Prismen Oberfläche und Volumen - aiMOOC

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der zwei zueinander parallele und kongruente Flächen besitzt: die Grundfläche und die Deckfläche. Diese beiden Flächen haben dieselbe Form und dieselbe Größe. Die übrigen Flächen bilden zusammen die Mantelfläche. Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht auf der Grundfläche; die Mantelflächen sind dann Rechtecke. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du bei Prismen die Oberfläche und das Volumen berechnest, wie Du ein Körpernetz nutzt und wie Du typische Fehler vermeidest.

Viele Verpackungen, Dachformen, Schokoladenriegel, Bausteine oder technische Bauteile lassen sich näherungsweise als Prismen beschreiben. In Mathematik Klasse 7-8 ist das Thema besonders wichtig, weil Du dabei Flächeninhalt, Umfang, Einheiten und räumliches Vorstellungsvermögen verbindest.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du erklären, woran man ein Prisma erkennt, die passenden Bestandteile benennen und zwischen Grundfläche, Deckfläche, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen unterscheiden. Du kannst die Formeln mit der Math-Syntax lesen, Werte korrekt einsetzen, Einheiten beachten und Rechenwege nachvollziehbar begründen.

Was ist ein Prisma?

Grundidee

Ein Prisma entsteht gedanklich, wenn eine ebene Figur, zum Beispiel ein Dreieck, Rechteck, Parallelogramm, Trapez oder Sechseck, parallel im Raum verschoben wird. Die ursprüngliche Figur und ihre verschobene Kopie bilden die beiden parallelen Flächen. Alle Verbindungskanten zwischen entsprechenden Eckpunkten sind parallel und gleich lang.

Für den Unterricht in Klasse 7-8 betrachten wir meistens gerade Prismen. Dann ist die Körperhöhe der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche. Diese Höhe wird in diesem aiMOOC mit $H$ bezeichnet, damit Du sie nicht mit einer Höhe innerhalb der Grundfläche verwechselst.

Bestandteile eines Prismas

1. Grundfläche: Eine der beiden kongruenten parallelen Flächen; ihr Flächeninhalt wird mit $G$ bezeichnet.
2. Deckfläche: Die zweite Fläche, die zur Grundfläche kongruent und parallel ist.
3. Mantelfläche: Alle Seitenflächen zusammen; ihr Flächeninhalt wird mit $M$ bezeichnet.
4. Oberfläche: Alle Begrenzungsflächen zusammen; ihr Flächeninhalt wird mit $O$ bezeichnet.
5. Körperhöhe: Der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche; hier mit $H$ bezeichnet.
6. Umfang der Grundfläche: Die Summe aller Randlängen der Grundfläche; hier mit $U_G$ bezeichnet.

Gerade und schiefe Prismen

Bei einem geraden Prisma stehen die Seitenkanten senkrecht zur Grundfläche. Die Mantelfläche besteht aus Rechtecken. Für diese Prismen gilt im Schulkontext besonders einfach: $M=U_G\cdot H$. Bei einem schiefen Prisma sind die Seitenkanten nicht senkrecht zur Grundfläche. Das Volumen bleibt bei gleicher Grundfläche und gleicher senkrechter Höhe gleich, aber die Mantelfläche muss vorsichtiger über die einzelnen Seitenflächen berechnet werden.

Volumen eines Prismas

Grundformel

Das Volumen gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. Beim Prisma ist das Volumen besonders übersichtlich:

$V=G\cdot H$

Dabei bedeutet $V$ das Volumen, $G$ den Flächeninhalt der Grundfläche und $H$ die Körperhöhe des Prismas. Die Idee dahinter ist: Eine Grundfläche wird gleichmäßig in die Höhe gezogen. Je größer die Grundfläche oder die Körperhöhe ist, desto größer ist der Rauminhalt.

Einheiten beim Volumen

Wenn Längen in cm gegeben sind, wird die Grundfläche in ${\text{cm}}^2$ berechnet und das Volumen in ${\text{cm}}^3$. Wenn Längen in m gegeben sind, wird das Volumen in ${\text{m}}^3$ angegeben. Wichtig ist: Vor dem Rechnen müssen alle Längen in derselben Einheit stehen.

Beispiel: Dreiecksprisma

Ein gerades Dreiecksprisma hat eine rechtwinklige dreieckige Grundfläche mit den Katheten $6\text{cm}$ und $8\text{cm}$. Die Körperhöhe beträgt $12\text{cm}$.

$G=\frac{6\cdot 8}{2}=24{\text{cm}}^2$

$V=G\cdot H=24\cdot 12=288{\text{cm}}^3$

Das Volumen des Prismas beträgt also $288{\text{cm}}^3$.

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Oberfläche eines Prismas

Oberfläche als Summe aller Außenflächen

Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen, die Du außen am Körper berühren könntest. Ein Prisma hat zwei kongruente Flächen, also Grundfläche und Deckfläche, sowie die Mantelfläche. Deshalb gilt allgemein:

$O=2\cdot G+M$

Bei einem geraden Prisma kann die Mantelfläche mit dem Umfang der Grundfläche berechnet werden:

$M=U_G\cdot H$

Setzt man dies ein, erhält man für gerade Prismen:

$O=2\cdot G+U_G\cdot H$

Warum ein Körpernetz hilft

Ein Körpernetz zeigt alle Flächen eines Körpers aufgeklappt in der Ebene. Beim Dreiecksprisma siehst Du im Netz zwei gleiche Dreiecke und drei Rechtecke. Beim Trapezprisma siehst Du zwei gleiche Trapeze und so viele Rechtecke, wie die Grundfläche Seiten hat. Wenn Du die Oberfläche berechnest, hilft Dir das Netz dabei, keine Fläche zu vergessen und keine Fläche doppelt falsch zu zählen.

Beispiel: Oberfläche eines Dreiecksprismas

Für das oben genannte Dreiecksprisma gilt: Die Grundfläche hat $G=24{\text{cm}}^2$. Die Seitenlängen des rechtwinkligen Dreiecks sind $6\text{cm}$, $8\text{cm}$ und $10\text{cm}$. Also ist der Umfang der Grundfläche:

$U_G=6+8+10=24\text{cm}$

Die Mantelfläche beträgt:

$M=U_G\cdot H=24\cdot 12=288{\text{cm}}^2$

Die Oberfläche beträgt:

$O=2\cdot G+M=2\cdot 24+288=336{\text{cm}}^2$

Die Oberfläche des Prismas beträgt also $336{\text{cm}}^2$.

Rechenstrategie

Schritt für Schritt vorgehen

1. Grundfläche erkennen: Entscheide zuerst, welche Fläche als Grundfläche dient.
2. Flächeninhalt der Grundfläche berechnen: Nutze die passende Formel für Dreieck, Rechteck, Parallelogramm, Trapez oder Vieleck.
3. Umfang der Grundfläche berechnen: Addiere alle Randlängen der Grundfläche.
4. Körperhöhe bestimmen: Nimm den senkrechten Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche.
5. Volumen berechnen: Verwende $V=G\cdot H$.
6. Mantelfläche berechnen: Bei geraden Prismen verwende $M=U_G\cdot H$.
7. Oberfläche berechnen: Verwende $O=2\cdot G+M$.

Beispiel: Trapezprisma

Ein gerades Trapezprisma hat als Grundfläche ein Trapez mit den parallelen Seiten $a=10\text{cm}$ und $c=6\text{cm}$. Die Trapezhöhe beträgt $h_g=4\text{cm}$. Die beiden Schenkel sind jeweils $5\text{cm}$ lang. Die Körperhöhe des Prismas beträgt $H=9\text{cm}$.

Zuerst berechnest Du die Grundfläche:

$G=\frac{a+c}{2}\cdot h_g=\frac{10+6}{2}\cdot 4=32{\text{cm}}^2$

Dann berechnest Du das Volumen:

$V=G\cdot H=32\cdot 9=288{\text{cm}}^3$

Für die Oberfläche brauchst Du den Umfang der Grundfläche:

$U_G=10+6+5+5=26\text{cm}$

Die Mantelfläche ist:

$M=U_G\cdot H=26\cdot 9=234{\text{cm}}^2$

Die Oberfläche ist:

$O=2\cdot 32+234=298{\text{cm}}^2$

Typische Fehler und wie Du sie vermeidest

Verwechslung von Höhen

Bei vielen Aufgaben gibt es mehr als eine Höhe. Die Körperhöhe $H$ ist der Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche. Die Höhe in einer dreieckigen oder trapezförmigen Grundfläche gehört dagegen zur Berechnung von $G$. Wenn Du diese Höhen verwechselst, werden Volumen und Oberfläche falsch.

Einheitenfehler

Eine Fläche wird in Quadrateinheiten angegeben, zum Beispiel ${\text{cm}}^2$. Ein Volumen wird in Kubikeinheiten angegeben, zum Beispiel ${\text{cm}}^3$. Schreibe die Einheit bei jedem Zwischenschritt dazu. So erkennst Du schneller, ob Dein Ergebnis sinnvoll ist.

Falsche Grundfläche gewählt

Bei einem Quader kann jede Seite als Grundfläche betrachtet werden, wenn die dazu passende Körperhöhe gewählt wird. Bei anderen Prismen ist die Grundfläche oft durch die beiden kongruenten parallelen Vielecke erkennbar. Kontrolliere immer, ob die gewählte Höhe senkrecht zu Deiner Grundfläche steht.

Vertiefung: Regelmäßige Prismen

Ein regelmäßiges Prisma ist ein gerades Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche. Ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma hat ein gleichseitiges Dreieck als Grundfläche. Ein regelmäßiges sechseckiges Prisma hat ein regelmäßiges Sechseck als Grundfläche. Auch hier gelten für gerade Prismen die Grundformeln $V=G\cdot H$, $M=U_G\cdot H$ und $O=2G+M$. Der Unterschied liegt vor allem darin, wie Du $G$ und $U_G$ der Grundfläche bestimmst.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt ein Prisma am besten? (Ein Körper mit zwei kongruenten parallelen Flächen und einer Mantelfläche) (!Ein Körper, der immer nur aus Dreiecken besteht) (!Ein Körper ohne parallele Flächen) (!Ein Körper mit genau einer Grundfläche und keiner Deckfläche)

Welche Formel berechnet das Volumen eines Prismas? (V gleich Grundfläche mal Körperhöhe) (!V gleich Umfang mal Umfang) (!V gleich Oberfläche mal Körperhöhe) (!V gleich zwei mal Grundfläche plus Mantelfläche)

Was bedeutet G in der Formel V gleich G mal H? (Flächeninhalt der Grundfläche) (!Umfang der Grundfläche) (!Körperhöhe des Prismas) (!Mantelfläche des Prismas)

Welche Einheit passt zu einer Oberfläche? (Quadratzentimeter) (!Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Kilogramm)

Welche Einheit passt zu einem Volumen? (Kubikmeter) (!Meter) (!Quadratmeter) (!Grad)

Wie berechnet man die Oberfläche eines Prismas allgemein? (Zwei mal Grundfläche plus Mantelfläche) (!Grundfläche mal Körperhöhe) (!Umfang plus Körperhöhe) (!Mantelfläche minus Deckfläche)

Wie berechnet man die Mantelfläche eines geraden Prismas? (Umfang der Grundfläche mal Körperhöhe) (!Grundfläche geteilt durch Körperhöhe) (!Oberfläche mal Umfang) (!Zwei mal Volumen)

Was zeigt ein Körpernetz? (Die aufgeklappte Oberfläche eines Körpers) (!Nur das Volumen eines Körpers) (!Nur die Körperhöhe eines Körpers) (!Die Masse eines Körpers)

Was ist bei einem geraden Prisma meistens die Form der Mantelflächen? (Rechtecke) (!Kreise) (!Kugelflächen) (!Punkte)

Warum ist die Körperhöhe beim Prisma wichtig? (Sie wird zur Berechnung des Volumens und der Mantelfläche genutzt) (!Sie ersetzt immer den Umfang der Grundfläche) (!Sie ist immer gleich der längsten Kante) (!Sie wird nur bei Kreisen gebraucht)

Memory

Prisma	zwei kongruente parallele Grundflächen
Grundfläche	Fläche für die Volumenberechnung
Mantelfläche	Summe der Seitenflächen
Oberfläche	alle Begrenzungsflächen zusammen
Volumen	Rauminhalt des Körpers
Körperhöhe	senkrechter Abstand zwischen Grundfläche und Deckfläche
Körpernetz	aufgeklappte Oberfläche
Umfang der Grundfläche	Summe der Randlängen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Volumenformel	$V=G\cdot H$
Oberflächenformel	$O=2G+M$
Mantelflächenformel	$M=U_G\cdot H$
Grundflächeninhalt	Flächeninhalt der unteren oder oberen kongruenten Fläche
Körpernetz	aufgeklappte Darstellung aller Außenflächen
Kubikeinheit	passende Einheit für den Rauminhalt

Kreuzworträtsel

Prisma	Welcher Körper hat zwei kongruente parallele Vielecke als Grund- und Deckfläche?
Mantel	Wie heißt die Gesamtheit der Seitenflächen ohne Grund- und Deckfläche?
Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Oberflaeche	Wie heißt die Summe aller Begrenzungsflächen eines Körpers?
Rechteck	Welche Form hat eine Seitenfläche bei einem geraden Prisma meist?
Umfang	Welche Größe der Grundfläche brauchst Du für die Mantelfläche eines geraden Prismas?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Prisma besitzt zwei zueinander parallele und Flächen. Der Flächeninhalt einer Grundfläche wird in den Formeln häufig mit bezeichnet. Die Körperhöhe ist der senkrechte Abstand zwischen Grundfläche und . Das Volumen eines Prismas berechnest Du mit Grundfläche mal . Bei einem geraden Prisma berechnest Du die Mantelfläche mit Umfang der Grundfläche mal . Die Oberfläche setzt sich aus zweimal Grundfläche und der zusammen. Flächeninhalte werden in angegeben. Rauminhalte werden in angegeben.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Prisma erkennen: Suche in Deinem Alltag drei Gegenstände, die näherungsweise wie ein Prisma aussehen. Fotografiere oder skizziere sie und markiere Grundfläche, Deckfläche und Mantelfläche.
2. Körpernetz zeichnen: Zeichne das Netz eines geraden Dreiecksprismas. Beschrifte alle Flächen und erkläre, welche Flächen gleich groß sind.
3. Einheiten ordnen: Erstelle eine kleine Übersicht mit Längeneinheiten, Flächeneinheiten und Volumeneinheiten. Gib jeweils ein Beispiel aus dem Thema Prismen an.
4. Begriffe erklären: Formuliere eigene kurze Erklärungen zu Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche, Volumen und Körperhöhe.

Standard

1. Dreiecksprisma berechnen: Entwickle eine eigene Aufgabe zu einem Dreiecksprisma und löse sie vollständig mit Rechenweg, Formeln und Einheiten.
2. Trapezprisma modellieren: Baue aus Papier ein Trapezprisma, miss die nötigen Längen und berechne Oberfläche und Volumen Deines Modells.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Schülerlösung zu einem Prisma, in der mindestens zwei typische Fehler vorkommen. Korrigiere die Lösung nachvollziehbar.
4. Körpernetz prüfen: Zeichne zwei verschiedene Netze desselben Prismas und erkläre, warum beide Netze zum gleichen Körper gehören.

Schwer

1. Zusammengesetzter Körper: Entwirf einen zusammengesetzten Körper aus zwei Prismen. Berechne Volumen und Oberfläche und erkläre, welche Kontaktfläche nicht zur Oberfläche gehört.
2. Optimierung: Plane eine prismatische Verpackung für einen Gegenstand. Vergleiche zwei mögliche Formen und bewerte, welche Form bei ähnlichem Volumen weniger Material benötigt.
3. Schiefes Prisma untersuchen: Erkläre mit einer Skizze, warum bei einem schiefen Prisma das Volumen weiterhin mit Grundfläche mal senkrechter Höhe berechnet werden kann.
4. Mathematik präsentieren: Erstelle ein kurzes Lernvideo oder eine Präsentation, in der Du die Formeln für Volumen und Oberfläche eines Prismas an einem selbst gewählten Beispiel erklärst.

Lernkontrolle

1. Formeln begründen: Erkläre ohne Auswendiglernen, warum das Volumen eines Prismas mit $V=G\cdot H$ berechnet wird. Nutze dazu ein selbst gewähltes Beispiel.
2. Netz und Oberfläche: Ein Körpernetz enthält zwei gleiche Fünfecke und fünf Rechtecke. Begründe, welcher Körper entstehen kann und wie Du seine Oberfläche berechnen würdest.
3. Fehler finden: Eine Person berechnet bei einem Dreiecksprisma die Oberfläche nur mit $G\cdot H$. Erkläre den Denkfehler und gib einen korrekten Rechenplan an.
4. Einheiten übertragen: Eine Aufgabe enthält Längen in Zentimetern und Metern. Beschreibe, wie Du vorgehst, damit Volumen und Oberfläche korrekt angegeben werden.
5. Sachproblem lösen: Eine prismatische Verpackung soll mit Papier beklebt und mit Sand gefüllt werden. Entscheide, welche Rechnung zur Papiermenge und welche zum Sandvolumen gehört.
6. Transfer: Vergleiche ein Prisma mit einem Zylinder. Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede bei Grundfläche, Mantelfläche, Oberfläche und Volumen.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis erstellst Du ein kleines Portfolio zum Thema Prismen. Es soll eine beschriftete Zeichnung oder ein Foto eines Prismas, ein eigenes Körpernetz, eine vollständig gelöste Volumenaufgabe, eine vollständig gelöste Oberflächenaufgabe und eine kurze Reflexion enthalten. In der Reflexion erklärst Du, welche Rolle Grundfläche, Umfang der Grundfläche und Körperhöhe in den Formeln spielen. Achte auf korrekte Einheiten und auf nachvollziehbare Rechenwege.

Links

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