Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit - Physik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 9-10, M-Niveau

Einleitung

Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit - Physik gehört zur Kinematik. Du lernst, wie schnell sich ein Körper über einen längeren Zeitraum bewegt und wie groß seine Geschwindigkeit in einem bestimmten Augenblick ist.

Ein Tachometer zeigt während einer Fahrt näherungsweise die Momentangeschwindigkeit. Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird dagegen aus dem gesamten Weg und der gesamten Zeit berechnet.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Durchschnittsgeschwindigkeit aus Weg und Zeit berechnen.
2. Momentangeschwindigkeit erklären und in Diagrammen bestimmen.
3. Weg-Zeit-Diagramme auswerten.
4. Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme lesen.
5. Einheiten sicher zwischen m/s und km/h umrechnen.
6. einfache Geschwindigkeitsmessungen planen und beurteilen.

Grundwissen

Größen und Einheiten

Physikalische Größe	Formelzeichen	Häufige Einheit
Weg	$s$	m oder km
Zeit	$t$	s oder h
Geschwindigkeit	$v$	m/s oder km/h

Für die Umrechnung gilt:

$1\mathrm{m}/\mathrm{s}=\mathrm{3,6}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$

$1\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}\approx \mathrm{0,278}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Beispiel:

$5\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\cdot \mathrm{3,6}\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}=18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$

Durchschnittsgeschwindigkeit

Die Durchschnittsgeschwindigkeit beschreibt eine gesamte Bewegung während eines Zeitintervalls. Du teilst den insgesamt zurückgelegten Weg durch die gesamte benötigte Zeit:

$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Dabei steht $\overline{v}$ für die Durchschnittsgeschwindigkeit, $\Delta s$ für den zurückgelegten Weg und $\Delta t$ für die vergangene Zeit.

Beispiel: Ein Läufer legt 100 m in 20 s zurück.

$\overline{v}=\frac{100\mathrm{m}}{20\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}=18\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$

Die Rechnung sagt nicht, ob der Läufer zwischendurch schneller oder langsamer war. Sie fasst die gesamte Bewegung in einem Wert zusammen.

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Pausen und Teilstrecken

Zur Gesamtzeit gehören auch Pausen, wenn sie Teil der betrachteten Reisezeit sind.

Beispiel: Du fährst 12 km in 30 Minuten und machst anschließend 10 Minuten Pause. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit der gesamten Reise rechnest Du mit 40 Minuten.

Teilgeschwindigkeiten darfst Du nicht immer einfach addieren und durch ihre Anzahl teilen. Sicher ist:

$\overline{v}=\frac{\text{Gesamtweg}}{\text{Gesamtzeit}}$

Das arithmetische Mittel zweier Geschwindigkeiten ist nur dann passend, wenn beide Geschwindigkeiten gleich lange gefahren werden.

Momentangeschwindigkeit

Die Momentangeschwindigkeit gibt an, wie schnell sich ein Körper in einem bestimmten Augenblick bewegt. Beim Auto kannst Du sie näherungsweise am Tachometer ablesen.

Mathematisch betrachtet man immer kürzere Zeitintervalle:

$v(t)=\underset{\Delta t\to 0}{lim}\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Für höhere Klassen kann die Momentangeschwindigkeit auch als Ableitung des Weges nach der Zeit geschrieben werden:

$v(t)=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$

Du musst den Grenzwert nicht sofort berechnen können. Wichtig ist die Vorstellung: Je kürzer das betrachtete Zeitintervall wird, desto näher kommt die gemessene Durchschnittsgeschwindigkeit an die Momentangeschwindigkeit heran.

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Durchschnitt und Moment im Weg-Zeit-Diagramm

In einem Weg-Zeit-Diagramm steht die Zeit auf der waagerechten Achse und der Weg auf der senkrechten Achse.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen zwei Punkten entspricht der Steigung einer Sekante. Die Momentangeschwindigkeit an einem Punkt entspricht der Steigung einer Tangente.

Gesuchte Größe	Bedeutung im Weg-Zeit-Diagramm
Durchschnittsgeschwindigkeit	Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten
Momentangeschwindigkeit	Steigung der Tangente an einem Punkt

Je steiler der Graph ansteigt, desto größer ist die Geschwindigkeit. Ein waagerechter Abschnitt bedeutet Stillstand. Fällt der Graph, bewegt sich der Körper in die entgegengesetzte Richtung.

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Gleichförmige und veränderliche Bewegung

Bei einer gleichförmigen Bewegung ist die Momentangeschwindigkeit konstant. Deshalb ist sie in jedem Augenblick gleich groß wie die Durchschnittsgeschwindigkeit.

Bei einer veränderlichen Bewegung ändern sich die Momentangeschwindigkeiten. Die Durchschnittsgeschwindigkeit fasst diese Bewegung trotzdem in einem einzigen Wert zusammen.

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Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm

In einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm steht die Zeit auf der waagerechten Achse und die Geschwindigkeit auf der senkrechten Achse.

Der Wert des Graphen zu einem bestimmten Zeitpunkt ist die Momentangeschwindigkeit. Die Fläche unter dem Graphen entspricht der Ortsänderung. Bleibt die Geschwindigkeit positiv, entspricht diese Fläche dem zurückgelegten Weg.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit über ein Intervall lässt sich auch aus der Fläche bestimmen:

$\overline{v}=\frac{\text{Fläche unter dem }v\text{-}t\text{-Graphen}}{\Delta t}$

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Geschwindigkeiten messen

Eine einfache Messung benötigt eine bekannte Strecke und eine gemessene Zeit. Mit Maßband, Markierungen und Stoppuhr erhältst Du eine Durchschnittsgeschwindigkeit.

Eine Lichtschranke kann ein sehr kurzes Zeitintervall messen. Unterbricht ein Fähnchen der Länge $l$ die Lichtschranke für die Zeit $\Delta t$, gilt näherungsweise:

$v\approx \frac{l}{\Delta t}$

Je kürzer der gemessene Bewegungsabschnitt ist, desto besser nähert sich das Ergebnis der Momentangeschwindigkeit an. Jede reale Messung besitzt jedoch eine Messunsicherheit.

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Weglänge und Ortsänderung

Im einfachen Schulgebrauch wird die Durchschnittsgeschwindigkeit meist als Gesamtweg durch Gesamtzeit berechnet. Bei einer Bewegung mit Richtungswechsel muss genauer unterschieden werden:

1. Die mittlere Bahngeschwindigkeit nutzt die gesamte zurückgelegte Weglänge.
2. Die mittlere gerichtete Geschwindigkeit nutzt die Ortsänderung zwischen Anfang und Ende.

Kehrst Du zum Startpunkt zurück, ist die Ortsänderung null. Die zurückgelegte Weglänge ist trotzdem größer als null.

Typische Fehler

1. Einheiten umrechnen: Sekunden und Stunden dürfen nicht ungeprüft gemischt werden.
2. Gesamtzeit: Pausen müssen berücksichtigt werden, wenn sie zum betrachteten Zeitraum gehören.
3. Mittelwert: Teilgeschwindigkeiten werden nicht automatisch durch ein einfaches Zahlenmittel zusammengefasst.
4. Diagramm: Im Weg-Zeit-Diagramm bedeutet die Steigung Geschwindigkeit, nicht die Höhe des Graphen.
5. Richtung: Eine negative Geschwindigkeit beschreibt eine Bewegung in die festgelegte Gegenrichtung.

Merksätze

Durchschnittsgeschwindigkeit: Gesamtweg geteilt durch Gesamtzeit.

Momentangeschwindigkeit: Geschwindigkeit in einem bestimmten Augenblick.

Im Weg-Zeit-Diagramm: Sekantensteigung bedeutet Durchschnitt, Tangentensteigung bedeutet Moment.

Im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm: Die Höhe zeigt die Momentangeschwindigkeit, die Fläche beschreibt den zurückgelegten Weg beziehungsweise die Ortsänderung.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie berechnet man die Durchschnittsgeschwindigkeit? (Gesamtweg durch Gesamtzeit) (!Gesamtzeit durch Gesamtweg) (!Weg mal Zeit) (!Endgeschwindigkeit minus Anfangsgeschwindigkeit)

Was beschreibt die Momentangeschwindigkeit? (Die Geschwindigkeit in einem bestimmten Augenblick) (!Die größte Geschwindigkeit einer gesamten Reise) (!Die Summe aller Teilgeschwindigkeiten) (!Die gesamte Fahrzeit ohne Pausen)

Welche Linie beschreibt die Durchschnittsgeschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm? (Eine Sekante durch zwei Punkte) (!Eine senkrechte Gerade) (!Die Zeitachse) (!Eine Tangente an die Geschwindigkeitsachse)

Welche graphische Größe beschreibt die Momentangeschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm? (Die Steigung der Tangente) (!Die Fläche eines Rechtecks) (!Der Abstand zur Zeitachse) (!Die Länge der Zeitachse)

Wie viel sind 10 Meter pro Sekunde in Kilometer pro Stunde? (36 Kilometer pro Stunde) (!3,6 Kilometer pro Stunde) (!10 Kilometer pro Stunde) (!360 Kilometer pro Stunde)

Welche Geschwindigkeit zeigt ein Tachometer während der Fahrt näherungsweise an? (Die Momentangeschwindigkeit) (!Die Durchschnittsgeschwindigkeit seit dem Fahrzeugbau) (!Die mittlere Beschleunigung) (!Die gesamte Weglänge)

Was muss bei der Durchschnittsgeschwindigkeit einer Reise mit Pause berücksichtigt werden? (Die Pause gehört zur Gesamtzeit) (!Die Pause wird als Weg addiert) (!Die Pause verdoppelt die Geschwindigkeit) (!Die Pause wird immer vollständig ignoriert)

Wie bestimmst Du bei mehreren unterschiedlich langen Fahrabschnitten sicher die Durchschnittsgeschwindigkeit? (Durch Gesamtweg geteilt durch Gesamtzeit) (!Durch die größte Teilgeschwindigkeit) (!Durch die kleinste Teilgeschwindigkeit) (!Durch Weg mal Zeit)

Was zeigt die Höhe eines Geschwindigkeit-Zeit-Graphen zu einem bestimmten Zeitpunkt? (Die Momentangeschwindigkeit) (!Den gesamten zurückgelegten Weg) (!Die Masse des Körpers) (!Die Länge der Messstrecke)

Wann sind Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit während der gesamten Bewegung gleich groß? (Bei einer gleichförmigen Bewegung) (!Bei jeder beschleunigten Bewegung) (!Nur während einer Pause) (!Nur bei einem Richtungswechsel)

Memory

Durchschnittsgeschwindigkeit	Gesamtweg geteilt durch Gesamtzeit
Momentangeschwindigkeit	Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt
Sekante	Verbindung zweier Diagrammpunkte
Tangente	Steigung an einem einzelnen Diagrammpunkt
Tachometer	Anzeige des momentanen Tempos
Lichtschranke	Messung eines sehr kurzen Zeitintervalls

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Durchschnittsgeschwindigkeit	Gesamtweg geteilt durch Gesamtzeit
Momentangeschwindigkeit	Tangentensteigung im Weg-Zeit-Diagramm
Sekante	Steigung über ein Zeitintervall
Tachometer	Anzeige während einer Fahrt
Lichtschranke	Messgerät für kurze Unterbrechungszeiten

Kreuzworträtsel

Sekante	Welche Gerade verbindet zwei Punkte eines Weg-Zeit-Graphen?
Tangente	Welche Gerade berührt den Graphen an der untersuchten Stelle?
Tachometer	Welches Gerät zeigt beim Fahrzeug näherungsweise das momentane Tempo?
Grenzwert	Welcher mathematische Begriff beschreibt das Verkleinern des Zeitintervalls?
Wegstrecke	Welche Größe wird bei der mittleren Bahngeschwindigkeit durch die Zeit geteilt?
Zeitintervall	Wie nennt man den Zeitraum zwischen zwei Messzeitpunkten?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit wird aus Gesamtweg und berechnet.

Der Quotient aus Wegänderung und Zeitintervall heißt .

Ein Tachometer zeigt näherungsweise die an.

Im Weg-Zeit-Diagramm wird der Durchschnitt durch eine dargestellt.

Die Geschwindigkeit an einem einzelnen Zeitpunkt entspricht der Steigung einer .

Die SI-Einheit der Geschwindigkeit lautet .

Ein Meter pro Sekunde entspricht .

Bei einer gleichförmigen Bewegung bleibt die Geschwindigkeit .

Eine Lichtschranke kann ein sehr kurzes messen.

Die Fläche unter einem Geschwindigkeit-Zeit-Graphen beschreibt die .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Geschwindigkeit im Alltag: Suche drei Alltagssituationen, in denen eine Momentangeschwindigkeit angezeigt wird, und erkläre die jeweilige Anzeige.
2. Einheitenkarte: Gestalte eine Lernkarte zur Umrechnung zwischen m/s und km/h mit zwei eigenen Beispielen.
3. Schulweg: Schätze Länge und Dauer Deines Schulwegs und berechne eine Durchschnittsgeschwindigkeit.
4. Tachometerbild: Zeichne einen Tachometer und markiere eine selbst gewählte Momentangeschwindigkeit.

Standard

1. Gehversuch: Miss eine Strecke auf dem Schulhof, stoppe die Zeit mehrmals und vergleiche die berechneten Durchschnittsgeschwindigkeiten.
2. Weg-Zeit-Diagramm erstellen: Zeichne zu einer erfundenen Bewegung mit Gehen, Warten und Laufen einen passenden Graphen.
3. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, das den Unterschied zwischen Sekante und Tangente an einem Weg-Zeit-Diagramm erklärt.
4. Reisevergleich: Vergleiche zwei Fahrten mit gleicher Strecke, aber unterschiedlichen Pausen, und begründe die verschiedenen Durchschnittsgeschwindigkeiten.

Schwer

1. Lichtschrankenexperiment: Plane eine Messung der Geschwindigkeit eines Spielzeugautos mit einer Lichtschranke und diskutiere mögliche Messfehler.
2. Bewegungsanalyse: Filme eine geradlinige Bewegung aus fester Kameraposition und erstelle aus mehreren Einzelbildern eine Weg-Zeit-Tabelle.
3. Mathematisches Modell: Untersuche die Wegfunktion $s(t)=\mathrm{0,5}{t}^2+2t$, bestimme Durchschnittsgeschwindigkeiten für mehrere Intervalle und leite die Momentangeschwindigkeit her.
4. Verkehrsprojekt: Entwickle eine datenschutzfreundliche Untersuchung zu Geschwindigkeiten vor der Schule und formuliere Vorschläge für mehr Sicherheit.

Lernkontrolle

1. Auswertung einer Fahrt: Ein Bus fährt mehrere Teilstrecken und hält zwischendurch. Entwickle einen Rechenweg, der zeigt, welche Zeiten und Wege zur Durchschnittsgeschwindigkeit gehören.
2. Diagrammvergleich: Vergleiche zwei Weg-Zeit-Graphen und entscheide begründet, welches Objekt zu verschiedenen Zeitpunkten schneller ist.
3. Messmethode bewerten: Erkläre, warum eine Messung über 100 m eher eine Durchschnittsgeschwindigkeit und eine kurze Lichtschrankenmessung eher eine Momentangeschwindigkeit liefert.
4. Fehlvorstellung prüfen: Beurteile die Aussage, dass aus 30 km/h und 60 km/h immer eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 45 km/h folgt.
5. Tachometer und Reisecomputer: Erkläre, warum beide Geräte während derselben Fahrt unterschiedliche Geschwindigkeitswerte anzeigen können.
6. Transfer auf Sport: Entwirf eine Methode, mit der Du bei einem Sprint sowohl die Durchschnittsgeschwindigkeit als auch eine möglichst gute Näherung der höchsten Momentangeschwindigkeit bestimmen kannst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Begriffe Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit korrekt unterscheidest.
2. die Formel $\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ sicher anwendest.
3. m/s und km/h richtig umrechnest.
4. Sekante und Tangente in einem Weg-Zeit-Diagramm deuten kannst.
5. Momentangeschwindigkeiten in einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm abliest.
6. Pausen, Teilstrecken und Richtungswechsel angemessen berücksichtigst.
7. eine Messung planst und mögliche Messunsicherheiten erklärst.
8. Ergebnisse mit Rechnung, Einheit und verständlicher Begründung darstellst.

Verknüpfte Lernbereiche

Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit - Physik Geschwindigkeit Kinematik Gleichförmige Bewegung Beschleunigung Weg-Zeit-Diagramm Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm Steigung Ableitung Lichtschranke Messunsicherheit