Brüche kürzen - Bruchrechnen

Einleitung

Brüche kürzen ist eine zentrale Grundtechnik der Bruchrechnung. Dabei veränderst Du die Schreibweise eines Bruches, ohne seinen Wert zu verändern. Ein Bruch wie $\frac{8}{12}$ kann zum Beispiel als $\frac{2}{3}$ geschrieben werden, wenn Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden. Beide Brüche beschreiben denselben Anteil, aber die gekürzte Form ist übersichtlicher und leichter weiterzurechnen.

Beim Kürzen geht es also nicht darum, eine Zahl „kleiner zu machen“, sondern darum, eine gleichwertige Darstellung zu finden. Das ist wichtig beim Addieren von Brüchen, Subtrahieren von Brüchen, Multiplizieren von Brüchen, Dividieren von Brüchen, beim Umwandeln in Dezimalzahlen und beim Vergleichen von Anteilen. In diesem aiMOOC lernst Du, wie Du Brüche sicher kürzt, woran Du vollständig gekürzte Brüche erkennst und wie Du typische Fehler vermeidest.

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Was ist ein Bruch?

Ein Bruch beschreibt einen Anteil an einem Ganzen oder ein Verhältnis zweier Zahlen. Der obere Teil eines Bruches heißt Zähler. Er gibt an, wie viele Teile betrachtet werden. Der untere Teil heißt Nenner. Er gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze eingeteilt ist. Der Bruchstrich kann als Teilungszeichen verstanden werden: $\frac{3}{4}$ bedeutet auch $3 : 4$ .

Wenn ein Kuchen in vier gleich große Stücke geteilt wird und drei Stücke markiert sind, beschreibt $\frac{3}{4}$ den markierten Anteil. Werden dieselben drei Viertel in acht kleinere Stücke unterteilt, sind sechs von acht Stücken markiert. Dann gilt $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ . Beide Brüche sind gleichwertige Brüche.

Was bedeutet Kürzen?

Kürzen bedeutet: Du teilst Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl. Diese Zahl muss ein gemeinsamer Teiler von Zähler und Nenner sein und darf nicht 0 sein. Dadurch erhältst Du einen gleichwertigen Bruch mit kleineren Zahlen.

Beispiel: $\frac{8}{12} = \frac{8 : 4}{12 : 4} = \frac{2}{3}$

Die Zahl 4 ist hier ein gemeinsamer Teiler von 8 und 12. Man sagt: Der Bruch $\frac{8}{12}$ wird mit 4 gekürzt. Der Wert bleibt gleich, weil Zähler und Nenner im gleichen Verhältnis verändert werden.

Warum bleibt der Wert gleich?

Ein Bruch ist ein Verhältnis. Wenn Du bei $\frac{8}{12}$ sowohl den Zähler als auch den Nenner durch 4 teilst, vergleichst Du weiterhin denselben Anteil. Aus 8 von 12 gleich großen Teilen werden 2 von 3 größeren Teilgruppen. Die Menge bleibt gleich, nur die Beschreibung wird einfacher.

Das kannst Du Dir mit einem Bruchstreifen vorstellen: Wenn 12 gleich große Felder in Gruppen zu je 4 Feldern zusammengefasst werden, entstehen 3 gleich große Gruppen. Die ursprünglich markierten 8 Felder entsprechen dann 2 dieser 3 Gruppen. Deshalb gilt $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ .

Vollständig gekürzt und Grunddarstellung

Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 mehr haben. Dann ist der Bruch in seiner Grunddarstellung. Der Bruch $\frac{2}{3}$ ist vollständig gekürzt, denn 2 und 3 haben nur den gemeinsamen Teiler 1.

Beispiele:

Grunddarstellung: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ , weil 6 und 9 durch 3 teilbar sind.
Grunddarstellung: $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ , weil 12 und 18 durch 6 teilbar sind.
Grunddarstellung: $\frac{15}{20} = \frac{3}{4}$ , weil 15 und 20 durch 5 teilbar sind.
Unkürzbarer Bruch: $\frac{7}{11}$ , weil 7 und 11 keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben.

Schritt-für-Schritt-Methode

Eine sichere Methode zum Kürzen besteht aus vier Schritten. Zuerst suchst Du einen gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner. Danach teilst Du beide Zahlen durch diesen Teiler. Anschließend prüfst Du, ob der neue Bruch noch weiter gekürzt werden kann. Am Ende kontrollierst Du, ob der gekürzte Bruch denselben Wert beschreibt.

Beispiel $\frac{18}{24}$ :

Gemeinsamer Teiler: 18 und 24 sind beide durch 6 teilbar.
Kürzen: $\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$ .
Prüfen: 3 und 4 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.
Ergebnis: $\frac{3}{4}$ ist die Grunddarstellung.

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Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler

Der schnellste Weg zur Grunddarstellung führt oft über den größten gemeinsamen Teiler (ggT). Der ggT ist die größte Zahl, durch die sowohl der Zähler als auch der Nenner ohne Rest teilbar sind. Wenn Du direkt durch den ggT kürzt, bist Du in einem Schritt vollständig fertig.

Beispiel $\frac{24}{60}$ :

Teiler von 24 sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 und 24.
Teiler von 60 sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60.
Der größte gemeinsame Teiler ist 12.
$\frac{24}{60} = \frac{24 : 12}{60 : 12} = \frac{2}{5}$ .

Kürzen durch wiederholtes Teilen

Du musst nicht immer sofort den ggT finden. Du kannst auch mehrfach nacheinander kürzen. Das ist besonders hilfreich, wenn Du schnell kleine Teiler erkennst.

Beispiel: $\frac{36}{48} = \frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

Hier wurde zuerst durch 2, dann durch 2 und danach durch 3 gekürzt. Das Ergebnis ist dasselbe, als würdest Du $\frac{36}{48}$ direkt durch 12 kürzen.

Kürzen mit Primfaktoren

Bei größeren Zahlen hilft die Primfaktorzerlegung. Dabei zerlegst Du Zähler und Nenner in Primzahlen. Gemeinsame Primfaktoren können gestrichen werden, weil sie in Zähler und Nenner gleichermaßen vorkommen.

Beispiel: $\frac{42}{70} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{2 \cdot 5 \cdot 7}$

Die gemeinsamen Faktoren 2 und 7 kommen oben und unten vor. Übrig bleibt: $\frac{3}{5}$

Damit gilt: $\frac{42}{70} = \frac{3}{5}$

Kürzen vor dem Multiplizieren

Beim Multiplizieren von Brüchen kannst Du häufig schon vor dem Ausmultiplizieren kürzen. Das macht die Rechnung kleiner und übersichtlicher. Dabei darfst Du einen Zähler mit einem Nenner kürzen, wenn beide Zahlen einen gemeinsamen Teiler haben.

Beispiel: $\frac{6}{15} \cdot \frac{10}{21}$

Du kannst 6 und 21 durch 3 kürzen und 10 und 15 durch 5 kürzen: $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{21}$

Ohne vorheriges Kürzen entstünde zuerst $\frac{60}{315}$ , das danach ebenfalls zu $\frac{4}{21}$ gekürzt werden müsste.

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Typische Fehler beim Kürzen

Beim Kürzen passieren häufig dieselben Fehler. Besonders wichtig ist: Du darfst nur Faktoren kürzen, nicht einzelne Summanden in einer Addition oder Subtraktion. Außerdem müssen immer Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl geteilt werden. Wenn Du nur den Zähler oder nur den Nenner veränderst, entsteht ein anderer Wert.

Falsch wäre: $\frac{8}{12} \to \frac{4}{12}$

Hier wurde nur der Zähler geteilt. Der Bruch hat dadurch einen anderen Wert. Richtig ist: $\frac{8}{12} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ebenfalls wichtig: Durch 0 darf niemals geteilt werden. Deshalb ist 0 keine erlaubte Kürzungszahl.

Strategien zum sicheren Kürzen

Gute Strategien helfen Dir, Fehler zu vermeiden. Prüfe zuerst kleine Teiler wie 2, 3, 5 oder 10. Nutze Teilbarkeitsregeln, um schneller gemeinsame Teiler zu erkennen. Suche bei größeren Zahlen den ggT. Kontrolliere am Ende, ob der gekürzte Bruch wirklich nicht weiter kürzbar ist. Eine Skizze mit Bruchstreifen, Kreisen oder Rechtecken kann Dir zeigen, dass der Anteil gleich bleibt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen? (Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler teilen) (!Nur den Zähler kleiner machen) (!Nur den Nenner größer machen) (!Zähler und Nenner addieren)

Warum bleibt der Wert eines Bruches beim Kürzen gleich? (Weil Zähler und Nenner im gleichen Verhältnis verändert werden) (!Weil der Zähler immer größer wird) (!Weil der Nenner verschwindet) (!Weil der Bruch in eine natürliche Zahl umgewandelt wird)

Wie lautet die vollständig gekürzte Form von 12/18? (2/3) (!3/2) (!6/9) (!4/6)

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 24 und 60? (12) (!6) (!24) (!36)

Welche Zahl darf niemals als Kürzungszahl verwendet werden? (0) (!1) (!2) (!5)

Wann ist ein Bruch vollständig gekürzt? (Wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben) (!Wenn der Zähler größer als der Nenner ist) (!Wenn beide Zahlen gerade sind) (!Wenn der Nenner eine Primzahl ist)

Durch welche Zahl wird 15/20 direkt zu 3/4 gekürzt? (5) (!2) (!3) (!10)

Was ist der Zähler eines Bruches? (Die Zahl über dem Bruchstrich) (!Die Zahl unter dem Bruchstrich) (!Das Ergebnis einer Addition) (!Der gemeinsame Nenner)

Was passiert, wenn beim Kürzen nur der Zähler geteilt wird? (Der Wert des Bruches verändert sich) (!Der Bruch bleibt immer gleichwertig) (!Der Nenner wird automatisch mitgeteilt) (!Der Bruch wird immer vollständig gekürzt)

Warum ist Kürzen vor dem Multiplizieren von Brüchen oft sinnvoll? (Die Zahlen werden kleiner und die Rechnung übersichtlicher) (!Die Rechenzeichen verschwinden) (!Alle Brüche werden zu Dezimalzahlen) (!Das Ergebnis wird immer eine ganze Zahl)

Memory

Zähler	obere Zahl im Bruch
Nenner	untere Zahl im Bruch
Gemeinsamer Teiler	Zahl teilt beide Werte ohne Rest
Kürzen	Zähler und Nenner teilen
Grunddarstellung	vollständig gekürzte Form
ggT	größter gemeinsamer Teiler
Äquivalente Brüche	gleicher Wert bei anderer Schreibweise

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zähler	obere Zahl eines Bruches
Nenner	untere Zahl eines Bruches
Kürzungszahl	gemeinsamer Teiler zum Teilen
Grunddarstellung	nicht weiter kürzbarer Bruch
Bruchstreifen	anschauliches Modell für Anteile

Kreuzworträtsel

Zaehler	Wie heißt die obere Zahl eines Bruches?
Nenner	Wie heißt die untere Zahl eines Bruches?
Teiler	Wie heißt eine Zahl, durch die eine andere Zahl ohne Rest teilbar ist?
Kuerzen	Wie nennt man das Teilen von Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl?
Grunddarstellung	Wie heißt die vollständig gekürzte Form eines Bruches?
Bruchstreifen	Welches Modell zeigt Brüche als gleich lange unterteilte Streifen?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Bruchbild: Zeichne ein Rechteck mit 12 gleich großen Feldern, markiere 8 Felder und zeige anschließend durch Gruppieren, warum 8/12 gleich 2/3 ist.
Kürzungszahl: Sammle zehn Brüche aus Deinem Schulbuch oder Heft und notiere zu jedem Bruch eine mögliche Kürzungszahl.
Alltagsbruch: Fotografiere oder zeichne eine Alltagssituation mit Anteilen, zum Beispiel Pizza, Schokolade oder Saftmischung, und beschreibe einen kürzbaren Bruch dazu.
Fehler erkennen: Erkläre an einem selbst gewählten Beispiel, warum man beim Kürzen immer Zähler und Nenner teilen muss.

Standard

Rechenweg: Kürze die Brüche 18/30, 28/42, 45/60 und 56/98 vollständig und schreibe zu jedem Beispiel den Rechenweg auf.
Teilbarkeitsregeln: Erstelle ein Lernplakat, das zeigt, wie die Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 10 beim Kürzen helfen.
Partnerinterview: Befrage eine Mitschülerin oder einen Mitschüler dazu, welche Fehler beim Kürzen häufig passieren, und formuliere daraus drei Lerntipps.
Bruchstreifen: Baue aus Papier Bruchstreifen für Halbe, Drittel, Viertel, Sechstel und Zwölftel und finde damit mindestens fünf gleichwertige Brüche.

Schwer

Größter gemeinsamer Teiler: Entwickle eine eigene Methode, um den ggT zweier Zahlen zu finden, und erkläre sie an den Beispielen 84 und 126 sowie 72 und 180.
Primfaktorzerlegung: Kürze fünf Brüche mit großen Zahlen mithilfe der Primfaktorzerlegung und vergleiche diese Methode mit wiederholtem Teilen.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, in dem Du den Unterschied zwischen Kürzen und Erweitern mit einer Zeichnung erklärst.
Transferaufgabe: Untersuche ein Rezept, eine Landkarte oder eine Statistik und zeige, wie Kürzen hilft, Verhältnisse verständlicher darzustellen.

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Lernkontrolle

Begründung: Erkläre ohne Rechnung, warum 6/8 und 3/4 denselben Anteil darstellen, und nutze dafür eine Skizze oder ein Alltagsbeispiel.
Fehleranalyse: Eine Person schreibt 10/15 gleich 5/15. Beschreibe den Fehler und korrigiere die Rechnung vollständig.
Methodenvergleich: Kürze 48/120 einmal durch wiederholtes Teilen und einmal mit dem größten gemeinsamen Teiler. Vergleiche beide Wege.
Transfer: Ein Rezept verwendet 12 von 18 Teilen Mehlmischung. Stelle das Verhältnis vollständig gekürzt dar und erkläre, warum die gekürzte Form praktischer ist.
Argumentation: Begründe, warum ein Bruch mit zwei Primzahlen als Zähler und Nenner nicht automatisch vollständig gekürzt sein muss.
Anwendung: Beim Multiplizieren von 14/25 und 10/21 kann vor dem Rechnen gekürzt werden. Zeige einen sinnvollen Kürzungsweg und erkläre den Vorteil.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du nicht nur Ergebnisse nennen, sondern auch erklären kannst, warum das Kürzen funktioniert. Wichtig sind eine saubere mathematische Schreibweise, verständliche Begründungen und die Fähigkeit, Fehler zu erkennen.

Grundwissen: Du kannst Zähler, Nenner, Bruchstrich, gemeinsamer Teiler und Grunddarstellung erklären.
Rechenkompetenz: Du kannst kürzbare Brüche vollständig kürzen und Deinen Rechenweg nachvollziehbar darstellen.
Begründungskompetenz: Du kannst mit Worten, Skizzen oder Modellen erklären, warum der Wert beim Kürzen gleich bleibt.
Fehlerkompetenz: Du erkennst falsches Kürzen, zum Beispiel das Teilen nur einer Zahl, und kannst den Fehler verbessern.
Transferkompetenz: Du kannst Kürzen bei Sachaufgaben, Rezepten, Verhältnissen und beim Multiplizieren von Brüchen sinnvoll anwenden.
Medienprodukt: Du kannst ein Lernplakat, eine Präsentation, ein Erklärvideo oder ein digitales Übungsset zum Thema gestalten.

OERs zum Thema

Links

Brüche kürzen

aiMOOC-Projekte

Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.