Schräger Wurf - Physik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Beim schrägen Wurf wird ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit schräg nach oben geworfen. Beispiele sind ein Fußballschuss, ein Basketballwurf oder ein Wasserstrahl. Im vereinfachten physikalischen Modell wirkt nach dem Abwurf nur die Gewichtskraft. Ohne Luftwiderstand entsteht eine parabelförmige Flugbahn.

Das folgende Video zeigt den schrägen Wurf am Beispiel eines Fußballschusses.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du den schrägen Wurf als Überlagerung zweier Bewegungen erklären. Du kannst Anfangsgeschwindigkeit und Bewegung in Komponenten zerlegen, die wichtigsten Formeln anwenden, Flugzeit, Wurfhöhe und Wurfweite berechnen und Grenzen des Idealmodells beurteilen.

Physikalisches Modell

Für das Schulmodell gelten folgende Annahmen:

Annahme	Bedeutung
Konstante Erdbeschleunigung	Es gilt näherungsweise $g=\mathrm{9,81}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}$.
Kein Luftwiderstand	Der Körper wird nach dem Abwurf nicht durch die Luft gebremst.
Punktförmiger Körper	Form, Rotation und Ausdehnung werden nicht berücksichtigt.
Ebene Bewegung	Die Flugbahn wird in einem zweidimensionalen Koordinatensystem beschrieben.

Unter diesen Bedingungen ist die Bewegung in waagerechter und senkrechter Richtung unabhängig. Dieses Prinzip heißt Superpositionsprinzip.

Zerlegung der Anfangsgeschwindigkeit

Die Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ bildet mit der Horizontalen den Abwurfwinkel $\alpha$. Sie wird in zwei Komponenten zerlegt:

$v_{0x}=v_0\cos (\alpha )$

$v_{0y}=v_0\sin (\alpha )$

Die waagerechte Komponente bestimmt, wie schnell sich der Körper nach vorn bewegt. Die senkrechte Komponente bestimmt, wie stark er zunächst steigt.

Bewegung in x-Richtung

In waagerechter Richtung wirkt im Idealmodell keine Kraft. Deshalb bleibt die Geschwindigkeit konstant:

$v_x(t)=v_0\cos (\alpha )$

Für den Ort gilt bei $x_0=0$:

$x(t)=v_0\cos (\alpha )\cdot t$

Die x-Bewegung ist eine gleichförmige Bewegung.

Bewegung in y-Richtung

In senkrechter Richtung wirkt die Erdbeschleunigung nach unten:

$a_y=-g$

Für Geschwindigkeit und Höhe gelten:

$v_y(t)=v_0\sin (\alpha )-gt$

$y(t)=y_0+v_0\sin (\alpha )\cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Die y-Bewegung ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.

Die Wurfparabel

Setzt man die Zeit aus der x-Gleichung in die y-Gleichung ein, erhält man für $x_0=0$:

$y(x)=y_0+x\tan (\alpha )-\frac{g{x}^2}{2v_0^2{\cos }^2(\alpha )}$

Der Term mit $x^2$ zeigt: Die ideale Bahnkurve ist eine nach unten geöffnete Parabel.

Eine kompakte Herleitung der Wurfparabel zeigt dieses Video.

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Scheitelpunkt und maximale Höhe

Am höchsten Punkt ist die vertikale Geschwindigkeit kurzzeitig null:

$v_y=0$

Für einen Start bei $y_0=0$ folgt die Steigzeit:

$t_{\mathrm{S}}=\frac{v_0\sin (\alpha )}{g}$

Die maximale Höhe über dem Abwurfpunkt beträgt:

$h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{v_0^2{\sin }^2(\alpha )}{2g}$

Wichtig: Am Scheitelpunkt ist nur $v_y=0$. Die horizontale Geschwindigkeit bleibt erhalten und die Beschleunigung beträgt weiterhin $g$ nach unten.

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Flugzeit und Wurfweite

Wenn Abwurf- und Landepunkt gleich hoch liegen, ist die Fallzeit gleich der Steigzeit. Daher gilt:

$t_{\mathrm{F}}=\frac{2v_0\sin (\alpha )}{g}$

Die Wurfweite ist:

$x_{\mathrm{W}}=v_0\cos (\alpha )\cdot t_{\mathrm{F}}$

Damit folgt:

$x_{\mathrm{W}}=\frac{v_0^2\sin (2\alpha )}{g}$

Unter den idealen Bedingungen und bei gleicher Start- und Landehöhe ist die Wurfweite bei $\alpha =45^{\circ }$ maximal.

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Einfluss des Abwurfwinkels

Bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit führen kleine Winkel zu flachen Bahnen. Große Winkel führen zu hohen, aber meist kürzeren Bahnen. Ergänzende Winkel wie $30^{\circ }$ und $60^{\circ }$ liefern im Idealmodell bei gleicher Start- und Landehöhe dieselbe Wurfweite, weil $\sin (60^{\circ })=\sin (120^{\circ })$ gilt.

Rechenbeispiel

Ein Ball wird vom Boden mit $v_0=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$ unter dem Winkel $\alpha =30^{\circ }$ geworfen. Der Luftwiderstand wird vernachlässigt.

Gesuchte Größe	Rechnung	Ergebnis
Horizontale Anfangsgeschwindigkeit	$v_{0x}=20\cos (30^{\circ })$	$\mathrm{17,3}\mathrm{m}/\mathrm{s}$
Vertikale Anfangsgeschwindigkeit	$v_{0y}=20\sin (30^{\circ })$	$\mathrm{10,0}\mathrm{m}/\mathrm{s}$
Steigzeit	$t_{\mathrm{S}}=\frac{10}{\mathrm{9,81}}$	$\mathrm{1,02}\mathrm{s}$
Maximale Höhe	$h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{10^2}{2\cdot \mathrm{9,81}}$	$\mathrm{5,10}\mathrm{m}$
Flugzeit	$t_{\mathrm{F}}=2t_{\mathrm{S}}$	$\mathrm{2,04}\mathrm{s}$
Wurfweite	$x_{\mathrm{W}}=\mathrm{17,3}\cdot \mathrm{2,04}$	$\mathrm{35,3}\mathrm{m}$

Realität und Grenzen des Modells

In der Realität wirken Luftwiderstand, Wind, Rotation und manchmal Auftrieb. Ein Fußball kann durch Drall seitlich abgelenkt werden. Ein Speer oder Ball ist außerdem kein punktförmiger Körper. Deshalb ist die reale Flugbahn meist nicht exakt parabelförmig und nicht symmetrisch.

Die Formel für den optimalen Winkel von $45^{\circ }$ gilt nur bei gleicher Start- und Landehöhe ohne Luftwiderstand. Liegt der Abwurfpunkt höher oder wirkt deutlicher Luftwiderstand, kann der günstigste Winkel kleiner sein.

Experiment und Simulation

Du kannst den schrägen Wurf mit einem weichen Ball, einem Maßband und einer Videoaufnahme untersuchen. Markiere eine sichere Wurfrichtung, filme möglichst seitlich und nutze einen bekannten Maßstab im Bild. Bestimme Bild für Bild die Position des Balls. Trage $x$ gegen $t$ und $y$ gegen $t$ auf. Im Idealmodell sollte $x(t)$ annähernd linear und $y(t)$ annähernd quadratisch verlaufen.

Eine digitale Untersuchung ist mit der PhET-Simulation zum schrägen Wurf möglich. Dort kannst Du Winkel, Anfangsgeschwindigkeit, Masse und Luftwiderstand verändern.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Aus welchen Teilbewegungen besteht der schräge Wurf im Idealmodell? (Aus einer gleichförmigen horizontalen und einer gleichmäßig beschleunigten vertikalen Bewegung) (!Aus zwei gleichförmigen Bewegungen) (!Aus zwei Kreisbewegungen) (!Aus einer ruhenden und einer beschleunigten Bewegung)

Wie lautet die horizontale Anfangsgeschwindigkeit? (v0 mal cos alpha) (!v0 mal sin alpha) (!g mal t) (!v0 minus g)

Welche Beschleunigung wirkt in vertikaler Richtung? (Die Erdbeschleunigung nach unten) (!Keine Beschleunigung) (!Eine konstante Beschleunigung nach rechts) (!Eine Beschleunigung nach oben)

Was gilt am Scheitelpunkt der Flugbahn? (Die vertikale Geschwindigkeit ist null) (!Die gesamte Geschwindigkeit ist null) (!Die Beschleunigung ist null) (!Die horizontale Geschwindigkeit ist null)

Welche Form hat die ideale Flugbahn? (Eine Parabel) (!Eine Gerade) (!Ein Kreis) (!Eine Hyperbel)

Wie groß ist die Flugzeit bei gleicher Start- und Landehöhe? (Doppelt so groß wie die Steigzeit) (!Genau so groß wie die Steigzeit) (!Unabhängig vom Abwurfwinkel) (!Immer eine Sekunde)

Bei welchem Winkel ist die ideale Wurfweite bei gleicher Start- und Landehöhe maximal? (Bei 45 Grad) (!Bei 0 Grad) (!Bei 30 Grad) (!Bei 90 Grad)

Wie verändert sich die ideale Wurfweite, wenn die Anfangsgeschwindigkeit verdoppelt wird und der Winkel gleich bleibt? (Sie wird viermal so groß) (!Sie wird doppelt so groß) (!Sie bleibt gleich) (!Sie wird halb so groß)

Welche Annahme gehört zum einfachen Modell des schrägen Wurfs? (Der Luftwiderstand wird vernachlässigt) (!Die Erdbeschleunigung ist null) (!Die horizontale Geschwindigkeit nimmt ständig ab) (!Der Körper bewegt sich ohne Gravitation)

Was bewirkt eine größere Anfangshöhe bei sonst gleichen Bedingungen meist? (Eine längere Flugzeit und eine größere Wurfweite) (!Eine kürzere Flugzeit) (!Eine kleinere horizontale Geschwindigkeit) (!Das Verschwinden der Gravitation)

Memory

Anfangsgeschwindigkeit	Geschwindigkeit beim Abwurf
Abwurfwinkel	Winkel zur Horizontalen
x-Bewegung	Gleichförmige Bewegung
y-Bewegung	Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Scheitelpunkt	Vertikale Geschwindigkeit null
Flugzeit	Dauer bis zur Landung
Wurfweite	Horizontale Entfernung
Wurfparabel	Ideale Bahnkurve

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Schräger Wurf
Horizontale Startkomponente	v0 mal cos alpha
Vertikale Startkomponente	v0 mal sin alpha
Horizontale Beschleunigung	null
Vertikale Beschleunigung	minus g
Scheitelpunktbedingung	vertikale Geschwindigkeit null
Ideale Bahnform	Parabel

...

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt die ideale Bahnkurve des schrägen Wurfs?
Gravitation	Welche Wechselwirkung zieht den Körper nach unten?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste Punkt der Flugbahn?
Flugweite	Wie heißt die horizontale Entfernung zwischen Abwurf und Landung?
Komponente	Wie nennt man einen zerlegten Anteil eines Vektors?
Luftwiderstand	Welcher reale Einfluss bremst den Körper während des Flugs?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim schrägen Wurf wird die Anfangsgeschwindigkeit in eine horizontale und eine vertikale zerlegt. In x-Richtung ist die Bewegung im Idealmodell . In y-Richtung wirkt die konstante . Am Scheitelpunkt ist die vertikale Geschwindigkeit . Ohne Luftwiderstand besitzt die Flugbahn die Form einer . Bei gleicher Start- und Landehöhe ist die Flugzeit doppelt so groß wie die . Die größte ideale Wurfweite entsteht bei einem Winkel von . Durch Luftwiderstand wird die reale Flugbahn meist .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Alltagsbeispiele zum schrägen Wurf: Fotografiere oder skizziere drei Situationen aus Sport, Technik oder Alltag und markiere jeweils Startpunkt, Flugbahn und Landepunkt.
2. Begriffe des schrägen Wurfs: Erstelle eine Lernkarte mit den Begriffen Anfangsgeschwindigkeit, Abwurfwinkel, Scheitelpunkt, Flugzeit und Wurfweite.
3. Vektoren zeichnen: Zeichne eine Anfangsgeschwindigkeit und zerlege sie grafisch in eine horizontale und eine vertikale Komponente.
4. Flugbahnen vergleichen: Zeichne qualitative Flugbahnen für kleine, mittlere und große Abwurfwinkel bei gleicher Anfangsgeschwindigkeit.

Standard

1. Videoanalyse eines Ballwurfs: Filme einen sicheren Wurf mit einem weichen Ball von der Seite und markiere in mehreren Einzelbildern die Ballposition.
2. Messreihe zum Abwurfwinkel: Untersuche mit einer Simulation mindestens fünf Winkel und stelle Wurfweite und maximale Höhe in einer Tabelle dar.
3. Rechenaufgabe entwickeln: Erfinde eine realistische Aufgabe zum schrägen Wurf, löse sie vollständig und erkläre jeden Rechenschritt.
4. Modell und Wirklichkeit: Vergleiche eine gemessene Flugbahn mit der idealen Parabel und beschreibe mögliche Ursachen für Abweichungen.

Schwer

1. Wurfparabel herleiten: Leite die Gleichung $y(x)$ aus den Zeit-Ort-Gesetzen her und erkläre, warum eine Parabel entsteht.
2. Optimierungsprojekt: Untersuche rechnerisch oder mit einer Tabellenkalkulation, wie sich der Winkel auf die Wurfweite auswirkt.
3. Schräger Wurf mit Anfangshöhe: Entwickle eine Methode zur Berechnung von Flugzeit und Wurfweite für einen erhöhten Abwurfpunkt.
4. Luftwiderstand untersuchen: Plane ein Experiment mit zwei ähnlich großen, aber unterschiedlich schweren Bällen und diskutiere, wie der Luftwiderstand die Ergebnisse beeinflusst.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Fußball: Zwei Bälle werden mit gleicher Geschwindigkeit unter 30 Grad und 60 Grad vom Boden geschossen. Erkläre ohne vollständige Rechnung, welche Größen gleich und welche verschieden sind.
2. Fehleranalyse Scheitelpunkt: Beurteile die Aussage „Am höchsten Punkt sind Geschwindigkeit und Beschleunigung null“ und verbessere sie fachlich.
3. Diagrammdeutung: Skizziere die Graphen von $x(t)$, $y(t)$, $v_x(t)$ und $v_y(t)$ und begründe ihre Formen.
4. Planetenvergleich: Erkläre, wie sich derselbe Wurf auf dem Mond oder auf einem Planeten mit größerer Fallbeschleunigung verändern würde.
5. Experimentbewertung: Entwickle Kriterien, mit denen Du prüfst, ob eine gemessene Ballflugbahn näherungsweise zum Idealmodell passt.
6. Modellkritik Sport: Begründe, warum der optimale Abwurfwinkel beim Basketball, Speerwurf oder Fußball nicht allgemein genau 45 Grad beträgt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. Modellannahmen nennen und ihre Bedeutung erklären kannst.
2. Geschwindigkeitszerlegung mit Sinus und Kosinus durchführen kannst.
3. Bewegungsgleichungen für x- und y-Richtung sicher verwendest.
4. Scheitelpunkt, Flugzeit, maximale Höhe und Wurfweite berechnen kannst.
5. Diagramme und Flugbahnen fachlich interpretieren kannst.
6. Idealmodell und reale Bewegung begründet unterscheiden kannst.
7. Experimentelle Daten auswerten und Messabweichungen diskutieren kannst.

OERs zum Thema

1. LEIFIphysik: Waagerechter und schräger Wurf
2. PhET: Projectile Motion
3. Walter Fendt: Schräger Wurf
4. Wikimedia Commons: Projectile motion

Verknüpfte Lernbereiche

Schräger Wurf Kinematik Wurfparabel Superpositionsprinzip Gleichförmige Bewegung Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Freier Fall Vektoren Trigonometrie Gravitation Luftwiderstand