Rechtsseitiger Hypothesentest

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 9-10, G-Niveau

Rechtsseitiger Hypothesentest

Fächer: Mathematik, Stochastik, Statistik Klassenstufe: Klasse 10 bis Klasse 13

Einleitung

Ein rechtsseitiger Hypothesentest prüft, ob ein unbekannter Anteil größer als ein vorgegebener Wert ist. Große beobachtete Trefferzahlen sprechen gegen die Nullhypothese.

Beispiel: Eine Münze soll fair sein. Du vermutest, dass sie häufiger Kopf zeigt. Dann prüfst Du:

$H_0:p\le \mathrm{0,5}$ und $H_1:p>\mathrm{0,5}$.

Die Grundidee

Unter der Nullhypothese rechnet man meist mit dem Randwert $p=p_0$. Bei $n$ unabhängigen Versuchen ist die Trefferzahl $X$ binomialverteilt:

$X\sim B(n;p_0)$.

Du wählst ein Signifikanzniveau $\alpha$, zum Beispiel 5 %. Danach suchst Du den kleinsten kritischen Wert $k$ mit:

$P_{p_0}(X\ge k)\le \alpha$.

Der Ablehnungsbereich liegt rechts: $\{k,k+1,\dots ,n\}$. Gilt für die Beobachtung $x\ge k$, wird $H_0$ abgelehnt.

Merksatz

Rechtsseitig bedeutet: Große Werte sind verdächtig. Wird $H_0$ nicht abgelehnt, ist sie damit nicht bewiesen.

Datei:Gauss dichtefunktion.svg

Kurzes Beispiel

Eine Münze wird 20-mal geworfen. Es gilt $H_0:p\le \mathrm{0,5}$, $H_1:p>\mathrm{0,5}$ und $\alpha =5\mathrm{\%}$. Der kritische Wert ist $k=15$, denn $P(X\ge 15)\approx \mathrm{2,07}\mathrm{\%}$. Ab 15-mal Kopf wird $H_0$ abgelehnt.

Lernvideo

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Aufgaben zum Video

1. Hypothesen formulieren: Notiere die Nullhypothese und die Alternativhypothese aus dem Video.
2. Ablehnungsbereich: Erkläre in einem Satz, warum der Ablehnungsbereich rechts liegt.
3. Kritischer Wert: Beschreibe, wie der kritische Wert bestimmt wird.
4. Entscheidungsregel: Formuliere eine Regel mit „Wenn …, dann …“.
5. Fehler erster Art: Erkläre, welches Risiko durch das Signifikanzniveau begrenzt wird.

Weitere Erklärvideos

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Alternativhypothese passt zu einem rechtsseitigen Test? (p ist größer als p null) (!p ist kleiner als p null) (!p ist gleich p null) (!p ist ungleich p null)

Welche Werte sprechen bei einem rechtsseitigen Test gegen die Nullhypothese? (Große Werte) (!Kleine Werte) (!Nur mittlere Werte) (!Alle Werte gleich stark)

Was beschreibt die Zufallsvariable X meist? (Die Anzahl der Treffer) (!Das Signifikanzniveau) (!Die Zahl der Hypothesen) (!Den Fehler zweiter Art)

Was legt das Signifikanzniveau fest? (Das höchstens erlaubte Risiko für einen Fehler erster Art) (!Die sichere Wahrheit der Alternativhypothese) (!Die Anzahl aller Treffer) (!Die Größe der Grundgesamtheit)

Was ist der kritische Wert k? (Der erste Wert im Ablehnungsbereich) (!Der Mittelwert jeder Stichprobe) (!Die Trefferwahrscheinlichkeit) (!Der letzte Wert im Annahmebereich plus zehn)

Wann wird die Nullhypothese abgelehnt? (Wenn die Beobachtung mindestens so groß wie k ist) (!Wenn die Beobachtung kleiner als null ist) (!Wenn die Beobachtung genau dem Erwartungswert entspricht) (!Wenn das Signifikanzniveau größer als eins ist)

Was ist ein Fehler erster Art? (Die Nullhypothese wird abgelehnt obwohl sie gilt) (!Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt obwohl sie falsch ist) (!Die Stichprobe enthält keine Daten) (!Die Rechnung nutzt einen Taschenrechner)

Wann führt der p-Wert zur Ablehnung der Nullhypothese? (Wenn der p-Wert höchstens alpha ist) (!Wenn der p-Wert größer als eins ist) (!Wenn der p-Wert genau fünfzig Prozent ist) (!Wenn der p-Wert unbekannt bleibt)

Welche Verteilung wird bei Trefferzahlen oft benutzt? (Die Binomialverteilung) (!Die Gleichverteilung auf allen Zahlen) (!Die Exponentialfunktion) (!Die Sinusverteilung)

Was bedeutet es wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird? (Die Daten reichen nicht für eine Ablehnung) (!Die Nullhypothese ist sicher bewiesen) (!Die Alternativhypothese ist immer falsch) (!Der Test war ohne Bedeutung)

Memory

Nullhypothese	bisherige Annahme
Alternativhypothese	Anteil ist größer
Signifikanzniveau	begrenztes Fehlerrisiko
Ablehnungsbereich	große Trefferzahlen
Kritischer Wert	erste Grenze rechts
p-Wert	Wahrscheinlichkeit ab Beobachtung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Nullhypothese	Ausgangsannahme
Alternativhypothese	vermutete Erhöhung
Signifikanzniveau	festgelegte Fehlergrenze
Kritischer Wert	Beginn des Ablehnungsbereichs
Testentscheidung	Ablehnen oder nicht ablehnen

Kreuzworträtsel

Alpha	Wie heißt das Zeichen für das Signifikanzniveau?
Trefferzahl	Was zählt die Zufallsvariable X häufig?
Nullhypothese	Welche Hypothese wird geprüft?
Binomialverteilung	Welche Verteilung passt zu unabhängigen Trefferversuchen?
Ablehnungsbereich	Wie heißt der Bereich mit besonders großen Werten?
Grenzwert	Welches Wort beschreibt eine entscheidende Grenze?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem rechtsseitigen Hypothesentest lautet die Alternative meist p p null. Der Ablehnungsbereich liegt auf der Seite. Unter der Nullhypothese wird bei Trefferzahlen oft die benutzt. Das Signifikanzniveau wird mit bezeichnet. Der kritische Wert ist die erste Zahl im . Die Nullhypothese wird abgelehnt, wenn die Beobachtung mindestens so groß wie der ist. Eine nicht abgelehnte Nullhypothese ist nicht automatisch .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffe erklären: Erkläre Nullhypothese, Alternativhypothese und Signifikanzniveau mit eigenen Worten.
2. Skizze erstellen: Zeichne eine Verteilung und markiere den rechten Ablehnungsbereich.
3. Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
4. Entscheidungsregel: Schreibe eine passende Wenn-dann-Regel.

Standard

1. Münztest planen: Plane einen rechtsseitigen Test für eine Münze mit 30 Würfen.
2. Taschenrechner nutzen: Bestimme für ein selbst gewähltes Beispiel einen kritischen Wert.
3. Fehlentscheidung untersuchen: Erfinde eine Situation, in der ein Fehler erster Art auftreten kann.
4. Erklärplakat: Gestalte ein Plakat mit Hypothesen, Signifikanzniveau und Ablehnungsbereich.

Schwer

1. Testvergleich: Vergleiche einen rechtsseitigen, linksseitigen und zweiseitigen Test.
2. Simulation: Simuliere viele Stichproben und schätze die Wahrscheinlichkeit einer Ablehnung.
3. Kritische Analyse: Untersuche, wie sich ein kleineres Signifikanzniveau auf den Ablehnungsbereich auswirkt.
4. Eigenes Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Beispiel, Rechnung und Entscheidung.

Lernkontrolle

1. Anwendungsentscheidung: Ein Hersteller behauptet, höchstens 4 % seiner Produkte seien fehlerhaft. Formuliere einen rechtsseitigen Test, mit dem eine Verschlechterung erkannt werden kann.
2. Grenze begründen: Erkläre, warum der kritische Wert so gewählt wird, dass die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs höchstens Alpha beträgt.
3. Ergebnis deuten: Eine Beobachtung liegt knapp unter dem kritischen Wert. Formuliere eine sachlich korrekte Schlussfolgerung.
4. Parameterwirkung: Beschreibe, wie eine größere Stichprobe die Aussagekraft eines Tests verändern kann.
5. Fehler abwägen: Erkläre an einem medizinischen oder technischen Beispiel, warum ein sehr kleines Signifikanzniveau Vor- und Nachteile hat.

Lernnachweis

Für den Lernnachweis solltest Du:

1. Hypothesen passend formulieren,
2. den Ablehnungsbereich bestimmen,
3. eine Testentscheidung korrekt begründen,
4. den Fehler erster Art erklären,
5. das Ergebnis vorsichtig und verständlich deuten.

Links

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