Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Gauß-Algorithmus - Lineare Gleichungssysteme lösen

Einleitung

Der Gauß-Algorithmus ist ein Rechenverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Du formst die Gleichungen so um, dass immer weniger Variablen vorkommen. Am Ende kannst Du die Lösung von unten nach oben ablesen.

Fach: Mathematik Klassen: 9–13 Themen: Lineares Gleichungssystem, Matrix, Zeilenumformung, Stufenform

Das Verfahren trägt den Namen des Mathematikers Carl Friedrich Gauß.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

lineare Gleichungssysteme als erweiterte Matrix schreiben.
erlaubte Zeilenumformungen anwenden.
eine Stufenform herstellen.
durch Rückwärtseinsetzen die Lösung bestimmen.
erkennen, ob es eine, keine oder unendlich viele Lösungen gibt.

Grundlagen

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht aus mehreren linearen Gleichungen. Gesucht sind Zahlen, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.

Beispiel:

$\begin{matrix} x + y + z & = 6 \\ 2 x - y + z & = 3 \\ x + 2 y - z & = 2 \end{matrix}$

Die Zahlen vor den Variablen heißen Koeffizienten.

Erweiterte Matrix

Das Beispiel kann kurz als erweiterte Matrix geschrieben werden:

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 & 2 \end{matrix})$

Links stehen die Koeffizienten. Rechts vom Strich steht die rechte Seite der Gleichungen.

Der Gauß-Algorithmus

Erlaubte Zeilenumformungen

Diese Umformungen verändern die Lösungsmenge nicht:

Zeilenvertauschung: Zwei Zeilen werden vertauscht.
Skalarmultiplikation: Eine Zeile wird mit einer Zahl ungleich null multipliziert.
Zeilenaddition: Ein Vielfaches einer Zeile wird zu einer anderen Zeile addiert.

Ablauf

Vorwärtselimination: Erzeuge Nullen unter den führenden Einträgen.
Stufenform: Die Matrix sieht wie eine Treppe aus.
Rückwärtseinsetzen: Löse von der letzten Zeile nach oben.

Kurzes Beispiel

Ausgangsmatrix:

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 2 & - 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & - 1 & 2 \end{matrix})$

Umformungen:

$Z_{2} \leftarrow Z_{2} - 2 Z_{1}$
$Z_{3} \leftarrow Z_{3} - Z_{1}$
$Z_{2} \leftrightarrow Z_{3}$
$Z_{3} \leftarrow Z_{3} + 3 Z_{2}$

Stufenform:

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 2 & - 4 \\ 0 & 0 & - 7 & - 21 \end{matrix})$

Von unten nach oben:

$- 7 z = - 21$ , also $z = 3$ .
$y - 2 z = - 4$ , also $y = 2$ .
$x + y + z = 6$ , also $x = 1$ .

Lösung: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$

Mögliche Lösungsfälle

Genau eine Lösung

Die Gleichungen treffen sich in genau einem gemeinsamen Punkt.

Keine Lösung

Eine Zeile wie $0 = 5$ ist ein Widerspruch. Bei zwei Variablen können parallele Geraden diesen Fall zeigen.

Unendlich viele Lösungen

Mindestens eine Variable bleibt frei. Bei zwei Variablen können beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben.

Lernvideo

Das folgende Video zeigt den Gauß-Algorithmus Schritt für Schritt:

Aufgaben zum Video

Videoprotokoll: Schreibe jede Umformung des gezeigten Gleichungssystems in der Form $Z_{i} \leftarrow Z_{i} + a Z_{j}$ auf.
Stopp-Aufgabe: Halte das Video vor einer neuen Umformung an und sage den nächsten Rechenschritt voraus.
Rechenkontrolle: Rechne mindestens drei Umformungen selbst nach.
Fehleranalyse: Notiere zwei Stellen, an denen ein Vorzeichenfehler leicht passieren kann.
Kurz-Erklärung: Erkläre den Lösungsweg des Videos in höchstens fünf Sätzen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wozu dient der Gauß-Algorithmus? (Zum Lösen linearer Gleichungssysteme) (!Zum Zeichnen von Kreisen) (!Zum Berechnen von Prozenten) (!Zum Messen von Winkeln)

Welche Umformung ist beim Gauß-Algorithmus erlaubt? (Ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren) (!Eine Variable ohne Grund löschen) (!Nur die rechte Seite verändern) (!Alle Zahlen quadrieren)

Was enthält eine erweiterte Matrix? (Koeffizienten und rechte Seiten) (!Nur die Variablennamen) (!Nur die Lösungen) (!Nur geometrische Punkte)

Was ist das Ziel der Vorwärtselimination? (Eine Stufenform erzeugen) (!Alle Zahlen positiv machen) (!Die Variablen umbenennen) (!Eine Zeichnung anfertigen)

Was ist eine Pivotstelle? (Ein führender Eintrag für die Elimination) (!Die letzte Lösung des Systems) (!Ein Rechenfehler) (!Eine freie Zeichnung)

Was folgt nach dem Erreichen der Stufenform? (Das Rückwärtseinsetzen) (!Das Runden aller Zahlen) (!Das Löschen der Matrix) (!Das Zeichnen eines Kreises)

Wann hat ein LGS genau eine Lösung? (Wenn jede Variable eindeutig bestimmt ist) (!Wenn jede Zeile nur Nullen enthält) (!Wenn ein Widerspruch entsteht) (!Wenn keine Gleichung vorhanden ist)

Was bedeutet eine Zeile mit nur Nullen links und einer Zahl ungleich null rechts? (Das LGS hat keine Lösung) (!Das LGS hat genau zwei Lösungen) (!Das LGS ist bereits gelöst) (!Alle Variablen sind null)

Was gilt, wenn eine freie Variable bleibt und kein Widerspruch auftritt? (Das LGS hat unendlich viele Lösungen) (!Das LGS hat keine Lösung) (!Das LGS hat immer genau eine Lösung) (!Die Matrix darf nicht verwendet werden)

Welche Arbeitsweise wird im Lernvideo hauptsächlich gezeigt? (Gleichungen schrittweise durch Zeilenumformungen vereinfachen) (!Geraden nur mit dem Lineal zeichnen) (!Brüche in Prozentzahlen umwandeln) (!Flächen von Dreiecken berechnen)

Memory

Erweiterte Matrix	Koeffizienten mit rechter Seite
Pivotstelle	Startpunkt einer Elimination
Zeilentausch	Reihenfolge der Gleichungen ändern
Stufenform	Treppenartige Anordnung
Rücksubstitution	Von unten nach oben lösen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Gauß-Algorithmus
Vorwärtselimination	Nullen unter den Pivotstellen erzeugen
Rückwärtseinsetzen	Unbekannte von unten bestimmen
Einzige Lösung	Jede Variable hat genau einen Wert
Keine Lösung	Eine Gleichung führt zum Widerspruch
Unendlich viele Lösungen	Mindestens eine Variable bleibt frei

Kreuzworträtsel

Matrix	Wie heißt die rechteckige Anordnung der Zahlen eines LGS?
Pivot	Wie heißt der führende Eintrag für einen Eliminationsschritt?
Zeile	Was entspricht in einer erweiterten Matrix einer Gleichung?
Stufenform	Wie heißt die treppenartige Form nach der Vorwärtselimination?
Variable	Wie heißt eine unbekannte Größe wie x oder y?
Widerspruch	Was zeigt eine Gleichung wie null gleich fünf?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Videoanalyse: Sieh das Lernvideo an und notiere die drei wichtigsten Arbeitsschritte.
Begriffsnetz: Verbinde die Begriffe LGS, Matrix, Zeile, Pivot und Lösung in einer kleinen Skizze.
Rechenweg erklären: Erkläre einer anderen Person, warum man Gleichungen vertauschen darf.
Lösungsprobe: Setze $x = 1$ , $y = 2$ und $z = 3$ in das Beispiel ein.

Standard

Eigene Rechnung: Löse ein selbst gewähltes LGS mit drei Variablen durch den Gauß-Algorithmus.
Videovergleich: Vergleiche Deinen Rechenweg mit dem Vorgehen im Lernvideo.
Fehlersuche: Erstelle einen falschen Gauß-Rechenweg und markiere die erste fehlerhafte Zeile.
Verfahrensvergleich: Löse ein LGS einmal mit Gauß und einmal mit dem Additionsverfahren.

Schwer

Parameteraufgabe: Untersuche ein LGS mit einem Parameter und bestimme, wann es eine, keine oder unendlich viele Lösungen hat.
Modellierungsaufgabe: Erfinde eine Sachaufgabe mit drei unbekannten Größen und löse sie mit Gauß.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes eigenes Lernvideo mit Matrix, Zeilenumformungen und Lösungsprobe.
Algorithmus: Formuliere den Gauß-Algorithmus als Ablaufplan oder Pseudocode.

Lernkontrolle

Strategiewahl: Begründe, warum der Gauß-Algorithmus für ein LGS mit drei oder mehr Variablen oft übersichtlicher als Einsetzen ist.
Umformungsprüfung: Entscheide bei mehreren vorgegebenen Rechenschritten, welche die Lösungsmenge erhalten, und begründe Deine Entscheidung.
Fehlerdiagnose: Analysiere einen Rechenweg mit falschem Vorzeichen und beschreibe, wie sich der Fehler bis zur Lösung auswirkt.
Lösungsfall bestimmen: Erkläre anhand einer Stufenmatrix, ob ein LGS eine, keine oder unendlich viele Lösungen besitzt.
Rückwärtsplanung: Entwickle zu einer vorgegebenen Lösung ein passendes LGS und prüfe es mit dem Gauß-Algorithmus.
Transfer: Stelle aus einer Alltagssituation ein LGS auf, löse es und deute die Lösung im Sachzusammenhang.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

ein LGS korrekt in Matrixform schreiben kannst.
erlaubte Zeilenumformungen sicher ausführst.
eine Stufenform erzeugst.
durch Rückwärtseinsetzen eine Lösung bestimmst.
die Lösung durch Einsetzen prüfst.
die drei möglichen Lösungsfälle begründet unterscheidest.
Deinen Rechenweg verständlich erklärst.

OERs zum Thema

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Gauß-Algorithmus - Lineare Gleichungssysteme lösen

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.