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M4 Knobeln - Subtrahieren und ergänzen - Mathematik

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M4 Knobeln - Subtrahieren und ergänzen - Mathematik

Einleitung

In diesem aiMOOC knobelst Du mit Subtraktion und Ergänzen. Du rechnest im Zahlenraum bis 1.000.000, nutzt für neue Ideen aber oft zuerst kleine Zahlen. So kannst Du einen Rechenweg sehen, legen, zeichnen und dann mit Zahlen aufschreiben.

Wichtig: Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen. Sie sind keine Schulzweige. In der Stufe Knobeln suchst Du eigene Wege, vergleichst Lösungen und begründest Vermutungen.

Zur bestehenden Übungswelt auf MOOCwiki:

Das Bild zeigt mit Plättchen am Abakus, wie Mengen hinzugefügt oder weggenommen werden können. Du kannst die gleiche Idee mit Würfeln, Bohnen oder Rechenplättchen nachlegen.

Was bedeutet subtrahieren?

Subtrahieren bedeutet: etwas wegnehmen oder einen Unterschied bestimmen.

Beispiel:

345 − 127 = 218

Die Fachbegriffe heißen:

Minuend: 345
Subtrahend: 127
Differenz: 218

Du musst die Wörter kennen, aber wichtiger ist: Was passiert mit den Zahlen?

Verständnisfrage: Wenn Du von 20 sieben Plättchen wegnimmst, wie viele bleiben?

Ergänzen statt wegnehmen

Manchmal ist es leichter, von einer kleineren Zahl bis zur größeren Zahl hochzuzählen.

Beispiel:

785 + ? = 1.000

Du kannst ergänzen: 785 + 15 = 800 800 + 200 = 1.000

Also fehlen 215.

Darum gilt auch:

1.000 − 785 = 215

Ergänzen und Subtrahieren können zur gleichen Lösung führen.

Am Zahlenstrahl kannst Du Sprünge einzeichnen. Kleine Sprünge helfen Dir, einen Rechenweg zu erklären.

Handelnd, bildlich und symbolisch

Du kannst dieselbe Aufgabe auf drei Arten lösen.

Handelnd: Lege 63 Plättchen. Nimm 28 weg.

Bildlich: Zeichne einen Zahlenstrahl von 28 bis 63 und ergänze in Schritten.

Symbolisch:

63 − 28 = 35

oder

28 + 35 = 63

Beide Wege passen zusammen.

Die Animation zeigt, wie Subtraktion auf einem Rechengerät Schritt für Schritt dargestellt werden kann.

Gegenprobe

Mit einer Gegenprobe prüfst Du Dein Ergebnis.

Beispiel:

600 − 248 = 352

Gegenprobe:

248 + 352 = 600

Stimmt die Addition, passt die Subtraktion.

Merksatz: Aus Minus wird bei der Gegenprobe oft Plus.

Knobeln mit Rechenwegen

Aufgabe:

1.000 − 498 = ?

Mögliche Wege:

Ergänzen: 498 + 2 = 500, dann + 500 = 1.000. Ergebnis: 502.
Hilfsaufgabe: 1.000 − 500 = 500. Weil 498 um 2 kleiner als 500 ist, ist das Ergebnis 2 größer. Ergebnis: 502.
Schriftlich rechnen und danach mit Addition prüfen.

Es gibt also verschiedene gute Rechenwege.

Knobelfrage: Welcher Weg ist für Dich am übersichtlichsten? Begründe.

Von kleinen zu großen Zahlen

Ein Muster kann Dir helfen.

900 − 400 = 500

9.000 − 4.000 = 5.000

90.000 − 40.000 = 50.000

900.000 − 400.000 = 500.000

Die Aufgabe wird größer, aber die Stellenwerte bleiben geordnet.

Das Video von StrandMathe behandelt Addition und Subtraktion bis 1 Million. Für diesen aiMOOC ist besonders der Teil zur Subtraktion passend.

Abziehen, Unterschied und Ergänzen

Beim Minusrechnen können verschiedene Situationen gemeint sein.

Abziehen: Du hast 12 Murmeln und gibst 5 ab.
Unterschied: Lea hat 12 Murmeln, Amir 5. Wie groß ist der Unterschied?
Ergänzen: Amir hat 5 Murmeln. Wie viele fehlen bis 12?

In allen drei Fällen passt die Zahl 7.

Das Video von Dr. Dina Beneken erklärt genau diese drei Bedeutungen. Besonders passend ist der Abschnitt von 0:00 bis etwa 2:00 Minuten.

Gestufte Hilfen

Hilfe 1: Nimm kleine Zahlen. Probiere zum Beispiel zuerst 50 − 18.

Hilfe 2: Zeichne einen Zahlenstrahl.

Hilfe 3: Ergänze zuerst bis zum nächsten Zehner oder Hunderter.

Hilfe 4: Prüfe mit einer Addition.

Transferaufgabe

Eine Schulbücherei hat 4.850 Bücher. Davon sind 3.975 Bücher gerade im Regal.

Frage: Wie viele Bücher sind ausgeliehen?

Finde mindestens zwei Rechenwege. Nutze einen Zahlenstrahl, eine Ergänzungsstrategie oder eine schriftliche Rechnung. Prüfe Dein Ergebnis mit einer Gegenprobe.

Zusatz: Erkläre, welcher Weg für diese Aufgabe besonders geschickt ist.

Mediennachweis

Using-an-Abacus-01.png: Wikimedia Commons, Autor Jccsvq, eigenes Werk, Lizenz CC BY-SA 4.0. Passender Einsatz: handelndes Verständnis von Addition und Subtraktion. Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Using-an-Abacus-01.png
Subtraction on an abacus.jpg: Wikimedia Commons, Autor Brigban, eigenes Werk, Lizenz CC0 1.0. Passender Einsatz: anschauliches Wegnehmen am Abakus. Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Subtraction_on_an_abacus.jpg
Number line subtraction.svg: Wikimedia Commons, Autor Hakunamenta, Lizenz CC0 1.0. Passender Einsatz: Subtraktion am Zahlenstrahl. Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Number_line_subtraction.svg
Russian abacus subtraction.gif: Wikimedia Commons, Autor Cmapm, eigenes Werk, Lizenz CC BY-SA 3.0 oder GFDL. Passender Einsatz: animierte Schrittfolge einer Subtraktion. Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Russian_abacus_subtraction.gif
Addition und Subtraktion bis 1 Million: YouTube, Kanal StrandMathe, veröffentlicht 27.05.2018. Passender Einsatz: Rechnen bis 1 Million. Die öffentlich auffindbaren Metadaten weisen die konkrete Videolizenz nicht eindeutig aus; deshalb wird das Video nur über YouTube eingebettet und nicht als freie Datei weiterverwendet. Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=sQNPORtG6Dw
Subtrahieren Differenz und Ergänzen: YouTube, Dr. Dina Beneken, veröffentlicht 25.04.2024. Passender Ausschnitt: 0:00 bis etwa 2:00 Minuten zu Abziehen, Unterschied und Ergänzen. Die öffentlich auffindbaren Metadaten weisen die konkrete Videolizenz nicht eindeutig aus; deshalb wird das Video nur über YouTube eingebettet und nicht als freie Datei weiterverwendet. Quelle: https://www.youtube.com/watch?v=c15WyCmSg5w

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist 620 − 280? (340) (!240) (!360) (!440)

Feedback: 620 − 280 = 340. Du kannst 280 + 340 = 620 als Gegenprobe rechnen.

Welche Zahl ergänzt 480 auf 700? (220) (!180) (!320) (!1.180)

Feedback: Von 480 bis 500 fehlen 20. Von 500 bis 700 fehlen 200. Zusammen sind es 220.

Welche Rechnung ist die Gegenprobe zu 465 − 128 = 337? (337 + 128 = 465) (!465 + 128 = 337) (!337 − 128 = 465) (!465 − 337 = 128 + 337)

Feedback: Bei der Gegenprobe addierst Du Differenz und Subtrahend.

Wie groß ist der Unterschied zwischen 900 und 675? (225) (!125) (!235) (!325)

Feedback: Du kannst von 675 bis 700 und dann bis 900 ergänzen: 25 + 200 = 225.

Was ist 10.000 − 4.000? (6.000) (!5.000) (!14.000) (!600)

Feedback: 10 Tausender minus 4 Tausender sind 6 Tausender.

Welche Zahl fehlt: 7.450 + ? = 8.000? (550) (!450) (!650) (!1.550)

Feedback: 7.450 + 50 = 7.500 und + 500 = 8.000. Es fehlen 550.

Was ist 100.000 − 30.000? (70.000) (!700.000) (!97.000) (!130.000)

Feedback: 100 Tausend minus 30 Tausend sind 70 Tausend.

Welcher Rechenweg ist für 1.000 − 498 besonders geschickt? (Erst 1.000 − 500 rechnen und dann 2 ausgleichen) (!Beide Zahlen verdoppeln) (!Nur die Einerstellen rechnen) (!Die Zahlen vertauschen)

Feedback: 498 liegt sehr nah bei 500. Die Hilfsaufgabe 1.000 − 500 macht den Rechenweg kurz.

Was bedeutet Ergänzen bei 325 + ? = 500? (Die fehlende Zahl bis 500 finden) (!325 von 500 verdoppeln) (!500 durch 325 teilen) (!Nur die Hunderter vergleichen)

Feedback: Beim Ergänzen suchst Du den Abstand von einer Zahl zur Zielzahl.

Welche Aussage stimmt? (Eine Subtraktion kann mit einer Addition geprüft werden) (!Eine Gegenprobe muss immer eine Multiplikation sein) (!Ergänzen funktioniert nur bis 100) (!Beim Subtrahieren gibt es nur einen richtigen Rechenweg)

Feedback: Addition und Subtraktion sind Umkehroperationen. Deshalb eignet sich die Addition als Gegenprobe.

Memory

Minuend	erste Zahl einer Subtraktion
Subtrahend	Zahl die abgezogen wird
Differenz	Ergebnis einer Subtraktion
Ergänzen	fehlenden Abstand finden
Gegenprobe	Ergebnis durch Umkehraufgabe prüfen
Zahlenstrahl	Rechenweg mit Sprüngen darstellen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Wegnehmen	18 Plättchen liegen da und 7 werden entfernt.
Ergänzen	Von 43 bis 50 fehlen noch 7.
Unterschied	Eine Zahl ist 7 größer als eine andere.
Gegenprobe	Zum Ergebnis wird die abgezogene Zahl wieder addiert.
Hilfsaufgabe	Statt 1.000 minus 498 rechnest Du zuerst 1.000 minus 500.

Kreuzworträtsel

Differenz	Wie heißt das Ergebnis einer Subtraktion?
Minuend	Wie heißt die erste Zahl einer Subtraktion?
Subtrahend	Wie heißt die Zahl, die abgezogen wird?
Gegenprobe	Wie heißt eine Rechnung zum Prüfen des Ergebnisses?
Ergänzen	Wie heißt das Hochzählen bis zu einer Zielzahl?
Zahlenstrahl	Wie heißt eine Linie, auf der Zahlen geordnet liegen?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Rechenplättchen: Lege 32 Plättchen. Nimm 14 weg. Zeichne danach, was Du gelegt hast.
Zahlenstrahl: Zeichne den Rechenweg von 68 − 29 am Zahlenstrahl.
Ergänzen: Finde drei verschiedene Wege, um von 375 bis 500 zu ergänzen.
Gegenprobe: Löse 840 − 265 und prüfe Dein Ergebnis mit Addition.

Standard

Rechenwege vergleichen: Löse 1.000 − 487 auf zwei verschiedene Arten und erkläre, welcher Weg kürzer ist.
Fehler finden: Jemand behauptet 700 − 356 = 454. Finde den Fehler und beweise Deine Lösung.
Eigene Aufgabe: Erfinde eine Subtraktionsaufgabe mit einem Ergebnis zwischen 200 und 300. Lass ein anderes Kind Deine Aufgabe prüfen.
Zahlenmuster: Untersuche 900 − 400, 9.000 − 4.000 und 90.000 − 40.000. Formuliere eine Vermutung.

Schwer

Knobelaufgabe: Finde möglichst viele Aufgaben der Form 1.000 − ? = Ergebnis, bei denen im Ergebnis die Ziffer 5 genau zweimal vorkommt. Beschreibe Dein Suchsystem.
Offene Lösungswege: Löse 20.000 − 9.998 auf mindestens drei Wegen. Begründe, welcher Weg besonders geschickt ist.
Begründete Vermutung: Was passiert mit der Differenz, wenn Du Minuend und Subtrahend jeweils um 100 erhöhst? Teste mehrere Beispiele und begründe Deine Vermutung.
Transferaufgabe: Eine Bücherei besitzt 4.850 Bücher. 3.975 stehen im Regal. Finde die Zahl der ausgeliehenen Bücher auf zwei Wegen und prüfe Dein Ergebnis.

Lernkontrolle

Rechenweg erklären: Erkläre, warum 1.000 − 498 mit der Hilfsaufgabe 1.000 − 500 besonders einfach wird.
Darstellungen verbinden: Zeige 63 − 28 handelnd, bildlich und symbolisch. Erkläre, was in allen drei Darstellungen gleich bleibt.
Strategien vergleichen: Löse 5.000 − 2.875 durch Abziehen und durch Ergänzen. Vergleiche beide Wege.
Fehler begründen: Ein Kind rechnet 8.000 − 3.450 = 4.650. Prüfe die Rechnung und erkläre einen möglichen Denkfehler.
Muster übertragen: Erkläre, warum aus 900 − 400 = 500 auch 90.000 − 40.000 = 50.000 folgt.
Transfer: Erfinde eine Alltagssituation, in der dieselbe Subtraktion als Wegnehmen, Unterschied oder Ergänzen gedeutet werden kann.