Das Gravitationsgesetz - Physik

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Physik, Klasse 9-10, G-Niveau

Einleitung

Warum fällt ein Ball zu Boden? Warum umkreist der Mond die Erde? Und warum bewegen sich Planeten um die Sonne? Hinter all diesen Vorgängen steckt die Gravitation.

Das newtonsche Gravitationsgesetz beschreibt, wie stark sich zwei Massen gegenseitig anziehen. Die Kraft wächst mit den Massen und nimmt mit dem Quadrat ihres Abstands ab. Das Gesetz gehört zu den wichtigsten Grundlagen der Mechanik und Astronomie.

Die Erde wird durch Gravitation zusammengehalten und bewegt sich im Gravitationsfeld der Sonne.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du das Gravitationsgesetz erklären, die Formel anwenden, die Wirkung von Masse und Abstand untersuchen und zwischen Masse, Gewichtskraft, Gravitationskonstante und Schwerebeschleunigung unterscheiden. Außerdem kannst Du erklären, wie Gravitation Umlaufbahnen ermöglicht.

Newtons Grundidee

Isaac Newton erkannte, dass dieselbe Kraft, die einen Gegenstand zur Erde fallen lässt, auch den Mond auf seiner Bahn hält. Gravitation wirkt nicht nur auf der Erde, sondern zwischen allen Körpern mit Masse.

Isaac Newton formulierte das Gravitationsgesetz.

1. Jeder Körper zieht den anderen an.
2. Beide Kräfte sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.
3. Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie ihrer Schwerpunkte.
4. Größere Massen ziehen sich stärker an.
5. Mit wachsendem Abstand wird die Kraft schnell kleiner.

Das Gravitationsgesetz

Zwei Massen ziehen sich mit gleich großen, entgegengesetzten Kräften an.

$$F_{\mathrm{G}}=G\cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}$$

Größe	Bedeutung	Einheit
$F_{\mathrm{G}}$	Gravitationskraft	Newton $\mathrm{N}$
$G$	Gravitationskonstante	$\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$
$m_1,m_2$	Massen der Körper	Kilogramm $\mathrm{k}\mathrm{g}$
$r$	Abstand der Mittelpunkte	Meter $\mathrm{m}$

$$G=\mathrm{6,67430}\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}$$

Der kleine Wert von $G$ erklärt, warum die Gravitation zwischen Alltagsgegenständen kaum auffällt. Bei Himmelskörpern ist sie wegen ihrer großen Massen jedoch entscheidend.

Mehrere Massen

Wirken mehrere Körper aufeinander, übt jedes Massenpaar eine eigene Gravitationskraft aus. Die gesamte Kraft ergibt sich aus der vektoriellen Summe aller Einzelkräfte.

Gravitationskräfte in einem System aus drei Massen.

Wirkung von Masse und Abstand

Veränderung	Folge
Eine Masse wird verdoppelt.	Die Kraft wird doppelt so groß.
Beide Massen werden verdoppelt.	Die Kraft wird viermal so groß.
Der Abstand wird verdoppelt.	Die Kraft sinkt auf ein Viertel.
Der Abstand wird verdreifacht.	Die Kraft sinkt auf ein Neuntel.

Die Abhängigkeit $F_{\mathrm{G}}\sim \frac{1}{r^2}$ heißt Abstandsquadratgesetz. Gemessen wird der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Körper.

Rechenbeispiel

Zwei Personen mit jeweils $70\mathrm{k}\mathrm{g}$ Masse stehen mit ihren Schwerpunkten ungefähr einen Meter voneinander entfernt.

$$F_{\mathrm{G}}=\mathrm{6,67430}\cdot 10^{-11}\cdot \frac{70\cdot 70}{1^2}\mathrm{N}$$

$$F_{\mathrm{G}}\approx \mathrm{3,27}\cdot 10^{-7}\mathrm{N}$$

Diese Kraft ist ohne empfindliche Messgeräte nicht bemerkbar.

Gravitationsfeld und Fallbeschleunigung

Ein Körper mit Masse erzeugt ein Gravitationsfeld. In diesem Feld erfahren andere Massen eine Kraft.

Gravitationsfeldlinien zeigen zum Erdmittelpunkt.

$$g(r)=G\cdot \frac{M}{r^2}$$

An der Erdoberfläche gilt näherungsweise:

$$g\approx \mathrm{9,81}\frac{m}{s^2}$$

Merke: $G$ ist eine Naturkonstante. $g$ ist die örtliche Fallbeschleunigung und hängt vom Himmelskörper und vom Abstand ab.

Abweichungen des Erdschwerefelds sind stark überhöht dargestellt.

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Masse und Gewichtskraft

Die Masse wird in Kilogramm angegeben und bleibt bei einem Ortswechsel gleich. Die Gewichtskraft hängt vom örtlichen Wert von $g$ ab:

$$F_{\mathrm{G}}=m\cdot g$$

Für eine Person mit $60\mathrm{k}\mathrm{g}$ Masse gilt auf der Erde ungefähr:

$$F_{\mathrm{G}}=60\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{9,81}\frac{m}{s^2}\approx 589\mathrm{N}$$

Auf dem Mond bleibt die Masse gleich, die Gewichtskraft ist aber kleiner.

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Gravitation und Umlaufbahnen

Ein Satellit fällt ständig zur Erde. Wegen seiner hohen seitlichen Geschwindigkeit verfehlt er die Erdoberfläche fortlaufend. So entsteht eine Umlaufbahn.

Ein Satellit bewegt sich auf einer Bahn um die Erde.

Bei einer idealen Kreisbahn gilt:

$$G\cdot \frac{M\cdot m}{r^2}=m\cdot \frac{v^2}{r}$$

$$v=\sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$$

Je größer der Bahnradius ist, desto kleiner ist die Bahngeschwindigkeit einer Kreisbahn.

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Erde und Mond

Erde und Mond ziehen sich gegenseitig an und bewegen sich um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Weil die Erde viel massereicher ist, liegt dieser Schwerpunkt innerhalb der Erde.

Das Erde-Mond-System und sein gemeinsamer Schwerpunkt.

Unterschiede in der Stärke der Mondgravitation tragen zu den Gezeiten bei.

Messung der Gravitationskonstante

Beim Cavendish-Experiment misst eine empfindliche Torsionswaage die schwache Anziehung zwischen Kugeln.

Prinzip einer Torsionswaage.

Henry Cavendish führte 1798 einen berühmten Versuch mit einer Torsionswaage durch. Aus solchen Messungen lässt sich die Gravitationskonstante bestimmen.

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Anwendungen und Grenzen

Das Gravitationsgesetz wird für Satellitenbahnen, Planetenbewegungen, Raumsonden und Sternsysteme genutzt.

Lagrange-Punkte im System aus Sonne und Erde.

Für starke Gravitationsfelder oder höchste Genauigkeit wird die Allgemeine Relativitätstheorie benötigt. Sie beschreibt Gravitation als Krümmung der Raumzeit.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
Oberflächenabstand einsetzen	Mittelpunktabstand verwenden
Abstand nicht quadrieren	$r^2$ einsetzen
Kilometer oder Gramm verwenden	In Meter und Kilogramm umrechnen
$G$ und $g$ verwechseln	Naturkonstante und Fallbeschleunigung unterscheiden
Masse und Gewichtskraft gleichsetzen	Kilogramm und Newton unterscheiden

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel beschreibt den Betrag der Gravitationskraft? (F gleich G mal m eins mal m zwei geteilt durch r Quadrat) (!F gleich G mal r Quadrat geteilt durch beide Massen) (!F gleich m eins plus m zwei mal r) (!F gleich G geteilt durch m eins mal m zwei)

Was geschieht bei einer Verdopplung des Abstands? (Die Kraft sinkt auf ein Viertel) (!Die Kraft sinkt auf die Hälfte) (!Die Kraft verdoppelt sich) (!Die Kraft vervierfacht sich)

Was beschreibt r im Gravitationsgesetz? (Den Abstand der Mittelpunkte) (!Den Radius des kleineren Körpers) (!Den Abstand der Oberflächen) (!Den Umfang der Umlaufbahn)

Was geschieht, wenn eine Masse verdoppelt wird? (Die Gravitationskraft verdoppelt sich) (!Die Gravitationskraft halbiert sich) (!Die Gravitationskraft vervierfacht sich) (!Die Gravitationskraft bleibt gleich)

Welche Aussage über die Masse ist richtig? (Die Masse bleibt beim Ortswechsel gleich) (!Die Masse wird in Newton gemessen) (!Die Masse ist auf dem Mond null) (!Die Masse hängt von g ab)

Warum bleibt ein Satellit auf seiner Umlaufbahn? (Er fällt ständig und verfehlt die Erde) (!Im Weltraum wirkt keine Gravitation) (!Die Erde stößt ihn elektrisch ab) (!Seine Masse verschwindet)

Welche Größe beträgt an der Erdoberfläche etwa 9 Komma 81 Meter pro Quadratsekunde? (Die Fallbeschleunigung) (!Die Gravitationskonstante) (!Die Erdmasse) (!Die Bahngeschwindigkeit)

Welches Gerät misst sehr kleine Gravitationskräfte? (Eine Torsionswaage) (!Ein Thermometer) (!Ein Barometer) (!Ein Elektromotor)

In welche Richtung wirkt die Gravitationskraft? (Entlang der Verbindungslinie) (!Senkrecht zur Verbindungslinie) (!Immer nach Norden) (!Immer in Bewegungsrichtung)

Wann wird eine genauere Gravitationstheorie benötigt? (Bei sehr starken Gravitationsfeldern) (!Bei einer einfachen Schulrechnung) (!Bei zwei ruhenden Alltagsgegenständen) (!Bei einer groben Gewichtskraftberechnung)

Memory

Gravitationskraft	Gegenseitige Anziehung von Massen
Gravitationskonstante	Naturkonstante mit dem Formelzeichen G
Abstandsquadratgesetz	Doppelter Abstand ergibt ein Viertel der Kraft
Gewichtskraft	Kraft auf einen Körper im Schwerefeld
Umlaufbahn	Dauernder Fall um einen Zentralkörper
Torsionswaage	Messgerät für sehr kleine Kräfte

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Massen	Größen m eins und m zwei
Mittelpunktabstand	Größe r
Gravitationskonstante	Größe G
Gravitationskraft	Größe F
Fallbeschleunigung	Größe g

Kreuzworträtsel

Newton	Welcher Physiker formulierte das Gravitationsgesetz?
Masse	Welche Eigenschaft wird in Kilogramm angegeben?
Abstand	Welche Größe steht im Quadrat im Nenner?
Kraft	Welche Größe wird in Newton gemessen?
Torsionswaage	Welches Gerät misst sehr kleine Anziehungskräfte?
Umlaufbahn	Wie heißt der Weg eines Satelliten?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Zwischen allen Körpern mit Masse wirkt die . Die Stärke der Anziehung wird mit dem berechnet. Die Kraft ist proportional zum Produkt der beiden . Im Nenner steht das Quadrat des . Bei doppeltem Abstand sinkt die Kraft auf ein . Die Naturkonstante wird mit bezeichnet. Die örtliche Fallbeschleunigung wird mit bezeichnet. Ein Satellit bleibt durch einen dauernden auf seiner Bahn.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Begriffsnetz Gravitation: Gestalte ein Begriffsnetz mit Gravitation, Masse, Kraft, Abstand, Gewichtskraft und Umlaufbahn.
2. Abstandsquadratgesetz: Zeichne die Kraft bei einfachem, doppeltem und dreifachem Abstand.
3. Masse und Gewichtskraft: Erkläre den Unterschied mit einem Beispiel von Erde und Mond.
4. Medienanalyse Gravitation: Beschreibe die physikalische Aussage eines eingebetteten Mediums.

Standard

1. Modellversuch Umlaufbahn: Entwickle mit einer Kugel an einer Schnur ein Modell für eine Kreisbewegung und benenne seine Grenzen.
2. Gravitationsrechnung: Berechne die Gewichtskraft einer selbst gewählten Masse auf der Erde.
3. Fehleranalyse Gravitationsgesetz: Erfinde eine fehlerhafte Rechnung und korrigiere mindestens drei Fehler.
4. Interview Raumfahrt: Befrage eine fachkundige Person zur Bedeutung der Gravitation für Satelliten.

Schwer

1. Satellitenbahn untersuchen: Recherchiere einen realen Satelliten und schätze seine Bahngeschwindigkeit ab.
2. Cavendish-Experiment planen: Entwirf einen Versuchsplan und untersuche mögliche Störquellen.
3. Vergleich Newton Einstein: Vergleiche das newtonsche Modell mit der allgemeinen Relativitätstheorie.
4. Simulation Gravitationssystem: Stelle die Kraft für veränderliche Massen und Abstände digital dar.

Lernkontrolle

1. Transfer Abstandsquadratgesetz: Begründe das Kräfteverhältnis zweier gleich schwerer Satelliten in unterschiedlichen Abständen.
2. Modellkritik Umlaufbahn: Beurteile die Aussage, im Weltraum wirke keine Schwerkraft.
3. Versuchsplanung: Entwickle eine Methode, um Luftbewegung als Störquelle bei einer Torsionswaage auszuschließen.
4. Alltag und Astronomie: Erkläre, warum Gravitation zwischen Personen kaum auffällt, zwischen Erde und Mond aber wichtig ist.
5. Fehlerdiagnose: Korrigiere eine Rechnung, die den Abstand über der Erdoberfläche direkt als r verwendet.
6. Grenzen eines Modells: Entscheide für drei Situationen, ob das newtonsche Gesetz ausreicht.

Lernnachweis

1. Das Gravitationsgesetz in Worten und als Formel erklären
2. Formelgrößen und Einheiten sicher zuordnen
3. Den Einfluss von Masse und Abstand beschreiben
4. Rechnungen mit SI-Einheiten durchführen
5. Masse, Gewichtskraft, G und g unterscheiden
6. Umlaufbahnen durch Trägheit und Gravitation erklären
7. Typische Fehler erkennen und korrigieren
8. Anwendungen und Grenzen beurteilen

Verknüpfte Lernbereiche

Newtonsches Gravitationsgesetz Gravitation Kraft Masse Gravitationskonstante Schwerebeschleunigung Gewichtskraft Umlaufbahn Keplersche Gesetze Cavendish-Experiment Allgemeine Relativitätstheorie