M10 G - Volumen zusammengesetzter Körper bestimmen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Berechne das Gesamtvolumen durch Addieren beziehungsweise Subtrahieren geeigneter Teilkörper.

Niveau: Mathematik Klasse 10, Baden-Württemberg, G-Niveau. Der Kurs sichert Grundvorstellungen, nutzt klare Rechenpläne und überschaubare Zahlen. MSA-Brücken sind ausdrücklich markiert.

Bei zusammengesetzten Körpern brauchst Du vor allem einen guten Plan: Zerlege den Körper so, dass bekannte Teilkörper entstehen. Danach entscheidest Du, ob Volumen hinzukommt oder weggenommen wird.

$V_{gesamt} = V_{1} + V_{2} + V_{3}$

oder

$V_{gesamt} = V_{Grundkörper} - V_{Aussparung}$

Wichtig: Beim Addieren dürfen Teilvolumina nicht doppelt gezählt werden.

Lernziele

Nach diesem Kurs kannst Du:

Teilkörper: einen zusammengesetzten Körper in geeignete einfache Körper zerlegen.
Volumen: die Volumina von Quadern, Prismen und Zylindern mit passenden Formeln berechnen.
Addition: Teilvolumina addieren, wenn Körperteile zusammengebaut sind.
Subtraktion: Volumina abziehen, wenn Material ausgespart oder herausgeschnitten ist.
Rechenplan: Deinen Rechenweg übersichtlich mit Formel, Einsetzen, Ergebnis und Einheit darstellen.
Plausibilitätsprüfung: ein digitales oder selbst berechnetes Ergebnis auf sinnvolle Größe prüfen.

MSA-Brücke: Im Bildungsplan Baden-Württemberg ist das Bestimmen von Volumina zusammengesetzter Körper in Klasse 10 auf G-Niveau als MSA-Kompetenz gekennzeichnet. Dieser Kurs bleibt vollständig auf G-Niveau und bereitet diese Anforderung schrittweise vor.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Leitidee Messen, Klasse 10

Vorwissen-Check

Beantworte zuerst ohne Taschenrechner:

Welche Einheit passt zu einem Volumen: $cm$ , ${cm}^{2}$ oder ${cm}^{3}$ ?
Berechne $V$ für einen Quader mit $a = 3 cm$ , $b = 4 cm$ und $c = 5 cm$ .
Ein Kreis hat den Durchmesser $d = 8 cm$ . Wie groß ist der Radius?
Welche Rechnung passt zu einer Aussparung: addieren oder subtrahieren?

Lösungen zum Vorwissen-Check

${cm}^{3}$
$V = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60 {cm}^{3}$
$r = 4 cm$
subtrahieren

Grundideen

Bekannte Teilkörper

Quader

$V = a \cdot b \cdot c$

Prisma

$V = G \cdot h$

Zylinder

$V = π r^{2} h$

Merke: Schreibe die Einheit erst am Ergebnis nicht weg. Eine Volumeneinheit ist immer kubisch, zum Beispiel ${cm}^{3}$ .

Der Rechenplan

Schritt	Was Du tust
1. Zerlegen	Bekannte Teilkörper markieren.
2. Entscheiden	Plus für angefügte Teile, Minus für Aussparungen.
3. Berechnen	Jedes Teilvolumen einzeln bestimmen.
4. Verbinden	Teilvolumina addieren oder subtrahieren.
5. Prüfen	Einheit und Größenordnung kontrollieren.

Kurzform: Zerlegen → Rechnen → Verbinden → Prüfen

Interaktive 3D-Sicht

Drehe den Körper, betrachte ihn von mehreren Seiten und suche eine Zerlegung in bekannte Teilkörper.

Arbeitsauftrag: Notiere zuerst nur den Rechenplan. Rechne erst danach.

Ein zweites Modell trainiert das Zerlegen:

Digitale Prüfung: Ein 3D-Modell hilft beim Sehen. Es ersetzt nicht die Begründung, warum Deine Zerlegung vollständig ist und nichts doppelt gezählt wird.

Beispiel 1: Teilkörper addieren

Ein Stufenkörper besteht aus zwei Quadern.

Quader 1:

$a_{1} = 8 cm$

$b_{1} = 4 cm$

$c_{1} = 3 cm$

$V_{1} = 8 \cdot 4 \cdot 3 = 96 {cm}^{3}$

Quader 2:

$a_{2} = 4 cm$

$b_{2} = 4 cm$

$c_{2} = 2 cm$

$V_{2} = 4 \cdot 4 \cdot 2 = 32 {cm}^{3}$

Gesamt:

$V_{gesamt} = V_{1} + V_{2}$

$V_{gesamt} = 96 + 32 = 128 {cm}^{3}$

Begründung: Beide Quader bilden gemeinsam den Körper. Ihr Inneres überlappt sich nicht.

Beispiel 2: Aussparung subtrahieren

Ein Quader hat die Maße $10 cm$ , $6 cm$ und $5 cm$ . Ein rechteckiger Durchbruch mit $4 cm$ , $2 cm$ und $5 cm$ wird herausgeschnitten.

Grundkörper:

$V_{G} = 10 \cdot 6 \cdot 5 = 300 {cm}^{3}$

Aussparung:

$V_{A} = 4 \cdot 2 \cdot 5 = 40 {cm}^{3}$

Restkörper:

$V = V_{G} - V_{A}$

$V = 300 - 40 = 260 {cm}^{3}$

Plausibilitätscheck:

$260 < 300$

Das passt: Durch das Herausnehmen von Material wird das Volumen kleiner.

Beispiel 3: Quader und Zylinder

Ein Körper besteht aus einem Quader und einem darauf stehenden Zylinder.

Quader:

$V_{Q} = 8 \cdot 6 \cdot 2 = 96 {cm}^{3}$

Zylinder mit $r = 2 cm$ und $h = 3 cm$ :

$V_{Z} = π \cdot 2^{2} \cdot 3 = 12 π {cm}^{3}$

$V_{Z} \approx 37,7 {cm}^{3}$

Gesamt:

$V = 96 + 12 π$

$V \approx 133,7 {cm}^{3}$

Tipp: Runde möglichst erst am Ende.

Visuelle Zerlegung und Rotation

Rotierender Würfel zur räumlichen Orientierung

Drehe einen Körper gedanklich oder digital. Suche Ansichten, in denen die Teilkörper besonders gut sichtbar sind.

MSA-Brücke – Zerlegungsidee:

Die Animation zeigt ein allgemeines Prinzip: Ein komplizierter Körper kann durch geeignete Zerlegung auf bekannte Körper zurückgeführt werden. Für die Aufgaben dieses Kurses brauchst Du daraus nur die Grundidee des Zerlegens.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung A: L-Körper aus einem großen Quader

Ein großer Quader hat $8 cm$ , $5 cm$ und $4 cm$ . Aus einer Ecke fehlt ein Quader mit $3 cm$ , $2 cm$ und $4 cm$ .

Aufgabe: Berechne das Restvolumen.

Hilfestufe 1 Nutze: großer Quader minus fehlender Quader.

Hilfestufe 2 $V = 8 \cdot 5 \cdot 4 - 3 \cdot 2 \cdot 4$

Feedback und Lösung $V = 160 - 24 = 136 {cm}^{3}$ . Ist Dein Ergebnis größer als $160 {cm}^{3}$ , hast Du wahrscheinlich addiert statt subtrahiert.

Übung B: Sockel mit Zylinder

Ein quadratischer Sockel ist $6 cm$ lang, $6 cm$ breit und $2 cm$ hoch. Darauf steht ein Zylinder mit $r = 2 cm$ und $h = 3 cm$ .

Aufgabe: Bestimme das Gesamtvolumen.

Hilfestufe 1 Berechne zuerst Quader und Zylinder getrennt.

Hilfestufe 2 $V = 6 \cdot 6 \cdot 2 + π \cdot 2^{2} \cdot 3$

Feedback und Lösung $V = 72 + 12 π \approx 109,7 {cm}^{3}$ .

Übung C: Hohlzylinder – MSA-Brücke

Ein Rohr hat die Länge $8 cm$ . Der Außenradius beträgt $4 cm$ , der Innenradius $3 cm$ .

Aufgabe: Bestimme das Materialvolumen.

Hilfestufe 1 Großer Zylinder minus kleiner Zylinder.

Hilfestufe 2 $V = π \cdot 4^{2} \cdot 8 - π \cdot 3^{2} \cdot 8$

Feedback und Lösung $V = 128 π - 72 π = 56 π \approx 175,9 {cm}^{3}$ .

Typische Fehler

Fehler	Besser
Durchmesser als Radius einsetzen	Erst $r = \frac{d}{2}$ bestimmen.
Aussparung addieren	Fehlendes Material subtrahieren.
Teilkörper doppelt zählen	Zerlegung so wählen, dass sich Innenräume nicht überlappen.
Zu früh runden	Mit $π$ weiterrechnen und erst am Ende runden.
Flächeneinheit angeben	Volumen in ${cm}^{3}$ , $m^{3}$ usw.

Selbstkontrolle

Rechne ohne Lösungsvorlage.

Zwei Quader haben $V_{1} = 45 {cm}^{3}$ und $V_{2} = 30 {cm}^{3}$ . Wie groß ist das Gesamtvolumen?
Ein Grundkörper hat $200 {cm}^{3}$ . Eine Aussparung hat $35 {cm}^{3}$ . Wie groß ist das Restvolumen?
Ein Zylinder hat $d = 6 cm$ und $h = 5 cm$ . Welchen Radius setzt Du ein?
Ein digitales Werkzeug liefert für eine ausgeschnittene Form ein Ergebnis, das größer ist als das Volumen des ursprünglichen Körpers. Was prüfst Du zuerst?

Lösungen

$75 {cm}^{3}$
$165 {cm}^{3}$
$r = 3 cm$
Prüfe das Vorzeichen und ob die Aussparung wirklich subtrahiert wurde.

Digital arbeiten und kritisch prüfen

Digitale 3D-Modelle, Taschenrechner und KI können beim Darstellen und Kontrollieren helfen. Du musst trotzdem prüfen:

Eingabekontrolle: Sind alle Maße und Einheiten richtig eingegeben?
Plausibilität: Ist das Ergebnis größer oder kleiner als passende Vergleichskörper?
Rechenweg: Kannst Du erklären, warum addiert oder subtrahiert wird?
Datenschutz: Verwende in Aufgaben und KI-Eingaben keine personenbezogenen Daten.
Begründung: Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine nachvollziehbare Begründung.

Transfer

Verpackung

Eine Verpackung besteht aus einem Quader mit $12 cm$ , $8 cm$ und $3 cm$ . Oben ist ein weiterer Quader mit $6 cm$ , $4 cm$ und $2 cm$ befestigt.

Auftrag: Stelle zuerst einen Rechenplan auf und bestimme danach das Gesamtvolumen.

Kontrolle $V = 12 \cdot 8 \cdot 3 + 6 \cdot 4 \cdot 2 = 288 + 48 = 336 {cm}^{3}$

Werkstück mit Bohrung

Ein Quader hat $10 cm$ , $8 cm$ und $4 cm$ . Durch ihn verläuft eine zylindrische Bohrung mit $r = 1 cm$ und $h = 4 cm$ .

Auftrag: Bestimme das Materialvolumen und begründe die Rechenoperation.

Kontrolle $V = 10 \cdot 8 \cdot 4 - π \cdot 1^{2} \cdot 4 = 320 - 4 π \approx 307,4 {cm}^{3}$

Kompetenzcheck

Ich kann ...	Selbstcheck
einen Körper sinnvoll zerlegen.	sicher / noch üben
zwischen Addieren und Subtrahieren entscheiden.	sicher / noch üben
Quader- und Zylindervolumen berechnen.	sicher / noch üben
einen vollständigen Rechenplan darstellen.	sicher / noch üben
Ergebnisse mit Einheit und Plausibilität prüfen.	sicher / noch üben

Reflexion

Zerlegung: Welche Zerlegung erkennst Du am schnellsten?
Vorzeichen: Woran erkennst Du zuverlässig, ob Du addieren oder subtrahieren musst?
Darstellung: Welcher Teil Deines Rechenwegs hilft einer anderen Person am meisten beim Nachvollziehen?
Digitale Kontrolle: Wie kannst Du erkennen, ob ein Taschenrechner-, GeoGebra- oder KI-Ergebnis unplausibel ist?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was ist der erste sinnvolle Schritt bei einem zusammengesetzten Körper? (Geeignete Teilkörper erkennen) (!Sofort alle Maße multiplizieren) (!Zuerst das Ergebnis runden) (!Immer einen Zylinder zeichnen)

Wie werden nicht überlappende angefügte Teilkörper zum Gesamtvolumen verbunden? (Die Teilvolumina werden addiert) (!Die Teilvolumina werden dividiert) (!Die Teilvolumina werden immer subtrahiert) (!Die Teilvolumina werden quadriert)

Wie wird eine Aussparung berücksichtigt? (Ihr Volumen wird subtrahiert) (!Ihr Volumen wird addiert) (!Ihr Volumen wird verdoppelt) (!Ihr Volumen wird ignoriert)

Welche Formel gehört zum Quader? (V = a mal b mal c) (!V = a plus b plus c) (!V = pi mal r mal h) (!V = a mal b)

Welche Formel gehört zum Zylinder? (V = pi mal r hoch zwei mal h) (!V = pi mal r mal h) (!V = zwei mal pi mal r) (!V = r hoch zwei plus h)

Ein Kreis hat den Durchmesser zehn Zentimeter. Wie groß ist der Radius? (Fünf Zentimeter) (!Zehn Zentimeter) (!Zwanzig Zentimeter) (!Hundert Zentimeter)

Zwei angefügte Teilkörper haben die Volumina achtzig und zwanzig Kubikzentimeter. Wie groß ist das Gesamtvolumen? (Hundert Kubikzentimeter) (!Sechzig Kubikzentimeter) (!Eintausendsechshundert Kubikzentimeter) (!Vier Kubikzentimeter)

Ein Grundkörper hat hundertfünfzig Kubikzentimeter und eine Aussparung dreißig Kubikzentimeter. Wie groß ist das Restvolumen? (Hundertzwanzig Kubikzentimeter) (!Hundertachtzig Kubikzentimeter) (!Fünftausend Kubikzentimeter) (!Fünf Kubikzentimeter)

Welche Einheit passt zu einem Volumen mit Zentimetermaßen? (Kubikzentimeter) (!Zentimeter) (!Quadratzentimeter) (!Grad)

Welche Aussage ist bei einer herausgeschnittenen Aussparung ein guter Plausibilitätscheck? (Das Restvolumen ist kleiner als das Volumen des Grundkörpers) (!Das Restvolumen muss immer null sein) (!Das Restvolumen ist immer doppelt so groß) (!Die Einheit spielt keine Rolle)

Memory

Gesamtkörper	vollständiger Körper
Teilkörper	einfacher Körperteil
Addieren	angefügte Volumina verbinden
Subtrahieren	Aussparungsvolumen entfernen
Kubikzentimeter	Volumeneinheit bei Zentimetermaßen
Plausibilitätscheck	Ergebnis auf sinnvolle Größe prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Teilkörper addieren	zusammengebauter Körper
Aussparung subtrahieren	ausgehöhlter Körper
Radius halb so groß	Durchmesser gegeben
Länge mal Breite mal Höhe	Quader
Kreisfläche mal Höhe	Zylinder

...

Kreuzworträtsel

Quader	Welcher Körper hat sechs rechteckige Flächen und wird oft als Grundkörper verwendet?
Zylinder	Welcher Körper besitzt zwei kreisförmige Grundflächen?
Volumen	Wie heißt der Rauminhalt eines Körpers?
Radius	Welche Kreisgröße ist halb so groß wie der Durchmesser?
Teilkörper	Wie heißt ein einfacher Körperteil einer zusammengesetzten Form?
Aussparung	Wie heißt ein herausgeschnittener oder fehlender Bereich?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Körper finden: Fotografiere oder skizziere einen Gegenstand, der sich in zwei einfache Teilkörper zerlegen lässt. Verwende keine personenbezogenen Daten im Bild.
Zerlegung markieren: Zeichne einen Stufenkörper und markiere zwei mögliche Teilquader.
Rechenplan schreiben: Erstelle zu einem selbst gewählten Quader-plus-Quader-Beispiel einen Rechenplan ohne Rechnung.
Fehler erklären: Erfinde einen typischen Fehler beim Addieren oder Subtrahieren von Teilvolumina und erkläre die Korrektur.

Standard

Modell bauen: Baue aus Karton oder Bausteinen einen zusammengesetzten Körper und bestimme sein Volumen.
Aussparung entwerfen: Zeichne einen Quader mit rechteckiger Aussparung, lege sinnvolle Maße fest und berechne das Restvolumen.
Digitales Modell: Erzeuge in GeoGebra 3D einen zusammengesetzten Körper, drehe ihn und dokumentiere Deine Zerlegung mit einer Skizze.
Zwei Lösungswege: Löse einen Stufenkörper einmal durch Zerlegen und einmal durch Ergänzen zu einem größeren Quader.

Schwer

Werkstück planen: Entwirf ein Werkstück aus Quader und Zylinder mit Gesamtvolumen zwischen $300 {cm}^{3}$ und $400 {cm}^{3}$ .
Bohrung untersuchen: Entwickle eine Aufgabe mit einem Quader und einer zylindrischen Bohrung und löse sie vollständig.
KI prüfen: Lass eine KI einen Rechenweg zu einer selbst erstellten Aufgabe vorschlagen. Prüfe jeden Schritt und kennzeichne mindestens eine Stelle, die mathematisch kontrolliert werden muss.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Skizze, Rechenplan und Plausibilitätscheck. Zeige keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

Zerlegungsstrategie: Ein Körper kann auf zwei Arten in Teilkörper zerlegt werden. Erkläre, warum beide Wege zum gleichen Gesamtvolumen führen müssen, wenn nichts doppelt gezählt wird.
Fehlerdiagnose: Eine Person berechnet bei einer Aussparung $V = V_{G} + V_{A}$ . Erkläre den Denkfehler und korrigiere die Rechenidee.
Plausibilitätsvergleich: Begründe ohne vollständige Rechnung, warum ein ausgehöhlter Körper weniger Volumen als sein Grundkörper haben muss.
Modellentscheidung: Entscheide bei einem Werkstück aus Quader und aufgesetztem Zylinder, welche Teilkörper Du verwendest und warum diese Zerlegung sinnvoll ist.
Digitaler Check: Ein digitales Werkzeug liefert zwei verschiedene Ergebnisse für dieselbe Figur. Entwickle eine Prüfreihenfolge aus Skizze, Formel, Einheit und Überschlagsrechnung.
Transfer: Beschreibe, wie sich das Gesamtvolumen verändert, wenn eine zylindrische Bohrung bei gleichem Radius doppelt so lang wird.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

Du erkennst geeignete Teilkörper.
Du entscheidest begründet zwischen Addieren und Subtrahieren.
Du verwendest passende Volumenformeln korrekt.
Du schreibst einen nachvollziehbaren Rechenplan.
Du gibst Ergebnisse mit korrekter Volumeneinheit an.
Du prüfst das Ergebnis auf Plausibilität.
Du kannst einen Fehler in einem fremden Rechenweg erklären und verbessern.
Du kannst eine digitale Ausgabe mathematisch kontrollieren.

OERs zum Thema

Interaktive 3D-Ergänzung:

Freie Medien: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien verweisen auf ihre jeweiligen Dateiseiten mit Lizenz- und Urheberangaben.

Folgekurs

Als nächstes passt:

M10 G - Oberfläche zusammengesetzter Körper bestimmen

Dort musst Du zusätzlich beachten, welche Flächen außen sichtbar sind und welche Kontaktflächen im Inneren verschwinden.

Verknüpfte Lernbereiche

M10 G - Volumen zusammengesetzter Körper bestimmen

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