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M3 Knobeln - Umfang und Flächen entdecken - Mathematik

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Einleitung

M3 Knobeln - Umfang und Flächen entdecken - Mathematik

Kurzbeschreibung: Umfang und Flächen entdecken.

Für Klasse 3. Du baust Figuren, zählst Kästchen und löst Rätsel. Du lernst: Der Rand und die Fläche sind nicht dasselbe. Wir rechnen mit kleinen Zahlen, weit unter 1000.

Du brauchst: kariertes Papier, 12 gleich große Papierquadrate, einen Stift und ein Lineal.

Dein Lernweg: Lege die Figur. Zeichne sie. Schreibe eine Rechnung. Prüfe auf einem zweiten Weg.

Auf MOOCwiki weiterüben: Übungswelt Mathe 3, Lernpaket Umfang und Flächen und Kompetenzraster Mathe 3.

Wichtig: Start, Sicher und Knobeln sind Übungsstufen, keine Schulzweige. Hier knobelst Du.

Umfang: Wie lang ist der Rand?

Der Umfang ist die Länge des ganzen Randes. Fahre mit dem Finger einmal außen herum. Addiere alle Seiten.

Schau auf den äußeren Rand des Rechtecks.

Beispiel: Das Rechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit. Sein Umfang ist 4 + 3 + 4 + 3 = 14 cm.

Gegenprobe: 4 + 4 + 3 + 3 = 14 cm. Beide Wege passen.

Frage: Brauchst Du für einen Zaun den Umfang oder die Fläche?

Fläche: Wie viele Kästchen passen hinein?

Der Flächeninhalt sagt, wie groß die bedeckte Fläche ist. Lege gleiche Quadrate lückenlos hinein. Zähle sie.

Ein Rechteck als Bild. Zähle bei Deiner eigenen Figur Reihen und Kästchen.

Links sind die Rasterfelder gleich groß. Damit kannst Du leichter vergleichen.

Beispiel: Lege ein Rechteck mit 3 Reihen zu je 4 Kästchen. Das sind 4 + 4 + 4 = 12 Kästchen. Die Gegenprobe ist 3 · 4 = 12.

Ist jedes Kästchen 1 cm lang und 1 cm breit, dann ist seine Fläche 1 cm² (ein Quadratzentimeter). Die ganze Fläche ist dann 12 cm².

Merke: Der Umfang wird in cm gemessen. Der Flächeninhalt wird in cm² gemessen.

Frage: Warum darfst Du beim Flächeninhalt nicht nur die Kästchen am Rand zählen?

Knobeln 1: Gleiche Fläche, anderer Rand

Lege mit 12 Quadraten drei Rechtecke: 1 mal 12, 2 mal 6 und 3 mal 4.

Rechteck	Flächeninhalt	Umfang
1 cm mal 12 cm	12 cm²	26 cm
2 cm mal 6 cm	12 cm²	16 cm
3 cm mal 4 cm	12 cm²	14 cm

Entdecke: Alle drei Flächen sind gleich groß. Die Ränder sind verschieden lang. Vermute: Welche der drei Formen braucht am wenigsten Band? Begründe.

Auf dem Bild hat jede Figur vier Quadrate. Vergleiche ihre Ränder. Ein 2-mal-2-Quadrat hat Umfang 8 Kästchenseiten; ein 1-mal-4-Streifen hat 10.

Gegenprobe: Zähle die äußeren Kästchenseiten. Vergleiche mit Deiner Addition.

Hilfe 1: Lege die Quadrate wirklich aus. Hilfe 2: Fahre nur den äußeren Rand entlang. Hilfe 3: Beim Rechteck 3 mal 4 rechne 3 + 4 + 3 + 4.

Knobeln 2: Gleicher Rand, andere Fläche

Zeichne drei Figuren auf ein Raster mit 1-cm-Kästchen.

Seiten des Rechtecks	Umfang	Flächeninhalt
1 cm und 5 cm	12 cm	5 cm²
2 cm und 4 cm	12 cm	8 cm²
3 cm und 3 cm	12 cm	9 cm²

Entdecke: Alle Ränder sind 12 cm lang. Aber die Flächen sind verschieden.

Vermute: Welche der drei Figuren bietet den meisten Platz? Erkläre mit Kästchen.

In diesem Raster sind drei verschieden große Quadrate hervorgehoben. Zähle bei Bedarf die kleinen Rasterfelder.

Hilfe 1: Zeichne jedes Rechteck. Hilfe 2: Zähle die Kästchen innen. Hilfe 3: Prüfe jeden Rand durch zweimal lang plus zweimal breit.

Ein Film hilft Dir

Grundschulvideo: Frau Weber digital zeigt den Unterschied von Rand und Fläche ohne schwere Formeln.

Schaufrage: Was zeigt das Video mit kleinen Quadraten: Umfang oder Flächeninhalt?

Zweite Erklärung: schoolseasy erklärt die Begriffe mit Beispielen.

Für Neugierige: Lehrerschmidt rechnet mit einem Rechteck. Stoppe nach jedem Rechenschritt und prüfe mit Deinen Kästchen.

Knobel-Extra: Fläche bleibt beim Umlegen gleich

Die ganze 31-Sekunden-Animation: Stücke werden anders gelegt. Die Fläche bleibt gleich.

Frage: Was ändert sich beim Umlegen? Was bleibt gleich? Prüfe Deine Idee mit Papierstücken. Das ist eine freiwillige Forscherfrage.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist der Umfang? (Die Länge des ganzen Randes) (!Die Anzahl der Kästchen im Inneren) (!Die Zahl der Ecken) (!Die Farbe der Figur)

Feedback: Für den Umfang gehst Du außen herum. Das Innere gehört zum Flächeninhalt.

Was zählst Du für den Flächeninhalt im Raster? (Alle gleich großen Kästchen im Inneren) (!Nur die Kästchen an den Ecken) (!Nur die Seiten außen) (!Nur die oberen Kästchen)

Feedback: Die ganze bedeckte Fläche zählt. Ein Rand allein füllt sie nicht aus.

Ein Rechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit. Wie groß ist der Umfang? (14 cm) (!12 cm) (!7 cm) (!24 cm)

Feedback: Zähle vier Seiten: 4 + 3 + 4 + 3 = 14. Die 12 gehört zur Fläche.

Wie viele Kästchen hat ein Rechteck mit 3 Reihen zu je 4 Kästchen? (12) (!7) (!14) (!9)

Feedback: 4 + 4 + 4 = 12. Auch 3 mal 4 ergibt 12.

Welche Einheit passt zu einer Fläche? (Quadratzentimeter) (!Zentimeter) (!Minute) (!Liter)

Feedback: Ein Quadratzentimeter ist ein kleines Quadrat mit Seiten von je 1 cm.

Ein Rechteck ist 2 cm breit und 6 cm lang. Wie groß ist die Fläche? (12 cm²) (!16 cm²) (!8 cm²) (!26 cm²)

Feedback: Zwei Reihen mit sechs Kästchen geben 12 Kästchen. 16 cm ist hier der Umfang.

Welche zwei Rechtecke haben dieselbe Fläche? (2 mal 6 und 3 mal 4) (!2 mal 3 und 2 mal 4) (!1 mal 5 und 2 mal 6) (!3 mal 3 und 3 mal 4)

Feedback: Beide Rechtecke haben 12 Kästchen. Ihre Randlängen müssen darum nicht gleich sein.

Wie lang ist der Rand eines Rechtecks mit Seiten von 1 cm und 5 cm? (12 cm) (!5 cm) (!6 cm) (!10 cm)

Feedback: 1 + 5 + 1 + 5 = 12 cm. Rechne zur Probe 2 + 10.

Drei Rechtecke haben jeweils 12 cm Umfang. Welche Fläche ist am größten? (3 cm mal 3 cm) (!1 cm mal 5 cm) (!2 cm mal 4 cm) (!Alle haben gleich viel Fläche)

Feedback: Die Flächen sind 9, 5 und 8 cm². Gleicher Umfang bedeutet nicht gleiche Fläche.

Du willst Band um ein Bild legen. Was musst Du bestimmen? (Den Umfang) (!Den Flächeninhalt) (!Das Gewicht) (!Die Anzahl der Kästchen innen)

Feedback: Das Band liegt am Rand. Für Papier zum Bedecken brauchst Du dagegen die Fläche.

Memory

Rand	Umfang
Innerer Platz	Flächeninhalt
Länge messen	Zentimeter
Flächeneinheit	Quadratzentimeter
Kästchen auszählen	Bedeckte Fläche
Seiten addieren	Randlänge
Anders nachrechnen	Gegenprobe

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Erklärung
Umfang	Länge rund um eine Figur
Flächeninhalt	Größe des bedeckten Inneren
Kästchenraster	Felder zum Vergleichen von Flächen
Quadrat	Figur mit vier gleich langen Seiten und vier rechten Winkeln
Gegenprobe	Ergebnis auf einem zweiten Weg prüfen

Kreuzworträtsel

Umfang	Wie heißt die Länge des ganzen Randes?
Quadrat	Welche Figur hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel?
Rechteck	Welche Figur hat vier rechte Winkel und jeweils gleich lange gegenüberliegende Seiten?
Kästchen	Was zählst Du im Raster, um den Flächeninhalt zu bestimmen?
Zentimeter	Wie heißt die Längeneinheit mit der Abkürzung cm?
Gegenprobe	Wie heißt das Prüfen auf einem zweiten Rechenweg?

LearningApps

Hier kannst Du nach weiteren Übungen suchen. Die Suchtreffer wurden nicht einzeln geprüft.

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Umfang: Fahre mit einem Wollfaden um Dein Heft. Was zeigt der Faden? Miss den Faden.
Flächeninhalt: Lege sechs Papierquadrate als Rechteck. Zähle alle Felder und zeichne die Figur.
Rechteck: Zeichne ein Rechteck aus 2 Reihen mit je 3 Kästchen. Beschrifte Fläche und Rand.
Gegenprobe: Prüfe ein Rechteck mit Seiten 2 cm und 3 cm zweimal. Nutze Seitenaddition und Kästchenzählen.

Standard

Kästchenraster: Lege 8 Quadrate auf zwei verschiedene Arten. Vergleiche die Ränder.
Quadrat: Vergleiche ein 2-mal-2-Quadrat mit einem 1-mal-4-Streifen. Erkläre den Unterschied.
Sachaufgaben: Ein Beet ist 3 m lang und 2 m breit. Wie viel Zaun und wie viele Quadratmeter Erde brauchst Du? Zeichne und prüfe.
Mathematische Vermutung: Finde zwei Rechtecke mit 12 Kästchen. Vermute, welches einen kürzeren Rand hat. Begründe.

Schwer

Problemlösen: Lege mit 12 Kästchen möglichst viele verschiedene Rechtecke ohne Lücken. Ordne sie nach dem Umfang.
Mathematisches Argumentieren: „Gleiche Fläche bedeutet gleicher Umfang.“ Widerlege die Aussage mit zwei Figuren.
Flächeninhalt: Entwirf zwei Beete mit 12 m Umfang, aber unterschiedlicher Fläche. Stelle beide Wege dar und prüfe sie.
Modellieren: Plane einen kleinen Schulhofgarten mit 10 m Zaun. Zeichne zwei mögliche rechteckige Beete, vergleiche die Flächen und begründe Deine Wahl.

Lernkontrolle

Begründen: Erkläre mit zwei Zeichnungen, warum vier gleiche Kästchen verschieden lange Ränder bilden können.
Vergleichen: Zwei Beete haben 12 m Zaun: 1 m mal 5 m und 2 m mal 4 m. Welches hat mehr Platz? Zeige zwei Lösungswege.
Fehler finden: Ein Kind rechnet bei einem 3-mal-4-Rechteck 3 + 4 = 7 cm Umfang. Was fehlt? Begründe.
Gegenprobe: Zeige bei einem Rechteck mit 3 cm und 4 cm Seiten zwei Wege für den Umfang und zwei für die Fläche.
Transfer: Du kaufst Band für den Rand und Papier für das Innere eines Bildes. Erkläre, welche Größe Du jeweils brauchst.
Vermuten und prüfen: Kann sich die Fläche ändern, obwohl der Umfang 12 cm bleibt? Finde zwei Beispiele und erkläre sie.

Lernnachweis

Zeige Deine Arbeit in einem Heft oder auf einem Blatt. Wichtig sind:

Material: mindestens zwei mit Papierquadraten gelegte Figuren.
Bild: Zeichnungen mit gleichen Kästchen und beschrifteten Seiten.
Rechnung: Umfang in cm und Fläche in cm² bei passenden Beispielmaßen.
Gegenprobe: mindestens ein Ergebnis auf zwei Wegen geprüft.
Begründung: ein eigener Satz zu gleicher Fläche bei verschiedenem Rand.
Transfer: eine kleine selbst gelöste Beet- oder Rahmenaufgabe.

OERs zum Thema

Zum Nachlesen: Umfang, Flächeninhalt, Rechteck und Quadrat auf Wikipedia. Der Text dort ist teils schwerer als Klasse 3.

Medienquellen und Rechte

Alle Commons-Dateien sind unverändert und vollständig eingebunden; es wurde kein neues Bild, Audio oder Video erzeugt. Bild- und Animationsquellen mit Urheber und geprüfter Lizenz:

PerimeterRectangle.svg: NYKevin; CC0 1.0; vollständige Grafik, äußerer Rand eines Rechtecks.
Rettangolo4x5Quadrato.png: Mattruffoni; CC0 1.0; vollständiges Rechteckbild.
Rectangular grid types.svg: SarahNW; CC BY-SA 4.0; beide Raster, ohne Zuschnitt.
Free tetrominoes.svg: Sarang; gemeinfrei (einfache Geometrie); alle fünf Vierer-Figuren.
Squares in a square grid.svg: David Eppstein; gemeinfrei; ganzes 5-mal-5-Raster.
01-Dreieck in flächengleiches Rechteck-3.gif: Petrus3743; CC BY-SA 4.0; vollständige Animation, 31 Sekunden.

YouTube-Videos: Urheberkanäle sind angegeben; eine freie Creative-Commons-Lizenz ist für diese Videos nicht nachgewiesen. Daher nur Original-Einbettung, keine Kopie oder Bearbeitung:

Flächeninhalt und Umfang – das bedeuten die Begriffe: Frau Weber digital; Grundschulerklärung, ganzes Video.
Flächeninhalt und Umfang – So einfach ist das!: schoolseasy; Unterscheidung von innen und außen, ganzes Video.
Rechteck – Flächeninhalt und Umfang berechnen: Lehrerschmidt; ganze Erklärung (etwa 5 Minuten), Zusatz für Fortgeschrittene.

Hinweis: Die Commons-Lizenzen stehen auf den verlinkten Dateiseiten. Bei YouTube wurden Kanal, Thema und der Link anhand der Videoseiten und Beschreibungen geprüft; eine freie Weiternutzung ist nicht belegt. Gezeigt werden die ganzen Videos, keine ungeprüften Zeitabschnitte.