M9 G - Strecken mit dem Strahlensatz berechnen – MSA-Brücke

M9 G - Strecken mit dem Strahlensatz berechnen – MSA-Brücke

Mini-Beschreibung: In diesem aiMOOC trainierst Du auf G-Niveau einfache Strahlensatzfiguren und bestimmst fehlende Längen. Die MSA-Brücke ist klar gekennzeichnet und führt Dich mit einfachen Verhältnisgleichungen an typische MSA-Anforderungen heran.

Strahlensatzfigur mit zwei Strahlen und parallelen Geraden

Einleitung

Zwei Strahlen starten im selben Punkt. Zwei parallele Geraden schneiden die Strahlen. Dadurch entstehen passende Strecken, deren Längen im gleichen Verhältnis stehen. Genau das nutzt Du beim Strahlensatz.

Dein Grundmuster:

$AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$

$\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}=\frac{ZB}{Z{B}^{\prime }}$

und

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}=\frac{ZB}{Z{B}^{\prime }}$

Farbcodierung zum Denken: kleine Figur gehört immer zu kleiner Figur; große Figur gehört immer zu großer Figur. Mische die Zuordnung nicht.

Beweisskizze zum ersten Strahlensatz

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Medienauftrag: Stoppe das Video nach einer Beispielrechnung. Zeige mit dem Finger auf die beiden Streckenpaare, die im Verhältnis stehen. Prüfe danach selbst, ob die eingezeichneten Geraden wirklich parallel sind.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

1. Parallelität in einer einfachen Strahlensatzfigur erkennen.
2. passende Strecken einander zuordnen.
3. eine Verhältnisgleichung mit $x$ aufstellen.
4. eine fehlende Länge schrittweise berechnen und mit Einheit angeben.
5. mit einer Überschlagsrechnung prüfen, ob Dein Ergebnis zur Zeichnung passt.
6. in einer gekennzeichneten MSA-Brücke eine etwas weniger direkte Aufgabe lösen und Deinen Rechenweg begründen.

Bildungsplan-Bezug Baden-Württemberg

Der Kurs orientiert sich an der Leitidee Raum und Form für die Sekundarstufe I: geometrische Sachverhalte skizzieren, Streckenlängen erschließen, Lösungswege beschreiben und Strahlensätze beziehungsweise ähnliche Dreiecke anwenden. Der Schwerpunkt hier bleibt bewusst auf Klasse 9, G-Niveau; die MSA-Brücken sind Zusatzabschnitte.

Vorwissen-Check

Check 1 – Parallel oder nicht?

Wenn zwei Geraden überall den gleichen Abstand haben und sich nicht schneiden, heißen sie parallel.

Selbstkontrolle

Ohne parallele Schnittgeraden darfst Du die hier verwendeten Strahlensatzverhältnisse nicht einfach einsetzen.

Check 2 – Bruch als Verhältnis

$\frac{4}{10}=\mathrm{0,4}$

Das bedeutet: Die kleinere Strecke ist $\mathrm{0,4}$-mal so lang wie die größere.

Mini-Aufgabe

Berechne $\frac{6}{15}$. Ergebnis: $\mathrm{0,4}$.

Check 3 – Nach $x$ umformen

$\frac{4}{10}=\frac{6}{x}$

Kreuzweise multiplizieren:

$4x=60$

$x=15$

Die Strahlensatzfigur lesen

Ähnliche Dreiecke als Grundlage des Strahlensatzes

Schritt 1: Suche den gemeinsamen Startpunkt $Z$.

Schritt 2: Prüfe die Parallelität: $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Schritt 3: Ordne klein zu klein und groß zu groß.

Schritt 4: Setze erst danach Zahlen ein.

Dynamische Geometrie: Ziehen und beobachten

Arbeitsauftrag: Bewege im Applet einen Schnittpunkt. Beobachte, wie sich die Längen ändern. Prüfe dabei immer wieder:

$\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}\approx \frac{ZB}{Z{B}^{\prime }}$

Die einzelnen Zahlen ändern sich, das Verhältnis bleibt bei parallelen Schnittgeraden gleich.

Datenschutz-Hinweis: Öffne externe Applets und Videos nur nach Zustimmung. Gib dort keine Namen, Kontaktdaten oder andere personenbezogene Daten ein.

Merksatz

Voraussetzung: Zwei Strahlen beziehungsweise Geraden schneiden sich in $Z$ und werden von zwei parallelen Geraden geschnitten.

Erster Strahlensatz:

$\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}=\frac{ZB}{Z{B}^{\prime }}$

Zweiter Strahlensatz:

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}=\frac{ZB}{Z{B}^{\prime }}$

Wichtig: Die Reihenfolge muss auf beiden Seiten gleich sein: klein zu groß oder groß zu klein.

Interaktives Beispiel 1 – Strecke auf einem Strahl

Gegeben:

$ZA=4\text{cm}$

$Z{A}^{\prime }=10\text{cm}$

$ZB=6\text{cm}$

Gesucht: $Z{B}^{\prime }=x$

Schritt 1 – Verhältnis auswählen

$\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}=\frac{ZB}{Z{B}^{\prime }}$

Schritt 2 – Zahlen einsetzen

$\frac{4}{10}=\frac{6}{x}$

Schritt 3 – Kreuzweise multiplizieren

$4x=60$

Schritt 4 – Ergebnis

$x=15\text{cm}$

Plausibilitätscheck: Von $4$ auf $10$ wird die Strecke größer. Also muss auch $6$ auf eine größere Zahl wachsen. $15$ passt.

Interaktives Beispiel 2 – Strecke zwischen den Strahlen

Gegeben:

$ZA=5\text{cm}$

$Z{A}^{\prime }=8\text{cm}$

$AB=3\text{cm}$

Gesucht: $A^{\prime }{B}^{\prime }=x$

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}$

$\frac{3}{x}=\frac{5}{8}$

$5x=24$

$x=\mathrm{4,8}\text{cm}$

Feedback: Die große Querstrecke muss länger als $3\text{cm}$ sein. $\mathrm{4,8}\text{cm}$ ist deshalb plausibel.

Ähnliche Dreiecke mit gleichen Winkelbeziehungen

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A – Direktes Verhältnis

Gegeben:

$ZA=3\text{cm}$, $Z{A}^{\prime }=9\text{cm}$, $ZB=5\text{cm}$

Berechne $Z{B}^{\prime }$.

Hilfestufe 1

Nutze $\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}=\frac{ZB}{Z{B}^{\prime }}$.

Hilfestufe 2

Setze ein: $\frac{3}{9}=\frac{5}{x}$.

Feedback und Lösung

$3x=45$, also $x=15\text{cm}$. Der Vergrößerungsfaktor ist $3$; auch $5\cdot 3=15$.

Übung B – Erst die ganze Strecke bilden

Gegeben:

$ZA=6\text{cm}$, $A{A}^{\prime }=3\text{cm}$, $ZB=8\text{cm}$

Berechne $Z{B}^{\prime }$.

Hilfestufe 1

Achtung: $Z{A}^{\prime }$ ist nicht $3\text{cm}$.

Hilfestufe 2

$Z{A}^{\prime }=ZA+A{A}^{\prime }=6+3=9\text{cm}$.

Feedback und Lösung

$\frac{6}{9}=\frac{8}{x}$. Daraus folgt $6x=72$ und $x=12\text{cm}$.

Übung C – Zweiter Strahlensatz

Gegeben:

$ZA=4\text{cm}$, $Z{A}^{\prime }=10\text{cm}$, $AB=\mathrm{2,8}\text{cm}$

Berechne $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Hilfestufe 1

Verbinde Querstrecke mit Strahlenstrecke: $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{ZA}{Z{A}^{\prime }}$.

Hilfestufe 2

$\frac{\mathrm{2,8}}{x}=\frac{4}{10}$.

Feedback und Lösung

$4x=28$, also $x=7\text{cm}$.

MSA-Brücke – ausdrücklich gekennzeichnet

MSA-Brücke: Diese Aufgaben gehen einen Schritt über die reine G-Grundroutine hinaus. Du bleibst aber bei einfachen Strahlensatzfiguren.

Aufgabe: In einer Figur gilt $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$. Gegeben sind $ZA=\mathrm{7,5}\text{cm}$, $Z{A}^{\prime }=12\text{cm}$ und $A^{\prime }{B}^{\prime }=\mathrm{9,6}\text{cm}$. Berechne $AB$.

Tipp

Nutze $\frac{AB}{\mathrm{9,6}}=\frac{\mathrm{7,5}}{12}$.

Lösung

$AB=\mathrm{9,6}\cdot \frac{\mathrm{7,5}}{12}=6\text{cm}$.

Begründung: Die Querstrecken gehören zu den entsprechenden Entfernungen vom Scheitel $Z$. Deshalb darfst Du den zweiten Strahlensatz verwenden.

Dynamische MSA-Brücke

Forscherauftrag: Verändere die Figur. Suche eine Einstellung, bei der die große Figur ungefähr doppelt so groß wie die kleine ist. Prüfe dann mindestens zwei passende Streckenpaare mit dem Taschenrechner.

Digitale Prüfung: Ein Applet kann beim Erkunden helfen. Ein angezeigter Dezimalwert ist aber noch keine Begründung. Notiere deshalb immer die verwendete Verhältnisgleichung.

Typische Fehler

1. Parallelen nicht geprüft: Ohne parallele Schnittgeraden ist der Strahlensatz nicht automatisch anwendbar.
2. Strecken falsch gepaart: $ZA$ muss zu $Z{A}^{\prime }$ passen und $ZB$ zu $Z{B}^{\prime }$.
3. Klein und groß gemischt: Wenn links klein durch groß steht, muss rechts ebenfalls klein durch groß stehen.
4. Teilstrecke mit Gesamtstrecke verwechselt: Ist $A{A}^{\prime }$ gegeben, gilt häufig $Z{A}^{\prime }=ZA+A{A}^{\prime }$.
5. Einheit vergessen: Eine berechnete Länge braucht zum Beispiel $\text{cm}$ oder $\text{m}$.
6. Taschenrechner ungeprüft übernommen: Prüfe Größenordnung, Skizze und Verhältnis.

Selbstkontrolle

Vier-Punkte-Check vor dem Abgeben:

1. Habe ich die Parallelität erkannt oder aus der Aufgabe übernommen?
2. Habe ich passende Strecken korrekt gepaart?
3. Steht meine Verhältnisgleichung in derselben Reihenfolge?
4. Passt das Ergebnis zur Zeichnung und hat es eine Einheit?

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Videoauftrag: Vergleiche den dort gezeigten Aufbau mit Deinem Vier-Punkte-Check. Notiere nur die Rechenschritte, die Du selbst begründen kannst.

Transfer

Schattenidee: Ein $\mathrm{1,5}\text{m}$ hoher Stab wirft einen $2\text{m}$ langen Schatten. Gleichzeitig wirft ein Baum einen $8\text{m}$ langen Schatten. Bei gleicher Sonnenrichtung entstehen ähnliche Dreiecke.

$\frac{\mathrm{1,5}}{2}=\frac{x}{8}$

$2x=12$

$x=6\text{m}$

Der Baum ist in diesem vereinfachten Modell $6\text{m}$ hoch.

Kritische Prüfung: Das Modell setzt gleiche Sonnenrichtung, eine ebene Fläche und passende Messpunkte voraus. Messfehler verändern das Ergebnis.

Kompetenzcheck

Bewerte Dich nach jeder Aussage mit sicher, fast sicher oder noch üben.

1. Ich erkenne eine V-Figur mit zwei Parallelen.
2. Ich kann $ZA$ zu $Z{A}^{\prime }$ und $ZB$ zu $Z{B}^{\prime }$ zuordnen.
3. Ich kann aus drei Längen eine vierte Länge berechnen.
4. Ich kann erklären, warum meine Verhältnisgleichung zur Figur passt.
5. Ich kann ein Ergebnis durch Überschlag und Größenvergleich prüfen.
6. MSA-Brücke: Ich kann eine Aufgabe lösen, bei der ich die passende Verhältnisgleichung selbst auswählen muss.

Reflexion

1. Welcher Schritt hilft Dir am meisten: Skizze lesen, Verhältnis aufstellen, umformen oder prüfen?
2. Woran erkennst Du sofort, dass der Strahlensatz nicht angewendet werden darf?
3. Welche typische Fehlerquelle möchtest Du bei der nächsten Aufgabe bewusst vermeiden?
4. Erkläre in zwei Sätzen, warum ein Taschenrechnerergebnis allein noch kein mathematischer Beweis ist.
5. Wenn Du KI zur Kontrolle nutzt: Welche zwei Dinge musst Du an der KI-Ausgabe selbst nachprüfen?

Hinweis: KI-Ausgaben können Rechen- oder Zuordnungsfehler enthalten. Sie ersetzen keine mathematische Begründung und keinen Beweis.

Folgekurs

Als nächster Schritt passt ein Kurs zu ähnlichen Dreiecken, zentrischer Streckung oder zu anspruchsvolleren Strahlensatz-Aufgaben. Für die HSA-Vorbereitung solltest Du zuerst die drei Übungen dieses Kurses ohne Hilfe sicher lösen. Die MSA-Brücke nutzt Du anschließend als Zusatz.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Bedingung ist für die hier verwendete Strahlensatzfigur entscheidend? (Die beiden Schnittgeraden sind parallel) (!Die beiden Schnittgeraden sind senkrecht) (!Alle Strecken sind gleich lang) (!Der Scheitel liegt auf einer Parallelen)

Welches Verhältnis passt beim ersten Strahlensatz? (ZA durch ZA Strich gleich ZB durch ZB Strich) (!ZA durch ZB gleich ZA Strich durch ZB) (!AB durch ZA gleich ZA Strich durch ZB Strich) (!ZA plus ZA Strich gleich ZB plus ZB Strich)

Was musst Du tun, wenn links klein durch groß steht? (Rechts ebenfalls klein durch groß schreiben) (!Rechts groß durch klein schreiben) (!Alle Längen addieren) (!Nur die Einheiten vergleichen)

Gegeben sind ZA gleich 4 cm, ZA Strich gleich 8 cm und ZB gleich 3 cm. Wie groß ist ZB Strich? (6 cm) (!1,5 cm) (!7 cm) (!12 cm)

Welche Rechnung bildet ZA Strich, wenn ZA 6 cm und AA Strich 3 cm lang sind? (6 cm plus 3 cm) (!6 cm minus 3 cm) (!6 cm mal 3 cm) (!6 cm geteilt durch 3 cm)

Welcher Satz verbindet AB durch A Strich B Strich mit ZA durch ZA Strich? (Der zweite Strahlensatz) (!Der Satz des Pythagoras) (!Die binomische Formel) (!Der Höhensatz)

Warum ist ein Ergebnis von 2 cm verdächtig, wenn die entsprechende Ausgangsstrecke 5 cm lang ist und die Figur vergrößert wurde? (Die gesuchte Strecke sollte größer als 5 cm sein) (!Die gesuchte Strecke muss immer 2 cm sein) (!Bei Vergrößerung werden alle Strecken kleiner) (!Einheiten spielen keine Rolle)

Was gehört zu einer vollständigen Längenangabe? (Zahlenwert und Einheit) (!Nur die Einheit) (!Nur der Zahlenwert) (!Nur die Skizze)

Was ist eine sinnvolle digitale Kontrolle? (Verhältnisgleichung und Größenordnung selbst prüfen) (!Jeden Appletwert ungeprüft übernehmen) (!Nur das Endergebnis abschreiben) (!Die Parallelität ignorieren)

Was kennzeichnet in diesem Kurs die MSA-Brücke? (Eine etwas weniger direkte Zusatzaufgabe mit Begründung) (!Ein neues Thema ohne Strahlensatz) (!Eine Aufgabe ohne Rechenweg) (!Eine reine Auswendiglernaufgabe)

Memory

Scheitel	gemeinsamer Startpunkt der Strahlen
Parallelen	schneiden sich nicht
Verhältnis	Quotient zweier passender Längen
Strahlensatz	berechnet fehlende Strecken über Proportionen
Plausibilitätscheck	prüft Größenordnung und Skizze
MSA-Brücke	gekennzeichnete Zusatzvertiefung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Parallelität	notwendige Bedingung an den Schnittgeraden
Scheitel	gemeinsamer Schnittpunkt der Strahlen
Streckenpaar	zwei einander entsprechende Längen
Verhältnisgleichung	mathematische Darstellung der Proportion
Plausibilitätsprüfung	Kontrolle von Größenordnung und Zeichnung

Kreuzworträtsel

Parallelen	Wie heißen Geraden, die sich in der Ebene nicht schneiden?
Verhältnis	Wie heißt ein Quotient aus zwei vergleichbaren Größen?
Scheitel	Wie heißt der gemeinsame Startpunkt der Strahlen?
Strecke	Was wird beim Strahlensatz als Länge berechnet?
Ähnlichkeit	Welcher geometrische Begriff erklärt gleiche Form bei unterschiedlicher Größe?
Kehrwert	Wie heißt der umgedrehte Bruch eines Verhältnisses?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Strahlensatz schneiden zwei Geraden zwei Strahlen. Der gemeinsame Startpunkt heißt . Entsprechende Strecken stehen im gleichen . Vor dem Einsetzen prüfst Du die richtige . Bei klein durch groß muss auch die zweite Seite klein durch enthalten. Eine berechnete Länge braucht eine passende . Ein Ergebnis sollte zur Skizze und zur passen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Strahlensatz-Skizze: Zeichne eine einfache V-Figur mit zwei Parallelen und markiere $Z$, $A$, $A^{\prime }$, $B$ und $B^{\prime }$.
2. Farbcodierung: Färbe in Deiner Skizze zusammengehörende Streckenpaare gleich und schreibe eine passende Verhältnisgleichung daneben.
3. Fehleranalyse: Erfinde eine falsche Verhältnisgleichung und erkläre, woran man den Fehler erkennt.
4. Selbstkontrolle: Erstelle eine Vier-Punkte-Checkkarte für Strahlensatzaufgaben.

Standard

1. Erklärbild: Gestalte ein digitales oder handgezeichnetes Bild, das den Rechenweg $\frac{4}{10}=\frac{6}{x}$ in vier sichtbaren Schritten erklärt.
2. Messaufgabe: Baue mit Lineal und zwei parallelen Papierstreifen eine Strahlensatzfigur, miss vier Strecken und prüfe die Verhältnisse.
3. Partnererklärung: Erkläre einer Mitschülerin oder einem Mitschüler den Unterschied zwischen einer Teilstrecke wie $A{A}^{\prime }$ und einer Gesamtstrecke wie $Z{A}^{\prime }$.
4. Anwendungsaufgabe: Entwickle eine einfache Schattenaufgabe mit realistischen Längen und löse sie vollständig.

Schwer

1. MSA-Brücke: Erstelle eine Aufgabe, in der die gesuchte Länge auf einer Parallelen liegt, und gib zwei gestufte Hilfen an.
2. Dynamische Geometrie: Verändere in einem GeoGebra-Applet die Figur und dokumentiere drei verschiedene Einstellungen mit jeweils einem überprüften Verhältnis.
3. Modellkritik: Untersuche, welche Messfehler bei einer Schattenmessung auftreten können und wie sie das Ergebnis beeinflussen.
4. KI-Prüfung: Lass Dir von einer KI einen Strahlensatz-Rechenweg vorschlagen, prüfe jeden Schritt selbst und dokumentiere mindestens eine mögliche Fehlerquelle, ohne personenbezogene Daten einzugeben.

Lernkontrolle

1. Begründung der Anwendbarkeit: Du erhältst drei Skizzen. Entscheide jeweils, ob der Strahlensatz anwendbar ist, und begründe Deine Entscheidung über die Parallelität.
2. Zuordnen statt Raten: Markiere in einer unbekannten Strahlensatzfigur zwei passende Streckenpaare und erkläre Deine Wahl.
3. Rechenweg vergleichen: Zwei Personen stellen unterschiedliche Verhältnisgleichungen auf. Prüfe, ob beide durch Kehrwertbildung zum gleichen Ergebnis führen können.
4. Fehler übertragen: Erkläre, warum die Verwechslung von $A{A}^{\prime }$ und $Z{A}^{\prime }$ zu einem systematischen Fehler führt.
5. Transfer Schatten: Entwickle aus einer realen oder erfundenen Schattenmessung ein mathematisches Modell, rechne und bewerte die Zuverlässigkeit des Ergebnisses.
6. Digitale Kontrolle: Vergleiche ein Applet-Ergebnis mit Deinem eigenen Rechenweg und begründe, welchem Ergebnis Du vertraust.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis ist wichtig:

1. Du erkennst die notwendige Parallelität.
2. Du ordnest entsprechende Strecken korrekt zu.
3. Du stellst eine passende Verhältnisgleichung auf.
4. Du formst nachvollziehbar nach der gesuchten Länge um.
5. Du gibst das Ergebnis mit Einheit an.
6. Du prüfst die Größenordnung.
7. Du kannst Deinen Rechenweg in Worten begründen.
8. Du kennzeichnest eine MSA-Brückenaufgabe als Vertiefung und trennst sie von der G-Grundroutine.
9. Du prüfst digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse selbstständig.

OERs zum Thema

Freie Lernressource: Serlo-Kurs zum Strahlensatz

Dynamische Geometrie: GeoGebra-Material zum Intercept Theorem

Wikimedia Commons: Freie Medien zum Strahlensatz

Quellen und Mediennachweise

1. Bildungsplan Baden-Württemberg – Leitidee Raum und Form
2. Wikipedia – Strahlensatz
3. Wikimedia Commons – Strahlensatz.svg
4. Wikimedia Commons – 01 Strahlensatz-1.svg
5. Wikimedia Commons – Intercept theorem – Triangles.svg
6. Wikimedia Commons – Similar triangles.png
7. YouTube – Mathe by Daniel Jung: Strahlensatz
8. YouTube – MatheMind: 1. Strahlensatz

Verknüpfte Lernbereiche

Strahlensatz Proportionalität Ähnliche Dreiecke Zentrische Streckung Parallelität Bruchgleichung Geometrie Mathematisches Modellieren