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M4 Start - Umfang den Rand berechnen - Mathematik

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M4 Start - Umfang den Rand berechnen - Mathematik

Kurzbeschreibung: Umfang bedeutet: den Rand einer Figur berechnen. Du arbeitest mit kleinen, anschaulichen Zahlen. Die Zahlen können im Mathematikunterricht insgesamt bis 1.000.000 gehen.

Ein Maßband hilft beim Messen von Längen. Für diese Aufgabe ist besonders der Zentimeter-Anfang des Maßbands passend.

Einleitung

Stell dir einen Bilderrahmen vor. Du möchtest ein Band einmal ganz außen herumlegen. Wie lang muss das Band sein?

Diese Länge heißt Umfang.

Umfang = Länge des ganzen Randes.

Das Zeichen für den Umfang ist U.

Du kannst den Umfang auf drei Arten verstehen:

Handelnd: Lege eine Schnur um einen Gegenstand.
Bildlich: Fahre den Rand einer gezeichneten Figur mit dem Finger nach.
Symbolisch: Addiere die Längen aller Seiten.

Das brauchst Du

Du kannst mit einem Lineal, einem Maßband, einer Schnur, Stäbchen oder einem Geobrett arbeiten.

Ein Lineal zeigt Zentimeter und Millimeter. Zum Umfang gehören immer Längeneinheiten.

Fachwort: Eine Längeneinheit sagt, womit eine Länge gemessen wird, zum Beispiel mm, cm, m oder km.

Schritt 1: Den Rand erkennen

Sieh Dir ein Rechteck an.

Der Rand besteht aus vier Seiten.

Fahre mit dem Finger einmal außen herum. Starte an einer Ecke. Wenn Du wieder an der Start-Ecke bist, hast Du den ganzen Rand verfolgt.

Verständnisfrage: Gehört die Fläche in der Mitte zum Umfang?

Antwort: Nein. Beim Umfang zählt nur der Rand.

Schritt 2: Seiten messen

Miss jede Seite.

Bei einem Rechteck sind immer zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Beispiel:

lange Seite: 6 cm

kurze Seite: 3 cm

Dann sind die vier Seiten:

6 cm, 3 cm, 6 cm, 3 cm.

Schritt 3: Alle Seiten addieren

Nun addierst Du alle Seiten:

U = 6 cm + 3 cm + 6 cm + 3 cm

U = 18 cm

Der Umfang beträgt 18 cm.

Vollständig gelöstes Beispiel

Aufgabe: Ein rechteckiges Namensschild ist 8 cm lang und 4 cm breit. Wie lang ist sein Rand?

1. Rand zeigen: Lege eine Schnur einmal um das Namensschild.

2. Seiten notieren: 8 cm, 4 cm, 8 cm, 4 cm.

3. Addieren:

U = 8 cm + 4 cm + 8 cm + 4 cm

U = 24 cm

Antwort: Der Rand des Namensschilds ist 24 cm lang.

Abkürzung:

U = 2 · 8 cm + 2 · 4 cm

U = 16 cm + 8 cm

U = 24 cm

Gegenprobe

Eine Gegenprobe hilft Dir zu prüfen, ob Dein Ergebnis passen kann.

Beim Rechteck kannst Du die Rechnung auf zwei Arten machen:

Erste Rechnung:

8 + 4 + 8 + 4 = 24

Gegenprobe:

2 · 8 + 2 · 4 = 16 + 8 = 24

Beide Rechnungen ergeben 24 cm. Das Ergebnis passt.

Mit Material ausprobieren

Auf einem Geobrett kannst Du Figuren mit Gummibändern spannen und ihren Rand untersuchen.

Spanne ein Rechteck mit 5 Kästchen Länge und 2 Kästchen Breite.

Gehe den Rand ab:

5 + 2 + 5 + 2 = 14

Der Umfang beträgt 14 Längeneinheiten.

Tipp: Wenn ein Kästchenrand 1 cm lang ist, beträgt der Umfang 14 cm.

Umfang oder Fläche?

Der Umfang ist der Rand.

Der Flächeninhalt beschreibt, wie groß die Fläche innen ist.

Merksatz:

Umfang = außen herum.

Fläche = innen drin.

Noch ein Beispiel

Ein rechteckiger Garten ist 12 m lang und 7 m breit.

U = 12 m + 7 m + 12 m + 7 m

U = 38 m

Gegenprobe:

U = 2 · 12 m + 2 · 7 m

U = 24 m + 14 m

U = 38 m

Zahlenraum bis 1.000.000

Auch bei größeren Zahlen bleibt der Weg gleich.

Ein großes rechteckiges Feld könnte zum Beispiel 300 m lang und 120 m breit sein.

U = 300 m + 120 m + 300 m + 120 m

U = 840 m

Wichtig ist nicht die Größe der Zahl. Wichtig ist: Alle Randseiten müssen mitgerechnet werden.

Gestufte Hilfen

Hilfe 1: Fahre den Rand mit dem Finger ab.

Hilfe 2: Schreibe jede Seitenlänge an die passende Seite.

Hilfe 3: Schreibe alle vier Seiten als Plusaufgabe.

Hilfe 4: Bei einem Rechteck kannst Du rechnen: 2 · Länge + 2 · Breite.

Hilfe 5: Prüfe Dein Ergebnis mit einer zweiten Rechnung.

Kleine Verständnisfragen

Umfang erkennen: Was wird beim Umfang gemessen: Rand oder Innenfläche?
Seitenlängen: Welche Seiten eines Rechtecks sind gleich lang?
Maßeinheiten: Welche Einheit passt zu einem Schulheft: cm oder km?
Gegenprobe: Wie kannst Du 7 + 3 + 7 + 3 noch anders rechnen?

Übungswelt Mathe 4

Übe weiter in der bestehenden Übungswelt Mathe 4 auf MOOCwiki.

Start, Sicher und Knobeln sind dort Übungsstufen. Sie sind keine Schulzweige.

Start: Du übst den Grundweg Schritt für Schritt.

Sicher: Du rechnest selbstständiger und prüfst Deine Ergebnisse.

Knobeln: Du löst schwierigere Aufgaben und findest eigene Rechenwege.

Lernvideo

Passender Ausschnitt: Nutze den Teil, in dem der Umfang eines Rechtecks erklärt und mit Seitenlängen berechnet wird. Achte besonders auf die Längeneinheiten.

Vertiefungsvideo

Passender Ausschnitt: Ab etwa 0:31 wird ein Umfang berechnet. Das Beispiel ist zum Knobeln gedacht und eignet sich eher als Zusatz nach der Grundaufgabe.

Mediennachweis

: Foto vom Anfang eines Maßbands bis 7 cm. Urheber: Douglas Perkins. Quelle: Wikimedia Commons. Lizenz: CC0 1.0. Verwendeter Ausschnitt: sichtbarer Zentimeter-Anfang als Messhilfe.
: Druckbares 25-cm-Lineal. Urheber: Erik del Toro Streb. Quelle: Wikimedia Commons. Verwendeter Ausschnitt: Zentimeter- und Millimeterskala. Lizenzangaben siehe Commons-Dateiseite.
: Schlichte Rechteckdarstellung. Urheber: Krishnavedala. Quelle: Wikimedia Commons. Lizenz: Public Domain. Verwendeter Ausschnitt: vollständige Rechteckdarstellung.
: Geobrett mit gespannten Quadraten. Urheber: Udjat/Wdjat. Quelle: Wikimedia Commons. Lizenzangaben siehe Commons-Dateiseite. Verwendeter Ausschnitt: vollständiges Foto als Beispiel für handelndes Lernen.
YouTube „Umfang Rechteck (mit Hinweis)“ von Gut erklärt: https://www.youtube.com/watch?v=6bYEjL39jmk . Verwendeter Inhalt: Erklärung der Umfangsberechnung am Rechteck und Hinweis zu Maßeinheiten.
YouTube „Kannst du den Umfang berechnen? – Geometrie“ von MathemaTrick: https://www.youtube.com/watch?v=y4BSOJwaTj0 . Verwendeter Inhalt: ab etwa 0:31 Umfang eines Rechtecks als vertiefende Knobelaufgabe.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der Umfang einer Figur? (Die Länge des ganzen Randes) (!Die Zahl der Ecken) (!Die Größe der Innenfläche) (!Die längste Seite)

Feedback: Richtig ist der ganze Rand. Stell Dir eine Schnur vor, die einmal außen herumliegt.

Welche Rechnung passt zu einem Rechteck mit 5 cm und 2 cm Seitenlänge? (5 + 2 + 5 + 2) (!5 + 2) (!5 · 2) (!5 + 5)

Feedback: Ein Rechteck hat vier Randseiten. Deshalb werden beide Längen zweimal gebraucht.

Wie groß ist der Umfang eines Rechtecks mit 6 cm Länge und 3 cm Breite? (18 cm) (!9 cm) (!12 cm) (!36 cm)

Feedback: 6 + 3 + 6 + 3 = 18.

Welche Einheit passt zum Umfang eines Heftes? (cm) (!Quadratzentimeter) (!Liter) (!Kilogramm)

Feedback: Umfang ist eine Länge. Deshalb nutzt Du eine Längeneinheit.

Welche Aussage über ein Rechteck stimmt? (Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang) (!Alle vier Seiten müssen verschieden lang sein) (!Ein Rechteck hat drei Seiten) (!Der Umfang liegt nur innen)

Feedback: Beim Rechteck sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Was ist eine gute Gegenprobe für 8 + 4 + 8 + 4? (2 · 8 + 2 · 4) (!8 · 4) (!8 + 4) (!8 - 4)

Feedback: Die beiden langen und die beiden kurzen Seiten werden jeweils zusammengefasst.

Ein Quadrat hat vier Seiten von je 4 cm. Wie groß ist sein Umfang? (16 cm) (!8 cm) (!12 cm) (!20 cm)

Feedback: 4 + 4 + 4 + 4 = 16.

Was gehört beim Umfang nicht dazu? (Die Fläche in der Mitte) (!Die obere Randseite) (!Die linke Randseite) (!Die untere Randseite)

Feedback: Umfang bedeutet nur außen herum.

Ein Rechteck ist 10 m lang und 5 m breit. Wie groß ist sein Umfang? (30 m) (!15 m) (!50 m) (!25 m)

Feedback: 10 + 5 + 10 + 5 = 30.

Warum ist eine Gegenprobe nützlich? (Sie hilft beim Prüfen des Ergebnisses) (!Sie ersetzt das Messen immer) (!Sie macht aus cm automatisch m) (!Sie berechnet nur Flächen)

Feedback: Mit einer zweiten passenden Rechnung kannst Du einen Fehler entdecken.

Memory

Umfang	ganzer Rand
U	Zeichen für Umfang
Lineal	Längen messen
Gegenprobe	Ergebnis prüfen
Rechteck	vier Seiten mit gleich langen Gegenseiten
Zentimeter	Längeneinheit

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rand	Umfang
Lineal	Messen
Plusrechnung	Seiten addieren
Zweite Rechnung	Gegenprobe
Zentimeter	Längeneinheit

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie heißt die Länge des ganzen Randes?
Lineal	Womit kannst Du kurze Seitenlängen messen?
Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel und gleich lange Gegenseiten?
Zentimeter	Welche Längeneinheit wird oft mit cm abgekürzt?
Gegenprobe	Wie heißt eine zweite Rechnung zum Prüfen?
Seiten	Was addierst Du beim Umfang einer Vielecksfigur?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Schnur-Umfang: Lege eine Schnur um Dein Mäppchen. Markiere die Stelle, an der die Schnur einmal herum ist. Miss danach die Schnurlänge.
Heft messen: Miss Länge und Breite eines Heftes in Zentimetern. Berechne den Umfang.
Rand nachfahren: Zeichne drei Rechtecke. Fahre den Rand jedes Rechtecks mit einem Stift nach und berechne den Umfang.
Geobrett: Spanne ein Rechteck auf einem Geobrett. Bestimme seinen Umfang in Längeneinheiten.

Standard

Zwei Rechenwege: Berechne den Umfang eines Rechtecks mit 9 cm und 4 cm auf zwei verschiedene Arten.
Gegenprobe erklären: Erkläre einem anderen Kind, warum 7 + 3 + 7 + 3 und 2 · 7 + 2 · 3 dasselbe Ergebnis haben.
Fehler finden: Ein Kind rechnet bei 8 cm und 5 cm: 8 + 5 = 13 cm. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
Umfang in der Schule: Finde drei rechteckige Gegenstände im Klassenraum. Schätze zuerst ihren Umfang und miss danach nach.

Schwer

Umfang rückwärts: Ein Rechteck hat den Umfang 30 cm. Eine Seite ist 9 cm lang. Finde die andere Seitenlänge und erkläre Deinen Weg.
Gleicher Umfang: Zeichne drei verschiedene Rechtecke mit dem Umfang 20 Kästchen.
Große Zahlen: Ein rechteckiges Feld ist 1.200 m lang und 350 m breit. Berechne den Umfang und mache eine Gegenprobe.
Eigene Knobelaufgabe: Erfinde eine Umfang-Aufgabe für die Übungsstufe Knobeln. Schreibe Lösung und Gegenprobe dazu.

Lernkontrolle

Rechenweg erklären: Ein Rechteck ist 11 cm lang und 4 cm breit. Berechne den Umfang und erkläre jeden Schritt.
Darstellungen verbinden: Zeichne ein Rechteck mit 6 cm und 2 cm. Markiere den Rand und schreibe die passende Umfangsrechnung darunter.
Fehleranalyse: Mia rechnet beim Rechteck 7 cm · 3 cm = 21 cm und nennt das Ergebnis Umfang. Erkläre, was sie verwechselt hat.
Gegenprobe nutzen: Berechne den Umfang eines Rechtecks mit 15 m und 6 m. Prüfe das Ergebnis mit einem zweiten Rechenweg.
Transfer: Ein rechteckiger Sandkasten soll mit einer Holzleiste eingefasst werden. Er ist 5 m lang und 3 m breit. Wie viele Meter Holzleiste werden mindestens gebraucht? Begründe.
Vergleichen: Zeichne zwei verschiedene Rechtecke mit demselben Umfang. Erkläre, warum verschiedene Formen denselben Umfang haben können.