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M4 Knobeln - Flächen mit Quadraten auslegen - Mathematik

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M4 Knobeln - Flächen mit Quadraten auslegen - Mathematik

Kurzbeschreibung: Du legst Flächen mit gleich großen Quadraten aus. Du suchst verschiedene Lösungen, erklärst Deinen Weg und prüfst ihn mit einer Gegenprobe.

Zielgruppe: Klasse 4

Übungsstufe: Knobeln. Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen. Sie sind keine Schulzweige.

Weiterüben: Übungswelt Mathe 4 auf MOOCwiki

Einleitung

Eine Fläche kannst Du mit gleich großen Quadraten bedecken. Die Quadrate dürfen sich nicht überlappen. Es sollen keine Lücken bleiben.

Ein kleines Quadrat nennen wir hier Einheitsquadrat. Wenn ein Rechteck 4 Quadrate lang und 3 Quadrate breit ist, brauchst Du:

4 · 3 = 12 Quadrate

Das ist der Flächeninhalt: Die Fläche ist 12 Einheitsquadrate groß.

Mediennachweis: „A Square Tile.svg“, Urheber: Mliu92, Wikimedia Commons, Lizenz: CC BY-SA 4.0. Geprüfter Ausschnitt: einzelnes Quadrat; passend als Einheitsquadrat.

Erst legen, dann zeichnen, dann rechnen

Du kannst dieselbe Aufgabe auf drei Arten lösen:

Handelnd: Lege Papierquadrate, Plättchen oder quadratische Notizzettel.
Bildlich: Zeichne ein Kästchenfeld.
Symbolisch: Schreibe eine Rechnung, zum Beispiel 4 · 3 = 12.

Alle drei Wege beschreiben dieselbe Fläche.

Mediennachweis: „Squares in a square grid.svg“, Urheber: David Eppstein, Wikimedia Commons, gemeinfrei. Geprüfter Ausschnitt: quadratisches Kästchenfeld; geeignet zum Zählen und Entdecken von Quadraten.

Fachbegriffe kurz erklärt

Fläche: Der Teil, den eine Figur bedeckt.

Flächeninhalt: Wie groß eine Fläche ist.

Einheitsquadrat: Ein gleich großes Quadrat, mit dem Du eine Fläche auslegst.

Zeile: Quadrate nebeneinander.

Spalte: Quadrate untereinander.

Gegenprobe: Du prüfst Dein Ergebnis auf einem zweiten Weg.

Start: Verstehen

Lege ein Rechteck mit 3 Reihen und 5 Quadraten in jeder Reihe.

Du kannst rechnen:

3 · 5 = 15

Oder andersherum:

5 · 3 = 15

Beide Rechnungen zeigen dieselbe Anzahl Quadrate.

Verständnisfrage: Warum ist 3 · 5 genauso groß wie 5 · 3?

Hilfe 1: Drehe Dein Rechteck.

Hilfe 2: Zähle zuerst die Reihen, dann die Spalten.

Gegenprobe: Zähle alle 15 Quadrate einzeln.

Sicher: Flächen geschickt bestimmen

Ein Rechteck hat 6 Reihen mit je 4 Quadraten.

Rechnung:

6 · 4 = 24

Gegenprobe:

4 · 6 = 24

Noch eine Gegenprobe:

12 + 12 = 24

So siehst Du: Verschiedene Rechenwege führen zum gleichen Ergebnis.

Mediennachweis: „Square lattice with squares.svg“, Urheber: Tomruen, Wikimedia Commons, Lizenz: CC BY-SA 4.0. Geprüfter Ausschnitt: regelmäßige Quadratpflasterung; geeignet zum Erkennen von Reihen, Spalten und Teilflächen.

Knobeln: Eine Zahl, viele Rechtecke

Du hast 24 gleich große Quadrate. Welche Rechtecke kannst Du ohne Lücken legen?

Mögliche Lösungen:

1 Reihe mit 24 Quadraten: 1 · 24 = 24
2 Reihen mit 12 Quadraten: 2 · 12 = 24
3 Reihen mit 8 Quadraten: 3 · 8 = 24
4 Reihen mit 6 Quadraten: 4 · 6 = 24

Wenn Du eine Figur drehst, entsteht kein neuer Flächeninhalt. 6 · 4 und 4 · 6 gehören also zusammen.

Vermutung: Zahlen mit vielen passenden Faktoren lassen sich auf viele Arten als Rechteck legen.

Prüfe Deine Vermutung mit 18, 20 und 30 Quadraten.

Offene Lösungswege

Aufgabe: Lege 36 Quadrate als Rechteck aus.

Du darfst selbst entscheiden:

ob Du zuerst legst,
ob Du zuerst zeichnest,
ob Du zuerst rechnest,
wie Du Deine Lösung prüfst.

Finde möglichst viele verschiedene Rechtecke.

Gestufte Hilfe 1: Beginne mit 1 · 36.

Gestufte Hilfe 2: Prüfe nacheinander 2, 3, 4, 5 und 6 als mögliche Anzahl von Reihen.

Gestufte Hilfe 3: 36 lässt sich ohne Rest durch 2, 3, 4 und 6 teilen.

Gegenprobe: Multipliziere bei jeder Lösung Reihen · Quadrate pro Reihe.

Transferaufgabe

Ein rechteckiger Spielplatz soll mit 48 gleich großen quadratischen Platten bedeckt werden.

Finde mindestens drei mögliche rechteckige Anordnungen.

Erkläre:

Welche Anordnungen sind möglich?
Welche Form ist besonders lang und schmal?
Welche Form wirkt eher quadratisch?
Wie kannst Du jede Lösung prüfen?

Tipp: Kleine passende Zahlen reichen. Du musst dafür keine riesigen Zahlen verwenden.

Zahlenraum bis 1000000

In Klasse 4 arbeitest Du auch mit Zahlen bis 1.000.000. Beim Flächenlegen sind aber kleine Zahlen oft anschaulicher.

Beispiel:

8 · 9 = 72

Die Rechnung ist leichter zu sehen als eine Fläche mit hunderttausenden Quadraten.

Große Zahlen sind wichtig, aber beim Knobeln hilft oft ein kleines Beispiel.

Medien

Videonachweis: „Klasse 4: Flächeninhalt“, Karl-Nahrgang-Schule, YouTube, veröffentlicht 27.04.2020. Nutzung hier als YouTube-Einbettung; Rechte verbleiben beim Rechteinhaber. Geprüfter Inhalt: Flächeninhalt für Klasse 4.

Videonachweis: „Rechteck und Quadrat: Den Flächeninhalt berechnen | Erklärvideo“, Cornelsen Verlag, YouTube, veröffentlicht 08.09.2020. Nutzung hier als YouTube-Einbettung; Rechte verbleiben beim Rechteinhaber. Geprüfter Inhalt: Flächeninhalt von Rechteck und Quadrat.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was zeigt der Flächeninhalt? (Wie groß eine Fläche ist) (!Wie lang nur der Rand ist) (!Wie viele Ecken eine Figur hat) (!Wie schwer eine Figur ist)

Feedback: Der Flächeninhalt beschreibt die bedeckte Fläche. Der Rand gehört zum Umfang.

Ein Rechteck hat 3 Reihen mit je 4 Quadraten. Wie viele Quadrate sind es? (12) (!7) (!14) (!16)

Feedback: 3 · 4 = 12. Addieren von 3 + 4 würde nur 7 ergeben.

Welche Rechnung passt zu 5 Reihen mit je 6 Quadraten? (5 · 6 = 30) (!5 + 6 = 30) (!5 · 5 = 30) (!6 + 6 = 30)

Feedback: Gleiche Gruppen werden multipliziert: 5 Gruppen mit je 6 ergeben 30.

Welche Gegenprobe passt zu 4 · 7 = 28? (7 · 4 = 28) (!7 + 4 = 28) (!28 · 4 = 7) (!4 + 4 = 28)

Feedback: Durch Vertauschen der Faktoren kannst Du prüfen, ob dieselbe Fläche entsteht.

Welche Rechteckform kann aus 18 Quadraten entstehen? (3 Reihen mit 6 Quadraten) (!4 Reihen mit 5 Quadraten) (!5 Reihen mit 5 Quadraten) (!7 Reihen mit 3 Quadraten)

Feedback: 3 · 6 = 18. Die anderen Produkte ergeben nicht 18.

Was ist ein Einheitsquadrat? (Ein gleich großes Quadrat zum Auslegen einer Fläche) (!Eine Linie am Rand einer Figur) (!Ein Würfel mit einer Zahl) (!Eine Rechenregel für Addition)

Feedback: Ein Einheitsquadrat dient als gleich große Flächeneinheit.

Du legst 24 Quadrate als 4 Reihen aus. Wie viele Quadrate liegen in jeder Reihe? (6) (!4) (!8) (!20)

Feedback: 4 · 6 = 24. Die Gegenprobe ist 24 : 4 = 6.

Welche Aussage ist richtig? (6 · 4 und 4 · 6 ergeben gleich viele Quadrate) (!6 · 4 ist immer größer als 4 · 6) (!Nur 6 · 4 kann eine Fläche zeigen) (!Bei Flächen darf man Faktoren nie vertauschen)

Feedback: Beim Drehen des Rechtecks bleibt die Anzahl der Quadrate gleich.

Welche Zahl lässt sich als Rechteck 5 · 8 legen? (40) (!13) (!35) (!45)

Feedback: 5 · 8 = 40. Deshalb brauchst Du 40 Einheitsquadrate.

Warum ist eine Gegenprobe nützlich? (Sie hilft, ein Ergebnis auf einem zweiten Weg zu prüfen) (!Sie macht jede Zahl automatisch größer) (!Sie ersetzt jede Zeichnung) (!Sie ist nur bei Division erlaubt)

Feedback: Eine Gegenprobe gibt Dir Sicherheit, weil Du das Ergebnis anders überprüfst.

Memory

Flächeninhalt	Größe einer Fläche
Einheitsquadrat	gleich großes Quadrat zum Auslegen
Zeile	Quadrate nebeneinander
Spalte	Quadrate untereinander
Gegenprobe	Prüfung auf einem zweiten Weg
3 · 8	24 Quadrate

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Fläche	bedeckter Teil einer Figur
Flächeninhalt	Größe der bedeckten Fläche
Einheitsquadrat	gleich große Flächeneinheit
Reihe	waagerechte Anordnung
Gegenprobe	zweiter Prüfweg

Kreuzworträtsel

Flaeche	Wie heißt der Teil, den eine Figur bedeckt?
Quadrat	Welche Form hat ein Einheitsquadrat?
Reihen	Wie heißen waagerechte Gruppen von Quadraten?
Spalten	Wie heißen senkrechte Gruppen von Quadraten?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?
Probe	Kurzes Wort für eine Kontrolle des Ergebnisses?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Quadrate legen: Lege mit 12 Papierquadraten zwei verschiedene Rechtecke.
Kästchen zählen: Zeichne ein Rechteck aus 4 Reihen mit je 3 Kästchen und bestimme den Flächeninhalt.
Gegenprobe: Prüfe 5 · 4 = 20 durch Drehen oder Vertauschen der Faktoren.
Flächen erklären: Erkläre mit eigenen Worten, was ein Einheitsquadrat ist.

Standard

Rechtecke finden: Finde alle unterschiedlichen Rechtecke aus 24 Quadraten.
Rechenwege vergleichen: Zeige 6 · 8 = 48 mit Zeichnung, Rechnung und einer Gegenprobe.
Vermutungen: Vermute, ob 36 Quadrate mehr Rechteckformen erlauben als 35. Prüfe Deine Vermutung.
Fehler finden: Jemand behauptet 4 · 7 = 25. Zeige zwei Wege, wie Du den Fehler erkennst.

Schwer

Knobelaufgabe: Finde eine Zahl unter 60, die sich auf besonders viele Arten als Rechteck auslegen lässt. Begründe Deine Wahl.
Eigene Flächenaufgabe: Erfinde eine Knobelaufgabe mit höchstens 72 Quadraten und schreibe zwei Hilfen dazu.
Vergleichen und begründen: Vergleiche 24, 30 und 36 Quadrate. Welche Zahl hat die meisten verschiedenen Rechteckformen?
Transfer: Für einen kleinen rechteckigen Platz stehen 48 quadratische Platten bereit. Plane drei Anordnungen und entscheide, welche am praktischsten sein könnte.

Lernkontrolle

Darstellen und erklären: Stelle 28 Quadrate handelnd, bildlich und symbolisch als Rechteck dar. Erkläre, wie die Darstellungen zusammenpassen.
Lösungswege vergleichen: Zwei Kinder lösen 6 · 7 einmal durch Zählen und einmal durch Zerlegen in 5 · 7 + 1 · 7. Vergleiche beide Wege.
Vermutung prüfen: Ein Kind sagt: „Jede gerade Zahl kann als Rechteck mit 2 Reihen gelegt werden.“ Prüfe die Aussage an mehreren Beispielen und begründe.
Fehleranalyse: Ein Rechteck hat 5 Reihen und 8 Spalten. Jemand rechnet 5 + 8 = 13. Erkläre den Fehler und verbessere den Rechenweg.
Transferleistung: Du hast 40 quadratische Platten. Entwirf zwei verschiedene rechteckige Flächen und begründe, welche Form eher lang und welche eher kompakt ist.
Gegenprobe anwenden: Löse eine selbst gewählte Rechteckaufgabe und prüfe das Ergebnis mit einem anderen Rechenweg.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:

Du kannst eine Fläche mit gleich großen Quadraten auslegen.
Du kannst Reihen und Spalten erkennen.
Du kannst aus einer Kästchenfläche eine Multiplikationsaufgabe bilden.
Du kannst verschiedene Rechtecke mit derselben Anzahl Quadrate finden.
Du kannst Deinen Lösungsweg erklären.
Du kannst eine Vermutung prüfen.
Du kannst eine Gegenprobe verwenden.
Du kannst eine Aufgabe auf eine neue Situation übertragen.

OERs zum Thema

Medien- und Quellenprüfung

: Wikimedia Commons. Urheber: Mliu92. Lizenz: CC BY-SA 4.0. Verwendet als einzelnes Einheitsquadrat.
: Wikimedia Commons. Urheber: David Eppstein. Vom Urheber als gemeinfrei freigegeben. Verwendet als übersichtliches Quadratgitter.
: Wikimedia Commons. Urheber: Tomruen. Lizenz: CC BY-SA 4.0. Verwendet als regelmäßige Quadratpflasterung.
YouTube „Klasse 4: Flächeninhalt“: Kanal Karl-Nahrgang-Schule, veröffentlicht 27.04.2020. Eingebettet über YouTube; Rechte verbleiben beim Rechteinhaber.
YouTube „Rechteck und Quadrat: Den Flächeninhalt berechnen | Erklärvideo“: Cornelsen Verlag, veröffentlicht 08.09.2020. Eingebettet über YouTube; Rechte verbleiben beim Rechteinhaber.