Isotherme Zustandsänderung - Physik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Physik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Bei einer isothermen Zustandsänderung bleibt die Temperatur eines Systems konstant. Das Wort stammt aus dem Griechischen: „iso“ bedeutet gleich und „therm“ bezieht sich auf Wärme beziehungsweise Temperatur. Besonders wichtig ist der isotherme Prozess für ideale Gase, weil sich dabei Druck und Volumen ändern, während die Temperatur gleich bleibt.

Du lernst in diesem aiMOOC, wie Du eine Isotherme im p‑V‑Diagramm erkennst, das Boyle-Mariotte-Gesetz anwendest und Wärme sowie Arbeit energetisch deutest. Die Formeln werden mit der Extension Math dargestellt.

Die Kurve im Druck-Volumen-Diagramm zeigt eine isotherme Expansion. Die Fläche unter der Kurve steht für die verrichtete Volumenarbeit.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Grundidee des isothermen Prozesses

Die entscheidende Bedingung lautet:

$T=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

oder gleichbedeutend:

$\Delta T=0$

Ein Gas kann sich trotzdem ausdehnen oder zusammengedrückt werden. Damit sich seine Temperatur dabei nicht ändert, muss es Wärme mit der Umgebung austauschen können. In einem Modellversuch steht der Gaszylinder deshalb in Kontakt mit einem großen Wärmebad. Die Zustandsänderung muss außerdem langsam genug ablaufen, damit sich Gas und Wärmebad immer wieder nahezu auf dieselbe Temperatur einstellen.

Bei einer langsamen Kompression wird der Kolben schrittweise belastet. Über den wärmeleitenden Boden kann das Gas Wärme an das Wärmebad abgeben.

Voraussetzungen des Schulmodells

1. Ideales Gas: Die Teilchen werden als punktförmig betrachtet und wechselwirken nur bei Stößen.
2. Geschlossenes System: Die Stoffmenge des Gases bleibt unverändert.
3. Wärmeaustausch: Das System steht in thermischem Kontakt mit seiner Umgebung.
4. Quasistatischer Prozess: Die Änderung läuft so langsam ab, dass Zwischenzustände näherungsweise Gleichgewichtszustände sind.

Boyle-Mariotte-Gesetz

Für eine feste Stoffmenge eines idealen Gases gilt die allgemeine Gasgleichung:

$pV=nRT$

Bei konstanter Temperatur sind auch $n$ und $R$ konstant. Deshalb folgt:

$pV=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$

Für zwei Zustände gilt:

$p_1{V}_1=p_2{V}_2$

und damit:

$p_2=\frac{p_1{V}_1}{V_2}$

Wenn sich das Volumen halbiert, verdoppelt sich der Druck. Wenn sich das Volumen verdoppelt, halbiert sich der Druck. Druck und Volumen sind also umgekehrt proportional.

Die Animation veranschaulicht das Boyle-Mariotte-Gesetz: Mehr Belastung verkleinert das Gasvolumen und erhöht den Druck, während die Temperatur konstant gehalten wird.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Beispielrechnung zu Druck und Volumen

Ein Gas hat anfangs den Druck $p_1=100\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}$ und das Volumen $V_1=\mathrm{2,0}\mathrm{L}$. Es wird isotherm auf $V_2=\mathrm{1,0}\mathrm{L}$ komprimiert.

$p_2=\frac{p_1{V}_1}{V_2}=\frac{100\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot \mathrm{2,0}\mathrm{L}}{\mathrm{1,0}\mathrm{L}}=200\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}$

Der Druck verdoppelt sich, weil das Volumen halbiert wurde.

Darstellung im p‑V‑Diagramm

Im Druck-Volumen-Diagramm liegt der Druck auf der senkrechten Achse und das Volumen auf der waagerechten Achse. Aus

$p=\frac{nRT}{V}$

folgt eine fallende Hyperbel. Diese Kurve heißt Isotherme. Bei größerer Temperatur liegt die Isotherme weiter oben, weil bei gleichem Volumen ein größerer Druck herrscht.

Mehrere Isothermen eines idealen Gases: Jede Kurve gehört zu einer konstanten Temperatur.

Die Animation zeigt den Weg von Zustand 1 zu Zustand 2 und die dabei wachsende Fläche unter der Kurve.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Expansion und Kompression

Bei einer isothermen Expansion nimmt das Volumen zu und der Druck ab. Das Gas drückt den Kolben nach außen und verrichtet Arbeit an der Umgebung. Damit die Temperatur gleich bleibt, muss dem Gas Wärme zugeführt werden.

Bei einer isothermen Kompression nimmt das Volumen ab und der Druck zu. Die Umgebung verrichtet Arbeit am Gas. Damit die Temperatur gleich bleibt, muss Wärme aus dem Gas abgeführt werden.

Die Kolbenbewegung macht die isotherme Expansion anschaulich: Das Gas vergrößert sein Volumen schrittweise.

Wärme, Arbeit und innere Energie

Für diesen aiMOOC gilt die in der Schulphysik häufig genutzte Vorzeichenkonvention:

$\Delta U=Q-W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}$

Dabei ist $Q$ die dem Gas zugeführte Wärme und $W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}$ die vom Gas an der Umgebung verrichtete Arbeit.

Bei einem idealen Gas hängt die Innere Energie nur von der Temperatur ab. Weil die Temperatur beim isothermen Prozess konstant bleibt, gilt:

$\Delta U=0$

Damit folgt:

$Q=W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}$

Bei der Expansion wird zugeführte Wärme vollständig als Arbeit an die Umgebung weitergegeben. Bei der Kompression ist $W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}$ negativ; die am Gas verrichtete Arbeit wird als Wärme an die Umgebung abgeführt.

Volumenarbeit

Die vom Gas verrichtete Arbeit entspricht der Fläche unter der Prozesskurve:

$W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}={\int }_{V_1}^{V_2}p\mathrm{d}V$

Mit $p=\frac{nRT}{V}$ erhält man:

$W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}=nRT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Da außerdem $nRT=p_1{V}_1=p_2{V}_2$ gilt, kann auch geschrieben werden:

$W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}=p_1{V}_1\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Für eine Expansion ist $V_2>V_1$ und damit $W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}>0$. Für eine Kompression ist $V_2<V_1$ und damit $W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}<0$.

Die markierte Fläche unter der Isotherme entspricht dem Betrag der Volumenarbeit.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Beispielrechnung zur Arbeit

Das Gas aus dem vorherigen Beispiel wird von $\mathrm{2,0}\mathrm{L}$ auf $\mathrm{1,0}\mathrm{L}$ komprimiert. Es gilt:

$p_1{V}_1=100\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot \mathrm{2,0}\mathrm{L}=200\mathrm{J}$

Dabei wurde verwendet:

$1\mathrm{k}\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot 1\mathrm{L}=1\mathrm{J}$

Die vom Gas verrichtete Arbeit ist:

$W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}=200\mathrm{J}\cdot \ln \left(\frac{\mathrm{1,0}}{\mathrm{2,0}}\right)\approx -139\mathrm{J}$

Die Umgebung verrichtet also etwa $139\mathrm{J}$ Arbeit am Gas. Damit die Temperatur konstant bleibt, muss das Gas etwa $139\mathrm{J}$ Wärme an die Umgebung abgeben.

Teilchenmodell

Beim Komprimieren bewegt sich der Kolben nach innen. Die Gasteilchen stoßen häufiger gegen den Kolben und die Gefäßwände, wodurch der Druck steigt. Die Arbeit am Gas würde normalerweise die mittlere Bewegungsenergie der Teilchen und damit die Temperatur erhöhen. Beim isothermen Prozess wird diese zusätzliche Energie jedoch als Wärme abgeführt.

Bei der Expansion stoßen die Teilchen gegen den sich nach außen bewegenden Kolben und übertragen Energie auf ihn. Ohne Wärmezufuhr würde ihre mittlere Bewegungsenergie sinken. Das Wärmebad ersetzt diese abgegebene Energie, sodass die Temperatur gleich bleibt.

Vergleich mit anderen Zustandsänderungen

Vier grundlegende Zustandsänderungen im p‑V‑Diagramm: isobar, isotherm, isentrop beziehungsweise näherungsweise adiabatisch und isochor.

Zustandsänderung	Konstante Größe	Kennzeichen
Isotherme Zustandsänderung	Temperatur	$pV=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$
Isochore Zustandsänderung	Volumen	Keine Volumenarbeit
Isobare Zustandsänderung	Druck	Gerade waagerechte Prozesslinie
Adiabatische Zustandsänderung	Kein Wärmeaustausch	$Q=0$

Eine Isotherme ist nicht dasselbe wie eine Adiabate. Bei der Isotherme darf Wärme fließen, damit die Temperatur konstant bleibt. Bei der Adiabate fließt keine Wärme; deshalb ändert sich die Temperatur bei Kompression oder Expansion meist deutlich.

Bedeutung und Anwendungen

Isotherme Prozesse sind idealisierte Modellprozesse. Sie helfen, reale Vorgänge zu verstehen und Wärmekraftmaschinen zu beschreiben. Im Carnot-Prozess treten zwei isotherme und zwei adiabatische Teilprozesse auf. Auch der Stirlingmotor enthält näherungsweise isotherme Expansions- und Kompressionsphasen.

Im Carnot-Kreisprozess verbinden isotherme und adiabatische Teilprozesse zwei Temperaturniveaus.

Reale Prozesse sind nur näherungsweise isotherm. Sie müssen langsam ablaufen und einen guten Wärmeaustausch ermöglichen. Bei schnellen Vorgängen bleibt oft zu wenig Zeit für den Wärmestrom; dann ähnelt der Prozess eher einer adiabatischen Zustandsänderung.

Merksätze

1. Temperatur: Beim isothermen Prozess bleibt $T$ konstant.
2. Boyle-Mariotte-Gesetz: Für eine feste Menge idealen Gases gilt $pV=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$.
3. Isotherme: Im p‑V‑Diagramm ist sie eine fallende Hyperbel.
4. Innere Energie: Beim idealen Gas gilt wegen $\Delta T=0$ auch $\Delta U=0$.
5. Energieübertragung: Bei isothermer Expansion wird Wärme zugeführt, bei isothermer Kompression Wärme abgeführt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Größe bleibt bei einer isothermen Zustandsänderung konstant? (Temperatur) (!Druck) (!Volumen) (!Stoffmenge pro Volumen)

Welche Beziehung gilt für eine feste Menge idealen Gases bei konstanter Temperatur? (p mal V ist konstant) (!p durch V ist konstant) (!p plus V ist konstant) (!p minus V ist konstant)

Was geschieht mit dem Druck bei isothermer Halbierung des Volumens? (Der Druck verdoppelt sich) (!Der Druck halbiert sich) (!Der Druck bleibt gleich) (!Der Druck wird null)

Welche Form hat eine Isotherme im p‑V‑Diagramm? (Eine fallende Hyperbel) (!Eine steigende Gerade) (!Eine waagerechte Gerade) (!Eine senkrechte Gerade)

Wie ändert sich die innere Energie eines idealen Gases bei einem isothermen Prozess? (Sie bleibt konstant) (!Sie steigt immer) (!Sie sinkt immer) (!Sie wird unendlich groß)

Was muss bei einer isothermen Expansion eines idealen Gases geschehen? (Dem Gas wird Wärme zugeführt) (!Das Gas wird vollständig isoliert) (!Dem Gas wird Stoff entzogen) (!Der Druck bleibt konstant)

Was geschieht bei einer isothermen Kompression? (Wärme wird an die Umgebung abgegeben) (!Die Temperatur steigt dauerhaft) (!Das Volumen nimmt zu) (!Der Druck nimmt ab)

Was stellt die Fläche unter der Isotherme im p‑V‑Diagramm dar? (Die Volumenarbeit) (!Die Stoffmenge) (!Die Temperatur) (!Die Dichte des Kolbens)

Warum sollte eine idealisierte isotherme Zustandsänderung langsam ablaufen? (Damit ausreichend Wärme ausgetauscht werden kann) (!Damit kein Druck entsteht) (!Damit das Gas seine Stoffmenge ändert) (!Damit das Volumen konstant bleibt)

Worin unterscheidet sich der adiabatische vom isothermen Prozess? (Beim adiabatischen Prozess wird keine Wärme ausgetauscht) (!Beim adiabatischen Prozess bleibt immer der Druck konstant) (!Beim adiabatischen Prozess bleibt immer das Volumen konstant) (!Beim adiabatischen Prozess gibt es keine Arbeit)

Memory

Isotherme	Kurve gleicher Temperatur
Boyle-Mariotte	Produkt aus Druck und Volumen konstant
Expansion	Vergrößerung des Gasraums
Kompression	Verkleinerung des Gasraums
Wärmebad	Ermöglicht thermischen Energieaustausch
Hyperbel	Form der Prozesskurve
Volumenarbeit	Fläche unter der p‑V‑Kurve
Idealgasmodell	Innere Energie hängt nur von Temperatur ab

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Isotherme Expansion
Temperatur	bleibt konstant
Volumen	nimmt zu
Druck	nimmt ab
Wärmezufuhr	gleicht die abgegebene Arbeit aus
Gasarbeit	ist positiv

...

Kreuzworträtsel

Isotherme	Wie heißt eine Kurve konstanter Temperatur im Druck-Volumen-Diagramm?
Hyperbel	Welche mathematische Kurvenform besitzt die Prozesslinie?
Kolben	Welches bewegliche Bauteil verändert häufig das Gasvolumen?
Wärmebad	Welche Umgebung hält im Modell die Temperatur konstant?
Expansion	Wie heißt die Vergrößerung des Gasvolumens?
Kompression	Wie heißt die Verkleinerung des Gasvolumens?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer isothermen Zustandsänderung bleibt die konstant.

Für eine feste Menge idealen Gases bleibt das Produkt aus Druck und Volumen .

Die Isotherme erscheint im p‑V‑Diagramm als fallende .

Bei einer Expansion nimmt das Volumen .

Gleichzeitig nimmt bei der Expansion der Druck .

Damit die Temperatur während der Expansion gleich bleibt, wird dem Gas zugeführt.

Bei der Kompression muss thermische Energie an die Umgebung werden.

Die innere Energie eines idealen Gases ändert sich bei konstanter Temperatur .

Die Fläche unter der Prozesskurve beschreibt die verrichtete .

Ein guter thermischer Kontakt wird im Modell durch ein dargestellt.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffsnetz: Erstelle ein Begriffsnetz mit Temperatur, Druck, Volumen, Wärme, Arbeit und innerer Energie.
2. Diagramm zeichnen: Zeichne eine Isotherme in ein p‑V‑Diagramm und markiere Expansion sowie Kompression mit Pfeilen.
3. Alltagsbeobachtung: Suche ein Beispiel, bei dem ein Gas langsam zusammengedrückt oder ausgedehnt wird, und erkläre, warum der Vorgang nur näherungsweise isotherm ist.
4. Formelkarten: Gestalte Lernkarten zum Boyle-Mariotte-Gesetz und zu den wichtigsten Größen mit Einheit.

Standard

1. Spritzenexperiment: Untersuche mit einer verschlossenen Kunststoffspritze qualitativ den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen und dokumentiere Sicherheitsregeln sowie Beobachtungen.
2. Messwerttabelle: Erfinde plausible Wertepaare für Druck und Volumen mit konstantem Produkt und stelle sie grafisch dar.
3. Erklärvideo: Produziere ein einminütiges Video, in dem Du Expansion, Kompression und Wärmeaustausch mit einem Kolbenmodell erklärst.
4. Fehleranalyse: Prüfe eine Musterlösung, in der behauptet wird, bei einer Isotherme seien Druck und Volumen konstant, und verbessere die Begründung.

Schwer

1. Versuchsplanung: Plane einen Versuch zur näherungsweisen Überprüfung des Boyle-Mariotte-Gesetzes mit Drucksensor, Volumenskala und Wasserbad.
2. Arbeitsvergleich: Vergleiche die Arbeit einer isothermen Expansion mit der Arbeit eines Prozesses bei konstantem Außendruck und begründe Unterschiede anhand der Diagrammflächen.
3. Modellkritik: Diskutiere, wann Luft nicht mehr ausreichend als ideales Gas beschrieben werden kann und welche Folgen das für die Rechnung hat.
4. Carnot-Projekt: Erstelle ein Poster zum Carnot-Prozess und kennzeichne die beiden isothermen sowie die beiden adiabatischen Teilprozesse.

Lernkontrolle

1. Modell und Realität: Erkläre, warum eine schnelle Kompression in einer gut isolierenden Fahrradpumpe nicht isotherm verläuft, und leite daraus eine sinnvolle Änderung des Versuchsaufbaus ab.
2. Diagrammdeutung: Zwei Isothermen liegen im p‑V‑Diagramm übereinander. Begründe, welche Kurve zur höheren Temperatur gehört.
3. Energiebilanz: Ein ideales Gas expandiert isotherm und verrichtet Arbeit. Erkläre mit dem ersten Hauptsatz, woher die dafür benötigte Energie stammt.
4. Transferrechnung: Ein Gas wird isotherm auf ein Drittel seines Volumens komprimiert. Leite ohne konkrete Zahlen her, um welchen Faktor sich der Druck ändert.
5. Vorzeichenkonvention: Beschreibe den Unterschied zwischen der vom Gas verrichteten Arbeit und der am Gas verrichteten Arbeit bei einer Kompression.
6. Prozessvergleich: Vergleiche eine isotherme mit einer adiabatischen Expansion hinsichtlich Wärmeaustausch, Temperaturänderung und Verlauf im p‑V‑Diagramm.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Bedingung $T=\mathrm{k}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$ fachlich erklären kannst,
2. das Boyle-Mariotte-Gesetz auf unbekannte Anfangs- und Endzustände anwendest,
3. Isothermen in einem p‑V‑Diagramm zeichnest und deutest,
4. Expansion und Kompression über Wärme, Arbeit und innere Energie unterscheidest,
5. die Arbeitsformel $W_{\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{s}}=nRT\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$ passend einsetzt,
6. Annahmen des idealen Gasmodells nennst und Grenzen des Modells beurteilst,
7. isotherme und adiabatische Prozesse begründet vergleichst.

Verknüpfte Lernbereiche

Isotherme Zustandsänderung - Physik Thermodynamik Ideales Gas Boyle-Mariotte-Gesetz Druck Volumen Temperatur Innere Energie Volumenarbeit Erster Hauptsatz der Thermodynamik Adiabatische Zustandsänderung Carnot-Prozess