aiMOOC

M4 Knobeln - Umfang den Rand berechnen - Mathematik

QR-Code

M4 Knobeln - Umfang den Rand berechnen - Mathematik

Einleitung

Umfang bedeutet: Wie lang ist der ganze Rand einer Figur?

Stell Dir einen Gartenzaun vor. Du gehst einmal außen herum. Die Länge dieses Weges ist der Umfang.

Du arbeitest hier auf der Übungsstufe Knobeln. Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen und keine Schulzweige.

Dieser aiMOOC gehört zur Übungswelt Mathe 4 auf MOOCwiki. Dort findest Du weitere Aufgaben für Klasse 4.

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „PerimeterRectangle.svg“, Urheber: NYKevin, Lizenz: CC0 1.0. Geprüfter Ausschnitt: Die Grafik zeigt ein Rechteck und hebt den Rand als Umfang hervor. Quelle: Wikimedia Commons.

Was ist der Umfang?

Der Umfang ist die Länge des Randes einer ebenen Figur.

Bei einem Vieleck addierst Du die Längen aller Seiten.

Beispiel:

Ein Rechteck hat die Seiten 7 cm und 4 cm.

7 cm + 4 cm + 7 cm + 4 cm = 22 cm

Der Umfang ist 22 cm.

Kurz kannst Du rechnen:

U = 2 · 7 cm + 2 · 4 cm = 22 cm

Dabei bedeutet U Umfang.

Handeln: Lege den Rand

Nimm Stäbchen, Wollfaden oder ein Lineal.

Lege ein Rechteck mit Seitenlängen 6 cm und 3 cm.
Fahre mit dem Finger einmal am Rand entlang.
Miss jede Seite.
Addiere alle vier Seiten.

Gegenprobe: Rechne danach 2 · 6 cm + 2 · 3 cm.

Beide Wege müssen dasselbe Ergebnis liefern.

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „Geoboard.JPG“, Urheber: Annielogue, Lizenz: CC BY-SA 3.0. Geprüfter Ausschnitt: Ein Geobrett mit gespanntem Gummiband zeigt, wie eine Figur handelnd gelegt und ihr Rand verfolgt werden kann. Quelle: Wikimedia Commons.

Bildlich: Sieh den Rand

Auf einem Geobrett kannst Du Figuren spannen. Der Gummi zeigt den Rand.

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „Quadrate auf dem Geobrett Schrägsicht.jpg“, Urheber: Udjat, Lizenz: CC BY-SA 3.0. Geprüfter Ausschnitt: Drei gespannte Quadrate auf einem 5×5-Geobrett. Das Bild eignet sich zum Vergleichen von Rändern. Quelle: Wikimedia Commons.

Verständnisfrage: Zwei Figuren sehen verschieden aus. Können sie trotzdem denselben Umfang haben?

Ja. Entscheidend ist die gesamte Randlänge.

Symbolisch: Rechne den Rand

Für ein Rechteck mit Länge a und Breite b gilt:

U = a + b + a + b

oder kürzer:

U = 2 · a + 2 · b

oder:

U = 2 · (a + b)

Beispiel:

a = 9 cm, b = 5 cm

U = 2 · 9 cm + 2 · 5 cm

U = 18 cm + 10 cm

U = 28 cm

Gegenprobe:

9 + 5 + 9 + 5 = 28

Das Ergebnis stimmt.

Knobelidee: Welche Rechtecke passen?

Ein Rechteck soll den Umfang 24 cm haben.

Gesucht sind Seitenlängen in ganzen Zentimetern.

Eine Möglichkeit ist:

5 cm und 7 cm

Gegenprobe:

5 + 7 + 5 + 7 = 24

Finde weitere Möglichkeiten.

Tipp 1: Teile 24 durch 2.

Tipp 2: Dann müssen Länge und Breite zusammen 12 cm ergeben.

Tipp 3: Probiere zum Beispiel 1 cm + 11 cm, 2 cm + 10 cm oder 3 cm + 9 cm.

Knobelfrage: Welche dieser Rechtecke wirken besonders lang und schmal? Welche fast quadratisch?

Vermuten und begründen

Mia sagt:

„Wenn ein Rechteck länger wird, wird sein Umfang immer größer.“

Stimmt das immer?

Probiere:

Rechteck A: 8 cm und 4 cm
Rechteck B: 9 cm und 3 cm

Rechne beide Umfänge.

A: 8 + 4 + 8 + 4 = 24 cm

B: 9 + 3 + 9 + 3 = 24 cm

Ergebnis: Die Länge allein entscheidet nicht. Länge und Breite wirken zusammen.

Transfer: Ein Beet bekommt einen Rand

Ein rechteckiges Beet ist 12 m lang und 7 m breit.

Für eine Einfassung brauchst Du Material für den ganzen Rand.

Rechnung:

12 + 7 + 12 + 7 = 38

Du brauchst 38 m Randmaterial.

Transferfrage: An einer 2 m breiten Stelle bleibt ein Eingang ohne Randmaterial. Wie viele Meter Material brauchst Du dann?

38 m − 2 m = 36 m

Zahlenraum bis 1 000 000

Auch in Klasse 4 arbeitest Du mit Zahlen bis 1 000 000. Für Umfangsaufgaben sind aber oft kleine, anschauliche Zahlen besser.

Ein größeres Beispiel:

Ein rechteckiges Feld ist 320 m lang und 180 m breit.

U = 320 + 180 + 320 + 180

U = 1 000 m

Gegenprobe:

2 · 320 + 2 · 180 = 640 + 360 = 1 000 m

Die Zahlen bleiben übersichtlich, obwohl Du im Zahlenraum bis 1 000 000 rechnen kannst.

Video zum Weiterlernen

Mediennachweis: YouTube, „Fläche und Umfang | Mathematik | Geometrie in der Grundschule“, Kanal: Mathe GeometrieGrundschule, veröffentlicht am 05.04.2015. Inhalt geprüft: Umfang und Flächeninhalt verschiedener Figuren werden unterschieden. Die öffentlich auslesbare Trefferseite weist keine freie Creative-Commons-Lizenz aus; deshalb wird das Video hier nur über den offiziellen YouTube-Embed eingebunden und nicht als frei nachnutzbare Datei ausgegeben.

Mediennachweis: YouTube, „Inhalt einer Fläche und Umfang berechnen | Mathematik | Geometrie in der Grundschule“, Kanal: Mathe GeometrieGrundschule, veröffentlicht am 23.03.2014. Inhalt geprüft: Umfang von Quadrat und Rechteck sowie der Unterschied zum Flächeninhalt. Die öffentlich auslesbare Trefferseite weist keine freie Creative-Commons-Lizenz aus; deshalb nur Einbettung über YouTube.

Freies Vertiefungsmedium

Datei:Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Kreis - kolleg24 Mathematik.webm

Mediennachweis: Wikimedia Commons, „Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Kreis - kolleg24 Mathematik.webm“, Urheber: ARD kolleg24, Lizenz: CC BY-SA 4.0. Geprüfter Ausschnitt: Das Video erklärt den Umfang eines Rechtecks als Gesamtlänge seiner vier Seiten. Quelle: Wikimedia Commons / Planet Schule.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet Umfang? (Die Länge des ganzen Randes) (!Die Größe der Innenfläche) (!Die Zahl der Ecken) (!Die längste Seite)

Feedback: Richtig ist die Randlänge. Fahre gedanklich einmal außen um die Figur.

Ein Rechteck ist 6 cm lang und 4 cm breit. Wie groß ist der Umfang? (20 cm) (!10 cm) (!24 cm) (!12 cm)

Feedback: 6 + 4 + 6 + 4 = 20.

Welche Rechnung passt zum Umfang eines Rechtecks mit Seiten 8 cm und 3 cm? (8 + 3 + 8 + 3) (!8 · 3) (!8 + 3) (!8 · 8)

Feedback: Beim Umfang werden alle vier Seiten addiert.

Welche Kurzform ist für den Rechteckumfang richtig? (2 · a + 2 · b) (!a · b) (!a + b) (!4 · a · b)

Feedback: Jede der beiden verschiedenen Seiten kommt zweimal vor.

Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von 5 cm. Wie groß ist sein Umfang? (20 cm) (!10 cm) (!25 cm) (!15 cm)

Feedback: Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten: 4 · 5 = 20.

Ein Rechteck hat den Umfang 24 cm. Länge und Breite ergeben zusammen wie viel? (12 cm) (!24 cm) (!6 cm) (!48 cm)

Feedback: Beim Rechteck gilt U = 2 · Länge plus 2 · Breite. Deshalb ist Länge plus Breite die Hälfte des Umfangs.

Welche Seiten passen zu einem Rechteck mit Umfang 30 cm? (6 cm und 9 cm) (!6 cm und 15 cm) (!9 cm und 15 cm) (!3 cm und 15 cm)

Feedback: 6 + 9 + 6 + 9 = 30.

Was ist eine gute Gegenprobe für 7 + 4 + 7 + 4? (2 · 7 + 2 · 4) (!7 · 4) (!7 + 4) (!4 · 4)

Feedback: Die Kurzform muss dasselbe Ergebnis liefern.

Ein Beet hat 38 m Umfang. Ein Eingang von 2 m bleibt offen. Wie viel Randmaterial brauchst Du? (36 m) (!40 m) (!19 m) (!76 m)

Feedback: Vom ganzen Umfang werden die 2 m ohne Randmaterial abgezogen.

Zwei verschieden geformte Rechtecke haben denselben Umfang. Ist das möglich? (Ja) (!Nein) (!Nur bei Quadraten) (!Nur bei Flächen unter 10 cm)

Feedback: Verschiedene Seitenpaare können dieselbe Summe und damit denselben Umfang haben.

Memory

Umfang	Länge des Randes
Rechteck	Zwei Paare gleich langer Seiten
Quadrat	Vier gleich lange Seiten
Gegenprobe	Ergebnis auf einem zweiten Weg prüfen
U	Zeichen für den Umfang
Geobrett	Figur mit Gummiband spannen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Randlänge	Umfang
Vier gleich lange Seiten	Quadrat
Gegenrechnung	Gegenprobe
Zwei mal Länge plus zwei mal Breite	Rechteckumfang
Gummibandfigur	Geobrett

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie heißt die Länge des ganzen Randes?
Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel?
Quadrat	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Geobrett	Worauf kannst Du Figuren mit Gummibändern spannen?
Rand	Welchen Teil einer Figur misst Du beim Umfang?
Messen	Was tust Du mit dem Lineal, bevor Du Seitenlängen addierst?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Umfang messen: Suche einen rechteckigen Gegenstand. Miss alle Seiten und berechne den Umfang.
Rand legen: Lege mit Stäbchen ein Rechteck. Fahre den Rand mit dem Finger ab und erkläre einem Partner, was Umfang bedeutet.
Gegenprobe: Rechne den Umfang eines Rechtecks mit 8 cm und 5 cm auf zwei verschiedenen Wegen.
Geobrett: Spanne auf einem Geobrett zwei verschiedene Rechtecke und vergleiche ihre Ränder.

Standard

Gleicher Umfang: Finde drei verschiedene Rechtecke mit Umfang 28 cm. Begründe, warum alle passen.
Fehler finden: Ein Kind rechnet bei 9 cm und 4 cm nur 9 + 4. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
Eigene Aufgabe: Erfinde eine Sachaufgabe zu einem Zaun, Rahmen oder Beet mit kleinen Zahlen.
Vermutung prüfen: Prüfe die Vermutung „Je länger ein Rechteck ist, desto größer ist sein Umfang“ mit mindestens zwei Beispielen.

Schwer

Knobelrechtecke: Finde alle Rechtecke mit ganzzahligen Seitenlängen und Umfang 32 cm. Ordne sie sinnvoll.
Unbekannte Seite: Ein Rechteck hat Umfang 34 cm und eine Seite ist 7 cm lang. Finde die andere Seite und erkläre Deinen Weg.
Transferaufgabe: Plane ein rechteckiges Tiergehege mit 40 m Zaun. Eine 2 m breite Tür braucht keinen Zaun. Finde mehrere mögliche Seitenlängen.
Begründung: Erkläre ohne Zeichnung, warum bei einem Rechteck die Hälfte des Umfangs gleich Länge plus Breite ist.

Lernkontrolle

Vergleichen: Zwei Rechtecke haben die Seiten 8 cm und 5 cm sowie 10 cm und 3 cm. Vergleiche ihre Umfänge und begründe.
Fehler erklären: Jemand rechnet für ein Rechteck 6 · 4 = 24 cm als Umfang. Erkläre, warum diese Rechnung nicht zum Umfang passt.
Rückwärts denken: Ein Rechteck hat Umfang 26 cm. Finde mindestens drei mögliche Seitenpaare und erkläre Dein Muster.
Transfer: Ein Bilderrahmen ist außen 30 cm lang und 20 cm breit. An einer 5 cm langen Stelle fehlt eine Leiste. Wie viel Leiste wird gebraucht?
Gegenprobe anwenden: Berechne den Umfang eines Rechtecks mit 14 cm und 9 cm auf zwei Wegen und erkläre, warum die Ergebnisse gleich sein müssen.
Vermutung bewerten: „Zwei Rechtecke mit gleichem Umfang müssen gleich aussehen.“ Entscheide und begründe mit einem Gegenbeispiel.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:

Du kannst den Begriff Umfang als Länge des Randes erklären.
Du kannst den Umfang von Rechtecken und Quadraten berechnen.
Du kannst einen Rechenweg mit Material, Bild oder Rechnung darstellen.
Du kannst eine Gegenprobe verwenden.
Du kannst zu einem vorgegebenen Umfang passende Seitenlängen finden.
Du kannst eine Vermutung mit Beispielen prüfen und begründen.
Du kannst Umfang in einer Alltagssituation anwenden.

OERs zum Thema

Sachhinweis: In der Geometrie ist der Umfang die Länge der Begrenzungslinie. Beim Rechteck gilt U = 2 · a + 2 · b.

Medien und Quellen

Wikimedia Commons: „PerimeterRectangle.svg“, Urheber NYKevin, CC0 1.0. Verwendet als Darstellung des Rechteckrandes.
Wikimedia Commons: „Geoboard.JPG“, Urheber Annielogue, CC BY-SA 3.0. Verwendet als handelnder Zugang mit Geobrett.
Wikimedia Commons: „Quadrate auf dem Geobrett Schrägsicht.jpg“, Urheber Udjat, CC BY-SA 3.0. Verwendet zum visuellen Vergleichen verschiedener Ränder.
Wikimedia Commons: „Flächeninhalt und Umfang von Rechteck und Kreis - kolleg24 Mathematik.webm“, Urheber ARD kolleg24, CC BY-SA 4.0. Verwendet als freies Vertiefungsvideo.
Wikipedia: „Umfang (Geometrie)“, geprüft für die Definition des Umfangs.
Wikipedia: „Rechteck“, geprüft für die Formel U = 2a + 2b.
MOOCwiki Mathematik: bestehende Übungswelt mit „M4 - Umfang den Rand berechnen - Mathematik“.
YouTube: „Fläche und Umfang | Mathematik | Geometrie in der Grundschule“, Kanal Mathe GeometrieGrundschule. Nur eingebettet; keine freie Lizenz auf der auslesbaren Trefferseite nachgewiesen.
YouTube: „Inhalt einer Fläche und Umfang berechnen | Mathematik | Geometrie in der Grundschule“, Kanal Mathe GeometrieGrundschule. Nur eingebettet; keine freie Lizenz auf der auslesbaren Trefferseite nachgewiesen.