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M4 Knobeln - Figuren Wege und Spiegelungen - Mathematik

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M4 Knobeln - Figuren Wege und Spiegelungen - Mathematik

Kurzbeschreibung: Figuren, Wege und Spiegelungen. Du knobelst mit Gittern, Wegen und Spiegelachsen. Du legst, zeichnest, beschreibst und prüfst.

Zielgruppe: Klasse 4

Wichtig: Start, Sicher und Knobeln sind hier Übungsstufen. Sie sind keine Schulzweige.

Übungswelt: In der bestehenden Übungswelt Mathe 4 auf MOOCwiki kannst Du passend weiterüben.

Einleitung

Bei diesem aiMOOC arbeitest Du mit Figuren, Wegen und Spiegelungen. Viele Aufgaben löst Du zuerst mit Material, dann mit einer Zeichnung und danach mit Zeichen oder Zahlen.

Du darfst verschiedene Lösungswege ausprobieren. Wichtig ist: Erkläre, warum Dein Weg stimmt.

Der Zahlenraum in Mathematik 4 reicht bis 1.000.000. Bei Figuren und Wegen sind aber oft kleine Zahlen sinnvoller. Deshalb rechnen wir hier meist mit kleinen Abständen, Kästchenzahlen und Weglängen.

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „Mirror Reflection Symmetry Exhibit.jpg“. Urheberin: Aliva Sahoo. Lizenz: CC BY 4.0. Verwendeter Ausschnitt: die vollständige Abbildung des Spiegel-Exponats. Quelle: commons:File:Mirror Reflection Symmetry Exhibit.jpg

Figuren erkennen und beschreiben

Eine Figur ist eine Form. Sie kann aus Linien, Ecken und Flächen bestehen.

Beispiele:

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.
Ein Rechteck hat vier Ecken.
Eine Figur im Kästchenraster kann man mit Kästchen beschreiben.

Verständnisfrage: Wie kannst Du eine Figur so beschreiben, dass ein anderes Kind sie nachzeichnen kann?

Gestufte Hilfe:

Hilfe 1: Nenne zuerst die Form.
Hilfe 2: Nenne dann Seiten, Ecken oder Kästchen.
Hilfe 3: Beschreibe zum Schluss die Lage: oben, unten, links, rechts.

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „Quadrilateral symmetries.svg“. Urheber: David Eppstein. Lizenz: CC0. Verwendeter Ausschnitt: vollständige Übersicht zu Spiegelachsen bei Vierecken. Quelle: commons:File:Quadrilateral symmetries.svg

Wege im Gitter

Ein Weg besteht aus einzelnen Schritten.

Beispiel: Gehe 3 Kästchen nach rechts, 2 nach oben und 1 nach links.

Du kannst denselben Zielpunkt oft auf verschiedenen Wegen erreichen.

Knobelidee: Welcher Weg ist am kürzesten? Gibt es mehrere gleich kurze Wege?

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „Simple maze on grid.svg“. Urheber: Hunsvotti. Lizenz: CC0. Verwendeter Ausschnitt: vollständiges Labyrinth im Gitter. Quelle: commons:File:Simple maze on grid.svg

Gegenprobe: Gehe Deinen Weg rückwärts. Kommst Du wieder zum Start?

Wege handelnd, bildlich und symbolisch

Du kannst einen Weg auf drei Arten darstellen.

Handelnd: Gehe mit einer Spielfigur auf einem Raster.
Bildlich: Zeichne Pfeile in ein Kästchengitter.
Symbolisch: Schreibe zum Beispiel R3, O2, L1. Das bedeutet: 3 nach rechts, 2 nach oben, 1 nach links.

Beispiel: R4, O2, L4, U2 führt wieder zum Start.

Gegenprobe: Kehre die Reihenfolge um und drehe jede Richtung um: O wird U, U wird O, R wird L, L wird R.

Spiegelungen

Bei einer Spiegelung entsteht ein Spiegelbild.

Die Spiegelachse ist die Linie, an der gespiegelt wird.

Ein Punkt und sein Spiegelpunkt haben zur Spiegelachse den gleichen Abstand.

So kannst Du spiegeln:

Zähle die Kästchen vom Punkt bis zur Spiegelachse.
Gehe auf der anderen Seite gleich viele Kästchen weiter.
Markiere den Spiegelpunkt.
Verbinde die neuen Punkte in derselben Reihenfolge.

Videonachweis: „Achsensymmetrie – Einfach erklärt“, Cornelsen Verlag Grundschule, veröffentlicht 2017. Passender Ausschnitt: Erklärung für Klasse 4 zum Spiegeln von Punkten, Strecken und Figuren. Lizenzstatus: Auf der recherchierten Videoseite nicht als freie Creative-Commons-Lizenz ausgewiesen; deshalb wird das Video nur über die YouTube-Einbettung gezeigt und nicht kopiert.

Spiegeln im Kästchenraster

Nimm eine einfache Figur aus 4 oder 5 Eckpunkten.

Beispiel: Ein Eckpunkt liegt 2 Kästchen links von der Spiegelachse. Sein Spiegelpunkt liegt 2 Kästchen rechts von der Spiegelachse.

Prüfung:

Sind die Abstände zur Spiegelachse gleich?
Haben beide Figuren gleich viele Seiten?
Sind entsprechende Strecken gleich lang?

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „Squaregrid.jpg“. Urheber: Adamrickayzen. Lizenz: CC0 1.0. Verwendeter Ausschnitt: vollständiges 7×7-Gitter mit markierten Quadraten. Quelle: commons:File:Squaregrid.jpg

Eine Figur kann mehrere Spiegelachsen haben

Ein Quadrat hat mehrere Spiegelachsen. Manche Figuren haben genau eine. Andere haben keine.

Vermutung: Falte ein ausgeschnittenes Quadrat. Wie viele Faltlinien findest Du, bei denen beide Hälften genau aufeinanderliegen?

Begründe: Eine Linie ist nur dann Spiegelachse, wenn beide Seiten genau zueinander passen.

Videonachweis: „Achsensymmetrie | Wie spiegelt man? | Was ist achsensymmetrisch? | 4. Klasse“, Kanal „Schule einfach einfach“, veröffentlicht 2021. Passender Ausschnitt: Beispiele zu achsensymmetrischen Figuren und zum Ergänzen von Spiegelbildern. Lizenzstatus: Auf der recherchierten Videoseite nicht als freie Creative-Commons-Lizenz ausgewiesen; deshalb wird das Video nur eingebettet und nicht kopiert.

Knobeln mit Spiegelwegen

Stell Dir vor, ein Weg wird an einer senkrechten Achse gespiegelt.

Aus „2 nach rechts“ wird auf der anderen Seite „2 nach links“.

Aus „3 nach oben“ bleibt „3 nach oben“.

Warum? Nur die Richtung quer zur Spiegelachse wechselt.

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „Maze grid0 top eg1.svg“. Urheber: Curkuma Putz. Lizenz: CC BY-SA 4.0. Verwendeter Ausschnitt: vollständige 5×5-Gitterdarstellung mit Labyrinth. Quelle: commons:File:Maze grid0 top eg1.svg

Gegenproben helfen

Eine Gegenprobe ist eine Prüfung Deiner Lösung.

Bei Wegen:

Gehe den Weg rückwärts.

Bei Spiegelungen:

Miss oder zähle die Abstände zur Spiegelachse.

Bei Figuren:

Vergleiche Seiten, Ecken und Lage.

Wenn die Gegenprobe nicht passt, suche den Fehler und verbessere Deinen Weg.

Knobelbild mit Bewegung und Spiegelung

Mediennachweis: Wikimedia Commons, Datei „Ambigram-8-eight-math-2-1-5-rotation-mirror-high-resolution.gif“. Urheber: Basile Morin. Lizenz: CC BY-SA 4.0. Verwendeter Ausschnitt: vollständige Animation. Sie zeigt Spiegel- und Drehsymmetrien einer Zahlendarstellung. Quelle: commons:File:Ambigram-8-eight-math-2-1-5-rotation-mirror-high-resolution.gif

Beobachte: Was bleibt gleich? Was verändert sich?

Transfer: Wege planen

Auf einem 6×6-Gitter liegt der Start unten links und das Ziel oben rechts.

Du darfst nur nach rechts oder nach oben gehen.

Finde:

einen möglichen Weg,
einen zweiten Weg,
einen möglichst kurzen Weg.

Transferfrage: Wie ändert sich Dein Weg, wenn das ganze Gitter an einer senkrechten Achse gespiegelt wird?

Tipp: Du musst dafür keine großen Zahlen benutzen. Entscheidend ist Dein Plan.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist eine Spiegelachse? (Eine Linie, an der eine Figur gespiegelt wird) (!Eine Linie, die immer waagerecht ist) (!Eine Seite eines Rechtecks) (!Ein besonders langer Weg)

Feedback: Richtig ist die Linie, an der gespiegelt wird. Prüfe bei Unsicherheit gleiche Abstände auf beiden Seiten.

Wie weit liegt ein Spiegelpunkt von der Spiegelachse entfernt? (Genauso weit wie der ursprüngliche Punkt) (!Immer ein Kästchen weiter) (!Doppelt so weit) (!Direkt auf der Achse)

Feedback: Beim Spiegeln bleibt der Abstand zur Spiegelachse gleich.

Welche Gegenprobe passt zu einem Weg? (Den Weg rückwärts gehen) (!Die Figur größer zeichnen) (!Alle Zahlen verdoppeln) (!Nur den Startpunkt ansehen)

Feedback: Beim Rückwärtsgehen kannst Du prüfen, ob die Schritte wirklich zusammenpassen.

Was bedeutet R3 bei einer Wegbeschreibung? (Drei Kästchen nach rechts) (!Drei Kästchen nach oben) (!Drei Kästchen nach links) (!Drei Kästchen nach unten)

Feedback: R steht hier für rechts. Die Zahl gibt die Anzahl der Kästchen an.

Was bleibt bei einer Spiegelung gleich? (Die Länge einer Strecke) (!Links und rechts bleiben immer gleich) (!Jeder Punkt bleibt am selben Ort) (!Die Spiegelachse verschwindet)

Feedback: Die Figur wird nicht gestreckt. Entsprechende Strecken bleiben gleich lang.

Welche Darstellung ist handelnd? (Eine Spielfigur auf einem Raster bewegen) (!Nur eine Rechnung aufschreiben) (!Nur ein Wort lesen) (!Eine Zahl runden)

Feedback: Handelnd bedeutet: Du tust etwas mit Material oder Gegenständen.

Wann ist eine Linie eine Spiegelachse? (Wenn beide Seiten der Figur genau zueinander passen) (!Wenn sie besonders dick gezeichnet ist) (!Wenn sie am Rand liegt) (!Wenn sie länger als die Figur ist)

Feedback: Bei einer echten Spiegelachse decken sich die beiden Seiten beim Spiegeln.

Ein Punkt liegt 4 Kästchen links von einer senkrechten Spiegelachse. Wo liegt sein Spiegelpunkt? (4 Kästchen rechts von der Achse) (!8 Kästchen rechts von der Achse) (!4 Kästchen oberhalb der Achse) (!Auf der Achse)

Feedback: Der Abstand bleibt 4 Kästchen. Nur die Seite wechselt.

Warum sind kleine Zahlen bei Gitterwegen oft sinnvoll? (Weil man den Weg übersichtlich darstellen kann) (!Weil Klasse 4 nur bis 10 rechnet) (!Weil Spiegelungen keine Zahlen brauchen) (!Weil große Zahlen verboten sind)

Feedback: Der Zahlenraum kann bis 1.000.000 reichen. Für diese Geometrieaufgabe reichen kleine Zahlen aber aus.

Was ist beim Knobeln besonders wichtig? (Einen Lösungsweg begründen und prüfen) (!Nur schnell raten) (!Immer nur einen Weg zulassen) (!Die größte Zahl benutzen)

Feedback: Beim Knobeln darfst Du verschiedene Wege finden. Wichtig ist eine gute Begründung und eine Prüfung.

Memory

Spiegelachse	Linie zum Spiegeln
Spiegelpunkt	Punkt auf der anderen Seite
Weg	Folge von Schritten
Gegenprobe	Prüfung einer Lösung
Raster	Netz aus Kästchen
Figur	Form aus Linien oder Flächen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
gleicher Abstand	Spiegelpunkt
rückwärts gehen	Gegenprobe beim Weg
Kästchen zählen	Spiegeln im Raster
Spielfigur bewegen	handelnder Zugang
Pfeile zeichnen	bildlicher Zugang
R3 O2	symbolischer Zugang

Kreuzworträtsel

Raster	Wie heißt ein Netz aus Kästchen?
Spiegelachse	Wie heißt die Linie, an der gespiegelt wird?
Figur	Wie nennt man eine Form aus Linien oder Flächen?
Abstand	Was muss bei Punkt und Spiegelpunkt zur Achse gleich sein?
Gegenprobe	Wie heißt die Prüfung einer Lösung?
Spiegelpunkt	Wie heißt der zu einem Punkt gespiegelte Punkt?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Figuren legen: Lege mit Stäbchen ein Quadrat, ein Rechteck und eine eigene Figur. Beschreibe jede Figur mit kurzen Sätzen.
Wege gehen: Lege ein 5×5-Raster auf den Boden. Gehe einen Weg und diktiere ihn einem Partner.
Spiegeln mit Falten: Falte Papierfiguren und suche Spiegelachsen.
Spiegelpunkte: Zeichne fünf Punkte neben eine Achse und spiegle sie im Kästchenraster.

Standard

Wege vergleichen: Finde drei Wege zwischen denselben Punkten. Begründe, welcher Weg am kürzesten ist.
Figur diktieren: Beschreibe eine Rasterfigur so genau, dass ein anderes Kind sie ohne Vorlage zeichnen kann.
Fehler finden: Zeichne absichtlich ein falsches Spiegelbild. Lass ein anderes Kind den Fehler mit einer Gegenprobe finden.
Vermutung prüfen: Vermute, wie viele Spiegelachsen ein Quadrat, ein Rechteck und ein gleichschenkliges Dreieck haben. Prüfe durch Falten.

Schwer

Spiegelweg: Zeichne einen Weg links von einer senkrechten Achse und spiegle den ganzen Weg. Erkläre, welche Richtungen sich ändern.
Mehrere Lösungen: Finde auf einem 6×6-Gitter möglichst viele gleich kurze Wege vom Start zum Ziel. Beschreibe Dein Suchsystem.
Eigenes Knobelrätsel: Erfinde ein Rätsel mit Figur, Weg und Spiegelung. Gib eine Lösung und eine Gegenprobe an.
Transferaufgabe: Plane einen Weg durch ein kleines Labyrinth. Spiegle das Labyrinth gedanklich und beschreibe, wie sich Deine Weganweisungen verändern.

Lernkontrolle

Spiegelung begründen: Ein Kind behauptet, sein Spiegelbild sei richtig. Erkläre mit Abständen zur Spiegelachse, wie Du das prüfst.
Wege vergleichen: Zwei Kinder erreichen dasselbe Ziel mit verschiedenen Wegen. Entwickle eine Methode, mit der Du entscheidest, welcher Weg kürzer ist.
Darstellungen wechseln: Übertrage eine handelnde Wegfolge zuerst in eine Zeichnung und danach in eine kurze Symbolschreibweise.
Fehleranalyse: In einem Spiegelbild ist ein Eckpunkt ein Kästchen zu weit von der Achse entfernt. Erkläre, wie sich dieser Fehler auf die Figur auswirkt.
Transfer: Ein Weg wird an einer senkrechten Achse gespiegelt. Erkläre allgemein, was mit Rechts- und Linksschritten sowie Auf- und Abwärtsschritten passiert.
Offene Lösung: Finde zwei verschiedene Lösungswege für ein Gitterproblem und begründe, warum beide richtig sind.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:

Du kannst Figuren im Raster beschreiben.
Du kannst Wege handelnd, bildlich und symbolisch darstellen.
Du kannst Punkte und einfache Figuren an einer Achse spiegeln.
Du kannst gleiche Abstände als Prüfmethode nutzen.
Du kannst eine Gegenprobe durchführen.
Du kannst verschiedene Lösungswege vergleichen.
Du kannst eine Vermutung aufstellen und begründen.
Du kannst eine kleine Transferaufgabe zu einem gespiegelten Weg lösen.

Der Lernnachweis enthält keine externen Medien. Arbeite mit Papier, Raster, Lineal und Deinen Erklärungen.

OERs zum Thema

Zum Nachschlagen:

Medien und Quellen

Die eingebundenen Commons-Dateien wurden über ihre Dateiseiten geprüft.

Mirror Reflection Symmetry Exhibit.jpg: Aliva Sahoo, CC BY 4.0, vollständige Abbildung.
Quadrilateral symmetries.svg: David Eppstein, CC0, vollständige Grafik.
Simple maze on grid.svg: Hunsvotti, CC0, vollständige Grafik.
Squaregrid.jpg: Adamrickayzen, CC0 1.0, vollständige Abbildung.
Maze grid0 top eg1.svg: Curkuma Putz, CC BY-SA 4.0, vollständige Grafik.
Ambigram-8-eight-math-2-1-5-rotation-mirror-high-resolution.gif: Basile Morin, CC BY-SA 4.0, vollständige Animation.
YouTube „Achsensymmetrie – Einfach erklärt“: Cornelsen Verlag Grundschule, Video-ID 7UA8VdOYt-s, veröffentlicht 2017, nur eingebettet.
YouTube „Achsensymmetrie | Wie spiegelt man? | Was ist achsensymmetrisch? | 4. Klasse“: Schule einfach einfach, Video-ID tQnizyJCRUQ, veröffentlicht 2021, nur eingebettet.

Bei den beiden YouTube-Videos wurde der Inhalt und der veröffentlichende Kanal geprüft. Eine freie Creative-Commons-Lizenz war in den recherchierten Videoinformationen nicht ausgewiesen. Deshalb werden die Videos nicht übernommen, sondern nur über die YouTube-Einbettung verlinkt.