahlenrätsel und mindestens zwei Gegenproben. Erkläre einer anderen Person einen Deiner Lösungswege.

OERs zum Thema

Der Wikipedia-Artikel erklärt den Begriff Zufallsexperiment. Für Klasse 4 reichen die einfachen Beispiele mit Würfel und Münze.

Mediennachweise und Quellen

Alle verwendeten Bilder und Animationen stammen von Wikimedia Commons. Die Dateien werden im ganzen Bild beziehungsweise in der ganzen Animation gezeigt, nur in der Anzeigegröße angepasst. Es wurden keine eigenen Bilder, Audios oder Animationen erstellt.

Wikimedia Commons: Bilder und Animationen

Dice.jpg: Zwei sechsseitige Würfel. Urheber: Gaz (Gary Curtis). Lizenz: CC BY-SA 3.0. Ausschnitt: ganzes Foto, verkleinert. Wikimedia Commons.
Coin Toss (3635981474).jpg: Münzwurf. Urheber: ICMA Photos. Lizenz: CC BY-SA 2.0. Ausschnitt: ganzes Foto, verkleinert. Wikimedia Commons.
Russian nickel coin spinning.gif: Animation einer drehenden Münze. Urheber: Neolexx. Lizenz: CC BY-SA 3.0. Ausschnitt: vollständige Animation, etwa 2 Sekunden pro Schleife. Wikimedia Commons.
Tally marks.svg: Darstellung von Strichzeichen. Urheber: Benjamin D. Esham. Lizenzstatus: gemeinfrei, einfache geometrische Darstellung. Ausschnitt: vollständige Grafik, verkleinert. Wikimedia Commons.
Fair dice probability distribution.svg: Gleich wahrscheinliche Würfelzahlen. Urheber: Oleg Alexandrov. Lizenzstatus: vom Urheber gemeinfrei veröffentlicht. Ausschnitt: vollständige Grafik, verkleinert. Wikimedia Commons.
Tree diagram en.svg: Allgemeines Baumdiagramm. Urheber: Kilom691. Lizenz: CC BY-SA 3.0. Ausschnitt: vollständige Grafik, verkleinert. Wikimedia Commons.
Lawoflargenumbersanimation.gif: Simulation vieler Münzwürfe. Urheber: Sbyrnes321. Lizenzstatus: vom Urheber gemeinfrei veröffentlicht. Ausschnitt: vollständige Animation, etwa 17 Sekunden pro Schleife. Wikimedia Commons.

Die jeweiligen Dateibeschreibungsseiten enthalten die Originaldateien und Lizenzangaben. Die Unterschiede zwischen Animation und tatsächlichem Versuch werden im Lerntext erklärt.

YouTube: Erklärvideos

Urliste, Strichliste und Häufigkeitstabelle: Kanal/Urheber: Lehrerschmidt. Laufzeit laut schulischer Materialliste: 5:09 Minuten. Genutzter Inhalt: das Zählen und Ordnen von Beobachtungen. YouTube-Link.
Säulendiagramm erstellen: Kanal/Urheber: Lehrerschmidt. Laufzeit laut schulischer Materialliste: 2:58 Minuten. Genutzter Inhalt: Säulen zeichnen und lesen. YouTube-Link.

Hinweis zu Rechten und Prüfung: Die Videotitel, Adressen und Laufzeiten sind in schulischen Materiallisten dokumentiert. Eine unabhängige Sichtprüfung einzelner Filmsekunden und die aktuelle Abspielbarkeit waren nicht möglich. Deshalb werden keine ungeprüften Zeitmarken angegeben. Die Videos sind nicht als Creative-Commons-Material nachgewiesen. Sie werden lediglich über den YouTube-Player verlinkt beziehungsweise eingebettet. Es findet keine Übernahme der Videodateien statt. Beim Abspielen gelten die Nutzungs- und Datenschutzbedingungen von YouTube.

Quellen zur Überprüfung: