Das Hookesche Gesetz - Physik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Physik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Das Hookesche Gesetz beschreibt, wie sich ein elastischer Körper unter einer Kraft verformt. In der Schule wird es meist an einer Feder untersucht: Je größer die wirkende Kraft ist, desto größer wird die Längenänderung der Feder. Dieser einfache Zusammenhang gilt jedoch nur in einem begrenzten, linear-elastischen Bereich.

Du lernst in diesem aiMOOC, wie Du das Gesetz formulierst, Messwerte auswertest, die Federkonstante bestimmst und erkennst, wann das Modell nicht mehr gilt.

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Grundidee: Kraft und Verformung

Eine unbelastete Feder besitzt die Ruhelänge $l_0$. Wird sie belastet, hat sie die Länge $l$. Die Längenänderung lautet:

$$\Delta l=l-l_0$$

Im Gültigkeitsbereich des Hookeschen Gesetzes ist die Kraft $F$ direkt proportional zur Längenänderung $\Delta l$:

$$F=D\cdot \Delta l$$

Dabei ist $D$ die Federkonstante. Sie beschreibt die Steifigkeit einer Feder.

Eine große Federkonstante bedeutet: Für dieselbe Verlängerung ist eine große Kraft nötig. Die Feder ist hart. Eine kleine Federkonstante bedeutet: Die Feder lässt sich leichter dehnen.

Größen und Einheiten

Größe	Bedeutung	Einheit
$F$	Kraft	Newton $\mathrm{N}$
$D$	Federkonstante	Newton pro Meter $\mathrm{N}/\mathrm{m}$
$\Delta l$	Längenänderung	Meter $\mathrm{m}$

Aus der Grundgleichung folgen zwei wichtige Umstellungen:

$$D=\frac{F}{\Delta l}$$

$$\Delta l=\frac{F}{D}$$

Rückstellkraft und Vorzeichen

Eine gedehnte oder gestauchte Feder übt eine Kraft in Richtung ihrer Ruhelage aus. Diese Rückstellkraft wird mit einem Minuszeichen geschrieben:

$$F_{\mathrm{R}}=-D\cdot x$$

Das Minuszeichen bedeutet nicht, dass die Kraft „kleiner als null“ ist. Es zeigt, dass die Rückstellkraft entgegengesetzt zur Auslenkung $x$ gerichtet ist. Bei einfachen Schulaufgaben wird oft nur mit den Beträgen gerechnet:

$$F=D\cdot x$$

Gewichtskraft an einer Feder

Hängt eine Masse ruhig an einer senkrechten Feder, wirken Gewichtskraft und Federkraft entgegengesetzt. Im Gleichgewicht gilt:

$$F_{\mathrm{G}}=F_{\mathrm{F}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}$$

Mit $F_{\mathrm{G}}=m\cdot g$ erhältst Du:

$$m\cdot g=D\cdot \Delta l$$

Für Schulrechnungen wird häufig $g\approx \mathrm{9,81}\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}$ oder gerundet $g\approx 10\mathrm{N}/\mathrm{k}\mathrm{g}$ verwendet.

Eine Federwaage nutzt diesen Zusammenhang: Eine bekannte Skala ordnet jeder Verlängerung eine Kraft zu.

Experiment: Federkonstante bestimmen

Für einen Schulversuch brauchst Du eine Feder, ein Stativ, einen Maßstab und mehrere bekannte Massestücke. Sichere das Stativ und halte den Bereich unter den Gewichten frei.

1. Miss die Ruhelänge $l_0$ der unbelasteten Feder.
2. Hänge nacheinander verschiedene Massestücke an.
3. Miss für jede Belastung die neue Länge $l$.
4. Berechne $\Delta l=l-l_0$.
5. Berechne die Gewichtskraft mit $F=m\cdot g$.
6. Trage $F$ gegen $\Delta l$ in ein Diagramm ein.

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Achte darauf, die Feder nicht zu überlasten. Schutzbrille, sicher befestigte Klemmen und eine Auffangmöglichkeit für fallende Massestücke erhöhen die Sicherheit.

Das Kraft-Längenänderungs-Diagramm

Im idealen Gültigkeitsbereich liegen die Messpunkte auf einer Geraden durch den Ursprung. Die Steigung dieser Geraden ist die Federkonstante:

$$D=\frac{\Delta F}{\Delta l}$$

Eine steile Gerade gehört zu einer harten Feder mit großer Federkonstante. Eine flachere Gerade gehört zu einer weicheren Feder.

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Beispielrechnung

Eine Feder wird durch eine Kraft von $\mathrm{3,0}\mathrm{N}$ um $\mathrm{6,0}\mathrm{c}\mathrm{m}$ verlängert. Zuerst wandelst Du die Länge um:

$$\mathrm{6,0}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{0,060}\mathrm{m}$$

Dann berechnest Du:

$$D=\frac{\mathrm{3,0}\mathrm{N}}{\mathrm{0,060}\mathrm{m}}=50\mathrm{N}/\mathrm{m}$$

Die Federkonstante beträgt $50\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

Grenzen des Hookeschen Gesetzes

Das Hookesche Gesetz ist ein Modell für den linear-elastischen Bereich. Zwei Grenzen sind wichtig:

1. Proportionalitätsgrenze: Oberhalb dieser Grenze ist Kraft nicht mehr direkt proportional zur Längenänderung. Das Diagramm ist nicht mehr geradlinig.
2. Elastizitätsgrenze: Oberhalb dieser Grenze kehrt der Körper nach dem Entlasten nicht vollständig in seine ursprüngliche Form zurück.

Diese Grenzen können unterschiedlich liegen. Eine Feder kann also bereits nichtlinear reagieren und sich trotzdem noch elastisch zurückformen.

Wird eine Feder zu stark belastet, kann sie dauerhaft verformt werden oder brechen. Messungen jenseits des vorgesehenen Belastungsbereichs dürfen deshalb nur unter fachkundiger Aufsicht erfolgen.

Anwendungen

Das Hookesche Gesetz hilft beim Verstehen und Konstruieren vieler Systeme. Beispiele sind Federwaagen, Fahrzeugfederungen, Stoßdämpfer, Matratzenfedern, mechanische Messgeräte und schwingende Feder-Masse-Systeme.

In der Technik wird das Grundprinzip auch auf elastische Materialien übertragen. Dort werden häufig Spannung, Dehnung und der Elastizitätsmodul betrachtet.

Energie in einer Feder

Beim Spannen einer Feder wird elastische potenzielle Energie gespeichert. Im linearen Bereich gilt:

$$E_{\mathrm{e}\mathrm{l}}=\frac{1}{2}D{x}^2$$

Die Energie wächst quadratisch mit der Auslenkung. Eine doppelte Auslenkung führt deshalb zur vierfachen gespeicherten Energie.

Feder und Schwingung

Eine Masse an einer Feder kann um ihre Gleichgewichtslage schwingen. Die Rückstellkraft ist dabei die Ursache der Bewegung zurück zur Ruhelage.

Für ein ideales Federpendel ohne Reibung gilt für die Periodendauer:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}$$

Diese Formel ist eine Vertiefung. Sie zeigt: Eine größere Masse führt zu einer längeren Periodendauer, eine härtere Feder zu einer kürzeren.

Blick über den Schulversuch hinaus

Federartige Strukturen gibt es auch im sehr kleinen Maßstab. In Forschung und Technik können Mikro- und Nanofedern Kräfte messen oder Bewegungen erzeugen.

Robert Hooke veröffentlichte die Grundidee im 17. Jahrhundert. Sein lateinischer Merksatz „Ut tensio, sic vis“ bedeutet sinngemäß: Wie die Dehnung, so die Kraft.

Zusammenfassung

Das Hookesche Gesetz beschreibt im linear-elastischen Bereich einen proportionalen Zusammenhang zwischen Kraft und Längenänderung. Die Federkonstante ist die Steigung im Kraft-Längenänderungs-Diagramm. Das Modell gilt nicht unbegrenzt: Proportionalitätsgrenze und Elastizitätsgrenze müssen beachtet werden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Aussage beschreibt das Hookesche Gesetz für eine ideale Feder? (Die Kraft ist proportional zur Längenänderung) (!Die Kraft ist unabhängig von der Längenänderung) (!Die Kraft ist proportional zum Quadrat der Längenänderung) (!Die Kraft nimmt bei größerer Längenänderung ab)

Wofür steht das Formelzeichen D? (Federkonstante) (!Dichte) (!Druck) (!Durchmesser)

Welche Einheit hat die Federkonstante? (Newton pro Meter) (!Newtonmeter) (!Kilogramm pro Meter) (!Meter pro Sekunde)

Wie wird die Längenänderung einer Feder berechnet? (Gedehnte Länge minus Ruhelänge) (!Ruhelänge minus Masse) (!Kraft plus Ruhelänge) (!Masse mal Länge)

Wie sieht das Kraft-Längenänderungs-Diagramm im idealen Gültigkeitsbereich aus? (Gerade durch den Ursprung) (!Horizontale Gerade) (!Kreis) (!Beliebige Kurve)

Was bedeutet eine große Federkonstante? (Die Feder ist steif) (!Die Feder ist sehr leicht) (!Die Feder besitzt keine Ruhelänge) (!Die Feder übt keine Kraft aus)

Was geschieht an der Proportionalitätsgrenze? (Der lineare Zusammenhang endet) (!Die Masse wird schwerelos) (!Die Federkonstante wird immer null) (!Die Ruhelänge verschwindet)

Welche Kraft wirkt bei einer ruhenden Masse an einer senkrechten Feder nach unten? (Gewichtskraft) (!Federkraft) (!Reibungskraft) (!Auftriebskraft)

Eine Kraft von drei Newton verlängert eine Feder um sechs Zentimeter. Welche Federkonstante ergibt sich? (Fünfzig Newton pro Meter) (!Zwei Newton pro Meter) (!Achtzehn Newton pro Meter) (!Fünfhundert Newton pro Meter)

Was zeigt das Minuszeichen in der Formel für die Rückstellkraft? (Die Kraft wirkt entgegen der Auslenkung) (!Die Federkonstante ist negativ) (!Die Feder besitzt keine Energie) (!Die Auslenkung ist immer null)

Memory

Federkonstante	Steifigkeit der Feder
Ruhelänge	Länge ohne Belastung
Längenänderung	Differenz aus neuer Länge und Ruhelänge
Gewichtskraft	Masse mal Ortsfaktor
Proportionalitätsgrenze	Ende des linearen Zusammenhangs
Elastizitätsgrenze	Grenze der vollständigen Rückkehr
Rückstellkraft	Kraft zur Gleichgewichtslage
Diagrammsteigung	Wert der Federkonstante

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Hookesches Gesetz
Federkonstante	Beschreibt die Steifigkeit einer Feder
Längenänderung	Ist die Differenz aus belasteter Länge und Ruhelänge
Rückstellkraft	Wirkt entgegen der Auslenkung
Diagrammsteigung	Entspricht im linearen Bereich der Federkonstante
Proportionalitätsgrenze	Markiert das Ende des geradlinigen Zusammenhangs
Elastizitätsgrenze	Oberhalb bleibt eine dauerhafte Verformung zurück

...

Kreuzworträtsel

Federkonstante	Welche Größe beschreibt die Steifigkeit einer Feder?
Ruhelänge	Wie heißt die Länge einer unbelasteten Feder?
Dehnung	Wie nennt man die Verlängerung eines Körpers?
Kraftmesser	Welches Gerät misst Kräfte mithilfe einer Feder?
Elastizität	Welche Eigenschaft ermöglicht die Rückkehr zur Ausgangsform?
Proportionalität	Welcher mathematische Zusammenhang besteht im linearen Bereich?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine unbelastete Feder besitzt eine bestimmte . Die Änderung der Länge wird mit bezeichnet. Im linearen Bereich ist die Kraft zur Längenänderung . Die Steifigkeit einer Feder beschreibt die . Ihre Einheit ist Newton pro . Im Kraft-Längenänderungs-Diagramm entspricht die Steigung der . Oberhalb der Proportionalitätsgrenze endet der Zusammenhang. Die Rückstellkraft wirkt der Auslenkung . Wird die Elastizitätsgrenze überschritten, kann eine Verformung zurückbleiben. In einer gespannten Feder ist elastische potenzielle gespeichert.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Feder im Alltag: Fotografiere oder zeichne drei Gegenstände mit Federn und beschreibe ihre Funktion.
2. Begriffskarte: Gestalte eine übersichtliche Karte mit Kraft, Längenänderung, Federkonstante und Ruhelänge.
3. Formeldreieck: Entwickle eine Lernhilfe für die drei Größen des Hookeschen Gesetzes und prüfe sie an einem Beispiel.
4. Erklärbild: Zeichne eine unbelastete und eine belastete Feder und markiere Ruhelänge und Längenänderung.

Standard

1. Federexperiment: Plane und führe unter Aufsicht eine Messreihe mit mindestens fünf verschiedenen Belastungen durch.
2. Messdiagramm: Trage Deine Messwerte auf, zeichne eine Ausgleichsgerade und bestimme die Federkonstante.
3. Federvergleich: Untersuche zwei verschiedene Federn und erkläre anhand der Diagrammsteigungen, welche härter ist.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, in dem Du Formel, Einheiten und Gültigkeitsbereich erklärst.

Schwer

1. Messunsicherheit: Schätze die Unsicherheit Deiner Längenmessungen ab und untersuche ihren Einfluss auf die Federkonstante.
2. Grenzbereich: Untersuche unter fachkundiger Aufsicht, ab wann Messpunkte vom linearen Verlauf abweichen, ohne die Feder absichtlich zu beschädigen.
3. Federschaltung: Vergleiche zwei Federn in Reihen- und Parallelschaltung und entwickle Vermutungen zur Gesamtfederkonstante.
4. Federwaage konstruieren: Baue ein sicheres Modell einer Federwaage, kalibriere die Skala und überprüfe ihre Genauigkeit.

Lernkontrolle

1. Diagrammanalyse: Zwei Federn werden durch Geraden unterschiedlicher Steigung dargestellt. Erkläre, welche Feder härter ist, und begründe Deine Entscheidung.
2. Modellgrenze: Ein Messdiagramm ist zunächst geradlinig und krümmt sich später. Erkläre, was sich am physikalischen Modell ändert.
3. Fehleranalyse: Eine Gruppe misst die gedehnte Länge, vergisst aber die Ruhelänge abzuziehen. Beschreibe die Folgen für Auswertung und Diagramm.
4. Konstruktionsaufgabe: Wähle für eine Federwaage zwischen einer weichen und einer harten Feder. Begründe Deine Wahl für kleine Kräfte.
5. Transfer Federenergie: Erkläre ohne bloßes Einsetzen, warum eine doppelte Auslenkung mehr als die doppelte Federenergie speichert.
6. Alltagsbezug: Beurteile, ob ein Gummiband im gesamten Dehnungsbereich gut durch das Hookesche Gesetz beschrieben werden kann.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. den proportionalen Zusammenhang zwischen Kraft und Längenänderung erklären kannst.
2. die Größen $F$, $D$ und $\Delta l$ mit passenden Einheiten verwendest.
3. Formeln sicher umstellst und Längeneinheiten korrekt umrechnest.
4. aus Messwerten ein Diagramm erstellst und seine Steigung deutest.
5. die Federkonstante experimentell bestimmen kannst.
6. Proportionalitätsgrenze und Elastizitätsgrenze unterscheidest.
7. Messfehler und Sicherheitsaspekte eines Federexperiments einschätzt.
8. das Modell auf technische oder alltägliche Anwendungen überträgst.

Verknüpfte Lernbereiche

Das Hookesche Gesetz - Physik Mechanik Kraft Feder Federkonstante Elastizität Proportionalität Diagramm Potenzielle Energie Schwingung