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M3 Sicher - Umfang und Flächen entdecken - Mathematik

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M3 Sicher - Umfang und Flächen entdecken - Mathematik

Kurzbeschreibung: Umfang und Flächen entdecken.

Mathematik – Klasse 3 – Übungsstufe Sicher

Du lernst, den Rand einer Figur zu messen und die Fläche im Inneren zu bestimmen. Du legst, zeichnest, rechnest und prüfst Deine Ergebnisse.

Wichtig: Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen. Sie sind keine Schulzweige.

Du brauchst: kariertes Papier, Lineal, Faden, Stift und kleine Plättchen.

Einleitung

Ein Garten hat einen Rand und eine Fläche.

Für einen Zaun brauchst Du die Länge des Randes. Für einen Teppich brauchst Du die Größe der Fläche.

Beides kannst Du untersuchen!

Denkfrage: Wo würdest Du bei diesem Rechteck einen Faden entlanglegen? Wo würdest Du Plättchen hinlegen?

Dein Lernweg: erst handeln, dann zeichnen, dann rechnen, zuletzt prüfen.

Umfang: Wie lang ist der Rand?

Der Umfang ist die Länge des gesamten Randes.

Lege einen Faden um ein Buch. Miss danach die Länge des Fadens.

Bei einem Rechteck kannst Du alle vier Seiten zusammenzählen.

Beispiel: Ein Rechteck ist 4 cm lang und 2 cm breit.

Umfang: 4 cm + 2 cm + 4 cm + 2 cm = 12 cm.

Gegenprobe: 4 cm + 4 cm + 2 cm + 2 cm = 12 cm.

Verständnisfrage: Warum müssen alle vier Seiten mitgezählt werden?

Merke: Den Umfang gibst Du zum Beispiel in Zentimetern (cm) an.

Flächeninhalt: Wie viel Platz ist innen?

Der Flächeninhalt sagt, wie groß die Fläche im Inneren ist.

Lege eine Figur mit gleich großen quadratischen Plättchen aus. Es darf keine Lücke bleiben.

Beispiel: Du siehst 2 Reihen mit je 3 Quadraten.

3 + 3 = 6 Quadrate.

Gegenprobe: 2 · 3 = 6.

Du kannst also zählen, addieren oder malnehmen.

Ein kleines Quadrat mit 1 cm langen Seiten hat einen Flächeninhalt von 1 Quadratzentimeter (1 cm²).

Merke: Zentimeter messen eine Länge. Quadratzentimeter messen eine Fläche.

Kästchen zählen

Dieses Bild zeigt ein Gitter mit 5 Reihen und 5 Spalten. Einige größere Quadrate sind hervorgehoben.

Aufgabe: Zähle nur die kleinsten Kästchen des ganzen Gitters.

5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25 Kästchen.

Gegenprobe: 5 · 5 = 25.

Verständnisfrage: Warum darfst Du nicht nur die farbig markierten Quadrate zählen?

Umfang und Fläche unterscheiden

Stell Dir einen rechteckigen Garten vor.

Er ist 5 m lang und 3 m breit.

Für den Zaun berechnest Du den Umfang:

5 m + 3 m + 5 m + 3 m = 16 m.

Für den Rasen untersuchst Du die Fläche:

Lege 3 Reihen mit je 5 gleich großen Quadratplättchen.

5 + 5 + 5 = 15 Plättchen.

Gegenprobe: 3 · 5 = 15.

Wenn jedes Plättchen 1 m² groß ist, beträgt der Flächeninhalt 15 m².

Merksatz: Zaun bedeutet Rand. Rasen bedeutet Fläche.

So prüfst Du Dein Ergebnis

Eine Gegenprobe ist eine zweite Prüfung Deiner Rechnung.

Beim Umfang: Addiere die Seiten in einer anderen Reihenfolge.

Bei der Fläche: Zähle die Plättchen zuerst reihenweise und dann spaltenweise.

Beispiel: 4 Reihen mit je 3 Plättchen.

4 · 3 = 12.

3 + 3 + 3 + 3 = 12.

Beide Wege ergeben 12.

Hilfen in drei Stufen

Hilfe 1 – Handeln: Lege einen Faden an den Rand. Lege Plättchen in die Fläche.

Hilfe 2 – Bild: Zeichne die Figur auf kariertes Papier. Markiere ihre Seiten oder zähle ihre Kästchen.

Hilfe 3 – Rechnung: Addiere beim Umfang alle Seiten. Zähle bei der Fläche die Plättchen in Reihen.

Zum Schluss: Prüfe mit einem zweiten Rechenweg.

Genau hinschauen

Beobachtungsauftrag: Entdecke in der Animation Quadrate. Achte auf ihre Seiten und auf den Platz im Inneren.

Ein Quadrat hat vier gleich lange Seiten.

Frage: Was ist beim Quadrat der Rand? Was ist seine Fläche?

Erklärvideos

Video 1: „Flächeninhalt und Umfang – das bedeuten die Begriffe“ von Frau Weber digital.

Achte besonders auf den Unterschied zwischen außen herum und innen drin.

Video 2 – freiwillige Vertiefung: „Klasse 5: Flächeninhalt und Umfang“ vom Kanal Gut erklärt.

Dieses Video ist für ältere Kinder gedacht. Schau Dir vor allem die anschaulichen Rechteck-Beispiele an. Die zusätzlichen Formeln musst Du in Klasse 3 noch nicht beherrschen.

Videofrage: Woran erkennst Du, ob nach dem Umfang oder nach dem Flächeninhalt gefragt wird?

Weiterüben auf MOOCwiki

In der vorhandenen Übungswelt Mathe 3 – Umfang und Flächen entdecken findest Du weitere Aufgaben.

Du arbeitest hier auf der Stufe Sicher. Mit Start kannst Du Grundlagen wiederholen. Knobeln bietet zusätzliche Denkaufgaben. Das sind Übungsstufen und keine Schulzweige.

Sieh auch in das Kompetenzraster Mathematik 3.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

So geht's: Wähle jeweils die richtige Antwort. Öffne danach die Erklärung.

1. Was ist der Umfang einer Figur? (Die Länge des gesamten Randes) (!Die Anzahl der Kästchen im Inneren) (!Das Gewicht einer Figur) (!Die Anzahl ihrer Farben)

Feedback: Der Umfang führt einmal außen um die Figur herum. Die Kästchen im Inneren brauchst Du für den Flächeninhalt.

2. Wie kannst Du den Flächeninhalt einer Figur erforschen? (Mit gleich großen Quadraten auslegen) (!Nur den Rand mit einem Faden messen) (!Die Ecken zählen) (!Die Figur wiegen)

Feedback: Gleiche Quadratplättchen zeigen, wie viel Platz innen ist. Ein Faden zeigt dagegen die Länge des Randes.

3. Ein Rechteck ist 4 cm lang und 2 cm breit. Wie groß ist sein Umfang? (12 cm) (!8 cm) (!6 cm) (!10 cm)

Feedback: Zähle alle Seiten: 4 + 2 + 4 + 2 = 12. Nur zwei Seiten zu addieren reicht nicht.

4. Ein Rechteck besteht aus 2 Reihen mit je 4 Kästchen. Wie viele Kästchen sind es? (8) (!6) (!10) (!12)

Feedback: In jeder der 2 Reihen liegen 4 Kästchen. 4 + 4 = 8. Du kannst auch 2 · 4 rechnen.

5. Ein Quadrat hat vier Seiten von jeweils 3 cm. Wie lang ist sein Umfang? (12 cm) (!9 cm) (!6 cm) (!3 cm)

Feedback: Alle vier Seiten gehören zum Rand: 3 + 3 + 3 + 3 = 12 cm.

6. Du legst 3 Reihen mit je 5 Plättchen. Wie viele Plättchen brauchst Du? (15) (!8) (!10) (!12)

Feedback: 5 + 5 + 5 = 15. Die Gegenprobe ist 3 · 5 = 15.

7. Wie groß ist die Fläche eines Quadrats mit 1 cm Seitenlänge? (1 Quadratzentimeter) (!1 Zentimeter) (!2 Zentimeter) (!4 Quadratzentimeter)

Feedback: Ein Quadrat mit 1 cm langen Seiten bedeckt genau 1 cm². Zentimeter allein ist eine Längeneinheit.

8. Ein Rechteck ist 6 cm lang und 2 cm breit. Wie groß ist sein Umfang? (16 cm) (!12 cm) (!14 cm) (!8 cm)

Feedback: 6 + 2 + 6 + 2 = 16 cm. Die Rechnung 6 · 2 = 12 passt zum Flächeninhalt, nicht zum Umfang.

9. Ein Rechteck ist 1 Kästchen breit und 5 Kästchen lang. Ein anderes ist 2 Kästchen breit und 4 Kästchen lang. Was stimmt? (Beide haben den gleich langen Rand) (!Beide haben gleich viele Kästchen innen) (!Beide sind Quadrate) (!Beide haben einen Rand von 10 Kästchenlängen)

Feedback: Beide Ränder sind 12 Kästchenlängen lang. Innen liegen aber 5 beziehungsweise 8 Kästchen. Gleicher Umfang bedeutet nicht automatisch gleiche Fläche.

10. Ein Rechteck hat 2 Reihen mit je 6 Kästchen. Ein anderes hat 3 Reihen mit je 4 Kästchen. Was stimmt? (Beide haben gleich viele Kästchen innen) (!Beide haben den gleichen Umfang) (!Beide haben nur 10 Kästchen) (!Beide sind Quadrate)

Feedback: 2 · 6 = 12 und 3 · 4 = 12. Die Flächen sind gleich groß. Die Umfänge sind aber unterschiedlich: 16 und 14 Kästchenlängen.

Memory

Finde die zusammengehörenden Begriffe und Erklärungen.

Umfang	Länge des ganzen Randes
Flächeninhalt	Größe des Inneren
Faden	Hilfsmittel zum Abmessen eines Randes
Quadratplättchen	Hilfsmittel zum Auslegen einer Fläche
Zentimeter	Einheit für eine Länge
Quadratzentimeter	Einheit für einen Flächeninhalt
Gegenprobe	Ergebnis auf einem zweiten Weg prüfen

Drag and Drop

Ordne die passenden Begriffe zu.

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Das passt dazu
Randlänge	Umfang
Flächengröße	Flächeninhalt
Alle Seiten addieren	Umfang berechnen
Gleiche Kästchen zählen	Fläche bestimmen
Zweimal verschieden rechnen	Gegenprobe

Kreuzworträtsel

UMFANG	Wie heißt die Länge des ganzen Randes?
RECHTECK	Welche Figur hat vier rechte Winkel und gleich lange Gegenseiten?
QUADRAT	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
FADEN	Was kannst Du um den Rand einer Figur legen?
BREITE	Wie heißt eine der beiden Seitenlängen eines Rechtecks?
FLAECHE	Welches Wort beschreibt den Platz im Inneren einer Figur?

LearningApps

Übe den Unterschied zwischen Fläche und Umfang mit der bestehenden LearningApp „Fläche und Umfang“.

Arbeitsauftrag: Erkläre nach dem Spielen mit eigenen Worten den Unterschied.

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Fadenweg: Lege einen Faden um Dein Heft. Miss den Faden. Zeichne den Weg auf.
Rechteck zeichnen: Zeichne ein Rechteck mit 4 cm und 2 cm Seitenlänge. Schreibe die Länge jeder Seite dazu.
Plättchenbild: Lege zwei Reihen mit je vier Plättchen. Zeichne Dein Muster und zähle nach.
Quadrate suchen: Suche drei quadratische Dinge. Zeichne eines und zeige den Rand.

Standard

Zwei Rechenwege: Berechne den Umfang eines Rechtecks mit 5 cm und 3 cm Seitenlänge. Prüfe Deine Rechnung durch eine andere Reihenfolge.
Kästchen vergleichen: Zeichne ein Rechteck aus 3 Reihen mit je 4 Kästchen. Bestimme die Fläche durch Zählen und durch Malnehmen.
Garten planen: Ein Beet ist 6 m lang und 2 m breit. Wie lang muss der Zaun sein? Wie viele Quadratplatten von je 1 m² passen ohne Lücken hinein?
Fehler finden: Ein Kind rechnet beim Umfang eines Rechtecks 4 + 3 = 7 cm. Erkläre den Fehler mit einer Zeichnung.

Schwer

Gleiche Fläche: Zeichne zwei verschiedene Rechtecke mit jeweils 12 Kästchen. Vergleiche ihre Umfänge.
Gleicher Rand: Zeichne ein Rechteck aus 1 mal 5 Kästchen und eines aus 2 mal 4 Kästchen. Vergleiche Rand und Fläche. Erkläre Deine Entdeckung.
Eigene Knobelaufgabe: Erfinde ein Rechteck-Rätsel mit Seitenlängen bis 10 cm. Gib eine Lösung und eine Gegenprobe an.
Mathe erklären: Erstelle ein kleines Erklärplakat oder ein kurzes Video ohne fremde Bilder. Zeige mit eigenen Plättchen den Unterschied zwischen Umfang und Fläche.

Lernkontrolle

Hier sollst Du zeigen, dass Du Zusammenhänge verstanden hast.

Schulgarten: Eine Klasse braucht einen Zaun und möchte Blumen pflanzen. Erkläre, wann sie den Umfang und wann sie den Flächeninhalt kennen muss.
Gleiche Fläche – anderer Rand: Zeichne zwei Rechtecke mit je 12 Kästchen. Erkläre, warum ihre Umfänge unterschiedlich sein können.
Fehler prüfen: Jemand rechnet bei einem 4 cm langen und 2 cm breiten Rechteck den Umfang 8 cm. Zeige den Fehler und überprüfe Deine Verbesserung.
Drei Darstellungen: Stelle 3 Reihen mit je 5 Plättchen als gelegtes Muster, als Bild und als Rechnung dar. Erkläre, wie alles zusammenhängt.
Gegenprobe: Zeige an einem eigenen Beispiel zwei verschiedene Wege, eine Fläche zu bestimmen. Warum geben beide Wege dasselbe Ergebnis?
Eigene Entscheidung: Entwirf ein kleines rechteckiges Spielfeld. Beschreibe, welche Maße Du für einen Randstreifen und welche für einen Bodenbelag brauchst.

Lernnachweis

Das kannst Du am Ende zeigen:

Du erklärst mit eigenen Worten den Unterschied zwischen Umfang und Flächeninhalt.
Du misst oder berechnest den Rand eines einfachen Rechtecks richtig.
Du bestimmst einen Flächeninhalt mit gleich großen Kästchen oder Plättchen.
Du zeigst eine Aufgabe durch Legen, Zeichnen und Rechnen.
Du nutzt eine Gegenprobe und erklärst Deinen Rechenweg.
Du löst eine passende Alltagsaufgabe und wählst die richtige Einheit.
Du bearbeitest mindestens eine offene Aufgabe und stellst Dein Ergebnis vor.

Mein Lernnachweis: Gib ein Blatt mit zwei Figuren, Deinen Rechnungen, einer Gegenprobe und einer kurzen Erklärung ab. Du kannst zusätzlich Dein gelegtes Muster zeigen.

OERs zum Thema

Zum Nachlesen mit Unterstützung:

Wikipedia: Umfang in der Geometrie

Wikipedia: Flächeninhalt

Die Wikipedia-Artikel enthalten auch schwierigere Inhalte. Für die Klasse 3 reichen die Grundideen: Rand messen und Fläche auslegen.

Medien, Urheber, Lizenzen und Quellen

Alle eingebundenen Bilder und die Animation stammen von Wikimedia Commons. Die Darstellungen werden vollständig und ohne Zuschnitt angezeigt. Es wurden keine neuen Mediendateien erzeugt.

Einfaches Rechteck: Rectangle (geometry).svg, Urheber: Krishnavedala; Lizenzstatus: gemeinfrei als einfache geometrische Darstellung. Gezeigter Ausschnitt: vollständiges Rechteck. Lernzweck: Rand und Inneres unterscheiden.
Rechteckumfang: PerimeterRectangle.svg, Urheber: NYKevin; Lizenz: CC0 1.0. Gezeigter Ausschnitt: vollständige Zeichnung. Lernzweck: den Rand erkennen.
Rechteck aus sechs Quadraten: Rectangle-2x3.svg, Urheber: Tomruen; Lizenz: CC BY-SA 4.0. Gezeigter Ausschnitt: vollständige 2-mal-3-Anordnung. Lernzweck: Flächen durch Kästchenzählen verstehen.
Quadratgitter: Squares in a square grid.svg, Urheber: David Eppstein; Lizenzstatus: vom Urheber gemeinfrei veröffentlicht. Gezeigter Ausschnitt: vollständiges 5-mal-5-Gitter. Lernzweck: die 25 kleinsten Kästchen zählen; einzelne größere Quadrate sind zusätzlich markiert.
Bewegte Quadrate: Squares-animated.gif, Urheber: Andrikkos; Lizenz: CC0 1.0. Gezeigter Ausschnitt: vollständige GIF-Animation mit 74 Einzelbildern. Lernzweck: Quadrate beobachten und beschreiben.
Erklärvideo zu den Grundbegriffen: Flächeninhalt und Umfang – das bedeuten die Begriffe, Kanal: Frau Weber digital. Passender Inhalt: Unterschied zwischen Umfang und Flächeninhalt. Einbettung des vollständigen Videos, kein eigener Zuschnitt. Eine freie Weiterverwendungslizenz wurde nicht nachgewiesen; das Video wird nur über YouTube eingebettet.
Erklärvideo zur Vertiefung: Klasse 5: Flächeninhalt und Umfang, Kanal: Gut erklärt, veröffentlicht am 5. Juni 2022. Passender Inhalt: Rechtecke, Quadrate und Rechenbeispiele. Einbettung des vollständigen Videos, kein eigener Zuschnitt. Eine freie Weiterverwendungslizenz wurde nicht nachgewiesen; das Video wird nur über YouTube eingebettet.
Interaktive Fremdübung: Fläche und Umfang, erstellt von „michpa“, nach einer Idee von Patrick Bruggmann. Die Seite wurde als bestehende LearningApp überprüft. Keine freie Lizenz für eine eigene Weiterverwendung der App-Inhalte behauptet; es erfolgt nur eine Einbettung.
Fachliche Grundlagen: Wikipedia: Umfang und Wikipedia: Flächeninhalt.
Bestehende Übungswelt: MOOCwiki-Lernpaket M3 – Umfang und Flächen entdecken – Mathematik.

Hinweis zu Audio: Es wird keine externe Audiodatei verwendet, da keine thematisch passende Commons-Audiodatei mit überprüfbaren Angaben eingebunden wurde.