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M8 M - Die zweite und dritte binomische Formel nutzen

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Einleitung

M8 M - Die zweite und dritte binomische Formel nutzen

Mathematik – Klasse 8 – Baden-Württemberg – M-Niveau

Erkenne Muster, nutze Flächenmodelle und forme Terme nachvollziehbar um.

Zweite binomische Formel:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Dritte binomische Formel:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Lernziele

Muster: Du unterscheidest die zweite und dritte Formel.
Darstellen: Du erklärst die Formeln mit Flächen.
Berechnen: Du löst Klammern auf und faktorisierst Quadratdifferenzen.
Begründen: Du kontrollierst allgemeine Umformungen durch Ausmultiplizieren.
Übertragen: Du wendest die Formeln auf Flächen und Kopfrechnen an.

Vorwissen-Check

Berechne zunächst selbst:

$5^{2}$
$3 \cdot 2 x$
$x (x - 4)$

Lösungen und Feedback

$25$
$6 x$
$x^{2} - 4 x$

Bei Schwierigkeiten wiederhole Potenzen und das Distributivgesetz.

Die zweite binomische Formel

Flächenmodell und Animation

Beobachte: Was passiert beim Verkleinern einer Quadratseite?

Schritt 1: Großes Quadrat: $A = a^{2}$ .

Schritt 2: Ziehe zwei Streifen mit je $a b$ ab.

a^{2} - a b - a b

Schritt 3: Die Ecke mit $b^{2}$ wurde doppelt entfernt. Addiere sie wieder.

a^{2} - a b - a b + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Ergebnis:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Das Modell beschreibt Seitenlängen mit $a \geq b \geq 0$ ; die algebraische Identität gilt für alle reellen Zahlen.

Algebraisch beweisen

(a - b) (a - b)

= a^{2} - a b - a b + b^{2}

= a^{2} - 2 a b + b^{2}

Merke: Quadrat des ersten Terms, minus doppeltes Produkt, plus Quadrat des zweiten Terms.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

(x - 4)^{2}

Erster Quadratterm: $x^{2}$

Mittelglied: $- 2 \cdot x \cdot 4 = - 8 x$

Letzter Quadratterm: $4^{2} = 16$

Ergebnis:

(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16

Zahlenprobe mit $x = 7$ :

(7 - 4)^{2} = 9

7^{2} - 8 \cdot 7 + 16 = 9

Eine Zahlenprobe ist keine allgemeine Begründung.

Video: Zweite binomische Formel

Arbeitsauftrag: Halte das Video bei einem Beispiel an und berechne das Mittelglied selbst.

Die dritte binomische Formel

Flächenmodell: Quadratdifferenz

Entferne aus einem großen Quadrat der Fläche $a^{2}$ ein kleines Quadrat der Fläche $b^{2}$ .

A = a^{2} - b^{2}

Schritt 1: Zerlege die Restfläche in zwei Rechtecke:

a (a - b)

b (a - b)

Schritt 2: Setze sie an der gleich langen Seite zusammen:

A = a (a - b) + b (a - b)

Schritt 3: Klammere aus:

A = (a + b) (a - b)

Ergebnis:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Bildauftrag: Zeige im Bild, welche beiden Teilflächen zu einem Rechteck werden.

Bei einer geometrischen Zeichnung gelten $a \geq b \geq 0$ . Die algebraische Gleichung gilt allgemein.

Algebraischer Beweis

(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2}

- a b + a b = 0

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Merke: Summe mal passende Differenz ergibt die Differenz zweier Quadrate.

Schritt-für-Schritt-Beispiel

(3 x + 2) (3 x - 2)

Muster: Gleiche Terme, entgegengesetzte Vorzeichen.

Quadrate: $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ und $2^{2} = 4$ .

Ergebnis:

(3 x + 2) (3 x - 2) = 9 x^{2} - 4

Probe mit $x = 2$ :

(6 + 2) (6 - 2) = 32

9 \cdot 2^{2} - 4 = 32

Bildfrage: Welcher Flächeninhalt wird entfernt?

Bildfrage: Wie wird die Restfläche zu einem Rechteck?

Video: Dritte binomische Formel

Arbeitsauftrag: Erkläre, weshalb sich die Mischterme gegenseitig aufheben.

Mustererkennung

Differenzquadrat:

(u - v)^{2} = u^{2} - 2 u v + v^{2}

Produkt aus Summe und Differenz:

(u + v) (u - v) = u^{2} - v^{2}

Achtung:

(x - 3)^{2} \neq x^{2} - 9

Zum Vergleich mit $x = 5$ :

(5 - 3)^{2} = 4

5^{2} - 3^{2} = 16

Mustertraining

Bestimme die passende Regel und berechne:

$(x - 6)^{2}$
$(y + 8) (y - 8)$
$(2 a - 5)^{2}$
$(4 b + 3) (4 b - 3)$
$(p - 2) (p - 3)$

Lösungen

$x^{2} - 12 x + 36$ – zweite Formel
$y^{2} - 64$ – dritte Formel
$4 a^{2} - 20 a + 25$ – zweite Formel
$16 b^{2} - 9$ – dritte Formel
$p^{2} - 5 p + 6$ – keine der beiden Formeln passt unmittelbar

Feedback: Entscheide nach der Klammerstruktur, nicht nur nach einzelnen Zahlen.

Interaktive Übungen mit Hilfestufen

Aufgabe A

Berechne $(3 x - 2)^{2}$ .

Hilfe 1

Nutze die zweite Formel mit

a = 3 x

und

b = 2

.

Hilfe 2

Mittelglied:

- 2 \cdot 3 x \cdot 2

.

Lösung und Feedback

9 x^{2} - 12 x + 4

. Quadriere den Zahlenfaktor im ersten Term mit.

Aufgabe B

Berechne $(5 y + 4) (5 y - 4)$ .

Hilfe 1

Die Vorzeichen zwischen den gleichen Klammertermen sind entgegengesetzt.

Hilfe 2

Berechne

(5 y)^{2}

und ziehe

4^{2}

ab.

Lösung und Feedback

25 y^{2} - 16

. Das Mittelglied fällt weg.

Kurze Lückenübungen

Typische Fehler

Fehler 1 – Mittelglied fehlt:

(x - 4)^{2} \neq x^{2} + 16

(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16

Fehler 2 – Falsches Vorzeichen am Ende:

(a - b)^{2} \neq a^{2} - 2 a b - b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Fehler 3 – Faktor nicht quadriert:

(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9

Fehler 4 – Formel passt nicht:

(x - 2) (x - 3) = x^{2} - 5 x + 6

Video zum Ausmultiplizieren

Vergleichsauftrag: Prüfe beide Formeln mit dem Distributivgesetz.

Selbstkontrolle und Transfer

Ohne Hilfen rechnen

$(m - 7)^{2}$
$(2 p + 5) (2 p - 5)$
$(4 t - 1)^{2}$
$z^{2} - 81$ als Produkt schreiben.

Antworten und Auswertung

$m^{2} - 14 m + 49$
$4 p^{2} - 25$
$16 t^{2} - 8 t + 1$
$(z + 9) (z - 9)$

4 richtig: sicher. 2 bis 3 richtig: Vorzeichen prüfen. 0 bis 1 richtig: Flächenmodelle wiederholen.

Schnelles Kopfrechnen

103 \cdot 97 = (100 + 3) (100 - 3)

= 10 0^{2} - 3^{2} = 9991

Jetzt Du: Berechne $52 \cdot 48$ auf dieselbe Weise.

Kontrolle

5 0^{2} - 2^{2} = 2496

.

Flächenaufgabe

Ein Hof ist quadratisch mit Seitenlänge $12 m$ . Ein Quadrat mit Seitenlänge $4 m$ wird nicht gepflastert.

Rechenweg 1:

1 2^{2} - 4^{2} = 144 - 16 = 128

Rechenweg 2:

(12 + 4) (12 - 4) = 16 \cdot 8 = 128

Ergebnis: $128 m^{2}$ . Erkläre, warum beide Wege gleichwertig sind.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet die zweite binomische Formel? (a² - 2ab + b²) (!a² - b²) (!a² + 2ab + b²) (!a² - 2ab - b²)

Was ergibt das Quadrat der Differenz von x und 4? (x² - 8x + 16) (!x² - 16) (!x² + 8x + 16) (!x² - 4x + 16)

Wie lautet das Mittelglied des Quadrats von 2x minus 3? (-12x) (!-6x) (!12x) (!-12x²)

Was ergibt das Produkt von t plus 6 und t minus 6? (t² - 36) (!t² + 36) (!t² - 12t + 36) (!t² - 6)

Was ergibt das Produkt von 5y plus 1 und 5y minus 1? (25y² - 1) (!5y² - 1) (!25y² + 1) (!25y² - 10y + 1)

Welche Formel eignet sich zum Faktorisieren von x² minus 64? (Dritte binomische Formel) (!Zweite binomische Formel) (!Erste binomische Formel) (!Keine binomische Formel)

Warum wird eine kleine Quadratfläche im zweiten Flächenmodell wieder addiert? (Weil sie zweimal abgezogen wurde) (!Weil sie negativ ist) (!Weil alle Quadrate doppelt zählen) (!Weil die Streifen quadratisch sind)

Warum verschwinden die Mischterme bei der dritten Formel? (Weil sie entgegengesetzte Vorzeichen haben) (!Weil keine Terme multipliziert werden) (!Weil alle Quadrate gleich sind) (!Weil keine Klammern vorliegen)

Was gilt für das Quadrat von x minus 5? (Es enthält ein negatives Mittelglied) (!Es enthält nur zwei Terme) (!Es ist x² minus 25) (!Es endet mit minus 25)

Was gilt für das Produkt von p minus 2 und p minus 3? (Keine der beiden Formeln passt unmittelbar) (!Es ist ein Differenzquadrat) (!Es ist eine Quadratdifferenz) (!Es ist ein Summenquadrat)

Memory

Zweite binomische Formel	Quadrat einer Differenz
Dritte binomische Formel	Produkt aus Summe und Differenz
Mittelglied	Negatives doppeltes Produkt
Quadratdifferenz	Subtraktion zweier Quadrate
Flächenmodell	Geometrisches Termbild
Zahlenprobe	Einsetzen eines Werts
Ausmultiplizieren	Anwenden des Distributivgesetzes

Drag and Drop

Begriff	Bedeutung
Differenzquadrat	Zweite Formel
Gegensinnige Klammern	Dritte Formel
Doppeltes Produkt	Mittelglied
Entgegengesetzte Mischterme	Aufhebung
Quadrat ohne Eckquadrat	Flächendifferenz
Gemeinsamer Klammerfaktor	Ausklammern

Kreuzworträtsel

Quadrat	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und rechte Winkel?
Differenz	Wie heißt das Ergebnis einer Subtraktion?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Mittelglied	Wie heißt der Term zwischen den beiden Quadraten der zweiten Formel?
Klammer	Welches Zeichen fasst Terme zusammen?
Rechteck	Welche Figur entsteht aus den Restflächen beim dritten Flächenmodell?

LearningApps

Lückentext

Bei der zweiten Formel wird eine

quadriert.

Ein Quadrat hat vier gleich lange

.

Im Flächenmodell werden zwei Streifen zunächst

.

Die Überlappungsfläche wird wieder

.

Das Mittelglied besitzt ein

.

Die dritte Formel multipliziert eine Summe mit einer

.

Ihre gemischten Produkte haben entgegengesetzte

.

Danach bleiben zwei

übrig.

Eine Subtraktion zweier Quadrate heißt

.

Zur Überprüfung eignet sich das

.

Eine Zahlenprobe kann Fehler sichtbar

.

Für einen allgemeinen Beweis reicht eine einzelne Zahlenprobe

.

Offene Aufgaben

Leicht

Animation beschreiben: Beobachte die Animation und notiere, welche Fläche zweimal entfernt wird.
Sortieren: Ordne selbst erfundene Terme den beiden Formeln zu und ergänze Gegenbeispiele.
Rechnen: Berechne $(x - 2)^{2}$ , $(x - 7)^{2}$ und $(x + 3) (x - 3)$ .
Erklären: Begründe, warum das Mittelglied der zweiten Formel ein Minuszeichen trägt.

Standard

Flächenzeichnen: Zeichne ein Quadrat der Seitenlänge $6 c m$ und markiere darin das Quadrat mit Seitenlänge $4 c m$ . Erkläre damit die zweite Formel.
Vergleichen: Berechne $(2 x - 3)^{2}$ mit zwei verschiedenen Methoden.
Fehler finden: Korrigiere die falsche Aussage $(x - 5)^{2} = x^{2} - 25$ .
Platzgestaltung: Aus einem Quadrat von $10 m$ Seitenlänge wird ein Quadrat von $3 m$ ausgespart. Bestimme die Restfläche und faktorisiere den Term.

Schwer

Flächenmodell entwickeln: Zeichne und beschrifte ein Flächenmodell zu $(2 x - 1)^{2}$ .
Rechtecke: Begründe die dritte Formel durch Zusammensetzen zweier Restflächen.
Rückwärtsrechnen: Schreibe $25 x^{2} - 49$ als Klammerprodukt und kontrolliere.
KI prüfen: Widerlege $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ mit einem Zahlenbeispiel und erkläre allgemein, was fehlt.

Lernkontrolle

Flächen begründen: Erkläre das positive letzte Quadratglied der zweiten Formel mit einer Zeichnung.
Vergleichen: Unterscheide $(x - 4)^{2}$ und $(x + 4) (x - 4)$ .
Zwei Wege: Entwickle $(3 x - 5)^{2}$ auf zwei Wegen und begründe deren Übereinstimmung.
Anwenden: Berechne den Restflächeninhalt aus Quadraten mit den Seitenlängen $15 m$ und $6 m$ auf zwei Wegen.
Umkehren: Faktorisiere $49 y^{2} - 36$ und begründe Deine Methode.
KI-Aussage prüfen: Korrigiere die falsche Aussage $(2 x - 4)^{2} = 4 x^{2} - 8 x + 16$ und zeige den vollständigen Rechenweg.

Kompetenzcheck und Reflexion

Ich erkenne beide Klammermuster selbstständig.
Ich erkläre beide Formeln geometrisch und algebraisch.
Ich rechne auch mit Zahlfaktoren korrekt.
Ich löse Sachaufgaben und vergleiche Lösungswege.
Ich überprüfe digitale Ergebnisse kritisch.

Reflexion: Wo erkennst Du Muster sofort? Wo hilft Dir eine Flächenzeichnung? Welche Fehler passieren Dir noch? Warum ersetzt eine Zahlenprobe keinen allgemeinen Beweis?

Lernnachweis

Zeichnung mit beschrifteten Flächen zur zweiten Formel.
Zeichnung mit beschrifteten Flächen zur dritten Formel.
Vier gerechnete Terme samt Formelwahl.
Je ein algebraischer Beweis beider Formeln.
Eine begründete Fehlerkorrektur.
Eine Transferaufgabe mit Modell und Ergebnisprüfung.
Kurze Selbstreflexion zum eigenen Lernfortschritt.

Bewertet werden Darstellung, korrekter Rechenweg, Begründung und selbstständige Prüfung.

Mediennachweise und Lizenzen

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2. Binomische Formel.gif – Urheber: Anony; Lizenz: CC BY-SA 3.0.
Bino2-v2.svg – Urheber: MikeRun; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
01 Euklid-3. binomische Formel.svg – Urheber: Petrus3743; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
Difference of two squares geometric proof.svg – Urheber: cmglee; Lizenz: CC BY-SA 4.0.
Bino3.png – Urheber: Mikue; Lizenz: CC BY-SA 3.0.
Difference of squares visual proof.svg – Urheber: Dimitris131; Status: vom Urheber gemeinfrei freigegeben.

Videos: MathemaTrick, Susanne Scherer; nur als YouTube-Einbettung, keine frei lizenzierte Weiterbearbeitung behauptet.

Datenschutz und Medienkompetenz: Keine personenbezogenen Daten eingeben. KI-Ergebnisse kritisch prüfen; sie ersetzen keinen mathematischen Beweis.