Ableitung - Grundlagen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Deutsch, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Die Ableitung beschreibt, wie stark sich eine Funktion an einer bestimmten Stelle verändert. Du kannst sie als momentane Steigung verstehen. Sie ist ein Grundbegriff der Differentialrechnung.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Steigung: die Ableitung als Steigung einer Tangente erklären.
2. Ableitungsfunktion: einfache Funktionen ableiten.
3. Potenzregel: Potenzen sicher ableiten.
4. Funktionsgraph: die Bedeutung positiver, negativer und verschwindender Ableitungen beschreiben.
5. Anwendung: eine momentane Änderungsrate berechnen.

Die Grundidee

Eine Sekante verbindet zwei Punkte eines Graphen. Rücken die Punkte immer näher zusammen, wird aus der Sekante eine Tangente. Ihre Steigung ist die Ableitung an dieser Stelle.

$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Dieser Grenzwert heißt Differentialquotient.

Die Ableitungsfunktion

Die Ableitung an jeder Stelle ergibt eine neue Funktion: die Ableitungsfunktion $f^{\prime }(x)$.

1. Wenn $f^{\prime }(x)>0$, steigt der Graph.
2. Wenn $f^{\prime }(x)<0$, fällt der Graph.
3. Wenn $f^{\prime }(x)=0$, kann eine waagerechte Tangente vorliegen. Dort kann ein Extrempunkt liegen.

Datei:Tangent function animation.gif

Wichtige Regeln

Regel	Funktion	Ableitung
Konstantenregel	$f(x)=c$	$f^{\prime }(x)=0$
Potenzregel	$f(x)=x^n$	$f^{\prime }(x)=n\cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$f(x)=a\cdot g(x)$	$f^{\prime }(x)=a\cdot g^{\prime }(x)$
Summenregel	$f(x)=g(x)+h(x)$	$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)+h^{\prime }(x)$

Beispiel:

$f(x)=3x^4-2x+5$

$f^{\prime }(x)=12x^3-2$

Steigung an einer Stelle

Für $f(x)=x^2$ gilt $f^{\prime }(x)=2x$. An der Stelle $x=3$ ist:

$f^{\prime }(3)=2\cdot 3=6$

Die Tangente hat dort die Steigung 6.

Video: Ableitung - Grundlagen

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Aufgaben zum Video

1. Videonotizen: Schreibe drei Begriffe auf, die im Video erklärt werden.
2. Ableitungsregel: Notiere jede im Video genannte Ableitungsregel mit einem eigenen Beispiel.
3. Pause-Aufgabe: Stoppe das Video vor einer Beispielrechnung und rechne selbst weiter.
4. Fehleranalyse: Formuliere einen typischen Fehler beim Ableiten und erkläre die richtige Lösung.
5. Zusammenfassung: Erkläre in höchstens drei Sätzen, was eine Ableitung bedeutet.

Anwendung im Alltag

Ableitungen beschreiben momentane Veränderungen. Beispiele sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Wachstumsraten oder Grenzkosten.

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die Ableitung an einer Stelle? (Die momentane Steigung) (!Den gesamten Flächeninhalt) (!Den Schnittpunkt mit der y-Achse) (!Den Definitionsbereich)

Wie heißt die Gerade, deren Steigung die Ableitung angibt? (Tangente) (!Sekante) (!Parallele) (!Winkelhalbierende)

Wie lautet die Ableitung von f(x)=x²? (2x) (!x) (!2) (!x³)

Wie lautet die Ableitung einer konstanten Funktion? (0) (!1) (!x) (!Die Konstante selbst)

Welche Regel wird für f(x)=x hoch n benutzt? (Potenzregel) (!Produktregel) (!Kettenregel) (!Quotientenregel)

Was bedeutet f Strich von x größer als null? (Der Graph steigt) (!Der Graph fällt) (!Der Graph ist immer eine Gerade) (!Der Funktionswert ist null)

Was bedeutet f Strich von x kleiner als null? (Der Graph fällt) (!Der Graph steigt) (!Die Funktion ist konstant) (!Die Funktion hat keine Nullstelle)

Wie lautet die Ableitung von f(x)=5x³? (15x²) (!5x²) (!15x³) (!8x²)

Was entsteht aus den Ableitungswerten an allen Stellen? (Die Ableitungsfunktion) (!Die Stammfunktion) (!Die Wertetabelle der Ausgangsfunktion) (!Die Symmetrieachse)

Welche Größe ist die Ableitung des Weges nach der Zeit? (Geschwindigkeit) (!Masse) (!Temperatur) (!Fläche)

Memory

Ableitung	momentane Steigung
Tangente	berührt den Graphen lokal
Sekante	verbindet zwei Punkte
Potenzregel	Exponent wird zum Faktor
positive Ableitung	Graph steigt
negative Ableitung	Graph fällt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Tangente	Gerade mit der momentanen Steigung
Sekante	Gerade durch zwei Punkte des Graphen
Ableitungsfunktion	enthält die Steigung an jeder Stelle
Potenzregel	leitet Potenzen ab
Extremstelle	mögliche Stelle mit waagerechter Tangente

Kreuzworträtsel

Tangente	Welche Gerade zeigt die momentane Steigung?
Steigung	Welche Größe beschreibt die Neigung einer Geraden?
Sekante	Welche Gerade verbindet zwei Punkte eines Graphen?
Grenzwert	Welcher Begriff steht hinter dem Übergang h gegen null?
Potenzregel	Welche Regel nutzt Du bei x hoch n?
Änderungsrate	Was beschreibt die Ableitung in einer Anwendung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die Ableitung beschreibt die momentane einer Funktion.

Die passende Gerade heißt .

Eine Gerade durch zwei Punkte heißt .

Die Ableitung von $x^n$ berechnet man mit der .

Ist die Ableitung positiv, dann der Graph.

Ist die Ableitung negativ, dann der Graph.

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Steigung erkennen: Zeichne einen steigenden und einen fallenden Graphen. Markiere jeweils eine Tangente.
2. Regelkarten: Gestalte vier kleine Lernkarten zu Konstantenregel, Potenzregel, Faktorregel und Summenregel.
3. Beispiele finden: Nenne drei Situationen aus dem Alltag, in denen sich eine Größe verändert.
4. Erklärvideo: Nimm ein einminütiges Video auf, in dem Du die Ableitung einfach erklärst.

Standard

1. Ableitungen berechnen: Leite fünf selbst gewählte Polynomfunktionen ab und kontrolliere Deine Ergebnisse.
2. Graphen zuordnen: Zeichne eine Funktion und skizziere dazu eine passende Ableitungsfunktion.
3. Tangentensteigung: Berechne für $f(x)=x^2-2x$ die Steigung an drei verschiedenen Stellen.
4. Videoanalyse: Erstelle zum Lernvideo eine Mindmap mit Begriffen, Regeln und Beispielen.

Schwer

1. Differentialquotient: Erkläre am Beispiel $f(x)=x^2$, wie aus dem Differenzenquotienten die Ableitung entsteht.
2. Fehlerdiagnose: Erfinde drei falsche Ableitungen und schreibe jeweils eine verständliche Korrektur.
3. Sachaufgabe: Entwickle eine Aufgabe zu Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung und löse sie vollständig.
4. Digitale Modellierung: Nutze eine dynamische Geometriesoftware, um Tangenten an einen Graphen zu legen und die Steigung zu untersuchen.

Lernkontrolle

1. Graph und Ableitung: Begründe, wie Du an einem Graphen erkennst, in welchen Bereichen die Ableitung positiv oder negativ ist.
2. Vergleich: Erkläre den Unterschied zwischen durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate an einem eigenen Beispiel.
3. Transfer Geschwindigkeit: Ein Weg-Zeit-Graph wird immer steiler. Beschreibe, was das für die Geschwindigkeit bedeutet.
4. Extremstelle beurteilen: Erkläre, warum aus $f^{\prime }(x)=0$ nicht automatisch ein Hochpunkt oder Tiefpunkt folgt.
5. Modell prüfen: Eine Schülerin sagt: „Eine positive Funktion hat immer eine positive Ableitung.“ Widerlege die Aussage mit einem Beispiel.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du:

1. die Ableitung als momentane Änderungsrate erklären.
2. eine Tangente und eine Sekante unterscheiden.
3. einfache Funktionen mit den Grundregeln ableiten.
4. Ableitungswerte an bestimmten Stellen berechnen.
5. Funktion und Ableitungsfunktion miteinander vergleichen.
6. Ergebnisse in einem Sachzusammenhang deuten.

Links

Ableitung - Grundlagen Differentialrechnung Ableitung Ableitungsfunktion Differentialquotient Tangente Sekante Potenzregel Extrempunkt Geschwindigkeit