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M4 Start - Zufall Möglichkeiten und Knobelideen - Mathematik

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M4 Start - Zufall Möglichkeiten und Knobelideen - Mathematik

Einleitung

Zufall, Möglichkeiten und Knobelideen – Mathematik für Klasse 4

Was passiert beim Würfeln? Wie viele Möglichkeiten gibt es? Und wie kannst Du prüfen, ob Deine Lösung stimmt?

Du lernst mit echten Gegenständen, Bildern und kleinen Rechnungen.

Wir rechnen im Zahlenraum bis 1.000.000. Bei unseren Beispielen nutzen wir kleine, übersichtliche Zahlen.

Du brauchst: Einen Würfel, eine Münze, Papier, Stifte und einige farbige Karten.

Deine Übungsstufen:

Start: Du entdeckst eine neue Idee.
Sicher: Du übst und prüfst Deine Ergebnisse.
Knobeln: Du löst schwierigere Aufgaben.

Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen. Sie sind keine Schulzweige.

Weitere Übungen findest Du im bestehenden Mathematik-4-Bereich von MOOCwiki: Mathe 4 auf MOOCwiki.

Zufall verstehen

Was bedeutet Zufall?

Bei einem Zufallsversuch weißt Du vorher nicht sicher, welches Ergebnis kommt.

Beispiel: Du wirfst eine Münze.

Normalerweise kann Kopf oder Zahl oben liegen.

Merke: Beide Ergebnisse sind möglich. Bei einer fairen Münze sind sie gleich wahrscheinlich.

Die Animation zeigt eine Münze, die sich dreht. Sie ist nur eine Veranschaulichung und kein echter Zufallsversuch.

Hörbeispiel: Münzen in einer Hand.

Hörst Du die Münzen? Am Geräusch allein erkennst Du nicht, welche Seite nach einem Wurf oben liegen wird.

Verständnisfrage: Kannst Du vor einem fairen Münzwurf sicher wissen, ob Kopf kommt?

Möglich, sicher oder unmöglich?

Ein normaler Spielwürfel hat sechs Seiten.

Aussage	Beurteilung
Eine Sieben würfeln	Unmöglich
Eine Zahl von eins bis sechs würfeln	Sicher
Eine Sechs würfeln	Möglich, aber nicht sicher

Wahrscheinlichkeit bedeutet: Wie groß ist die Chance, dass etwas passiert?

Bei einem fairen Würfel haben alle sechs Seiten die gleiche Chance.

Eine gerade Zahl ist eine Zwei, Vier oder Sechs. Das sind drei von sechs möglichen Ergebnissen.

Verständnisfrage: Ist eine gerade Zahl wahrscheinlicher als eine einzelne Sechs?

Video: Zufall beim Würfeln

Wahrscheinlichkeit und Zufall – ein Obermayr-Lehrfilm (Klasse 4 Grundschule Stauferland)

Achte besonders auf den Abschnitt mit dem Würfelspiel nach der Einleitung.

Denkfrage: Kannst Du ein einzelnes Würfelergebnis sicher vorhersagen?

Kleine Experimente durchführen

Wirf eine Münze zehnmal. Schreibe jedes Ergebnis auf.

Eine mögliche Liste sieht so aus:

Kopf	Zahl
6 Würfe	4 Würfe

Das ist nur ein Beispiel. Bei Deinen Würfen können andere Zahlen entstehen.

Wichtig: Zehn Würfe müssen nicht genau fünfmal Kopf und fünfmal Zahl ergeben.

Gegenprobe: Zähle beide Häufigkeiten zusammen.

6 + 4 = 10

Die Anzahl stimmt mit unseren zehn Würfen überein.

Möglichkeiten finden

Vollständig gelöstes Beispiel

Aufgabe: Du hast zwei T-Shirts und drei Mützen.

Wie viele verschiedene Outfits kannst Du zusammenstellen?

Material:

Zwei Papierkarten für die T-Shirts: rot und blau.
Drei Papierkarten für die Mützen: gelb, grün und schwarz.

Schritt 1 – Handeln

Lege zuerst das rote T-Shirt auf den Tisch. Kombiniere es nacheinander mit jeder Mütze.

Wiederhole das mit dem blauen T-Shirt.

Schritt 2 – Bildlich ordnen

Trage alle Kombinationen in eine Tabelle ein.

T-Shirt	Gelbe Mütze	Grüne Mütze	Schwarze Mütze
Rot	Rot + Gelb	Rot + Grün	Rot + Schwarz
Blau	Blau + Gelb	Blau + Grün	Blau + Schwarz

Schritt 3 – Symbolisch rechnen

Für jedes T-Shirt gibt es drei Möglichkeiten.

3 + 3 = 6

Oder kürzer:

2 × 3 = 6

Ergebnis: Es gibt sechs verschiedene Outfits.

Schritt 4 – Gegenprobe

Zähle jetzt andersherum:

Jede der drei Mützen passt zu zwei T-Shirts.

2 + 2 + 2 = 6

Wieder erhältst Du sechs Outfits.

Merke: Eine Gegenprobe hilft Dir, Fehler zu entdecken. Prüfe auch, ob Du jede Kombination genau einmal gezählt hast.

Ein Baumdiagramm hilft

Ein Baumdiagramm zeigt Möglichkeiten als verzweigte Wege.

Dieses Bild zeigt drei Münzwürfe. Im Bild steht H für Kopf und T für Zahl. Die Brüche brauchst Du hier noch nicht.

Bei zwei Würfen gibt es diese vier Reihenfolgen:

Kopf – Kopf
Kopf – Zahl
Zahl – Kopf
Zahl – Zahl

Rechnung: 2 × 2 = 4

Gegenprobe: Prüfe, ob die beiden Möglichkeiten des ersten Wurfs jeweils mit beiden Möglichkeiten des zweiten Wurfs verbunden sind.

Bei drei Würfen gibt es schon acht Reihenfolgen.

Video: Baumdiagramme zeichnen

Baumdiagramm zeichnen – Möglichkeiten finden – Klasse 3, 4 und 5

Im Video wird gezeigt, wie Du eine Kombinationsaufgabe mit einem Baumdiagramm ordnen kannst.

Tipp: Halte das Video beim Übungsbeispiel an. Zeichne zuerst selbst und vergleiche dann die Lösung.

Knobelideen

Drei farbige Kugeln

Du hast eine rote, eine grüne und eine blaue Kugel.

Du möchtest alle drei Kugeln in einer Reihe anordnen.

Die Abbildung zeigt die sechs möglichen Reihenfolgen.

So denkst Du:

Lege zuerst Rot nach vorne. Dahinter kannst Du Grün und Blau auf zwei Arten ordnen.

Wiederhole das mit Grün und Blau auf dem ersten Platz.

2 + 2 + 2 = 6

Gegenprobe: Jede Farbe steht zweimal vorne. Keine Reihenfolge kommt doppelt vor.

Üben in drei Stufen

Start – Entdecken

Wirf einen Würfel. Schreibe eine mögliche, eine sichere und eine unmögliche Aussage auf.

Sicher – Ordnen

Du hast zwei Getränke und drei Brotsorten. Finde alle verschiedenen Paare. Nutze eine Tabelle.

Knobeln – Weiterdenken

Du wirfst eine Münze dreimal. Finde alle acht Reihenfolgen. Nutze Karten mit K und Z.

Gestufte Hilfen

Hilfe 1 – Material: Lege passende Karten oder Gegenstände auf den Tisch.

Hilfe 2 – Bild: Zeichne eine Tabelle oder verzweigte Wege.

Hilfe 3 – Rechnung: Zähle die Möglichkeiten zu jeder ersten Wahl. Addiere sie.

Hilfe 4 – Gegenprobe: Beginne mit der zweiten Wahl und zähle noch einmal.

Selbstkontrolle: Vergleiche die beiden Ergebnisse. Fehlt etwas oder hast Du etwas doppelt gezählt?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Zahlen kann ein normaler Spielwürfel zeigen? (Eins bis sechs) (!Eins bis zehn) (!Nur gerade Zahlen) (!Null bis fünf)

Was ist bei einem normalen Würfel unmöglich? (Eine Sieben würfeln) (!Eine Eins würfeln) (!Eine Drei würfeln) (!Eine Sechs würfeln)

Was ist bei einem normalen Würfel sicher? (Eine Zahl von eins bis sechs würfeln) (!Eine gerade Zahl würfeln) (!Eine Sechs würfeln) (!Eine Eins würfeln)

Was ist bei einem fairen Würfel wahrscheinlicher als eine einzelne Sechs? (Eine gerade Zahl würfeln) (!Eine Eins würfeln) (!Eine Zwei würfeln) (!Eine Vier würfeln)

Welche beiden Seiten betrachten wir beim Münzwurf? (Kopf und Zahl) (!Rot und Blau) (!Eins und Zwei) (!Gerade und Ungerade)

Was stimmt bei zehn fairen Münzwürfen? (Kopf muss nicht genau fünfmal vorkommen) (!Kopf kommt immer genau fünfmal vor) (!Zahl kommt niemals vor) (!Alle Ergebnisse stehen vorher sicher fest)

Zwei T-Shirts passen zu drei Mützen. Wie viele Outfits gibt es? (Sechs) (!Fünf) (!Vier) (!Neun)

Was hilft Dir beim geordneten Finden aller Outfits? (Eine Tabelle) (!Ein einzelner Würfelwurf) (!Eine zufällige Vermutung) (!Nur das letzte Outfit)

Sind Rot Grün Blau und Blau Rot Grün unterschiedliche Reihenfolgen? (Ja denn der erste Platz ist anders) (!Nein denn alle Farben sind gleich) (!Nein denn die Reihenfolge ist unwichtig) (!Ja denn eine Kugel fehlt)

Wie kannst Du sechs gefundene Outfits gegenprüfen? (Von den Mützen aus erneut zählen) (!Ein Ergebnis nur raten) (!Eine Möglichkeit weglassen) (!Die Tabelle nicht mehr ansehen)

Quiz-Feedback: Warum stimmt die Lösung?

Lies die Erklärungen erst, nachdem Du das Quiz gelöst hast.

Frage 1: Ein normaler Würfel zeigt die Augenzahlen eins bis sechs.
Frage 2: Eine Sieben steht auf keiner seiner sechs Seiten.
Frage 3: Eine der sechs Augenzahlen erscheint auf jeden Fall.
Frage 4: Gerade Zahlen haben drei günstige Seiten. Die Sechs allein hat nur eine.
Frage 5: Kopf und Zahl sind die beiden normalen Münzseiten.
Frage 6: Zufall bedeutet nicht, dass bei zehn Würfen beide Seiten gleich oft erscheinen müssen.
Frage 7: Zu jedem der zwei T-Shirts passen drei Mützen. Das ergibt sechs Paare.
Frage 8: Eine Tabelle zeigt alle Kombinationen übersichtlich.
Frage 9: Bei einer Reihenfolge zählt der Platz jeder Farbe.
Frage 10: Wenn Du andersherum erneut zählst, kannst Du Dein Ergebnis überprüfen.

Memory

Finde die passenden Paare.

Würfeln	Zufallsversuch
Augenzahl	Würfelergebnis
Kopf	Münzseite
Tabelle	Geordnete Übersicht
Baumdiagramm	Verzweigte Wege
Gegenprobe	Zusätzliche Kontrolle

Drag and Drop

Ordne die passenden Begriffe zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zufallsversuch	Würfeln
Augenzahl	Würfelergebnis
Geordnete Übersicht	Tabelle
Verzweigung	Baumdiagramm
Überprüfung	Gegenprobe

Kreuzworträtsel

Würfel	Welcher Spielkörper besitzt sechs Seiten mit Augen?
Münze	Was kannst Du werfen, damit Kopf oder Zahl erscheint?
Tabelle	Wie heißt eine Übersicht mit Zeilen und Spalten?
Baumdiagramm	Wie heißt eine Zeichnung mit verzweigten Wegen?
Gegenprobe	Wie heißt eine zusätzliche Kontrolle Deiner Lösung?
Zufall	Wie heißt es, wenn Du das Ergebnis nicht sicher vorhersagen kannst?

LearningApps

Suche weitere Übungen zu Zufall und Möglichkeiten.

Hinweis: Dies ist eine Suche nach fremden Lernübungen. Wähle Aufgaben für Klasse 4. Die einzelnen Suchtreffer wurden nicht geprüft.

Lückentext

Bei einem Münzwurf entscheidet der

über das Ergebnis.

Ein Würfelwurf ist ein

.

Ein normaler Spielwürfel besitzt

Seiten.

Eine Sieben mit einem normalen Würfel zu würfeln ist

.

Eine Zahl zwischen eins und sechs zu würfeln ist

.

Bei einer Münze sprechen wir von Kopf und

.

Ein faires Würfelspiel gibt jeder Seite die gleiche

.

Die Ergebnisse mehrerer Würfe kannst Du in einer

sammeln.

Alle Outfitmöglichkeiten kannst Du in einer

ordnen.

Ein Diagramm mit verzweigten Wegen heißt

.

Zu zwei T-Shirts und drei Mützen gehören insgesamt

Outfits.

Eine zusätzliche Kontrolle Deiner Rechnung heißt

.

Beim Knobeln ist es wichtig, keine Möglichkeit

zu zählen.

Die drei Übungsstufen heißen Start, Sicher und

.

Offene Aufgaben

Leicht

Münzwurf durchführen: Wirf eine Münze zehnmal. Notiere Kopf und Zahl. Prüfe, ob Deine Liste zehn Ergebnisse enthält.
Würfel entdecken: Würfle zehnmal. Schreibe alle Ergebnisse auf und markiere gerade Zahlen.
Zufall erkennen: Zeichne oder beschreibe drei Situationen, bei denen der Zufall eine Rolle spielt.
Karten ordnen: Lege zwei rote und zwei blaue Papierkarten in verschiedene Reihenfolgen. Beschreibe, welche Anordnungen verschieden sind.

Standard

Outfit-Werkstatt: Stelle mit zwei T-Shirts und drei Mützen alle sechs Kombinationen zusammen. Zeichne danach eine Tabelle.
Münzforscher: Wirf eine Münze zwanzigmal. Erstelle eine Strichliste und vergleiche Kopf und Zahl.
Fehlerdetektiv: Ein Kind behauptet, aus zwei Getränken und drei Brotsorten entstehen fünf Paare. Zeige mit Material, warum das nicht stimmt.
Farbenbeutel: Lege drei rote und eine blaue Karte in einen Beutel. Ziehe zwanzigmal mit Zurücklegen. Notiere die Ergebnisse und beschreibe, welche Farbe häufiger gezogen wurde.

Schwer

Münzbaum: Zeichne ein Baumdiagramm zu drei Münzwürfen. Finde alle acht Reihenfolgen und prüfe, ob eine fehlt.
Kugelforscher: Ordne drei verschiedenfarbige Kugeln in einer Reihe an. Erkläre, warum es genau sechs Reihenfolgen gibt.
Eigenes Würfelspiel: Erfinde ein einfaches Würfelspiel für zwei Kinder. Überprüfe, ob beide Kinder die gleiche Gewinnchance haben.
Forscherbericht: Untersuche zwanzig Münzwürfe, formuliere eine Vermutung und berichte mit Tabelle und Gegenprobe über Deine Ergebnisse.

Lernkontrolle

Hier sollst Du nicht nur rechnen. Erkläre auch Deine Gedanken.

Zufall erklären: Ein Kind sagt: „Nach viermal Kopf muss jetzt Zahl kommen.“ Erkläre, warum die Behauptung bei einer fairen Münze nicht stimmt.
Fehler finden: Ein Kind rechnet bei zwei T-Shirts und drei Mützen 2 + 3 = 5 Outfits. Erkläre den Fehler und zeige den richtigen Weg.
Ergebnis prüfen: Finde alle Kombinationen aus zwei Getränken und drei Snacks. Überprüfe Deine Lösung auf eine zweite Art.
Chancen vergleichen: Ein Beutel enthält vier rote und eine blaue Kugel. Welche Farbe hat beim zufälligen Ziehen die größere Chance? Begründe und erkläre, warum trotzdem Blau erscheinen kann.
Darstellungen vergleichen: Vergleiche eine Tabelle und ein Baumdiagramm. Wann hilft Dir welche Darstellung besser?
Aufgabe erfinden: Erfinde ein kleines Zufalls- oder Kombinationsproblem. Gib Material, Lösungsweg, Ergebnis und Gegenprobe an.

Lernnachweis

Zeige an einem eigenen Beispiel, was Du gelernt hast.

Material: Du kannst einen Zufallsversuch oder eine Kombinationsaufgabe mit echten Gegenständen darstellen.
Bild: Du kannst eine Tabelle oder ein einfaches Baumdiagramm zeichnen.
Rechnung: Du kannst die gefundenen Möglichkeiten mit kleinen Zahlen richtig zählen.
Begriffe: Du kannst möglich, sicher und unmöglich mit Beispielen erklären.
Gegenprobe: Du kannst Dein Ergebnis auf einem zweiten Weg prüfen.
Erklärung: Du kannst einem anderen Kind Deinen Lösungsweg in einfachen Schritten erklären.

Mein Lernnachweis: Ich lege zwei verschiedene T-Shirt-Karten und drei Mützen-Karten bereit. Ich finde alle Outfits, zeichne eine Tabelle, rechne 2 × 3 = 6 und prüfe mit 3 × 2 = 6.

OERs zum Thema

Wikipedia: Zufallsexperiment

Der Wikipedia-Artikel enthält auch schwierigere Informationen. Für Klasse 4 reichen zunächst die Beispiele mit Münze und Würfel.

Weiterlernen auf MOOCwiki:

Mediennachweise und Quellen

Die folgenden Commons-Dateien wurden anhand ihrer Dateibeschreibungen, Urheberangaben und Lizenzen ausgewählt. Sie werden ohne inhaltliche Bearbeitung verwendet.

Wikimedia Commons: Bilder und Animationen

Coin tossing.JPG: Münzwurf, vollständiges Foto. Urheber: Филип Романски. Lizenz: CC BY-SA 3.0. Quelle: Wikimedia Commons.
Russian nickel coin spinning.gif: Drehende russische Münze, vollständige Animation von etwa zwei Sekunden. Urheber: Neolexx. Lizenz: CC BY-SA 3.0. Quelle: Wikimedia Commons.
Dice 1-6.svg: Die sechs möglichen Seiten eines normalen Spielwürfels. Urheber: Snospar. Lizenz: CC BY-SA 3.0. Quelle: Wikimedia Commons.
Three fair coin flips tree diagram.svg: Vollständiges Baumdiagramm für drei Münzwürfe. Für den Einstieg werden zuerst nur zwei Stufen betrachtet. Urheber: TealComet. Lizenz: CC0 1.0. Quelle: Wikimedia Commons.
Permutations RGB.svg: Sechs Reihenfolgen von drei verschiedenfarbigen Kugeln. Urheber: Watchduck / Tilman Piesk. Gemeinfrei nach Commons-Dateibeschreibung, da die Darstellung nicht urheberrechtlich schutzfähig ist. Quelle: Wikimedia Commons.

Lizenzbedingungen: Bei CC BY-SA sind die Namensnennung, der Lizenzhinweis und bei Bearbeitungen die Weitergabe unter geeigneter Lizenz zu beachten. Die Originaldateien sind über die angegebenen Quellen erreichbar.

Wikimedia Commons: Audio

Shaking coins in palm.ogg

Geräusch von Münzen, die in einer Hand geschüttelt werden. Verwendeter Ausschnitt: die vollständige Aufnahme von etwa 3,6 Sekunden.

Urheber: ezwa. Herkunft: PDSounds. Lizenzstatus auf Wikimedia Commons: vom Urheber als gemeinfrei freigegeben.

Quelle: Wikimedia Commons.

YouTube: Lernvideos

Video 1: Wahrscheinlichkeit und Zufall – ein Obermayr-Lehrfilm (Klasse 4 Grundschule Stauferland)

Veröffentlichender Kanal: Obermayr Europa-Schule, 2014.

Quelle: YouTube.

Passender Abschnitt: das Würfelspiel nach der Einleitung. Eine genaue Zeitmarke wurde nicht verifiziert.

Video 2: Baumdiagramm zeichnen, anlegen – Möglichkeiten finden – Klasse 3, 4, 5 Kombinatorik

Veröffentlichender Kanal: Schule einfach einfach, 2021.

Quelle: YouTube.

Passender Abschnitt: das Bearbeiten der Kombinationsaufgabe mit einem Baumdiagramm. Eine genaue Zeitmarke wurde nicht verifiziert.

Lizenzhinweis zu beiden Videos: Die individuell eingestellte YouTube-Lizenz ließ sich nicht zuverlässig nachweisen. Eine freie CC-BY-Lizenz wird deshalb nicht behauptet. Die Videos werden nur über den YouTube-Player eingebunden und nicht kopiert oder als eigene Dateien angeboten. YouTube nutzt standardmäßig die Standard-YouTube-Lizenz und bietet alternativ CC BY an: Lizenzinformationen von YouTube.

Die tatsächliche Abspielbarkeit einer Einbettung hängt von den Einstellungen des jeweiligen Videos ab.

Fachliche Grundlagen

Wikipedia – Zufallsexperiment: Erklärung von Versuchen, möglichen Ergebnissen und mehrstufigen Versuchen.
Wikipedia – Kombinatorik: Grundlagen des systematischen Zählens von Möglichkeiten.
MOOCwiki – Kompetenzraster Mathematik 4: Weiterführender Mathematikbereich für Klasse 4.