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M4 Knobeln - Rechenwege prüfen und Rätsel lösen - Mathematik

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Einleitung

M4 Knobeln - Rechenwege prüfen und Rätsel lösen - Mathematik

Mathematik · Klasse 4 · Übungsstufe Knobeln

Manchmal sieht eine Rechnung richtig aus. Aber stimmt sie wirklich?

Du lernst, Rechenwege zu prüfen, Fehler zu finden und Zahlenrätsel zu lösen. Du darfst Zahlen legen, Bilder zeichnen und eigene Ideen ausprobieren.

Wir rechnen im Zahlenraum bis 1.000.000. Für unsere Beispiele nehmen wir meist kleine Zahlen. So kannst Du die Rechenwege gut verstehen.

Deine Übungswelt: Öffne Mathe 4 Übungen auf MOOCwiki. Wähle Thema 10: Rechenwege prüfen und Rätsel lösen und die Stufe Knobeln.

Wichtig: Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen. Sie sind keine Schulzweige. Du darfst jederzeit eine andere Stufe wählen.

Das lernst Du:

Rechenwege mit einer Gegenprobe prüfen.
Eine Aufgabe mit Material, einem Bild und einer Rechnung zeigen.
Fehler finden und Deine Lösung erklären.
Zahlenrätsel lösen und Vermutungen überprüfen.

Rechenwege entdecken

Legen, zeichnen, rechnen

Beispiel: 38 + 27 = ?

1. Handeln: Lege 3 Zehner und 8 Einer. Lege 2 Zehner und 7 Einer dazu. Tausche 10 Einer gegen einen Zehner.

2. Zeichnen: Zeichne Zehner als Striche und Einer als Punkte. Aus 15 Einern werden 1 Zehner und 5 Einer.

3. Rechnen: 38 + 27 = 65.

4. Prüfen: 65 − 27 = 38.

Das heißt Gegenprobe: Du überprüfst eine Rechnung mit der passenden Umkehraufgabe.

Denkfrage: Warum darfst Du 10 Einer gegen einen Zehner tauschen?

Hilfen:

Hilfe 1: Rechne zuerst 8 + 7.
Hilfe 2: Zerlege 15 in 10 und 5.
Hilfe 3: Rechne 30 + 20 + 10 + 5.

Auch ein Rechenrahmen kann beim Darstellen helfen:

Auf dem Zahlenstrahl prüfen

Auf einem Zahlenstrahl kannst Du Rechenschritte als Sprünge zeigen.

Dieses Bild zeigt 1 + 2. Für größere Aufgaben kannst Du genauso vorgehen.

Probiere: 38 + 27.

Springe von 38 zuerst 20 weiter. Du landest bei 58. Springe dann 7 weiter. Du landest bei 65.

Verständnisfrage: Kommst Du auch mit den Sprüngen 2, 20 und 5 zum gleichen Ziel?

Bei einer Subtraktion gehst Du auf dem Zahlenstrahl zurück.

Beispiel: 53 − 26 = 27.

Gegenprobe: 27 + 26 = 53.

Einen Fehler entdecken

Auf einem Zettel steht:

46 + 37 = 73

Stimmt das?

Rechne die Einer: 6 + 7 = 13. Du musst einen Zehner übertragen.

Richtig ist: 46 + 37 = 83.

Gegenprobe: 83 − 37 = 46.

Ein Überschlag hilft Dir beim Schätzen. Du rechnest mit ungefähr passenden Zahlen. Die Gegenprobe prüft das genaue Ergebnis.

Denkfrage: Warum reicht ein Überschlag nicht immer aus, um einen Fehler sicher zu erkennen?

Video: Schriftliche Subtraktion mit Probe

Malnehmen und Teilen prüfen

Mit Punktebildern rechnen

Beispiel: 4 · 6 = 24.

Lege 4 Gruppen mit jeweils 6 Plättchen. Zähle nach.

Das Bild zeigt, wie Malnehmen mit wiederholtem Addieren zusammenhängt.

Gegenprobe: 24 : 6 = 4.

Video: Einmaleins mit Punktebildern

Entdeckeraufgabe: In der Animation siehst Du Einmaleins-Muster. Beobachte besonders die kleinen Reihen. Welche Muster wiederholen sich?

Teilen mit Rest

Rätsel: 29 Plättchen werden auf 4 Kinder verteilt. Alle sollen gleich viele bekommen.

Jedes Kind erhält 7 Plättchen. 1 Plättchen bleibt übrig.

Rechnung: 29 : 4 = 7 Rest 1.

Gegenprobe: 7 · 4 + 1 = 29.

Der Rest ist das, was beim gleichmäßigen Teilen übrig bleibt. Er muss kleiner als die Zahl sein, durch die Du teilst.

Denkfrage: Warum kann bei dieser Aufgabe nicht Rest 5 herauskommen?

Video: Die Probe bei der Division

Knobelwerkstatt

Rätsel rückwärts lösen

Ich denke mir eine Zahl. Ich verdopple sie und addiere 6. Das Ergebnis ist 30. Welche Zahl war es?

Hilfe 1: Beginne beim Ergebnis 30.

Hilfe 2: Mache die Rechenschritte rückwärts.

Lösung: 30 − 6 = 24. Danach 24 : 2 = 12.

Probe: 12 · 2 + 6 = 30.

Rückwärtsrechnen bedeutet: Du gehst vom Ergebnis zurück zum Anfang.

Eine Zahlenmauer lösen

Bei einer Zahlenmauer ist jeder obere Stein die Summe der zwei Steine direkt darunter.

Unten stehen: 7, 5 und 9.

In der Mitte stehen: 12 und 14.

Ganz oben steht: 26.

Deine Aufgabe: Zeichne eine andere Zahlenmauer mit der obersten Zahl 26.

Vermutung: Es gibt mehr als eine richtige Lösung. Finde zwei verschiedene Möglichkeiten und prüfe beide.

Zwei geheime Zahlen

Zwei Zahlen ergeben zusammen 50. Die größere ist um 8 größer als die kleinere.

Hilfe 1: Zeichne zwei Balken. Einer ist um 8 länger.

Hilfe 2: Ziehe zuerst die 8 von 50 ab.

Rechenweg: 50 − 8 = 42. Die Hälfte von 42 ist 21.

Lösung: 21 und 29.

Probe: 21 + 29 = 50 und 29 − 21 = 8.

Denkfrage: Warum musst Du nach dem Abziehen der 8 durch 2 teilen?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist das Ergebnis von 38 + 27? (65) (!64) (!55) (!75)

Feedback: Richtig ist 65. Denn 8 + 7 = 15. Ein Zehner wird übertragen. Mit 65 − 27 = 38 kannst Du das Ergebnis prüfen.

Welche Gegenprobe passt zu 53 − 26 = 27? (27 + 26 = 53) (!27 + 53 = 26) (!53 + 26 = 27) (!27 − 26 = 53)

Feedback: Beim Prüfen einer Subtraktion addierst Du den Unterschied und die abgezogene Zahl. So erhältst Du wieder 53.

Eine Rechnung lautet 46 + 37 = 73. Wie heißt das richtige Ergebnis? (83) (!73) (!82) (!93)

Feedback: 6 + 7 ergibt 13. Der zusätzliche Zehner darf nicht vergessen werden. Deshalb ist 83 richtig.

Welche Rechnung prüft 4 · 6 = 24? (24 : 6 = 4) (!24 + 6 = 4) (!24 − 6 = 4) (!4 : 6 = 24)

Feedback: Die Division ist hier die Umkehraufgabe der Multiplikation. Durch das Teilen erhältst Du die Anzahl der Gruppen zurück.

Welche Gegenprobe passt zu 29 : 4 = 7 Rest 1? (7 · 4 + 1 = 29) (!7 · 4 = 29) (!7 + 4 + 1 = 29) (!7 · 1 + 4 = 29)

Feedback: Multipliziere das Ergebnis mit dem Teiler und addiere den Rest. So kommst Du genau auf 29.

Eine Zahl wird verdoppelt. Dann werden 6 addiert. Das Ergebnis ist 30. Welche Zahl ist gesucht? (12) (!18) (!24) (!10)

Feedback: Rechne rückwärts: 30 − 6 = 24 und 24 : 2 = 12. Die Probe ergibt wieder 30.

Unten in einer Zahlenmauer stehen 7, 5 und 9. Welche Zahl steht ganz oben? (26) (!21) (!24) (!28)

Feedback: In der Mitte stehen 7 + 5 = 12 und 5 + 9 = 14. Oben steht deshalb 12 + 14 = 26.

Welcher Überschlag passt am besten zu 198 + 203? (ungefähr 400) (!ungefähr 200) (!ungefähr 600) (!ungefähr 900)

Feedback: 198 ist fast 200 und 203 ist auch fast 200. Zusammen ist das ungefähr 400. Genau sind es 401.

Zwei Zahlen ergeben zusammen 50. Ihr Unterschied ist 8. Wie heißt die kleinere Zahl? (21) (!29) (!25) (!42)

Feedback: Nimm zuerst den Unterschied weg: 50 − 8 = 42. Teile 42 in zwei gleiche Teile. Der kleinere Teil ist 21.

Woran erkennst Du eine gut geprüfte Vermutung? (Sie passt zur Aufgabe und wurde mit einer Rechnung geprüft) (!Sie verwendet immer die größte Zahl) (!Sie wird ohne Rechenweg aufgeschrieben) (!Sie klingt richtig und wird nicht geprüft)

Feedback: Eine Vermutung ist zuerst nur eine Idee. Erst eine passende Rechnung oder Gegenprobe zeigt, ob sie stimmt. Eine Erklärung macht den Weg verständlich.

Memory

Finde die passenden Begriffe und Erklärungen.

Gegenprobe	Prüfung mit einer passenden Umkehraufgabe
Überschlag	Schnelle Rechnung mit ungefähren Zahlen
Stellenwert	Wert einer Ziffer je nach ihrer Stelle
Zahlenmauer	Zahlsteine mit Summen in der nächsten Reihe
Rest	Übrig gebliebene Menge beim Teilen
Vermutung	Eine Idee, die noch geprüft werden muss

Drag and Drop

Ordne die Rechenhilfen richtig zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Passende Erklärung
Stellenwertmaterial	Zehnerstäbe und Einerwürfel
Zahlenstrahl	Rechenschritte als Sprünge
Gegenprobe	Prüfung mit der Umkehraufgabe
Rückwärtsrechnen	Vom Ergebnis zum Anfang
Zahlenmauer	Summen benachbarter Steine

Kreuzworträtsel

Finde die mathematischen Fachwörter.

Gegenprobe	Wie heißt die Prüfung einer Rechnung mit einer passenden Umkehraufgabe?
Zahlenmauer	Wie heißt das Rechenrätsel mit übereinanderliegenden Zahlsteinen?
Addition	Wie heißt die Rechenart des Plusrechnens?
Division	Wie heißt die Rechenart des Teilens?
Überschlag	Wie nennt man eine schnelle Rechnung mit ungefähren Zahlen?
Vermutung	Wie heißt eine Idee, die noch überprüft werden muss?

LearningApps

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Lückentext

Wenn ich eine Rechnung mit der Umkehraufgabe prüfe, mache ich eine

.

Eine schnelle Rechnung mit ungefähr passenden Zahlen heißt

.

Auf dem Zahlenstrahl zeige ich Rechenschritte als

.

Beim gleichmäßigen Teilen kann ein

übrig bleiben.

Bei einer Zahlenmauer werden zwei benachbarte Steine

.

Wenn ich beim Ergebnis beginne, rechne ich

.

Eine Idee, die ich noch prüfen muss, heißt

.

Bei 38 + 27 ist das richtige Ergebnis

.

Bei 29 : 4 bleiben nach dem Verteilen

Plättchen übrig.

Offene Aufgaben

So arbeitest Du: Nutze zuerst Material, dann eine Zeichnung und schließlich eine Rechnung. Prüfe Dein Ergebnis.

Leicht

Zahlen legen: Stelle 24 + 13 mit Plättchen dar. Zeichne Deinen Rechenweg und mache eine Gegenprobe.
Sprünge zeichnen: Löse 41 + 18 auf einem Zahlenstrahl. Zeige mindestens zwei Sprünge.
Rechenfehler finden: Jemand schreibt 36 + 28 = 54. Finde den Fehler. Erkläre, warum das Ergebnis nicht stimmt.
Punktebilder bauen: Zeichne drei Gruppen mit je fünf Punkten. Schreibe eine Malaufgabe und eine passende Geteiltaufgabe auf.

Standard

Zwei Wege finden: Löse 47 + 18 auf zwei verschiedenen Wegen. Vergleiche, welcher Weg für Dich leichter ist.
Mit Material prüfen: Löse 64 − 29 mit Material oder einer Skizze. Erkläre die Gegenprobe.
Eigene Zahlenmauer: Baue eine Zahlenmauer mit 4, 7 und 6 unten. Verändere danach eine Zahl und untersuche, was oben passiert.
Geheime Zahl: Eine Zahl wird mit 3 multipliziert. Danach werden 5 abgezogen. Das Ergebnis ist 16. Finde die Zahl und prüfe sie.

Schwer

Zahlenforscher: Zwei Zahlen haben die Summe 42 und den Unterschied 6. Finde beide Zahlen mit einer Zeichnung und einer Rechnung.
Eigene Verteilaufgabe: Erfinde eine Geschichte, bei der 25 Dinge in Vierergruppen eingeteilt werden. Erkläre den Rest und prüfe Dein Ergebnis.
Schätzen oder prüfen: Ein Kind behauptet, 198 + 203 sei ungefähr 300. Begründe, warum dieser Überschlag nicht gut passt. Finde einen besseren.
Transfer: Schulmaterial: In drei Schachteln liegen jeweils 6 Stifte. Dazu kommen 4 einzelne Stifte. Wie viele sind es? Zeige zwei Rechenwege. Ändere danach eine Zahl, erfinde eine neue Aufgabe und prüfe Deine Lösung.

Gestufte Hilfe für die schweren Aufgaben:

Erster Tipp: Lege die Situation mit Gegenständen.
Zweiter Tipp: Male ein Bild oder einen Zahlenstrahl.
Dritter Tipp: Schreibe die Rechnung auf und nutze die Umkehraufgabe.

Lernkontrolle

Erkläre nicht nur das Ergebnis, sondern auch Deinen Weg.

Wege vergleichen: Zwei Kinder lösen 67 − 28 verschieden. Ein Kind zieht erst 20 und dann 8 ab. Das andere ergänzt von 28 bis 67. Zeige beide Wege und erkläre ihren Zusammenhang.
Fehler begründen: In einer Zahlenmauer stehen unten 5, 8 und 4. Oben steht angeblich 20. Prüfe die Behauptung und korrigiere sie mit Begründung.
Bilder vergleichen: Zeige mit Plättchen, warum 4 · 6 und 6 · 4 das gleiche Ergebnis haben. Was verändert sich im Bild?
Geeignete Prüfung wählen: Für 98 + 107 nennt jemand 205. Erkläre, wie Dir ein Überschlag hilft und wie Du das genaue Ergebnis prüfst.
Regel übertragen: Ein Kind rechnet eine Aufgabe mit dem Teiler 4 und erhält Rest 5. Erkläre, warum das nicht stimmen kann. Erfinde eine gültige Aufgabe mit Rest.
Alltagsproblem lösen: Erfinde eine kurze Einkaufsgeschichte mit kleinen Zahlen. Zeichne die Situation, löse sie auf zwei Wegen und überprüfe das Ergebnis.

Lernnachweis

Zeige, was Du kannst. Sammle Deine Ergebnisse auf einem Blatt oder in einem Lernheft.

Darstellen: Du zeigst mindestens eine Aufgabe mit Material, Bild und Rechnung.
Prüfen: Du verwendest bei zwei verschiedenen Rechenarten eine passende Gegenprobe.
Erklären: Du findest einen Rechenfehler und begründest die Korrektur.
Knobeln: Du löst ein Zahlenrätsel und überprüfst Deine Vermutung.
Übertragen: Du erfindest eine eigene Alltagsaufgabe und löst sie auf zwei Wegen.
Reflektieren: Du schreibst, welche Hilfe Dir am meisten genutzt hat und warum.

Erfolgreich gelernt hast Du, wenn Du Deine Rechenwege verständlich zeigen, begründen und selbstständig prüfen kannst.

Medien und Quellen

Alle eingebundenen Bilder und die Animation stammen von Wikimedia Commons. Es werden die vollständigen Originaldateien angezeigt. Sie wurden nicht verändert oder zugeschnitten.

Medium und Originalquelle	Urheber	Lizenz	Passender Einsatz
Base Ten Block.png	BarbourLA	CC BY-SA 4.0	Vollständiges Bild: Stellenwertmaterial
Addition on an abacus.jpg	Brigban	CC0 1.0	Vollständiges Bild: Rechnen am Rechenrahmen
Number line with addition of 1 and 2.svg	Stephan Kulla	CC BY 3.0	Vollständiges Bild: Addition am Zahlenstrahl
Number line subtraction.svg	Hakunamenta	CC0 1.0	Vollständiges Bild: Subtraktion am Zahlenstrahl
Multiplication as repeated addition.jpg	Brigban	CC0 1.0	Vollständiges Bild: Malnehmen als wiederholte Addition
Multiplication tables animated.gif	Juanmacuevas	CC BY-SA 3.0	Vollständige Animation: Einmaleins-Muster, besonders die kleinen Reihen

YouTube-Videos: Die folgenden drei Videolinks sind über die Erklärvideosammlung der Grundschule Brektehegel nachvollziehbar. Es werden die Originalvideos eingebettet, keine Kopien erstellt. Ein genauer Minutenausschnitt wurde nicht verlässlich geprüft; deshalb sind keine Zeitmarken angegeben. Die Schule nennt die Themen der Videos. Die einzelnen Urheber und die YouTube-Lizenzen konnten nicht unabhängig bestätigt werden. Eine freie Nachnutzung wird deshalb nicht behauptet.

Videoquelle	Thema	Geprüfter Bezug
Schriftliche Subtraktion Teil 4	Subtraktion mit Probe	Gegenprobe beim Subtrahieren
Einmaleins Teil 2: Punktebilder	Punktebilder	Malnehmen anschaulich darstellen
Schriftliche Division Teil 4	Division mit Probe	Ergebnis beim Teilen prüfen

Weitere geprüfte Lernquellen: Mathe-4-Themenwelt, Mathe-4-Übungswelt, Grundrechenarten und Zahlenmauer.

Hinweis zu Audio: Es ist keine eigenständige Audiodatei eingebunden, weil keine ausreichend passende und geprüfte Commons-Audiodatei für diese Aufgaben ausgewählt werden konnte.