Sigma-Regeln - Normalverteilung

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Die Sigma-Regeln helfen Dir, Wahrscheinlichkeiten bei einer Normalverteilung schnell abzuschätzen. Die Glockenkurve ist symmetrisch. Ihr Mittelpunkt ist der Erwartungswert $\mu$. Die Standardabweichung $\sigma$ beschreibt die Streuung.

Die drei Sigma-Regeln

Bereich	Intervall	Anteil
Ein-Sigma-Umgebung	$[\mu -\sigma ;\mu +\sigma ]$	ungefähr 68,3 %
Zwei-Sigma-Umgebung	$[\mu -2\sigma ;\mu +2\sigma ]$	ungefähr 95,4 %
Drei-Sigma-Umgebung	$[\mu -3\sigma ;\mu +3\sigma ]$	ungefähr 99,7 %

Die Prozentwerte gelten für Zufallsvariablen, die normalverteilt sind. Sie sind Näherungswerte.

Beispiel

Eine normalverteilte Zufallsvariable hat $\mu =100$ und $\sigma =15$.

1. Ein-Sigma-Umgebung: $[85;115]$ enthält ungefähr 68,3 % der Werte.
2. Zwei-Sigma-Umgebung: $[70;130]$ enthält ungefähr 95,4 % der Werte.
3. Drei-Sigma-Umgebung: $[55;145]$ enthält ungefähr 99,7 % der Werte.

Außerhalb der Zwei-Sigma-Umgebung liegen zusammen ungefähr 4,6 % der Werte.

Video: Sigma-Regeln verstehen

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Aufgaben zum Video

1. Videoanalyse: Notiere, wofür $\mu$ und $\sigma$ stehen.
2. Sigma-Umgebung: Schreibe die drei im Video erklärten Intervalle auf.
3. Wahrscheinlichkeit: Ordne den drei Intervallen die Werte 68,3 %, 95,4 % und 99,7 % zu.
4. Anwendung: Berechne für $\mu =50$ und $\sigma =4$ die Ein-, Zwei- und Drei-Sigma-Umgebung.
5. Begründung: Erkläre, warum die Sigma-Regeln nicht ohne Prüfung auf jede Datenmenge angewendet werden dürfen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie groß ist der Anteil in der Ein-Sigma-Umgebung ungefähr? (68,3 Prozent) (!50 Prozent) (!95,4 Prozent) (!99,7 Prozent)

Welches Zeichen steht für die Standardabweichung? (Sigma) (!Mu) (!Pi) (!Delta)

Wo liegt der Mittelpunkt einer Normalverteilung? (Beim Erwartungswert) (!Bei der Varianz) (!Bei drei Sigma) (!Am linken Rand)

Welches Intervall ist die Zwei-Sigma-Umgebung? (Mu minus zwei Sigma bis Mu plus zwei Sigma) (!Mu minus Sigma bis Mu plus Sigma) (!Mu minus drei Sigma bis Mu plus drei Sigma) (!Null bis zwei Sigma)

Wie viel Prozent liegen ungefähr in der Drei-Sigma-Umgebung? (99,7 Prozent) (!68,3 Prozent) (!90 Prozent) (!95,4 Prozent)

Was beschreibt die Standardabweichung? (Die Streuung der Werte) (!Die Anzahl der Werte) (!Den größten Wert) (!Die Einheit der Wahrscheinlichkeit)

Welche Form hat die Dichte einer Normalverteilung? (Eine symmetrische Glockenkurve) (!Eine Gerade) (!Ein Rechteck) (!Eine Treppe)

Wie viel Prozent liegen ungefähr außerhalb der Zwei-Sigma-Umgebung? (4,6 Prozent) (!0,3 Prozent) (!31,7 Prozent) (!68,3 Prozent)

Für welche Verteilung gelten die Sigma-Regeln? (Für die Normalverteilung) (!Für jede beliebige Verteilung) (!Nur für Kreisdiagramme) (!Nur für ganze Zahlen)

Was geschieht bei einer größeren Standardabweichung? (Die Glockenkurve wird breiter) (!Der Erwartungswert wird immer null) (!Alle Werte werden gleich) (!Die Wahrscheinlichkeit wird größer als eins)

Memory

Erwartungswert	Mittelpunkt der Glockenkurve
Standardabweichung	Maß für die Streuung
Ein-Sigma-Umgebung	ungefähr 68,3 Prozent
Zwei-Sigma-Umgebung	ungefähr 95,4 Prozent
Drei-Sigma-Umgebung	ungefähr 99,7 Prozent
Normalverteilung	symmetrische Glockenkurve

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Erwartungswert	Zentrum der Glockenkurve
Standardabweichung	Maß für die Streuung
Ein-Sigma-Umgebung	Bereich von Mu minus Sigma bis Mu plus Sigma
Zwei-Sigma-Umgebung	Bereich mit ungefähr 95,4 Prozent
Drei-Sigma-Umgebung	Bereich mit ungefähr 99,7 Prozent

Kreuzworträtsel

Sigma	Welcher griechische Buchstabe steht für die Standardabweichung?
Mittelwert	Welcher Wert liegt im Zentrum der Glockenkurve?
Glockenkurve	Welche Form besitzt die Normalverteilung?
Symmetrie	Welche Eigenschaft hat die Kurve links und rechts vom Mittelpunkt?
Streuung	Was beschreibt die Standardabweichung?
Wahrscheinlichkeit	Was wird durch die Fläche unter der Kurve dargestellt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Normalverteilung besitzt eine symmetrische . Ihr Mittelpunkt ist der . Die Standardabweichung beschreibt die . In der Ein-Sigma-Umgebung liegen ungefähr der Werte. In der Zwei-Sigma-Umgebung liegen ungefähr der Werte. In der Drei-Sigma-Umgebung liegen ungefähr der Werte.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Erwartungswert, Standardabweichung und Normalverteilung.
2. Glockenkurve: Zeichne eine Glockenkurve und markiere $\mu$, $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$.
3. Videozusammenfassung: Fasse das Video in fünf einfachen Sätzen zusammen.
4. Beispielrechnung: Berechne die Ein-Sigma-Umgebung für $\mu =20$ und $\sigma =3$.

Standard

1. Intervallvergleich: Berechne alle drei Sigma-Umgebungen für $\mu =80$ und $\sigma =5$.
2. Datensatz: Erfinde einen passenden Sachkontext für eine normalverteilte Größe.
3. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video zur 68-95-99,7-Regel.
4. Fehleranalyse: Erkläre, warum 95,4 % nicht bedeutet, dass in jeder kleinen Stichprobe genau 95,4 % der Werte im Intervall liegen.

Schwer

1. Transferaufgabe: Entwickle eine Aufgabe aus der Qualitätskontrolle und löse sie mit einer Sigma-Regel.
2. Simulation: Simuliere mit einer Tabellenkalkulation viele normalverteilte Werte und prüfe die drei Prozentangaben.
3. Modellkritik: Untersuche einen Datensatz und begründe, ob eine Normalverteilung als Modell sinnvoll erscheint.
4. Vergleich: Vergleiche die Sigma-Regeln mit einer Berechnung über die Standardnormalverteilung.

Lernkontrolle

1. Modellentscheidung: Eine Datenreihe ist stark schief verteilt. Beurteile, ob die Sigma-Regeln sinnvoll eingesetzt werden können.
2. Qualitätskontrolle: Ein Produktmaß ist normalverteilt mit $\mu =50$ und $\sigma =\mathrm{0,4}$. Leite einen Bereich her, der ungefähr 95,4 % der Produkte enthält.
3. Rückwärtsaufgabe: Die Ein-Sigma-Umgebung lautet $[42;58]$. Bestimme $\mu$ und $\sigma$.
4. Interpretation: Erkläre den Unterschied zwischen „ungefähr 99,7 % liegen im Intervall“ und „alle Werte liegen im Intervall“.
5. Vergleich zweier Verteilungen: Zwei Normalverteilungen haben denselben Erwartungswert, aber verschiedene Standardabweichungen. Beschreibe die Unterschiede ihrer Glockenkurven.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. die Begriffe Erwartungswert, Standardabweichung und Normalverteilung erklären,
2. die drei Sigma-Intervalle aufstellen,
3. die Prozentwerte 68,3 %, 95,4 % und 99,7 % richtig zuordnen,
4. Sigma-Regeln in Sachaufgaben anwenden,
5. die Grenzen des Modells begründen.

Links

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