M9 E - Zentrische Streckungen untersuchen

M9 E - Zentrische Streckungen untersuchen

Mini-Beschreibung: Vergrößere und verkleinere Figuren durch zentrische Streckung und untersuche Streckzentrum, Streckfaktor, Urbild und Abbild. Du arbeitest auf E-Niveau in Klasse 9 in Baden-Württemberg und nutzt dynamische Geometrie. Negative Streckfaktoren dienen als Erweiterung und als Übergang in Klasse 10.

Datei:Zentrische Streckung mit allgemeinem k.gif

Einleitung

Bei einer zentrischen Streckung wird jeder Punkt $P$ einer Figur von einem festen Streckzentrum $Z$ aus auf einen Bildpunkt $P^{\prime }$ abgebildet. Entscheidend ist der Streckfaktor $k$.

$\overrightarrow{Z{P}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{ZP}$

Aus dieser Regel kannst Du Konstruktion, Koordinatenformel, Parallelität sowie Längen- und Flächenfaktoren herleiten.

Datei:Central dilation.svg

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Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du

1. zentrische Streckungen mit Lineal, Zirkel und dynamischer Geometrie konstruieren,
2. Streckzentrum, Streckfaktor, Urbild und Abbild sicher unterscheiden,
3. positive und negative Streckfaktoren geometrisch und rechnerisch deuten,
4. die Koordinatenformel $P^{\prime }=Z+k(P-Z)$ anwenden und herleiten,
5. Parallelität, den Längenfaktor $|k|$ und den Flächenfaktor $k^2$ begründen,
6. digitale Konstruktionen durch Rechnung, Messung und Begründung kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe kurz, ob Du bereit bist.

1. Koordinatensystem: Kannst Du zu $A(2|-1)$ und $Z(0|0)$ den Vektor $\overrightarrow{ZA}$ angeben?
2. Parallelität: Woran erkennst Du rechnerisch parallele Strecken?
3. Verhältnis: Was bedeutet $\frac{a^{\prime }}{a}=\mathrm{1,5}$ für zwei entsprechende Längen?
4. Punktspiegelung: Wo liegt das Bild eines Punktes bei einer Punktspiegelung an $Z$?

Selbstkontrolle anzeigen

$\overrightarrow{ZA}=(2|-1)$. Bei parallelen Strecken sind passende Richtungsvektoren skalare Vielfache. Das Verhältnis $\mathrm{1,5}$ bedeutet: Die Bildlänge ist eineinhalbmal so groß. Bei einer Punktspiegelung liegt der Bildpunkt auf der Gegenseite von $Z$ im gleichen Abstand.

Grundidee visuell

Für jeden Urpunkt $P$ gilt:

1. $Z$, $P$ und $P^{\prime }$ liegen auf einer Geraden.
2. Der Abstand wird mit $|k|$ multipliziert: $|Z{P}^{\prime }|=|k|\cdot |ZP|$.
3. Bei $k>0$ liegen $P$ und $P^{\prime }$ auf derselben Seite von $Z$.
4. Bei $k<0$ liegen sie auf entgegengesetzten Seiten.

Denkfrage: Warum reicht der Betrag $|k|$ für die Länge, aber nicht für die Lage des Bildpunktes?

Dynamische Geometrie: Streckfaktor bewegen

Ziehe im GeoGebra-Arbeitsblatt den Regler für $k$. Der Regler funktioniert dabei wie eine dynamische Zahlengerade für den Streckfaktor. Beobachte besonders $k>1$, $0<k<1$, $-1<k<0$ und $k<-1$.

Forschungsauftrag: Formuliere für jeden Bereich eine Regel zu Größe und Lage des Abbilds. Teste auch $k=1$ und $k=-1$.

Feedback

Bei $|k|>1$ wird vergrößert, bei $0<|k|<1$ verkleinert. $k=1$ liefert die Identität. $k=-1$ entspricht einer Punktspiegelung an $Z$. Der Fall $k=0$ wird bei der zentrischen Streckung als Ähnlichkeitsabbildung ausgeschlossen, weil alle Punkte auf $Z$ zusammenfallen würden.

Konstruktion Schritt für Schritt

Gegeben sind Streckzentrum $Z$, Urpunkt $A$ und Faktor $k$.

1. Zeichne die Gerade durch $Z$ und $A$.
2. Bestimme die Bildlänge mit $|Z{A}^{\prime }|=|k|\cdot |ZA|$.
3. Wähle die richtige Seite von $Z$: gleich bei $k>0$, gegenüber bei $k<0$.
4. Wiederhole das für alle Eckpunkte und verbinde die Bildpunkte.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Beispiel 1: Vergrößern

Gegeben: $Z=(1|-1)$, $A=(3|2)$, $k=2$.

$A^{\prime }=Z+k(A-Z)$

$A^{\prime }=(1|-1)+2((3|2)-(1|-1))$

$A^{\prime }=(1|-1)+2(2|3)=(5|5)$

Prüfung: $\overrightarrow{Z{A}^{\prime }}=(4|6)=2(2|3)=2\overrightarrow{ZA}$.

Beispiel 2: Negativer Streckfaktor

Nun bleibt $Z=(1|-1)$ und $A=(3|2)$, aber $k=-\frac{1}{2}$.

$A^{\prime }=Z-\frac{1}{2}(A-Z)$

$A^{\prime }=(1|-1)-\frac{1}{2}(2|3)=(0|-\mathrm{2,5})$

Das Abbild liegt auf der anderen Seite von $Z$ und ist näher am Zentrum.

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Erweiterung: Eine Streckung mit $k<0$ kannst Du als Streckung mit $|k|$ und anschließende Punktspiegelung an $Z$ auffassen.

Formal herleiten und beweisen

Für einen Punkt $X$ gilt

$X^{\prime }=Z+k(X-Z)$.

Für zwei Punkte $A$ und $B$ folgt:

$B^{\prime }-A^{\prime }=(Z+k(B-Z))-(Z+k(A-Z))$

$B^{\prime }-A^{\prime }=k(B-A)$.

Damit ist der Bildvektor ein skalares Vielfaches des Urvektors. Also sind entsprechende Seiten parallel. Außerdem gilt

$|A^{\prime }{B}^{\prime }|=|k|\cdot |AB|$.

Für Flächen folgt deshalb

$F^{\prime }=k^2\cdot F$,

weil zwei unabhängige Längenrichtungen jeweils mit $|k|$ skaliert werden.

Beweisfrage: Warum ist der Flächenfaktor auch bei negativem $k$ positiv?

Begründung anzeigen

Weil $k^2>0$ für jedes $k\ne 0$. Das Vorzeichen steuert die Lage der Bildpunkte, nicht das Vorzeichen einer Fläche.

Streckzentrum und Streckfaktor rekonstruieren

Sind Urbild und Abbild gegeben und ist $k\ne 1$, dann schneiden sich die Geraden durch entsprechende Punkte, zum Beispiel $A{A}^{\prime }$ und $B{B}^{\prime }$, im Streckzentrum $Z$.

Danach gilt:

$|k|=\frac{|Z{A}^{\prime }|}{|ZA|}$.

Das Vorzeichen bestimmst Du aus der Lage: gleiche Seite von $Z$ bedeutet $k>0$, gegenüberliegende Seite bedeutet $k<0$.

Sonderfall: Bei $k=1$ sind Urbild und Abbild identisch. Aus dieser Identität lässt sich kein eindeutiges Streckzentrum rekonstruieren.

Interaktive Untersuchung mit GeoGebra

Untersuche dort mindestens drei Konfigurationen:

1. eine Vergrößerung mit $k>1$,
2. eine Verkleinerung mit $0<k<1$,
3. eine Erweiterung mit $k<0$.

Notiere jeweils eine Messung, eine Rechnung und eine Begründung. Ein Bildschirmbild allein ist kein mathematischer Nachweis.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: Bildpunkt berechnen

Gegeben: $Z=(2|1)$, $P=(5|3)$, $k=-2$. Berechne $P^{\prime }$.

Hilfe 1

Nutze $P^{\prime }=Z+k(P-Z)$.

Hilfe 2

$P-Z=(3|2)$.

Feedback und Lösung

$P^{\prime }=(2|1)-2(3|2)=(-4|-3)$. Prüfe: $\overrightarrow{Z{P}^{\prime }}=(-6|-4)=-2(3|2)$.

Übung B: Faktor bestimmen

Auf demselben Strahl von $Z$ liegen $A$ und $A^{\prime }$. Es gilt $|ZA|=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $|Z{A}^{\prime }|=10\mathrm{c}\mathrm{m}$. Bestimme $k$.

Hilfe

Bestimme zuerst $|k|=\frac{|Z{A}^{\prime }|}{|ZA|}$. Nutze dann die Information „derselbe Strahl“ für das Vorzeichen.

Feedback

$|k|=\frac{10}{4}=\mathrm{2,5}$. Da beide Punkte auf demselben Strahl liegen, ist $k=\mathrm{2,5}$.

Übung C: Gegenbeispiel prüfen

Behauptung: „Wenn zwei Figuren ähnlich sind, gibt es immer genau eine zentrische Streckung, die die eine Figur auf die andere abbildet.“

Finde ein Gegenbeispiel oder begründe die Aussage.

Hilfe

Denke an zwei gleich große, aber gegeneinander gedrehte Dreiecke.

Feedback

Die Behauptung ist falsch. Ähnliche Figuren können zusätzlich gedreht oder gespiegelt zueinander liegen. Eine einzelne zentrische Streckung verlangt, dass entsprechende Punkte mit einem gemeinsamen Zentrum kollinear sind und entsprechende Seiten parallel sind.

Typische Fehler

1. Vorzeichen vergessen: $k=-2$ bedeutet nicht „negative Länge“, sondern doppelte Entfernung auf der Gegenseite von $Z$.
2. Nur messen: Eine Messung kann Rundungsfehler enthalten. Ergänze eine Rechnung oder Begründung.
3. Urbild und Abbild vertauschen: Dann erhältst Du häufig den Kehrwert $\frac{1}{k}$.
4. Flächen linear skalieren: Längen skalieren mit $|k|$, Flächen mit $k^2$.
5. Beliebige ähnliche Figuren gleichsetzen: Ähnlichkeit allein garantiert noch keine einzelne zentrische Streckung zwischen den gegebenen Lagen.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Nutze dynamische Geometrie als Experimentierwerkzeug, nicht als Ersatz für Argumente.

1. Prüfe Messergebnisse mit $P^{\prime }=Z+k(P-Z)$ oder einem Verhältnis.
2. Verändere Punkte und $k$, um zu testen, ob eine Vermutung allgemein bleibt.
3. Speichere oder teile keine personenbezogenen Daten.
4. Prüfe KI-Ausgaben durch Rechnung, Konstruktion oder Beweis. Eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Die eingebundenen Abbildungen stammen aus Wikimedia Commons und werden über ihre Commons-Dateinamen eingebunden. Lizenz- und Urheberangaben bleiben damit auf den jeweiligen Dateiseiten nachvollziehbar. Videos werden eingebettet und nicht kopiert.

Selbstkontrolle

Beantworte ohne Hilfe:

1. Kannst Du aus $Z$, $P$ und $k$ den Bildpunkt konstruieren und berechnen?
2. Kannst Du aus Urbild und Abbild das Zentrum rekonstruieren?
3. Kannst Du erklären, warum $k=-1$ einer Punktspiegelung entspricht?
4. Kannst Du beweisen, dass entsprechende Seiten parallel sind?
5. Kannst Du den Unterschied zwischen Längenfaktor $|k|$ und Flächenfaktor $k^2$ begründen?

Auswertung: 5-mal „ja“ bedeutet: bereit für den Kompetenzcheck. Bei 3 bis 4-mal „ja“ wiederhole die passende Übung. Bei höchstens 2-mal „ja“ arbeite nochmals mit dem GeoGebra-Regler und den Hilfestufen.

Transfer

Eine Karte wird maßstabsgetreu vergrößert. Eine Strecke wächst von $6\mathrm{c}\mathrm{m}$ auf $15\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$k=\frac{15}{6}=\mathrm{2,5}$

Eine Fläche von $8{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ wächst daher auf

$F^{\prime }=\mathrm{2,}{5}^2\cdot 8=50{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$.

Transferfrage: Warum wäre $20{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ ein typischer, aber falscher Wert?

Kompetenzcheck

1. Darstellen: Konstruiere ein Dreieck und sein Abbild für $k=-\mathrm{1,5}$.
2. Rechnen: Berechne die Bildpunkte mit $P^{\prime }=Z+k(P-Z)$.
3. Begründen: Leite $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=k\overrightarrow{AB}$ her.
4. Verallgemeinern: Erkläre, warum jede Seitenlänge mit $|k|$ skaliert.
5. Beweisen: Begründe daraus den Flächenfaktor $k^2$.
6. Gegenbeispiel: Zeige, dass „ähnlich“ nicht automatisch „durch genau eine zentrische Streckung verbunden“ bedeutet.
7. Modellieren: Entwickle eine reale Vergrößerungs- oder Verkleinerungssituation und dokumentiere Annahmen, Rechnung und Plausibilitätsprüfung.

Reflexion

Beantworte in drei bis fünf Sätzen:

1. Welche Darstellung war für Dich am stärksten: Konstruktion, Koordinatenformel oder dynamische Geometrie?
2. Wo hat ein negatives $k$ Deine Vorstellung verändert?
3. Welche Aussage kannst Du inzwischen beweisen statt nur am Bild beobachten?
4. Welche digitale Messung würdest Du nicht ungeprüft übernehmen?

Folgekurs

Als Übergang zu Klasse 10 eignen sich Ähnlichkeit, Strahlensätze, Vektoren, lineare Abbildungen und die Untersuchung von Flächen- und Volumenfaktoren.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt die Grundregel einer zentrischen Streckung? (Bildpunkt und Urpunkt liegen mit dem Zentrum auf einer Geraden) (!Bildpunkt und Urpunkt liegen immer auf parallelen Geraden) (!Jeder Bildpunkt hat denselben Abstand zum Zentrum) (!Jede Bildstrecke steht senkrecht auf der Urstrecke)

Was gilt bei einem positiven Streckfaktor? (Urpunkt und Bildpunkt liegen auf derselben Seite des Streckzentrums) (!Urpunkt und Bildpunkt liegen immer auf verschiedenen Geraden) (!Jede Bildstrecke steht senkrecht auf der Urstrecke) (!Das Abbild ist immer kleiner als das Urbild)

Was bedeutet $k=-1$? (Eine Punktspiegelung am Streckzentrum) (!Eine Achsenspiegelung) (!Eine Drehung um 90 Grad) (!Eine Verschiebung)

Wie werden Längen bei einer zentrischen Streckung skaliert? (Mit dem Betrag des Streckfaktors) (!Mit dem Quadrat des Streckfaktors) (!Mit dem doppelten Streckfaktor) (!Sie bleiben immer unverändert)

Wie werden Flächeninhalte bei einer zentrischen Streckung skaliert? (Mit dem Quadrat des Streckfaktors) (!Mit dem Betrag des Streckfaktors) (!Mit dem doppelten Streckfaktor) (!Mit dem um eins erhöhten Streckfaktor)

Was folgt daraus, dass ein Bildvektor ein skalares Vielfaches des Urvektors ist? (Entsprechende Seiten sind parallel) (!Entsprechende Seiten sind immer gleich lang) (!Alle Winkel sind rechte Winkel) (!Das Streckzentrum liegt auf jeder Seite)

Wie bestimmst Du den Betrag des Streckfaktors aus passenden Punkten? (Bildabstand zum Zentrum geteilt durch Urabstand zum Zentrum) (!Bildabstand und Urabstand werden addiert) (!Bildabstand und Urabstand werden multipliziert) (!Urabstand wird immer verdoppelt)

Was gilt bei einem Betrag des Streckfaktors zwischen null und eins? (Das Abbild ist kleiner als das Urbild) (!Das Abbild ist immer größer) (!Urbild und Abbild sind immer kongruent) (!Alle Punkte bleiben fest)

Warum reicht eine GeoGebra-Messung allein nicht als Beweis? (Eine Messung prüft konkrete Fälle und kann Rundungsfehler enthalten) (!GeoGebra kann keine Strecken anzeigen) (!Digitale Geometrie kennt keine Punkte) (!Ein Beweis darf keine Zahlen enthalten)

Welche Bedingung ist für eine einzelne zentrische Streckung zwischen zwei gegebenen Figuren notwendig? (Entsprechende Punkte liegen mit einem gemeinsamen Zentrum auf Geraden) (!Die Figuren müssen verschiedene Farben haben) (!Alle Seiten müssen gleich lang sein) (!Das Streckzentrum muss außerhalb beider Figuren liegen)

Memory

Streckzentrum	fester Bezugspunkt
Streckfaktor	gerichtetes Größenverhältnis
Urbild	Ausgangsfigur
Abbild	Ergebnisfigur
positiver Faktor	gleiche Zentrumseite
negativer Faktor	gegenüberliegende Zentrumseite
Flächenfaktor	Quadrat des Streckfaktors

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Vergrößerung	Betrag größer als eins
Verkleinerung	Betrag zwischen null und eins
Punktspiegelung	Streckfaktor minus eins
Identität	Streckfaktor eins
Parallelität	Eigenschaft entsprechender Seiten

...

Kreuzworträtsel

Zentrum	Wie heißt der feste Punkt einer zentrischen Streckung kurz?
Streckfaktor	Welche Größe steuert Größe und Lage des Abbilds?
Urbild	Wie heißt die Ausgangsfigur?
Abbild	Wie heißt die entstehende Figur?
Parallel	Wie liegen entsprechende Seiten zueinander?
Aehnlichkeit	Welche Beziehung besteht zwischen Urbild und Abbild?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine zentrische Streckung besitzt ein festes .

Die Größe und Lage des Abbilds werden durch den bestimmt.

Urpunkt, Bildpunkt und Zentrum liegen auf einer .

Bei positivem Streckfaktor liegen Urpunkt und Bildpunkt auf derselben des Zentrums.

Bei negativem Streckfaktor liegen sie auf Seiten.

Längen werden mit dem des Streckfaktors skaliert.

Flächeninhalte werden mit dem des Streckfaktors skaliert.

Der Sonderfall $k=-1$ entspricht einer .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Streckzentrum: Zeichne eine Figur mit vier Eckpunkten und konstruiere ihr Abbild für $k=2$. Markiere alle Geraden durch Urpunkt, Bildpunkt und Zentrum.
2. Streckfaktor: Erstelle eine Mini-Galerie für $k=\frac{1}{2}$, $k=1$ und $k=2$ und beschreibe nur die Veränderungen.
3. GeoGebra: Baue eine dynamische Figur mit beweglichem Zentrum und Regler für $k$. Dokumentiere zwei überprüfte Beobachtungen.
4. Punktspiegelung: Vergleiche eine Streckung mit $k=-1$ mit einer Punktspiegelung und erkläre die Übereinstimmung.

Standard

1. Koordinatensystem: Wähle drei Punkte und ein Zentrum mit ganzzahligen Koordinaten. Berechne das Abbild für $k=-\frac{3}{2}$ und prüfe digital.
2. Ähnlichkeit: Untersuche Winkel und Seitenverhältnisse einer Ur- und Bildfigur. Formuliere eine begründete Aussage.
3. Flächeninhalt: Erzeuge mindestens vier verschiedene Werte von $k$, miss die Flächen und überprüfe experimentell den Faktor $k^2$.
4. Strahlensatz: Zeige an einer selbst gewählten Streckfigur, wo ein Strahlensatz-Verhältnis sichtbar wird.

Schwer

1. Vektor: Leite aus $X^{\prime }=Z+k(X-Z)$ die Formel $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=k\overrightarrow{AB}$ vollständig her.
2. Gegenbeispiel: Konstruiere zwei ähnliche Figuren, die in ihrer gegebenen Lage nicht durch genau eine zentrische Streckung ineinander überführt werden. Begründe.
3. Beweis: Beweise den Flächenfaktor $k^2$ für ein Dreieck und erläutere, wie sich der Beweis auf Vielecke übertragen lässt.
4. Modellierung: Entwickle ein komplexes Modell für eine maßstäbliche Vergrößerung oder Verkleinerung. Trenne Annahmen, mathematisches Modell, Rechnung, digitale Prüfung und Grenzen des Modells.

Lernkontrolle

1. Begründung: Zwei entsprechende Seiten einer Bildfigur sind parallel zu den Ursprungsseiten. Erkläre mithilfe der Vektorformel, warum das keine zufällige Beobachtung ist.
2. Transfer: Eine Figur wird erst mit $k_1=-2$ und danach mit demselben Zentrum mit $k_2=\frac{1}{4}$ gestreckt. Ermittle und begründe den Gesamtfaktor.
3. Fehleranalyse: Jemand behauptet, bei $k=-3$ müsse der Flächeninhalt negativ werden. Widerlege die Aussage fachlich.
4. Rekonstruktion: Beschreibe, wie Du aus zwei Paaren entsprechender Punkte Streckzentrum und Streckfaktor rekonstruierst und welche Sonderfälle Probleme verursachen.
5. Gegenbeispiel: Prüfe die Aussage „Jede Ähnlichkeitsabbildung ist eine zentrische Streckung“ und entwickle ein Gegenbeispiel.
6. Modellkritik: Eine App zeigt nach einer Streckung einen Faktor $\mathrm{1,8}$, gemessene Längen liefern jedoch $\mathrm{1,79}$ und $\mathrm{1,81}$. Erkläre, wie Du die Abweichung bewertest und die mathematische Aussage überprüfst.

Lernnachweis

Für einen überzeugenden Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. eine zentrische Streckung sauber konstruieren und beschriften kannst,
2. mit $P^{\prime }=Z+k(P-Z)$ sicher rechnest,
3. positive und negative Streckfaktoren korrekt deutest,
4. Zentrum und Faktor aus passenden Ur- und Bildpunkten rekonstruierst,
5. Parallelität und Längenfaktor aus der Vektorformel begründest,
6. den Flächenfaktor $k^2$ herleitest,
7. einen Fehler oder ein Gegenbeispiel fachlich analysierst,
8. digitale Ergebnisse durch eine unabhängige mathematische Prüfung absicherst.

Verknüpfte Lernbereiche

Zentrische Streckung Streckzentrum Streckfaktor Ähnlichkeit Strahlensatz Koordinatensystem Vektor Flächeninhalt Punktspiegelung