Signifikanztest und Hypothesentest mit GTR oder CAS

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Mit einem Hypothesentest prüfst Du eine Vermutung über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit. Du nutzt Daten aus einer Stichprobe. Ein GTR oder CAS berechnet die nötigen Wahrscheinlichkeiten.

Die Grundidee

1. Nullhypothese H₀: Die Ausgangsannahme.
2. Alternativhypothese H₁: Die Gegenannahme.
3. Signifikanzniveau α: Die erlaubte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.
4. Ablehnungsbereich: Ergebnisse, bei denen H₀ verworfen wird.
5. Nichtablehnungsbereich: Ergebnisse, bei denen H₀ nicht verworfen wird.

Wichtig: Wird H₀ nicht verworfen, ist sie damit nicht bewiesen.

Einseitig oder zweiseitig?

1. Rechtsseitiger Test: H₁: p > p₀
2. Linksseitiger Test: H₁: p < p₀
3. Zweiseitiger Test: H₁: p ≠ p₀

Rechnen mit GTR oder CAS

Bei einem Binomialtest gilt unter H₀: X ist binomialverteilt mit n und p₀. Die Menünamen unterscheiden sich je nach Gerät.

1. Linke Seite: Berechne P(X ≤ k) mit der kumulierten Binomialverteilung.
2. Rechte Seite: Berechne P(X ≥ k) oft als 1 − P(X ≤ k − 1).
3. Entscheidung: Liegt das Ergebnis im Ablehnungsbereich oder ist der p-Wert höchstens α, wird H₀ verworfen.

Ablauf in fünf Schritten

1. Formuliere H₀ und H₁.
2. Bestimme n, p₀ und α.
3. Entscheide: linksseitig, rechtsseitig oder zweiseitig.
4. Berechne den kritischen Wert oder den p-Wert mit GTR oder CAS.
5. Formuliere die Entscheidung im Sachzusammenhang.

Video: Signifikanztest und Hypothesentest mit GTR oder CAS

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Aufgaben vor dem Video

1. Vorwissen: Erkläre in einem Satz den Unterschied zwischen H₀ und H₁.
2. Vermutung: Notiere, wozu der GTR oder das CAS im Test gebraucht wird.

Aufgaben während des Videos

1. Beobachtungsauftrag: Schreibe die Reihenfolge der Rechenschritte mit.
2. Taschenrechnerbefehl: Notiere den verwendeten Befehl für eine kumulierte Binomialwahrscheinlichkeit.
3. Testentscheidung: Halte fest, wann H₀ verworfen wird.

Aufgaben nach dem Video

1. Erklären: Fasse das Verfahren in höchstens fünf Sätzen zusammen.
2. Vergleichen: Vergleiche den Rechenweg im Video mit dem Ablauf in diesem aiMOOC.
3. Anwenden: Rechne das Beispiel aus dem Video auf Deinem Gerät nach und prüfe das Ergebnis.
4. Fehler finden: Erkläre, warum „H₀ ist bewiesen“ keine passende Testentscheidung ist.

Zusatzvideo: Einseitige Signifikanztests

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die Nullhypothese? (Die Ausgangsannahme) (!Das sichere Endergebnis) (!Den Taschenrechnerbefehl) (!Die Größe der Stichprobe)

Was bedeutet das Signifikanzniveau α? (Die obere Grenze für den Fehler erster Art) (!Die Trefferzahl der Stichprobe) (!Die Wahrscheinlichkeit der Gegenhypothese) (!Die Anzahl der Testschritte)

Welche Gegenhypothese gehört zu einem rechtsseitigen Test? (p ist größer als p null) (!p ist kleiner als p null) (!p ist gleich p null) (!p ist immer null)

Welche Gegenhypothese gehört zu einem linksseitigen Test? (p ist kleiner als p null) (!p ist größer als p null) (!p ist ungleich p null) (!p ist sicher eins)

Welche Gegenhypothese gehört zu einem zweiseitigen Test? (p ist ungleich p null) (!p ist größer als p null) (!p ist kleiner als p null) (!p ist gleich null)

Wozu dient der Ablehnungsbereich? (Er enthält Ergebnisse, bei denen H null verworfen wird) (!Er beweist H null) (!Er ersetzt die Stichprobe) (!Er gibt den Taschenrechnertyp an)

Welche Verteilung wird beim einfachen Binomialtest genutzt? (Die Binomialverteilung) (!Die Gleichverteilung) (!Die Exponentialverteilung) (!Die Laplaceverteilung)

Wie kann man eine rechte Randwahrscheinlichkeit berechnen? (Mit eins minus der linken kumulierten Wahrscheinlichkeit bis k minus eins) (!Nur durch Multiplizieren mit n) (!Durch Addieren von alpha und p) (!Durch Teilen der Trefferzahl durch alpha)

Was gilt, wenn H null nicht verworfen wird? (H null ist nicht bewiesen) (!H null ist sicher wahr) (!H eins ist sicher falsch) (!Der Test war ohne Stichprobe)

Wann wird H null beim p-Wert-Verfahren verworfen? (Wenn der p-Wert höchstens alpha ist) (!Wenn der p-Wert größer als eins ist) (!Wenn alpha größer als n ist) (!Wenn p null gleich n ist)

Memory

Nullhypothese	Ausgangsannahme
Alternativhypothese	Gegenannahme
Signifikanzniveau	Fehlergrenze
Ablehnungsbereich	Kritische Ergebnisse
p-Wert	Entscheidungshilfe
GTR	Grafischer Taschenrechner

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Nullhypothese	Ausgangsannahme
Alternativhypothese	Gegenannahme
Signifikanzniveau	Grenze für den Fehler erster Art
Ablehnungsbereich	Bereich zum Verwerfen von H null
p-Wert	Wahrscheinlichkeit für ein mindestens so extremes Ergebnis

Kreuzworträtsel

Nullhypothese	Wie heißt die Ausgangsannahme eines Tests?
Gegenhypothese	Wie heißt die Alternative zur Ausgangsannahme?
Stichprobe	Welche Datengruppe wird untersucht?
Signifikanzniveau	Welche Fehlergrenze wird vor dem Test festgelegt?
Ablehnungsbereich	In welchem Bereich wird die Ausgangsannahme verworfen?
Binomialtest	Wie heißt ein Test für binomialverteilte Trefferzahlen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Hypothesentest beginnt mit der . Die Gegenannahme heißt . Die erlaubte Fehlergrenze wird durch das beschrieben. Ein Ergebnis im kritischen Bereich führt zum der Nullhypothese. Beim Binomialtest ist die Trefferzahl . Für eine linke Randwahrscheinlichkeit nutzt Du die Binomialverteilung. Ein kleiner p-Wert spricht gegen die . Eine nicht verworfene Hypothese ist nicht automatisch .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit H₀, H₁, α und Ablehnungsbereich.
2. Video-Notizen: Erstelle aus dem Video eine Checkliste mit fünf Schritten.
3. Geräte-Menü: Finde auf Deinem GTR oder CAS die Binomialverteilung und dokumentiere den Weg mit zwei Bildern.
4. Alltagsbeispiel: Formuliere H₀ und H₁ für die Vermutung „Eine Münze ist unfair“.

Standard

1. Simulation: Simuliere 100 Münzwürfe mit einem digitalen Werkzeug und vergleiche zwei Durchläufe.
2. Rechenvideo: Produziere ein einminütiges Video zu einer kumulierten Binomialwahrscheinlichkeit.
3. Testplan: Plane einen rechtsseitigen Test für eine behauptete Trefferwahrscheinlichkeit.
4. Fehleranalyse: Korrigiere die Aussage „Nicht verworfen bedeutet bewiesen“.

Schwer

1. Gerätevergleich: Löse dieselbe Testaufgabe mit zwei GTR- oder CAS-Systemen und vergleiche die Eingaben.
2. Testdesign: Entwickle einen linksseitigen und einen zweiseitigen Test zur gleichen Sachsituation.
3. Sensitivitätsanalyse: Untersuche, wie sich der Ablehnungsbereich bei α = 10 %, 5 % und 1 % verändert.
4. Erklärprojekt: Erstelle ein Lernposter, das Fehler erster Art, Fehler zweiter Art und Testentscheidung verbindet.

Lernkontrolle

1. Transfer Münztest: Eine Münze zeigt bei 100 Würfen 62-mal Kopf. Formuliere passende Hypothesen und beschreibe, wie Du mit GTR oder CAS entscheidest, ob die Münze zu oft Kopf zeigt.
2. Entscheidungsregel: Begründe, warum ein kleineres Signifikanzniveau das Verwerfen von H₀ erschwert.
3. Testseite: Entscheide für drei Sachsituationen, ob ein linksseitiger, rechtsseitiger oder zweiseitiger Test nötig ist, und begründe jeweils.
4. Interpretation: Ein Test verwirft H₀ nicht. Formuliere eine fachlich richtige Aussage für einen Zeitungsbericht.
5. Gerätefehler: Eine Person berechnet für P(X ≥ k) den Wert 1 − P(X ≤ k). Finde den Fehler und verbessere den Ansatz.
6. Vergleich: Erkläre den Unterschied zwischen einer Testentscheidung und einem mathematischen Beweis.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. H₀ und H₁ passend formulieren,
2. die Testseite begründet wählen,
3. α und den Ablehnungsbereich erklären,
4. Wahrscheinlichkeiten mit GTR oder CAS korrekt berechnen,
5. die Entscheidung im Sachzusammenhang formulieren,
6. typische Fehlinterpretationen erkennen.

Links

Signifikanztest und Hypothesentest mit GTR oder CAS Hypothesentest Statistischer Test Nullhypothese Alternativhypothese Signifikanzniveau p-Wert Binomialtest Binomialverteilung GTR Computer-Algebra-System

Freie Medien und Quellen

1. Statistischer Test
2. Binomialtest
3. Grafik zum Hypothesentest
4. Animation zum p-Wert
5. Grafik zur Binomialverteilung
6. Grafik zur kumulierten Binomialverteilung