M10 G - Oberfläche zusammengesetzter Körper bestimmen

M10 G - Oberfläche zusammengesetzter Körper bestimmen

Mini-Beschreibung: Bestimme sichtbare Außenflächen eines zusammengesetzten Körpers und vermeide doppelt gezählte Kontaktflächen.

Zielgruppe: Klasse 10, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau.

Einleitung

Ein zusammengesetzter Körper besteht aus mehreren einfachen Körpern. Für die Oberfläche zählen nur Flächen, die von außen sichtbar sind.

Die wichtigste Frage lautet: Welche Flächen liegen außen – und welche verschwinden an einer Kontaktstelle?

Drehe den Körper gedanklich oder digital. Prüfe dabei Vorderseite, Rückseite, linke Seite, rechte Seite, oben und unten.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Oberfläche: sichtbare Außenflächen eines zusammengesetzten Körpers erkennen.
2. Kontaktfläche: innenliegende Kontaktflächen markieren und aus der Rechnung entfernen.
3. Quader und Würfel: bekannte Oberflächenformeln sicher nutzen.
4. Rechenweg: Rechnung, Skizze, Einheit und Begründung nachvollziehbar darstellen.
5. Selbstkontrolle: Ergebnisse durch eine zweite Strategie oder eine digitale Darstellung prüfen.

G-Niveau: klare Schritte, überschaubare Zahlen und Hilfen.

MSA-Brücke: Das Bestimmen von Oberflächeninhalten zusammengesetzter Körper ist im Bildungsplan Baden-Württemberg für Klasse 10 auf G-Niveau ausdrücklich als MSA-bezogene Kompetenz ausgewiesen.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Leitidee Messen

Vorwissen-Check

Welche Formel gehört zur Oberfläche eines Würfels mit Kantenlänge a? ($O=6a^2$) (!$O=a^3$) (!$O=4a^2$) (!$O=2a$)

Welche Einheit passt zu einem Oberflächeninhalt? ($\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$) (!$\mathrm{c}\mathrm{m}$) (!$\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$) (!$\mathrm{k}\mathrm{g}$)

Kurz wiederholt:

Für einen Quader mit Länge $a$, Breite $b$ und Höhe $c$ gilt:

$O=2(ab+ac+bc)$

Für einen Würfel mit Kantenlänge $a$ gilt:

$O=6a^2$

Kernidee: Nur Außenflächen zählen

Eine Oberfläche besteht aus allen von außen erreichbaren Flächen.

Werden zwei Körper zusammengeklebt, liegt die Kontaktfläche im Inneren.

Merksatz: Eine Kontaktfläche zählt nicht zur äußeren Oberfläche.

Bei zwei Körpern mit einer gemeinsamen Kontaktfläche gilt:

$O_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=O_1+O_2-2A_{\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t}}$

Warum $2A_{\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t}}$?

Die Kontaktfläche wurde vorher zweimal mitgezählt:

1. einmal bei Körper 1,
2. einmal bei Körper 2.

Beide innenliegenden Flächen müssen entfernt werden.

Visuelle Schrittfolge

Schritt 1 – Zerlegen: Erkenne einfache Teilkörper wie Würfel oder Quader.

Schritt 2 – Außenflächen markieren: Markiere die Flächen, die Du von außen berühren könntest.

Schritt 3 – Kontaktflächen markieren: Diese Flächen liegen innen und dürfen nicht im Ergebnis bleiben.

Schritt 4 – Rechnen: Teiloberflächen addieren und doppelt gezählte Kontaktflächen abziehen.

Schritt 5 – Prüfen: Einheit $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$, Größenordnung und Skizze kontrollieren.

Die Animation erinnert daran: Eine Oberfläche kann als Netz gedacht werden. Beim zusammengesetzten Körper fehlen im Netz genau die Flächen, die im Inneren aneinanderliegen.

Rotierbare 3D-Körper

3D-Quader mit veränderbaren Maßen und Oberfläche:

Netze und Oberfläche von Würfel und Quader:

Zusammengesetzten Körper drehen und zerlegen:

Arbeitsauftrag: Drehe einen Körper vollständig. Nenne mindestens eine Fläche, die in einer festen Perspektive zunächst verdeckt war.

Interaktives Beispiel 1: Zwei gleiche Würfel

Zwei Würfel mit Kantenlänge $a=3\mathrm{c}\mathrm{m}$ werden an einer ganzen Seitenfläche zusammengefügt.

Schritt 1: Oberfläche eines Würfels

$O_W=6\cdot 3^2=54\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Schritt 2: Zwei Würfel

$2\cdot 54=108\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Schritt 3: Kontaktfläche

$A_K=3\cdot 3=9\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Die Kontaktfläche wurde zweimal mitgerechnet:

$2A_K=18\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Schritt 4: äußere Oberfläche

$O=108-18=90\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Ergebnis: $O=90\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Selbstkontrolle: Beide Würfel bilden zusammen einen Quader mit $6\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$O=2(6\cdot 3+6\cdot 3+3\cdot 3)=90\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Beide Wege stimmen überein.

Interaktives Beispiel 2: Quader auf Quader

Ein Grundquader hat die Maße

$8\mathrm{c}\mathrm{m}\times 4\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Darauf steht ein zweiter Quader mit

$4\mathrm{c}\mathrm{m}\times 4\mathrm{c}\mathrm{m}\times 2\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Die Kontaktfläche ist

$A_K=4\cdot 4=16\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$.

Grundquader:

$O_1=2(8\cdot 4+8\cdot 3+4\cdot 3)$

$O_1=2(32+24+12)=136\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

oberer Quader:

$O_2=2(4\cdot 4+4\cdot 2+4\cdot 2)$

$O_2=2(16+8+8)=64\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Kontaktflächen entfernen:

$O=136+64-2\cdot 16$

$O=168\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Denkfrage

Warum wäre

$136+64-16$

falsch?

Antwort: Weil die Kontaktfläche in $O_1$ und in $O_2$ vorkommt. Sie muss deshalb zweimal entfernt werden.

Farbige Oberflächen und Bewegung

Beobachte die farbigen Flächen während der Bewegung.

Denkauftrag: Eine Fläche kann in einer Ansicht verdeckt sein und trotzdem zur Oberfläche gehören. Eine echte Kontaktfläche zwischen zwei Teilkörpern gehört dagegen nicht zur Oberfläche.

Bei Würfelbauwerken hilft eine einfache Strategie. Sei $n$ die Anzahl der sichtbaren quadratischen Außenflächen. Dann gilt:

$O=n\cdot a^2$

Bei Einheitswürfeln mit $a=1\mathrm{c}\mathrm{m}$ ist jede sichtbare Quadratfläche genau

$1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

groß.

Übung 1: Würfelpaar

Zwei Würfel mit $a=4\mathrm{c}\mathrm{m}$ werden an einer ganzen Seitenfläche zusammengefügt.

Berechne die Oberfläche.

Hilfe 1:

$O_W=6a^2$

Hilfe 2:

$A_K=a^2$

Hilfe 3:

$O=2O_W-2A_K$

Feedback zur Kontrolle:

$O_W=6\cdot 16=96\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

$O=2\cdot 96-2\cdot 16=160\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Übung 2: Zwei Quader

Quader A hat die Maße

$6\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}\times 2\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Quader B hat die Maße

$3\mathrm{c}\mathrm{m}\times 3\mathrm{c}\mathrm{m}\times 2\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Beide berühren sich an einer Fläche von

$3\mathrm{c}\mathrm{m}\times 2\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Berechne die äußere Oberfläche.

Hilfe 1:

$O_A=2(6\cdot 3+6\cdot 2+3\cdot 2)$

Hilfe 2:

$O_B=2(3\cdot 3+3\cdot 2+3\cdot 2)$

Hilfe 3:

$A_K=3\cdot 2$

Feedback zur Kontrolle:

$O_A=72\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

$O_B=42\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

$O=72+42-2\cdot 6=102\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Übung 3: Sichtbare Einheitsflächen zählen

Ein Körper besteht aus vier gleich großen Würfeln mit $a=2\mathrm{c}\mathrm{m}$. Insgesamt sind 18 quadratische Außenflächen sichtbar.

Bestimme die Oberfläche.

Hilfe 1: Berechne zuerst die Fläche eines sichtbaren Quadrats.

$A_Q=2^2=4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Hilfe 2:

$O=18\cdot A_Q$

Feedback:

$O=18\cdot 4=72\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$

Typische Fehler

1. Kontaktfläche: Nur einmal abziehen. Korrektur: Bei zwei Teilkörpern wurde dieselbe Kontaktfläche zweimal mitgezählt.
2. Einheit: $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$ statt $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$. Korrektur: Oberfläche ist eine Fläche.
3. Verdeckte Fläche: Eine von vorne unsichtbare Außenfläche vergessen. Korrektur: Körper drehen.
4. Innenfläche: Eine Kontaktfläche als Außenfläche zählen. Korrektur: Frage: Könnte ich diese Fläche nach dem Zusammenkleben berühren?
5. Rechenweg: Nur ein Endergebnis notieren. Korrektur: Teilflächen, Kontaktfläche und Einheit sichtbar machen.

Selbstkontrolle

Nutze nach jeder Aufgabe diese vier Prüfungen:

1. Skizze: Sind Kontaktflächen markiert?
2. Formel: Wurde jede Außenfläche genau einmal erfasst?
3. Einheit: Steht eine Flächeneinheit wie $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$?
4. Gegenprobe: Kann der Körper anders zerlegt oder als größerer Quader erkannt werden?

Digitale Werkzeuge und KI kritisch prüfen

GeoGebra, 3D-Modelle oder KI können beim Vorstellen helfen. Sie ersetzen keine mathematische Begründung.

Prüfe digitale Ergebnisse mit:

1. einer eigenen Skizze,
2. einem nachvollziehbaren Rechenweg,
3. einer passenden Einheit,
4. einer zweiten Rechnung oder Schätzung.

Datenschutz: Gib in Lernwerkzeuge keine personenbezogenen Daten ein.

KI-Regel: Eine KI-Ausgabe ist ein Vorschlag. Prüfe Kontaktflächen, Zahlen, Formel und Einheit selbst. Ein KI-Ergebnis ist kein mathematischer Beweis.

MSA-Brücke und Erweiterung

MSA-Brücke: Bei komplexeren Körpern kann es mehrere Kontaktflächen geben.

Dann gilt:

$O_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=\sum O_i-2\sum A_{\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{t}}$

Erweiterung: Bei zusammengesetzten Körpern aus Prisma, Zylinder, Kegel oder Kugelteilen bleibt die Grundidee gleich: Nur die tatsächlich außen liegenden Flächen zählen.

Diese Erweiterung wird hier nicht vertieft.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Flächen gehören zur Oberfläche eines zusammengesetzten Körpers? (Alle außen liegenden Flächen) (!Alle Flächen der Teilkörper) (!Nur die Vorderseiten) (!Nur die Grundflächen)

Was geschieht mit einer Kontaktfläche zweier Teilkörper? (Sie liegt innen und zählt nicht zur Oberfläche) (!Sie wird dreimal gezählt) (!Sie wird zum Volumen addiert) (!Sie wird zur Kante)

Welche Formel gilt bei zwei Körpern mit genau einer gemeinsamen Kontaktfläche? ($O=O_1+O_2-2A_K$) (!$O=O_1+O_2-A_K$) (!$O=O_1{O}_2$) (!$O=A_K^2$)

Warum wird die Kontaktfläche zweimal abgezogen? (Sie wurde in beiden Teiloberflächen mitgezählt) (!Sie ist immer doppelt so groß) (!Jeder Körper hat zwei Volumen) (!Eine Oberfläche hat immer zwei Einheiten)

Welche Einheit ist für eine Oberfläche richtig? (${\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$) (!$\mathrm{m}$) (!${\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$) (!$\mathrm{k}\mathrm{g}$)

Ein Würfel hat die Kantenlänge 2 cm. Wie groß ist eine Seitenfläche? ($4\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$) (!$2\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$) (!$6\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$) (!$8\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$)

Zwei Würfel werden an einer ganzen Seitenfläche zusammengefügt. Wie viele einzelne Quadratflächen liegen danach innen? (Zwei) (!Eine) (!Vier) (!Sechs)

Was hilft besonders gegen das Vergessen verdeckter Außenflächen? (Den Körper drehen) (!Nur die Vorderseite betrachten) (!Die Einheit weglassen) (!Das Volumen berechnen)

Was ist eine gute Selbstkontrolle? (Einen zweiten Lösungsweg verwenden) (!Das Ergebnis ohne Rechnung übernehmen) (!Kontaktflächen ignorieren) (!Quadrate in Kubikzentimeter angeben)

Welche Aussage zu KI-Ergebnissen ist richtig? (Sie müssen mathematisch geprüft werden) (!Sie sind automatisch ein Beweis) (!Sie benötigen keine Einheit) (!Sie dürfen ohne Rechenweg übernommen werden)

Memory

Oberfläche	sichtbare Außenflächen
Kontaktfläche	innenliegende Berührungsfläche
Quader	sechs rechteckige Seitenflächen
Würfel	sechs gleich große Quadrate
Flächeneinheit	Quadratzentimeter
Gegenprobe	zweiter Lösungsweg

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Arbeitsschritt
Zerlegen	Teilkörper erkennen
Markieren	Außenflächen kennzeichnen
Kontakt prüfen	innenliegende Flächen finden
Berechnen	Flächeninhalte bestimmen
Kontrollieren	Einheit und Gegenprobe prüfen

Kreuzworträtsel

Oberfläche	Wie heißt die Gesamtheit aller außen liegenden Flächen?
Quader	Welcher Körper besitzt sechs rechteckige Seitenflächen?
Würfel	Welcher Körper besitzt sechs gleich große quadratische Seiten?
Kontakt	Welches Wort bezeichnet die Berührung zweier Teilkörper?
Quadrat	Welche Form hat jede Seitenfläche eines Würfels?
Kontrolle	Wie heißt das Prüfen eines Ergebnisses?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem zusammengesetzten Körper zählen nur die Flächen zur Oberfläche. Eine Fläche, an der sich zwei Teilkörper berühren, heißt . Addiert man zunächst die vollständigen Oberflächen zweier Teilkörper, wurde eine gemeinsame Kontaktfläche mitgezählt. Deshalb wird bei einer Kontaktfläche der Term abgezogen. Der Oberflächeninhalt wird in einer angegeben. Eine passende Einheit ist zum Beispiel . Zum Prüfen kann der Körper digital werden. Ein digitales Ergebnis muss durch einen eigenen kontrolliert werden.

Transfer

Eine Verpackung besteht aus zwei quaderförmigen Teilen. Für die Folie wird nur Material an der Außenseite benötigt.

Transferfrage: Warum wäre es teuer, die Oberflächen beider Quader einfach vollständig zu addieren?

Begründung: Man würde Folie für die Kontaktflächen einplanen, obwohl diese im Inneren liegen.

Kompetenzcheck

Markiere für Dich: sicher – teilweise – noch üben.

1. Ich erkenne Teilkörper.
2. Ich finde Kontaktflächen.
3. Ich berechne Quader- und Würfeloberflächen.
4. Ich ziehe doppelt gezählte Kontaktflächen korrekt ab.
5. Ich schreibe eine passende Flächeneinheit.
6. Ich kann meinen Rechenweg mit einer Skizze begründen.
7. Ich prüfe digitale oder KI-erzeugte Ergebnisse selbst.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Schrägbild, Netz, Animation oder 3D-Modell?
2. An welchem Schritt entstehen bei Dir noch Fehler?
3. Wie kannst Du erkennen, ob eine Fläche wirklich außen liegt?
4. Welche Gegenprobe möchtest Du künftig häufiger nutzen?

Offene Aufgaben

Leicht

1. Flächen markieren: Zeichne zwei aneinandergeklebte Würfel und färbe alle sichtbaren Außenflächen grün. Färbe die Kontaktflächen rot.
2. Würfelmodell: Baue aus vier Würfeln einen Körper und zähle seine sichtbaren Quadratflächen.
3. Fotobeispiel: Suche in Deiner Umgebung einen Gegenstand, den man näherungsweise aus Quadern zusammensetzen kann. Nutze keine personenbezogenen Daten im Bild.
4. Fehler finden: Erkläre mit eigenen Worten, warum eine Kontaktfläche nicht zur Oberfläche gehört.

Standard

1. Eigene Aufgabe: Erfinde eine Aufgabe aus zwei Quadern mit ganzzahligen Maßen und löse sie vollständig.
2. Zwei Lösungswege: Löse eine Würfelbauwerk-Aufgabe einmal durch Flächenzählen und einmal durch Teiloberflächen.
3. 3D-Prüfung: Drehe ein digitales Modell und protokolliere, welche Flächen aus einer einzigen Ansicht nicht sichtbar waren.
4. Lernplakat: Gestalte ein Mini-Plakat mit der Formel $O_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{t}}=O_1+O_2-2A_K$ und einer passenden Skizze.

Schwer

1. Mehrere Kontaktflächen: Baue einen Körper aus mindestens fünf Würfeln und bestimme seine Oberfläche systematisch.
2. Strategien vergleichen: Vergleiche Flächenzählen und Kontaktflächenmethode. Beschreibe, wann welche Methode übersichtlicher ist.
3. Digitale Kontrolle: Lasse Dir von einem digitalen Werkzeug eine Oberflächenrechnung anzeigen und prüfe jeden Schritt mathematisch.
4. MSA-Brücke: Erstelle eine Aufgabe mit drei Teilkörpern und mindestens zwei Kontaktflächen. Gib Lösung, Skizze und Begründung an.

Lernkontrolle

1. Außen oder innen?: Begründe für einen aus zwei Quadern zusammengesetzten Körper, welche Flächen zur Oberfläche gehören und welche nicht.
2. Fehleranalyse: Eine Person rechnet $O=O_1+O_2-A_K$. Erkläre den Fehler ohne nur die richtige Formel zu nennen.
3. Strategiewahl: Entscheide bei einem Würfelbauwerk, ob Flächenzählen oder Teiloberflächen günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
4. Transfer Verpackung: Berechne, wie viel Material für eine zweiteilige quaderförmige Verpackung benötigt wird. Erkläre, welche Flächen nicht beklebt werden.
5. Digitale Prüfung: Vergleiche ein digitales Ergebnis mit Deiner Handrechnung. Dokumentiere mindestens zwei Prüfschritte.
6. Darstellung: Erstelle eine Skizze, in der Außenflächen und Kontaktflächen durch unterschiedliche Farben eindeutig unterschieden sind.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst einfache Teilkörper in einem zusammengesetzten Körper.
2. Du markierst außenliegende und innenliegende Flächen eindeutig.
3. Du verwendest passende Oberflächenformeln.
4. Du berechnest Kontaktflächen korrekt.
5. Du vermeidest doppelt gezählte Kontaktflächen.
6. Du gibst Oberflächen in passenden Flächeneinheiten an.
7. Du dokumentierst Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar.
8. Du kannst Dein Ergebnis durch einen zweiten Weg oder ein digitales Modell überprüfen.
9. Du übernimmst KI- oder Rechnerergebnisse nicht ungeprüft.

OERs zum Thema

Freie Medien aus Wikimedia Commons:

1. Tetracube categories.svg
2. Cube Rotating.gif
3. UnfoldingCube.gif
4. QuaderNetz.svg
5. Magic Folding Cube.gif
6. The six faces of the cube of colors.png

Interaktive OER:

1. GeoGebra – Surface Area for Cuboid
2. GeoGebra – Netz und Oberfläche von Quader und Würfel
3. GeoGebra – Zerteilen von zusammengesetzten Körpern

Wikipedia:

Verknüpfte Lernbereiche

Oberfläche zusammengesetzter Körper Oberfläche Flächeninhalt Quader Würfel Körpernetz Kontaktfläche Zusammengesetzter Körper Flächeneinheit Mathematisches Modellieren

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich:

M10 G - Volumen zusammengesetzter Körper bestimmen

Dort werden Teilkörper nicht über ihre Außenflächen, sondern über ihren Rauminhalt zusammengesetzt.