Spannenergie - Physik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Physik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Spannenergie ist Energie, die in einem elastisch verformten Körper gespeichert ist. Du findest sie zum Beispiel in einer gedehnten Feder, einem gespannten Gummiband, einem Trampolintuch oder einem aufgezogenen Federwerk. Wird der Körper losgelassen, kann die Spannenergie in Bewegungsenergie, Lageenergie, Wärme oder Schall umgewandelt werden.

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Der Begriff hat nichts mit der elektrischen Spannung zu tun. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Spannenergie entsteht, wie sie berechnet wird und wie Du sie in einem Experiment untersuchen kannst.

Lernziele

Nach der Bearbeitung kannst Du Spannenergie als Form der mechanischen Energie erklären, das hookesche Gesetz anwenden, die Formel für eine ideale Feder nutzen, ein Kraft-Weg-Diagramm auswerten und Grenzen eines Feder-Modells beurteilen.

Grundlagen

Elastische Verformung

Ein Körper ist elastisch verformt, wenn er nach dem Entlasten weitgehend in seine ursprüngliche Form zurückkehrt. Beim Dehnen oder Zusammendrücken verrichtest Du mechanische Arbeit. Diese Arbeit wird im Körper als Spannenergie gespeichert.

Wird die Belastung zu groß, kann die Elastizitätsgrenze überschritten werden. Dann bleibt der Körper dauerhaft verformt oder wird beschädigt. Die einfache Federformel gilt nur in dem Bereich, in dem sich die Feder annähernd linear und elastisch verhält.

Beispiele aus Alltag und Technik

1. Schraubenfeder: Eine gedehnte oder zusammengedrückte Feder speichert Spannenergie.
2. Gummiband: Ein gespanntes Band kann ein Modellauto antreiben.
3. Trampolin: Das Tuch wird verformt und gibt Energie an die springende Person zurück.
4. Federwerk: Eine aufgezogene Feder treibt beispielsweise eine mechanische Uhr oder ein Spielzeug an.
5. Sportbogen: Beim Spannen wird Energie gespeichert und beim Loslassen auf den Pfeil übertragen.

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Hookesches Gesetz

Für eine ideale Feder ist der Betrag der benötigten Kraft $F$ proportional zur Auslenkung $s$:

$F=D\cdot s$

Die Größe $D$ heißt Federkonstante. Häufig wird dafür auch $k$ verwendet. Eine große Federkonstante bedeutet: Die Feder ist steif und für dieselbe Auslenkung ist eine größere Kraft erforderlich.

Für die rücktreibende Federkraft wird häufig ein Minuszeichen geschrieben:

${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}=-D\cdot \overrightarrow{s}$

Das Minuszeichen zeigt, dass die Federkraft der Auslenkung entgegengerichtet ist.

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Größen und Einheiten

Größe	Formelzeichen	Einheit	Bedeutung
Spannenergie	$E_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}$	Joule $(\mathrm{J})$	gespeicherte elastische Energie
Federkraft	$F$	Newton $(\mathrm{N})$	Kraft beim Spannen
Federkonstante	$D$ oder $k$	Newton pro Meter $(\mathrm{N}/\mathrm{m})$	Maß für die Steifigkeit
Auslenkung	$s$	Meter $(\mathrm{m})$	Längenänderung gegenüber der Ruhelage

Berechnung der Spannenergie

Für eine ideale Feder gilt:

$E_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}D{s}^2$

Die Auslenkung wird quadriert. Deshalb führt eine doppelte Auslenkung zur vierfachen Spannenergie. Eine doppelte Federkonstante führt bei gleicher Auslenkung dagegen zur doppelten Spannenergie.

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Herleitung aus dem Kraft-Weg-Diagramm

Beim Spannen wächst die Kraft von null bis zum Endwert $F=Ds$. Die verrichtete Arbeit entspricht der Fläche unter dem Kraft-Weg-Graphen. Bei einer idealen Feder ist diese Fläche ein Dreieck:

$E_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}=W=\frac{1}{2}\cdot s\cdot F$

Mit $F=Ds$ folgt:

$E_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\cdot s\cdot Ds=\frac{1}{2}D{s}^2$

Allgemein kann die gespeicherte Energie mit

$E_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}={\int }_0^{s}F(x)\mathrm{d}x$

bestimmt werden. Diese Schreibweise ist besonders wichtig, wenn die Kraft nicht proportional zur Auslenkung ist.

Rechenbeispiel

Eine Feder mit $D=200\mathrm{N}/\mathrm{m}$ wird um $s=5\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,05}\mathrm{m}$ gedehnt.

$E_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}\cdot 200\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot (\mathrm{0,05}\mathrm{m}{)}^2$

$E_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}=\mathrm{0,25}\mathrm{J}$

Die Kraft am Ende der Dehnung beträgt:

$F=Ds=200\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\cdot \mathrm{0,05}\mathrm{m}=10\mathrm{N}$

Merke: Zentimeter müssen vor dem Einsetzen in Meter umgerechnet werden.

Energieumwandlungen

Beim Loslassen einer gespannten Feder nimmt die Spannenergie ab. Gleichzeitig kann die Kinetische Energie eines Körpers zunehmen. Bei einem senkrechten Federpendel wird außerdem Lageenergie umgewandelt. In einem idealen System bleibt die gesamte mechanische Energie erhalten.

In realen Systemen wirken Reibung und Luftwiderstand. Ein Teil der mechanischen Energie wird dann in innere Energie und Schall umgewandelt. Die Schwingung wird dadurch gedämpft.

Experiment: Federkonstante bestimmen

Material und Sicherheit

Du benötigst ein Stativ, eine geeignete Feder, einen Maßstab, bekannte Massestücke und möglichst eine Schutzbrille. Befestige das Stativ sicher. Überdehne die Feder nicht und halte Dein Gesicht aus der Bewegungsrichtung der Feder und der Massestücke.

Durchführung

1. Miss die unbelastete Länge der Feder.
2. Hänge nacheinander bekannte Massen an die Feder.
3. Bestimme für jede Masse die Auslenkung $s$.
4. Berechne die Gewichtskraft mit $F_G=m\cdot g$.
5. Trage $F$ gegen $s$ in ein Diagramm ein.
6. Bestimme die Federkonstante aus der Steigung $D=\frac{F}{s}$.

Für schulische Überschlagsrechnungen wird häufig $g\approx 10\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}$ verwendet. Für genauere Rechnungen kannst Du $g\approx \mathrm{9,81}\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}$ einsetzen.

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Auswertung

Verläuft der Graph durch den Ursprung und annähernd geradlinig, bestätigt das im Messbereich das hookesche Gesetz. Die Steigung ist die Federkonstante. Abweichungen können durch Ablesefehler, eine schief hängende Feder, Reibung, ungenaue Massen oder einen nichtlinearen Bereich entstehen.

Typische Fehler

1. Die gesamte Federlänge wird mit der Auslenkung verwechselt. Entscheidend ist die Änderung gegenüber der Ruhelänge.
2. Zentimeter werden nicht in Meter umgerechnet.
3. Der Faktor $\frac{1}{2}$ wird vergessen.
4. Die Auslenkung wird nicht quadriert.
5. Die Formel wird außerhalb des linearen elastischen Bereichs verwendet.
6. Spannenergie wird mit elektrischer Spannung verwechselt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die Spannenergie? (Die Energie eines elastisch verformten Körpers) (!Die elektrische Spannung einer Batterie) (!Die Masse einer Feder) (!Die Temperatur eines Körpers)

Welche Formel gilt für die Spannenergie einer idealen Feder? (E gleich ein halb mal D mal s zum Quadrat) (!E gleich D mal s) (!E gleich m mal g) (!E gleich F durch s)

Welche Einheit hat die Spannenergie? (Joule) (!Newton) (!Meter) (!Watt)

Was gibt die Federkonstante an? (Die Steifigkeit einer bestimmten Feder) (!Die Länge jeder beliebigen Feder) (!Die elektrische Leitfähigkeit) (!Die Geschwindigkeit der Feder)

Wie ändert sich die Spannenergie bei doppelter Auslenkung? (Sie wird viermal so groß) (!Sie wird doppelt so groß) (!Sie bleibt gleich) (!Sie wird halb so groß)

Was entspricht im Kraft-Weg-Diagramm der Spannenergie? (Die Fläche unter dem Kraft-Weg-Graphen) (!Nur die Steigung der Zeitachse) (!Der Schnittpunkt mit der Temperaturachse) (!Die Masse des Diagrammpapiers)

Welche Aussage gehört zum hookeschen Gesetz? (Die Kraft ist im linearen Bereich proportional zur Auslenkung) (!Die Kraft ist immer unabhängig von der Auslenkung) (!Die Energie ist proportional zur Zeit) (!Die Masse ist proportional zur Temperatur)

Was passiert beim Loslassen einer gespannten Feder? (Spannenergie kann in Bewegungsenergie umgewandelt werden) (!Joule werden in Newton umgewandelt) (!Die Federkonstante wird immer null) (!Die Masse der Feder verdoppelt sich)

Welche Auslenkung muss in eine Formel mit SI-Einheiten eingesetzt werden? (Die Auslenkung in Metern) (!Die Auslenkung nur in Zentimetern) (!Die Auslenkung in Sekunden) (!Die Auslenkung in Kilogramm)

Wann ist die einfache Federformel nicht mehr zuverlässig? (Wenn die Feder den linearen elastischen Bereich verlässt) (!Wenn die Auslenkung in Metern angegeben ist) (!Wenn die Energie in Joule angegeben ist) (!Wenn die Feder unbelastet gemessen wird)

Memory

Spannenergie	Energie eines elastisch verformten Körpers
Federkonstante	Maß für die Steifigkeit
Auslenkung	Abstand von der Ruhelage
Hookesches Gesetz	Proportionalität von Kraft und Weg
Joule	Einheit der Energie
Dreiecksfläche	Arbeit beim linearen Spannen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Spannenergie
Mechanische Arbeit	wird beim Spannen verrichtet
Lineare Feder	Kraft ist proportional zur Auslenkung
Loslassen	gespeicherte Energie wird umgewandelt
Doppelte Auslenkung	führt zur vierfachen Spannenergie
Große Federkonstante	bedeutet eine steife Feder

...

Kreuzworträtsel

Feder	Welches elastische Bauteil kann Spannenergie speichern?
Joule	Wie heißt die Einheit der Spannenergie?
Hooke	Nach wem ist das Gesetz zur linearen Federkraft benannt?
Auslenkung	Welche Größe beschreibt den Abstand von der Ruhelage?
Steifigkeit	Welche Eigenschaft beschreibt eine große Federkonstante?
Arbeit	Welche physikalische Größe wird beim Spannen verrichtet?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Spannenergie ist eine Form der .

Sie entsteht durch eine .

Bei einer idealen Feder ist die Kraft proportional zur .

Die Proportionalitätskonstante heißt .

Die Einheit der Spannenergie ist das .

Für eine lineare Feder gilt die Formel mit dem Faktor .

Die Auslenkung steht in der Energieformel im .

Bei doppelter Auslenkung wird die Spannenergie so groß.

Im Kraft-Weg-Diagramm entspricht die Energie der unter dem Graphen.

Beim Loslassen kann Spannenergie in umgewandelt werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Spannenergie im Alltag: Finde fünf Gegenstände, die durch elastische Verformung Energie speichern, und fotografiere oder zeichne sie.
2. Begriffskarte: Erstelle eine Begriffskarte mit Spannenergie, Kraft, Auslenkung, Federkonstante und Arbeit.
3. Gummiband-Versuch: Dehne ein Gummiband vorsichtig unterschiedlich weit und beschreibe, wie sich die nötige Kraft verändert.
4. Erklärvideo: Erkläre die Spannenergie in einem selbst erstellten Video von höchstens 90 Sekunden.

Standard

1. Federkonstante messen: Plane eine Messreihe mit mindestens fünf Belastungen und bestimme die Federkonstante.
2. Kraft-Weg-Diagramm: Zeichne aus Messdaten einen Graphen und ermittle die gespeicherte Energie als Fläche.
3. Gummibandauto: Baue ein kleines Fahrzeug mit Gummibandantrieb und dokumentiere die Energieumwandlungen.
4. Federn vergleichen: Untersuche zwei Federn und begründe anhand ihrer Federkonstanten, welche steifer ist.

Schwer

1. Gültigkeitsbereich: Untersuche, ab welcher Belastung eine reale Feder vom linearen Verhalten abweicht.
2. Energiebilanz: Filme ein Federpendel und beschreibe für mehrere Zeitpunkte die Verteilung von Spann-, Lage- und Bewegungsenergie.
3. Messunsicherheit: Schätze Messunsicherheiten für Kraft und Weg ab und beurteile ihren Einfluss auf die berechnete Spannenergie.
4. Technische Anwendung: Entwirf einen federnden Stoßfänger für ein Modellfahrzeug und begründe Material, Federweg und Sicherheitsgrenzen.

Lernkontrolle

1. Modellgrenze beurteilen: Eine Feder bleibt nach einem Versuch länger als vorher. Erkläre, warum die ideale Formel nun problematisch ist.
2. Diagramm übertragen: Zwei Federn werden gleich weit gedehnt. Begründe aus unterschiedlich steilen Kraft-Weg-Graphen, welche Feder mehr Energie speichert.
3. Energieumwandlung analysieren: Beschreibe die Energieumwandlungen eines Gummibandautos vom Aufziehen bis zum Stillstand.
4. Versuch verbessern: Ein Kraft-Weg-Graph streut stark. Entwickle drei konkrete Verbesserungen für Aufbau und Messung.
5. Sicherheitsentscheidung: Beurteile, warum eine stark gespannte Feder nicht auf Personen gerichtet werden darf, und formuliere zwei Schutzmaßnahmen.
6. Formel anwenden und erklären: Zeige ohne bloßes Einsetzen, warum eine Verdopplung der Auslenkung die gespeicherte Energie vervierfacht.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Spannenergie als Energie elastischer Verformung erklären kannst.
2. zwischen Kraft, Auslenkung, Federkonstante und Energie unterscheidest.
3. das hookesche Gesetz im passenden Gültigkeitsbereich verwendest.
4. die Formel $E_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}}=\frac{1}{2}D{s}^2$ sicher mit SI-Einheiten anwendest.
5. Kraft-Weg-Diagramme deutest und die Fläche als Arbeit beziehungsweise Energie erklärst.
6. Energieumwandlungen in Feder-, Gummiband- oder Trampolinsystemen analysierst.
7. Messfehler, Modellgrenzen und Sicherheitsaspekte begründet beurteilst.

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Weitere freie Medien und Vertiefung

Die Animation verbindet die Bewegung eines Feder-Masse-Systems mit einer Darstellung im Phasenraum. Für die Schule reicht zunächst die Beobachtung: Während der Schwingung ändern sich Auslenkung und Geschwindigkeit fortlaufend.

Verknüpfte Lernbereiche

Spannenergie Energie Mechanische Arbeit Hookesches Gesetz Federkonstante Kraft-Weg-Diagramm Energieerhaltungssatz Mechanische Schwingung Experiment