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M3 Start - Umfang und Flächen entdecken - Mathematik

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M3 Start - Umfang und Flächen entdecken - Mathematik

Einleitung

Umfang und Flächen entdecken

Wie lang ist der Rand eines Blattes? Wie viele kleine Quadrate passen auf das Blatt?

In diesem aiMOOC lernst Du den Unterschied zwischen Umfang und Flächeninhalt.

Du legst, zeichnest, zählst und rechnest. Wir verwenden kleine Zahlen bis 1000.

Dein Lernziel:

Du kannst den Rand einer Figur messen.
Du kannst eine Fläche mit Quadraten auslegen.
Du kannst Deinen Rechenweg erklären und prüfen.

Dein Material: Papier, Lineal, Schnur, Buntstifte und kleine Papierquadrate.

Deine Übungswelt: Mathe 3 – Umfang und Flächen entdecken auf MOOCwiki.

Wichtig: Start, Sicher und Knobeln sind drei Übungsstufen. Es sind keine Schulzweige. Du beginnst mit Start, übst bei Sicher weiter und kannst bei Knobeln forschen.

Den Umfang entdecken

Der Umfang ist die Länge des ganzen Randes einer Figur.

Stell Dir vor, eine Ameise läuft einmal um ein Rechteck. Ihr Weg ist der Umfang.

So geht es:

Lege eine Schnur einmal um ein rechteckiges Blatt.
Markiere, wie lang die Schnur ist.
Lege die Schnur gerade hin.
Miss mit dem Lineal.

Merke: Umfang bedeutet: alle Randstücke zusammen.

Ein Rechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit.

4 + 3 + 4 + 3 = 14 cm

U ist das Zeichen für Umfang.

Verständnisfrage: Warum werden vier Seiten addiert? Weil das Rechteck vier Randstücke hat.

Video: Umfang und Fläche verstehen

Videoauftrag: Achte darauf, was außen und was innen an einer Figur liegt. Erkläre den Unterschied mit eigenen Worten.

Den Flächeninhalt entdecken

Der Flächeninhalt sagt, wie groß die Fläche innerhalb des Randes ist.

Lege kleine Quadrate ohne Lücken und ohne Überlappung auf ein Blatt.

So geht es:

Lege gleich große Quadrate in Reihen.
Zähle die Quadrate in einer Reihe.
Zähle die Reihen.
Zähle alle Quadrate zusammen.

Bildauftrag: Zähle im Bild die kleinen Quadrate. Die Farben ändern nichts an der Größe eines Quadrats.

Ein Quadratzentimeter ist ein Quadrat mit 1 cm langen Seiten. Du schreibst cm².

A ist das Zeichen für den Flächeninhalt.

Merke: Der Umfang wird zum Beispiel in cm gemessen. Der Flächeninhalt wird zum Beispiel in cm² angegeben.

Video: Flächen mit Quadraten messen

Videoauftrag: Achte auf die Einheitsquadrate. Ein Einheitsquadrat ist ein kleines Quadrat mit festgelegter Größe. Du kannst Dich hier auf das Zählen der Quadrate konzentrieren. Dreiecke sind ein freiwilliger Ausblick.

Ein Beispiel – vollständig gelöst

Aufgabe: Ein Papierrechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit. Wie groß sind Umfang und Flächeninhalt?

Schritt 1 – Handeln: Schneide ein solches Rechteck aus. Lege Schnur um den Rand. Lege 1-cm-Quadrate auf die Fläche.

Schritt 2 – Umfang sehen: Das Rechteck hat zwei Seiten mit 4 cm und zwei Seiten mit 3 cm.

Schritt 3 – Umfang rechnen:

U = 4 cm + 3 cm + 4 cm + 3 cm

U = 14 cm

Schritt 4 – Fläche sehen: Innen liegen 3 Reihen mit je 4 Quadraten.

Schritt 5 – Flächeninhalt rechnen:

A = 4 + 4 + 4

A = 3 · 4

A = 12 cm²

Schritt 6 – Gegenprobe:

Beim Umfang kannst Du andersherum addieren:

3 + 4 + 3 + 4 = 14

Bei der Fläche kannst Du die Quadrate anders gruppieren:

3 + 3 + 3 + 3 = 12

Ergebnis: Der Umfang beträgt 14 cm. Der Flächeninhalt beträgt 12 cm².

Achtung: 14 cm und 12 cm² sind verschiedene Größen. Du darfst sie nicht einfach miteinander vergleichen.

Drei Übungsstufen

Start – Ich entdecke

Aufgabe A: Ein Rechteck ist 3 cm lang und 2 cm breit. Bestimme den Umfang.

Aufgabe B: Lege zwei Reihen mit je vier Quadraten. Wie viele Quadrate sind es?

Hilfestufe 1: Fahre den Rand mit dem Finger ab. Zähle bei der Fläche die einzelnen Quadrate.

Hilfestufe 2: Schreibe für A: 3 + 2 + 3 + 2. Schreibe für B: 4 + 4.

Selbstkontrolle: A = 10 cm Umfang. B = 8 Quadrate.

Sicher – Ich prüfe

Ein Rechteck ist 5 cm lang und 2 cm breit.

Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. Zeichne die Figur auf Karopapier.

Hilfestufe 1: Umfang heißt Rand. Flächeninhalt heißt Innenfläche.

Hilfestufe 2: Addiere beim Umfang vier Seiten. Zähle bei der Fläche zwei Reihen mit je fünf Quadraten.

Selbstkontrolle: U = 14 cm und A = 10 cm².

Knobeln – Ich forsche

Ein Quadrat mit 3 cm Seitenlänge und ein Rechteck mit 4 cm und 2 cm Seitenlänge haben beide den Umfang 12 cm.

Haben sie auch den gleichen Flächeninhalt?

Hilfestufe 1: Zeichne beide Figuren auf Karopapier.

Hilfestufe 2: Vergleiche 3 · 3 mit 4 · 2.

Lösung: Nein. Das Quadrat hat 9 cm². Das Rechteck hat 8 cm².

Entdeckung: Gleicher Umfang bedeutet nicht immer gleiche Fläche.

Forscher-Animation: Beobachte, wie ein Stück einer Figur an eine andere Stelle wandert. Bleibt die gesamte bedeckte Fläche gleich?

Diese Animation ist ein freiwilliger Ausblick. Du musst die schräge Figur noch nicht berechnen.

Zeichnen und kontrollieren

Auf kariertem Papier kannst Du Figuren zeichnen, Seiten ablesen und Quadrate zählen. Das Bild zeigt Millimeterpapier mit verschiedenen Rasterweiten. Benutze für unsere Aufgaben die großen Zentimeterquadrate.

Deine Gegenprobe:

Prüfe den Umfang mit Schnur oder durch erneutes Addieren.
Prüfe den Flächeninhalt durch Abzählen in einer anderen Richtung.
Vergleiche Deine Rechnung mit Deiner Zeichnung.

Frage zum Nachdenken: Für einen Zaun brauchst Du den Umfang. Für einen Teppich brauchst Du den Flächeninhalt. Warum?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet Umfang? (Die gesamte Länge des Randes) (!Die Anzahl der Quadrate innen) (!Die Farbe einer Figur) (!Der Platz auf dem Papier)

Feedback: Richtig ist die Randlänge. Fahre mit dem Finger einmal um die Figur.

Was misst der Flächeninhalt? (Die Größe der bedeckten Fläche) (!Nur die längste Seite) (!Nur den Rand) (!Die Anzahl der Ecken)

Feedback: Der Flächeninhalt beschreibt den Platz innerhalb des Randes.

Was hilft Dir beim Messen des Randes? (Lineal und Schnur) (!Nur ein Radiergummi) (!Ein Würfelbecher) (!Ein Wörterbuch)

Feedback: Die Schnur folgt dem Rand. Mit dem Lineal misst Du ihre Länge.

Ein Rechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit. Wie groß ist der Umfang? (14 cm) (!12 cm) (!7 cm) (!24 cm)

Feedback: Du addierst alle Seiten: 4 + 3 + 4 + 3 = 14.

Wie groß ist der Flächeninhalt eines Rechtecks mit 4 cm und 3 cm Seitenlänge? (12 Quadratzentimeter) (!14 Quadratzentimeter) (!7 Quadratzentimeter) (!24 Quadratzentimeter)

Feedback: Drei Reihen mit je vier Quadraten ergeben 12 Quadratzentimeter.

Was ist ein Quadratzentimeter? (Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge) (!Eine Strecke von 1 cm) (!Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge) (!Ein Rechteck mit 1 m Länge)

Feedback: Ein Quadrat mit Seitenlänge 1 cm hat die Fläche 1 cm².

Wie viele Kästchen sind drei Reihen mit je vier Kästchen? (12 Kästchen) (!7 Kästchen) (!9 Kästchen) (!16 Kästchen)

Feedback: 4 + 4 + 4 = 12. Das ist auch 3 mal 4.

Ein Quadrat hat 3 cm lange Seiten. Wie groß ist sein Umfang? (12 cm) (!9 cm) (!6 cm) (!3 cm)

Feedback: Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten: 3 + 3 + 3 + 3.

Welche Gegenprobe passt zum Flächeninhalt von drei Reihen mit je vier Kästchen? (Vier Gruppen mit je drei Kästchen zählen) (!Nur eine Seite messen) (!Alle Ecken zählen) (!Die Farbe wechseln)

Feedback: Beide Zählwege liefern 12 Kästchen.

Zwei Figuren haben den gleichen Umfang. Was ist sicher gleich? (Die Länge ihres Randes) (!Ihr Flächeninhalt) (!Ihre Form) (!Ihre Breite)

Feedback: Gleicher Umfang sagt nur etwas über den Rand aus. Die Innenfläche kann unterschiedlich sein.

Memory

Finde die passenden Begriffe und Erklärungen.

Umfang	Gesamtlänge des Randes
Flächeninhalt	Größe der bedeckten Fläche
Zentimeter	Längeneinheit
Quadratzentimeter	Fläche eines Quadrats mit ein Zentimeter langen Seiten
Lineal	Werkzeug zum Messen gerader Strecken
Einheitsquadrat	Quadrat mit festgelegter Größe
Gegenprobe	Kontrolle durch einen anderen Lösungsweg

Drag and Drop

Ordne jeder Tätigkeit den passenden Begriff zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Schnur	Rand abfahren
Lineal	Seitenlänge messen
Quadratplättchen	Innenfläche auslegen
Addition	Randlängen zusammenzählen
Multiplikation	Gleich große Reihen zusammenfassen

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie heißt die gesamte Länge des Randes?
Fläche	Was liegt innerhalb des Randes?
Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel und gegenüberliegende gleich lange Seiten?
Quadrat	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Lineal	Womit kannst Du eine gerade Strecke messen?
Kästchen	Was zählst Du auf kariertem Papier beim Bestimmen einer Fläche?

LearningApps

Lückentext

Die Länge des ganzen Randes heißt

.

Den Rand kannst Du mit einer

abfahren.

Eine gerade Strecke misst Du mit dem

.

Die Größe einer bedeckten Fläche heißt

.

Beim Auslegen darf es keine

geben.

Ein Quadrat mit ein Zentimeter langen Seiten hat den Flächeninhalt ein

.

Drei Reihen mit je vier Kästchen enthalten

Kästchen.

Der Umfang des Rechtecks mit den Seitenlängen vier und drei Zentimeter beträgt

Zentimeter.

Durch einen zweiten Lösungsweg machst Du eine

.

Offene Aufgaben

Leicht

Schnurweg: Lege eine Schnur um ein Buch. Miss anschließend die Länge der Schnur.
Quadratbild: Lege aus zwölf gleich großen Papierquadraten ein Rechteck.
Figurenjagd: Suche drei rechteckige Gegenstände im Klassenzimmer und zeichne sie.
Messdetektive: Miss Länge und Breite Deines Heftes und notiere die Werte.

Standard

Karopapier-Werkstatt: Zeichne zwei Rechtecke, zähle ihre Quadrate und bestimme den Umfang.
Zaun oder Teppich: Erfinde zwei kurze Sachaufgaben, eine zum Umfang und eine zum Flächeninhalt.
Erklärkarte: Gestalte eine Karte mit Bild, Rechnung und Gegenprobe zu einem Rechteck.
Partnerprüfung: Tausche Deine Zeichnung mit einem anderen Kind. Prüft gegenseitig die Rechnungen.

Schwer

Gleicher Rand: Finde zwei verschiedene Rechtecke mit 14 cm Umfang. Vergleiche ihre Flächen.
Zwölf Plättchen: Lege aus zwölf Quadraten möglichst viele verschiedene Rechtecke und vergleiche ihre Umfänge.
Erklärvideo: Plane mit Deiner Gruppe ein kurzes Video, in dem Ihr Umfang und Flächeninhalt mit Papier erklärt. Verwendet nur eigene Aufnahmen und Materialien.
Fehlerforscher: Erfinde eine falsche Umfangsrechnung und erkläre, wie man den Fehler mit einer Gegenprobe entdeckt.

Lernkontrolle

Schulgarten: Ein Beet ist 6 m lang und 3 m breit. Erkläre, ob Du für einen Zaun den Umfang oder den Flächeninhalt brauchst. Berechne die benötigte Zaunlänge.
Zwei Rechtecke: Lege mit zwölf gleich großen Quadraten ein Rechteck aus drei Reihen und eines aus zwei Reihen. Vergleiche die Umfänge bei einer Kästchenseitenlänge von 1 cm.
Falsche Einheit: Ein Kind schreibt für einen Flächeninhalt 12 cm. Erkläre den Fehler und verbessere die Antwort.
Zwei Lösungswege: Zeichne ein Rechteck mit 4 cm und 2 cm langen Seiten. Zeige den Umfang und die Fläche jeweils mit einem zweiten Kontrollweg.
Forscherfrage: Können zwei Figuren den gleichen Umfang, aber verschiedene Flächeninhalte haben? Zeige es mit zwei Zeichnungen und erkläre Deine Antwort.
Mein Klassenraum: Erkläre, warum man für eine Fußleiste den Rand des Raums und für einen neuen Bodenbelag die Bodenfläche betrachten muss.

Lernnachweis

Zeige, was Du gelernt hast. Sammle dafür eine kleine Lernmappe.

Eine Zeichnung eines Rechtecks mit beschrifteten Seiten.
Eine passende Darstellung mit Papierquadraten.
Eine richtige Umfangsrechnung mit Längeneinheit.
Eine richtige Flächenrechnung mit Flächeneinheit.
Eine Gegenprobe für beide Ergebnisse.
Eine kurze Erklärung, wann Umfang und wann Flächeninhalt gebraucht wird.
Eine selbst gelöste Alltagsaufgabe.

Das kannst Du jetzt sagen: Ich kenne den Unterschied zwischen Rand und Fläche. Ich kann beide Größen bestimmen und meine Ergebnisse überprüfen.

OERs zum Thema

Wikipedia: Umfang

Wikipedia: Flächeninhalt

Diese Artikel sind für Erwachsene geschrieben. Nutze für Klasse 3 zuerst die einfachen Erklärungen und Aufgaben dieses aiMOOCs.

Medienquellen und Lizenzen

Alle folgenden Abbildungen und die Animation stammen aus Wikimedia Commons. Angezeigt wird jeweils die vollständige Originaldarstellung, ohne eigenen Zuschnitt oder Veränderung.

PerimeterRectangle.svg: Urheber NYKevin; Lizenz CC0 1.0; Inhalt: Umfang eines Rechtecks; Verwendung: Erklärung des Randes. Dateiseite
Illustration for the area of a rectangle.svg: Urheber Stephan Kulla; Lizenz CC0 1.0; Inhalt: Flächeninhalt eines Rechtecks; Verwendung: Veranschaulichung der Innenfläche. Dateiseite
Grid4xnColoredSquares.svg: Urheber Leon_math; Lizenz CC0 1.0; Inhalt: farbige quadratische Rasterfelder; Verwendung: Kästchen und Reihen erkennen. Dateiseite
Graph paper mm green A4.svg: Urheber László Németh; Lizenz CC0 1.0; Inhalt: kariertes Millimeterpapier; Verwendung: Zeichnen und Messen. Dateiseite
Parallelogram area animated.gif: Urheber Picknick; Lizenz CC BY-SA 4.0; Inhalt: Umlegen eines Flächenstücks; Verwendung: freiwilliger Ausblick zur Flächengleichheit. Gesamte Animation, etwa sieben Sekunden. Dateiseite
Flächeninhalt und Umfang – das bedeuten die Begriffe: Kanal Frau Weber digital; veröffentlicht 2020; offizieller YouTube-Link: Video. Lernbezug: Begriffe und Zentimeterquadrate laut Videobeschreibung. Eingebettet als Einführung, ohne minutengenauen Ausschnitt.
Flächeninhalt bestimmen: Kanal Frau S; veröffentlicht 2020; offizieller YouTube-Link: Video. Lernbezug: Einheitsquadrate und Einheitsdreiecke laut Videobeschreibung. Für die Start-Stufe ist der Teil mit Quadraten vorgesehen; eine genaue Zeitmarke ist nicht verifiziert.

Rechtehinweis zu YouTube: Für die beiden Videos konnte keine freie Creative-Commons-Lizenz verlässlich bestätigt werden. Sie werden nur über die YouTube-Einbettung angeboten, nicht kopiert, verändert oder als eigene Dateien bereitgestellt. Die Videotitel, Kanalangaben und Beschreibungen wurden geprüft; eine vollständige Sichtprüfung der Videos und minutengenauen Ausschnitte war nicht möglich.

Audio: Es wurde keine fachlich passende Wikimedia-Commons-Audiodatei mit ausreichend gesicherten Angaben gefunden. Deshalb ist kein Audio eingebunden.

Sachquellen: Wikipedia – Umfang und Wikipedia – Flächeninhalt.