ABI LF - Verteilungen über Erwartungswert und Streuung vergleichen

ABI LF - Verteilungen über Erwartungswert und Streuung vergleichen

Mini-Beschreibung: Vergleiche diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen quantitativ und graphisch mithilfe von Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung. Du untersuchst insbesondere, warum ein gleicher Erwartungswert nicht dieselbe Verteilung bedeutet.

Zielgruppe: Mathematik Leistungsfach, gymnasiale Oberstufe, Vorbereitung auf das schriftliche Abitur in Baden-Württemberg.

Schwerpunkt: mathematisch begründen, Verteilungen modellieren, geeignete Kennwerte selbst wählen, Rechenwege prüfen und graphische Aussagen quantitativ absichern.

Einleitung

Zwei Zufallsgrößen können im Mittel genau denselben Wert liefern und trotzdem völlig verschiedenes Verhalten zeigen. Der Erwartungswert beschreibt die Lage einer Verteilung. Erst Kenngrößen wie Varianz und Standardabweichung erfassen zusätzlich ihre Streuung.

Das Kernproblem dieses Kurses lautet:

$E(X)=E(Y)$ – folgt daraus schon, dass $X$ und $Y$ gleich verteilt sind?

Die Antwort lautet nein. Du wirst dies rechnerisch, graphisch und durch Gegenbeispiele begründen.

Die Abbildung zeigt eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung: Wahrscheinlichkeitsmasse liegt nur auf einzelnen möglichen Werten.

Abiturbezug Baden-Württemberg

Für das Mathematik-Leistungsfach im schriftlichen Abitur 2027 werden Kenntnisse zu Standardabweichung und Varianz bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausdrücklich vorausgesetzt – sowohl die Berechnung mit Formeln als auch das Verständnis der Kenngrößen.

Im Facherlass 2027 ist die schriftliche Prüfung im Leistungsfach mit 300 Minuten einschließlich Auswahlzeit angegeben. Ein erster Prüfungsteil wird ohne die später ausgegebenen mathematischen Hilfsmittel bearbeitet; nach dessen Abgabe stehen für den weiteren Teil das vorgesehene Formeldokument und der wissenschaftliche Taschenrechner zur Verfügung.

Wichtig: GeoGebra, LearningApps, Videos und andere digitale Werkzeuge in diesem Kurs sind Übungswerkzeuge. Ihre Nutzung hier bedeutet nicht, dass sie in einer Abiturprüfung zugelassen sind. Prüfe immer die Vorgaben für Deinen konkreten Prüfungsjahrgang.

Lernziele

Nach dem Kurs kannst Du

1. diskrete Verteilungen aus Tabellen und Diagrammen lesen und mathematisch beschreiben.
2. den Erwartungswert mit $E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$ berechnen und als Lagekennwert interpretieren.
3. die Varianz mit $V(X)=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2{p}_i$ sowie mit $V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ bestimmen.
4. die Standardabweichung mit ${\sigma }_X=\sqrt{V(X)}$ berechnen und in der Einheit der Zufallsgröße deuten.
5. zwei Verteilungen anhand von Lage, Streuung und Graph systematisch vergleichen.
6. durch ein Gegenbeispiel beweisen, dass gleicher Erwartungswert nicht gleiche Verteilung bedeutet.
7. mehrschrittige Abituraufgaben modellieren, einen passenden Lösungsweg selbst wählen und Begründungen kritisch prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe zunächst ohne Taschenrechner:

1. Sind $\mathrm{0,2}$, $\mathrm{0,5}$ und $\mathrm{0,3}$ zusammen eine mögliche Wahrscheinlichkeitsverteilung?
2. Bestimme den Mittelwert der Werte $2$ und $8$, wenn beide mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,5}$ auftreten.
3. Welche Einheit besitzt die Standardabweichung, wenn $X$ in Euro gemessen wird?
4. Was muss für alle Wahrscheinlichkeiten $p_i$ einer diskreten Verteilung gelten?

Lösung und Feedback

1. Ja, denn $\mathrm{0,2}+\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}=1$.
2. $E(X)=2\cdot \mathrm{0,5}+8\cdot \mathrm{0,5}=5$.
3. Die Standardabweichung wird ebenfalls in Euro angegeben.
4. Es gilt $p_i\ge 0$ und $\sum _i{p}_i=1$.

Grundmodell: diskrete Verteilung

Eine diskrete Zufallsgröße $X$ nimmt Werte $x_1,\dots ,x_n$ mit Wahrscheinlichkeiten $p_1,\dots ,p_n$ an.

$P(X=x_i)=p_i$

$p_i\ge 0$

$\sum _{i=1}^n{p}_i=1$

Denkfrage: Zwei Diagramme können ihren Schwerpunkt an derselben Stelle haben. Müssen deshalb auch ihre Balken an denselben Stellen und mit denselben Höhen liegen?

Erwartungswert: Lage als gewichteter Schwerpunkt

Der Erwartungswert ist ein gewichteter Mittelwert:

$\mu =E(X)=\sum _{i=1}^n{x}_i{p}_i$

Jeder mögliche Wert $x_i$ wird mit seiner Wahrscheinlichkeit $p_i$ gewichtet.

Interpretation: Bei sehr vielen Wiederholungen stabilisiert sich der durchschnittliche Wert unter geeigneten Bedingungen in der Nähe von $E(X)$. Der Erwartungswert muss selbst kein möglicher Einzelwert sein.

Varianz: quadratische Streuung um den Erwartungswert

$V(X)=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2{p}_i$

Die Abstände zum Erwartungswert werden quadriert. Dadurch

1. heben sich positive und negative Abweichungen nicht gegenseitig auf,
2. werden große Abweichungen stärker gewichtet,
3. ist $V(X)\ge 0$.

Die Rechenformel

$V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$

ist oft schneller.

Standardabweichung: Streuung in der Originaleinheit

${\sigma }_X=\sqrt{V(X)}$

Wenn $X$ beispielsweise in Euro gemessen wird, besitzt $V(X)$ die Einheit Euro², aber ${\sigma }_X$ wieder Euro.

Datei:Mathematrix Standardabweichung Theorie.webm

Aktiver Medienauftrag: Stoppe das Video vor jeder neuen Formel. Formuliere zuerst selbst, welche Größe als Nächstes benötigt wird, und vergleiche anschließend Deinen Ansatz mit dem gezeigten Rechenweg.

Visueller Rechenweg

Gegeben sei die Verteilung

$x_i$	$p_i$
1	$\mathrm{0,25}$
3	$\mathrm{0,50}$
5	$\mathrm{0,25}$

Schritt 1: Erwartungswert

$\mu =1\cdot \mathrm{0,25}+3\cdot \mathrm{0,50}+5\cdot \mathrm{0,25}=3$

Schritt 2: Abstände

$1-3=-2$

$3-3=0$

$5-3=2$

Schritt 3: quadrieren und gewichten

$V(X)=(-2{)}^2\cdot \mathrm{0,25}+0^2\cdot \mathrm{0,50}+2^2\cdot \mathrm{0,25}=2$

Schritt 4: Standardabweichung

${\sigma }_X=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$

Kontrollrechnung

$E(X^2)=1^2\cdot \mathrm{0,25}+3^2\cdot \mathrm{0,50}+5^2\cdot \mathrm{0,25}=11$

$V(X)=11-3^2=2$

Damit bestätigen sich beide Varianzformeln gegenseitig.

Warum gleicher Erwartungswert nicht gleiche Verteilung bedeutet

Betrachte zwei Zufallsgrößen:

Größe	mögliche Werte	Wahrscheinlichkeiten
$X$	0 und 10	je $\mathrm{0,5}$
$Y$	4 und 6	je $\mathrm{0,5}$

Für $X$ gilt:

$E(X)=0\cdot \mathrm{0,5}+10\cdot \mathrm{0,5}=5$

$V(X)=(0-5{)}^2\cdot \mathrm{0,5}+(10-5{)}^2\cdot \mathrm{0,5}=25$

${\sigma }_X=5$

Für $Y$ gilt:

$E(Y)=4\cdot \mathrm{0,5}+6\cdot \mathrm{0,5}=5$

$V(Y)=(4-5{)}^2\cdot \mathrm{0,5}+(6-5{)}^2\cdot \mathrm{0,5}=1$

${\sigma }_Y=1$

Also:

$E(X)=E(Y)=5$

aber

$V(X)\ne V(Y)$

und damit sind die Verteilungen offensichtlich verschieden.

Merksatz: Der Erwartungswert beschreibt nur einen Aspekt der Verteilung. Gleiche Lage bedeutet weder gleiche Streuung noch gleiche Form.

Dynamischer Vergleich dreier diskreter Verteilungen

Arbeitsauftrag:

1. Vergleiche die drei angezeigten Verteilungen zunächst nur graphisch.
2. Ordne sie nach ihrer vermuteten Streuung.
3. Berechne danach $E(X)$, $V(X)$ und ${\sigma }_X$.
4. Prüfe, ob Deine graphische Einschätzung quantitativ bestätigt wird.

Leistungsfach-Vertiefung: Auch Erwartungswert und Varianz legen die Verteilung nicht fest

Sogar zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und gleicher Varianz können verschieden sein.

Für $U$ gelte:

$P(U=-1)=\frac{1}{2}$

$P(U=1)=\frac{1}{2}$

Dann:

$E(U)=0$

$V(U)=1$

Für $V$ gelte:

$P(V=-\sqrt{2})=\frac{1}{4}$

$P(V=0)=\frac{1}{2}$

$P(V=\sqrt{2})=\frac{1}{4}$

Dann:

$E(V)=0$

und

$V(V)=2\cdot \frac{1}{4}+0+2\cdot \frac{1}{4}=1$

Trotzdem sind die Verteilungen verschieden, denn beispielsweise gilt

$P(U=0)=0$

aber

$P(V=0)=\frac{1}{2}$.

Folgerung: Erwartungswert und Varianz sind wichtige Kennwerte, aber keine vollständige Beschreibung einer Verteilung.

Begründung der Verschiebungsformel

Aus der Definition folgt:

$V(X)=\sum _i(x_i-\mu {)}^2{p}_i$

Ausmultiplizieren:

$V(X)=\sum _i(x_i^2-2\mu x_i+{\mu }^2)p_i$

Summen aufteilen:

$V(X)=\sum _i{x}_i^2{p}_i-2\mu \sum _i{x}_i{p}_i+{\mu }^2\sum _i{p}_i$

Mit

$\sum _i{x}_i{p}_i=\mu$

und

$\sum _i{p}_i=1$

erhält man

$V(X)=E(X^2)-2{\mu }^2+{\mu }^2$

also

$V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$.

Prüfidee: In einer Begründungsaufgabe reicht das bloße Nennen der Formel nicht aus, wenn die Herleitung verlangt wird. Jeder Übergang muss mathematisch gerechtfertigt sein.

Lineare Transformationen

Für $Y=aX+b$ gilt:

$E(Y)=aE(X)+b$

$V(Y)=a^{2}V(X)$

${\sigma }_Y=|a|{\sigma }_X$

Die Addition von $b$ verschiebt die Verteilung, verändert aber ihre Streuung nicht. Eine Multiplikation mit $a$ skaliert die Abstände; deshalb erscheint in der Varianz $a^2$.

Beispiel:

Bei $E(X)=5$, $V(X)=4$ und $Y=3X-2$ gilt

$E(Y)=3\cdot 5-2=13$

und

$V(Y)=3^2\cdot 4=36$.

Spezialfall Binomialverteilung

Für

$X\sim B(n,p)$

gilt

$E(X)=np$

$V(X)=np(1-p)$

${\sigma }_X=\sqrt{np(1-p)}$.

Die Balken einer Binomialverteilung verdeutlichen zugleich Lage und Streuung.

Experimentiere mit den Reglern:

1. Halte $n$ fest und verändere $p$.
2. Beobachte die Lage von $np$.
3. Suche bei festem $n$ die Werte von $p$, bei denen die Streuung besonders groß wird.
4. Begründe Deine Beobachtung über $np(1-p)$.

Interaktives Beispiel: Zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert

Gegeben sind

Wert	$P(X=x)$	$P(Y=x)$
0	$\frac{1}{6}$	0
2	0	$\frac{1}{2}$
3	$\frac{2}{3}$	0
4	0	$\frac{1}{2}$
6	$\frac{1}{6}$	0

Auftrag: Vergleiche $X$ und $Y$ vollständig.

Hilfe 1: Erwartungswerte $E(X)=0\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{2}{3}+6\cdot \frac{1}{6}=3$

$E(Y)=2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{2}=3$

Hilfe 2: Varianzen Für $X$ sind die Abstände zum Erwartungswert $-3,0,3$.

$V(X)=9\cdot \frac{1}{6}+0+9\cdot \frac{1}{6}=3$

Für $Y$ sind die Abstände $-1,1$.

$V(Y)=1$

Feedback Beide Verteilungen besitzen $\mu =3$. Mit ${\sigma }_X=\sqrt{3}$ streut $X$ stärker als $Y$ mit ${\sigma }_Y=1$. Eine vollständige Vergleichsaussage nennt deshalb mindestens Lage, Streuung und eine graphische oder strukturelle Eigenschaft der Verteilungen.

Interaktives Modell: Glücksrad und Streuung

Forschungsauftrag: Verändere die Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Regler. Suche zwei Einstellungen mit möglichst ähnlichem Erwartungswert, aber deutlich verschiedener Standardabweichung. Dokumentiere die Balkenverteilung und begründe den Unterschied.

Erklärvideo und animierter Rechenweg

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Fortfahren Ausblenden

Das Video behandelt Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen anhand abiturähnlicher Aufgaben.

Videoauftrag: Nutze die Pause-Taste nach jedem Rechenschritt und schreibe zuerst Deinen eigenen nächsten Schritt auf. Prüfe anschließend, ob Formel, Gewichtung und Rundung übereinstimmen.

Datei:Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung - diskrete Zufallsgröße.webm

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung 1: Kennwerte berechnen

Eine Zufallsgröße besitzt die Werte $1,4,7$ mit den Wahrscheinlichkeiten $\mathrm{0,25}$, $\mathrm{0,50}$ und $\mathrm{0,25}$.

Berechne $E(X)$, $V(X)$ und ${\sigma }_X$.

Hilfe Die Verteilung ist symmetrisch um $4$. Beginne deshalb mit $E(X)=4$.

Feedback $V(X)=(-3{)}^2\cdot \mathrm{0,25}+0+3^2\cdot \mathrm{0,25}=\mathrm{4,5}$

${\sigma }_X=\sqrt{\mathrm{4,5}}\approx \mathrm{2,12}$

Übung 2: Verteilungen vergleichen

Verteilung $A$ besitzt ${\mu }_A=12$ und ${\sigma }_A=\mathrm{1,8}$. Verteilung $B$ besitzt ${\mu }_B=12$ und ${\sigma }_B=\mathrm{4,1}$.

Formuliere eine mathematisch präzise Vergleichsaussage.

Feedback Die Erwartungswerte stimmen überein. Die typische Streuung um die gemeinsame Lage ist bei $B$ größer. Daraus folgt jedoch noch keine vollständige Aussage über die genaue Form beider Verteilungen.

Übung 3: Verfahren selbst wählen

Für eine diskrete Zufallsgröße sind $E(X)=8$ und $E(X^2)=73$ gegeben.

Bestimme die Standardabweichung, ohne die ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsverteilung erneut auszuwerten.

Feedback Hier ist die Verschiebungsformel effizient:

$V(X)=73-8^2=9$

${\sigma }_X=3$

Übung 4: Binomialmodell

Eine Trefferzahl sei binomialverteilt mit $n=20$ und $p=\mathrm{0,3}$.

Bestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

Feedback $\mu =20\cdot \mathrm{0,3}=6$

$V(X)=20\cdot \mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{4,2}$

${\sigma }_X=\sqrt{\mathrm{4,2}}\approx \mathrm{2,05}$

Fehleranalyse

Fehler 1: Wahrscheinlichkeiten werden beim Mittelwert nicht gewichtet.

Falsch:

$\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

Richtig für eine allgemeine diskrete Verteilung:

$E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i$

Fehler 2: Varianz und Standardabweichung werden verwechselt.

${\sigma }_X\ne V(X)$

sondern

${\sigma }_X=\sqrt{V(X)}$.

Fehler 3: Aus $E(X)=E(Y)$ wird vorschnell $X=Y$ oder „gleiche Verteilung“ gefolgert.

Gegenmittel: Prüfe mindestens Streuung und die einzelnen Wahrscheinlichkeiten.

Fehler 4: Beim Vergleich wird nur die Höhe des höchsten Balkens betrachtet.

Gegenmittel: Beziehe Lage der Wahrscheinlichkeitsmasse, Abstände zum Erwartungswert und Wahrscheinlichkeitsgewichte ein.

Fehler 5: Zu frühes Runden verändert Zwischenergebnisse.

Gegenmittel: Rechne möglichst exakt und runde erst das Endergebnis passend zur Aufgabenstellung.

Selbstkontrolle

Markiere erst nach eigener Rechnung:

1. ☐ Ich prüfe vor jeder Rechnung, ob die Wahrscheinlichkeiten zusammen $1$ ergeben.
2. ☐ Ich kann $E(X)$ als gewichteten Schwerpunkt erklären.
3. ☐ Ich kann Varianz mit der Definitionsformel und der Verschiebungsformel berechnen.
4. ☐ Ich kenne den Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung.
5. ☐ Ich kann ein Gegenbeispiel zu „gleicher Erwartungswert bedeutet gleiche Verteilung“ angeben.
6. ☐ Ich kann graphische Unterschiede mit Kennwerten verbinden.
7. ☐ Ich kann entscheiden, welcher Rechenweg in einer mehrschrittigen Aufgabe effizient ist.

Transfer

Ein Unternehmen vergleicht zwei rein fiktive Bonusmodelle. Beide haben einen erwarteten Bonus von $500$ Euro. Bei Modell A liegen fast alle möglichen Auszahlungen nahe bei $500$ Euro. Modell B zahlt häufig sehr wenig, manchmal aber sehr viel.

Transferfrage: Welche zusätzliche Kennzahl ist für einen quantitativen Risikovergleich sinnvoll und warum?

Eine mögliche Begründung lautet: Die Standardabweichung beschreibt die Streuung in derselben Einheit wie die Auszahlung und erlaubt damit einen unmittelbaren Vergleich der Schwankungsbreite. Für eine vollständige Entscheidung kann dennoch die gesamte Verteilung relevant sein.

Datenschutz: Nutze für eigene Simulationen ausschließlich selbst erzeugte oder vollständig anonymisierte Daten. Personenbezogene Daten sind für diese Lernziele nicht erforderlich.

KI mathematisch prüfen

KI kann Rechenwege vorschlagen, aber sie ersetzt keinen mathematischen Beweis und keine eigene Kontrolle.

Prüfe jede KI-Ausgabe mindestens mit diesen Fragen:

1. Stimmen die Wahrscheinlichkeiten und gilt $\sum _i{p}_i=1$?
2. Wurde jeder Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet?
3. Ist $V(X)\ge 0$?
4. Stimmen Definitionsformel und $E(X^2)-[E(X){]}^2$ überein?
5. Wurde die Wurzel zur Standardabweichung korrekt gezogen?
6. Folgt die Schlussfolgerung wirklich aus den Kennwerten oder wird zu viel behauptet?
7. Ist eine Begründung angegeben, wenn die Aufgabe „begründen“, „zeigen“ oder „beurteilen“ verlangt?

Kompetenzcheck

Bearbeite ohne Hilfen:

1. Konstruiere zwei verschiedene diskrete Verteilungen mit $E(X)=4$.
2. Wähle sie so, dass eine Standardabweichung kleiner als $1$ und die andere größer als $2$ ist.
3. Begründe rechnerisch, dass beide denselben Erwartungswert haben.
4. Begründe über mindestens eine Wahrscheinlichkeit, warum sie nicht gleich verteilt sind.
5. Erkläre, warum selbst $E(X)=E(Y)$ und $V(X)=V(Y)$ noch keine Gleichheit der Verteilungen beweisen.

Kontrollidee Für die letzte Teilaufgabe genügt ein korrektes Gegenbeispiel. Du kannst etwa eine Zweipunktverteilung und eine Dreipunktverteilung mit gleichem Erwartungswert und gleicher Varianz konstruieren.

Reflexion

Beantworte schriftlich in drei bis fünf Sätzen:

1. Welche Information liefert der Erwartungswert zuverlässig?
2. Welche Information ergänzt die Standardabweichung?
3. Welche Eigenschaften einer Verteilung können trotz gleicher Werte von $\mu$ und $\sigma$ verschieden bleiben?
4. An welcher Stelle dieses Kurses musstest Du eine Aussage wirklich begründen und nicht nur rechnen?

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich ABI LF - Binomialverteilungen über Parameter und Sigma-Bereiche untersuchen an. Dort werden die Beziehungen

$\mu =np$

und

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$

für Parametervergleiche, Sigma-Bereiche und mehrschrittige Abituraufgaben weiter genutzt.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt der Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße? (Den gewichteten Mittelwert der möglichen Werte) (!Den größten möglichen Wert) (!Immer den häufigsten Einzelwert) (!Die Summe aller möglichen Werte)

Welche Formel kann zur Berechnung der Varianz verwendet werden? (Von E von X Quadrat wird das Quadrat von E von X abgezogen) (!Erwartungswert und Standardabweichung werden addiert) (!Alle Wahrscheinlichkeiten werden quadriert) (!Der Erwartungswert wird durch die Anzahl der Werte geteilt)

Was folgt aus zwei gleichen Erwartungswerten? (Beide Verteilungen haben denselben Lagekennwert) (!Beide Verteilungen sind identisch) (!Beide Standardabweichungen sind gleich) (!Alle Einzelwahrscheinlichkeiten sind gleich)

Wie erhält man die Standardabweichung aus der Varianz? (Durch Ziehen der Quadratwurzel) (!Durch Quadrieren) (!Durch Verdoppeln) (!Durch Division durch den Erwartungswert)

Was bedeutet bei gleichem Erwartungswert eine kleinere Standardabweichung? (Die Wahrscheinlichkeitsmasse liegt typischerweise näher am Erwartungswert) (!Die Verteilung hat zwingend mehr mögliche Werte) (!Der Erwartungswert wird kleiner) (!Alle Wahrscheinlichkeiten werden gleich groß)

Wie lautet der Erwartungswert einer Binomialverteilung mit Parametern n und p? (n mal p) (!n plus p) (!n mal eins minus p) (!p geteilt durch n)

Wie lautet die Standardabweichung einer Binomialverteilung? (Quadratwurzel aus n mal p mal eins minus p) (!n mal p mal eins minus p) (!Quadratwurzel aus n mal p) (!n geteilt durch p)

Welche Bedingung müssen die Wahrscheinlichkeiten einer diskreten Verteilung erfüllen? (Ihre Summe ist eins) (!Ihre Summe ist null) (!Alle Wahrscheinlichkeiten sind gleich) (!Jede Wahrscheinlichkeit ist größer als eins)

Was gilt bei gleichem Erwartungswert und gleicher Varianz zweier Verteilungen? (Die Verteilungen können trotzdem verschieden sein) (!Die Verteilungen müssen identisch sein) (!Alle möglichen Werte müssen gleich sein) (!Beide Verteilungen müssen binomialverteilt sein)

Was gilt für digitale Übungswerkzeuge im Hinblick auf das Abitur? (Sie sind nicht automatisch als Prüfungshilfsmittel zugelassen) (!Jedes im Unterricht verwendete Werkzeug ist automatisch zugelassen) (!GeoGebra ist in jedem Prüfungsteil immer zugelassen) (!Videos dürfen während der Prüfung genutzt werden)

Memory

Erwartungswert	gewichteter Schwerpunkt
Varianz	gewichteter quadratischer Abstand
Standardabweichung	Wurzel der Varianz
Wahrscheinlichkeitsfunktion	Zuordnung von Wahrscheinlichkeit
Binomialverteilung	Modell mit n und p
Gleicher Mittelwert	noch keine gleiche Verteilung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Erwartungswert	Lage der Verteilung
Varianz	Streuung in quadrierter Einheit
Standardabweichung	Streuung in Originaleinheit
Verschiebung	Addition einer Konstanten
Streckung	Multiplikation der Zufallsgröße

Kreuzworträtsel

Erwartungswert	Welcher Kennwert beschreibt den gewichteten Schwerpunkt einer Verteilung?
Varianz	Welche Kenngröße mittelt gewichtete quadratische Abstände?
Streuung	Welcher Oberbegriff beschreibt die Verteilung um eine Lage?
Zufallsvariable	Wie heißt die Größe, deren Werte vom Zufall abhängen?
Quadratabstand	Welche Art Abstand steckt in der Varianzberechnung?
Binomialverteilung	Welche diskrete Verteilung wird durch n und p bestimmt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der gewichtete Mittelwert einer diskreten Zufallsgröße heißt .

Die mittlere gewichtete quadratische Abweichung heißt .

Die positive Quadratwurzel der Varianz heißt .

Bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten .

Zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert können eine unterschiedliche besitzen.

Bei einer Binomialverteilung ist der Erwartungswert das Produkt aus n und .

Eine Addition einer Konstanten verändert den Erwartungswert, aber nicht die .

Auch gleiche Werte von Erwartungswert und Varianz bestimmen eine Verteilung nicht .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Verteilungsdiagramm: Zeichne zwei selbst erfundene diskrete Verteilungen mit demselben Erwartungswert, aber sichtbar unterschiedlicher Streuung.
2. Erwartungswert: Erfinde eine Alltagssituation mit drei möglichen Auszahlungen und berechne ihren Erwartungswert.
3. Standardabweichung: Erkläre in einer Skizze, warum die Standardabweichung dieselbe Einheit wie die Zufallsgröße besitzt.
4. Fehleranalyse: Formuliere eine typische falsche Aussage über den Erwartungswert und widerlege sie mit einem Gegenbeispiel.

Standard

1. Varianz: Löse eine selbst entworfene Vierpunktverteilung einmal mit der Definitionsformel und einmal mit der Verschiebungsformel.
2. GeoGebra: Nutze ein dynamisches Modell und dokumentiere drei Einstellungen mit gleichem oder ähnlichem Erwartungswert und verschiedener Streuung.
3. Binomialverteilung: Untersuche für ein festes n graphisch und rechnerisch, wie sich die Standardabweichung beim Verändern von p entwickelt.
4. Modellierung: Entwickle ein fiktives Gewinnspiel mit Erwartungswert null und erkläre, weshalb trotzdem hohe Einzelgewinne und -verluste möglich sein können.

Schwer

1. Gegenbeispiel: Konstruiere zwei verschiedene diskrete Verteilungen mit gleichem Erwartungswert und gleicher Varianz und beweise beide Gleichheiten.
2. Beweis: Leite $V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ vollständig aus der Definition her und kommentiere jeden Umformungsschritt.
3. Lineare Transformation: Beweise für eine diskrete Zufallsgröße $V(aX+b)=a^{2}V(X)$.
4. Abituraufgabe: Entwirf eine mehrschrittige Aufgabe, in der zuerst ein Modell gewählt, dann zwei Verteilungen verglichen und anschließend eine begründete Entscheidung getroffen werden muss.

Lernkontrolle

1. Vergleich von Verteilungen: Zwei Verteilungen besitzen denselben Erwartungswert. Entwickle ein Verfahren, mit dem Du entscheidest, welche stärker streut, und begründe die Wahl Deiner Kennzahl.
2. Gegenbeispiel: Widerlege die Aussage „Gleicher Erwartungswert bedeutet gleiche Verteilung“ mit einer vollständig angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
3. Varianzformel: Erkläre, warum $V(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ keine neue Definition, sondern eine äquivalente Rechenformel ist.
4. Modellkritik: Beurteile, ob Erwartungswert und Standardabweichung allein für jede Entscheidung zwischen zwei Risikomodellen ausreichen.
5. Transformation: Eine Zufallsgröße wird durch $Y=-2X+7$ verändert. Leite ohne Einsetzen konkreter Wahrscheinlichkeiten die Veränderungen von Erwartungswert und Varianz her.
6. Binomialverteilung: Zwei Binomialverteilungen haben denselben Erwartungswert. Untersuche, unter welchen Bedingungen ihre Varianzen trotzdem verschieden sein können.
7. Graphische Interpretation: Entwirf zwei Balkendiagramme mit gleichem Schwerpunkt und erkläre quantitativ, wodurch sich ihre Streuung unterscheidet.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung formal korrekt beschreiben kannst.
2. Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung sicher berechnest.
3. zwischen Definitionsformel und effizienter Rechenformel sinnvoll auswählst.
4. Diagramme und Kennwerte miteinander verknüpfst.
5. gleiche Lage von gleicher Verteilung unterscheidest.
6. ein mathematisch korrektes Gegenbeispiel konstruieren kannst.
7. mehrschrittige Modellierungsaufgaben nachvollziehbar begründest.
8. Rechenwege, digitale Werkzeuge und KI-Ausgaben eigenständig kontrollierst.
9. die jeweils gültigen Hilfsmittelregeln Deines Abiturjahrgangs beachtest.

OERs zum Thema

Datei:Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.jpg

Weitere freie Medien:

1. 

2. Datei:Galton box.webm

Quellen und Medienhinweise

1. Der Abiturbezug orientiert sich am Facherlass Baden-Württemberg für die Abiturprüfung 2027.
2. Die Datei „Binomial distribution pmf.svg“ auf Wikimedia Commons ist gemeinfrei.
3. „Mathematrix Standardabweichung Theorie.webm“ steht auf Wikimedia Commons unter CC BY-SA 4.0.
4. Das eingebundene Video zu Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung wurde auch auf Wikimedia Commons dokumentiert und dort als aus einer Creative-Commons-Veröffentlichung auf YouTube stammend ausgewiesen.
5. Die dynamischen GeoGebra-Materialien dienen zum Üben und Explorieren; ihre Einbindung sagt nichts über eine Zulassung als Prüfungshilfsmittel aus.

Verknüpfte Lernbereiche

Wahrscheinlichkeitsverteilung Zufallsvariable Erwartungswert Varianz Standardabweichung Binomialverteilung Stochastik Mathematik-Abitur