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ABI - Extremwertprobleme modellieren

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ABI - Extremwertprobleme modellieren

Mini-Beschreibung: Überführe reale Optimierungsprobleme in eine Zielfunktion, bestimme sinnvolle Definitionsbereiche und ermittle optimale Werte mit Differentialrechnung. Du arbeitest mit Geometrie-, Produktions- und Bewegungsmodellen, interpretierst Ergebnisse und prüfst Randfälle.

Einleitung

Viele Abituraufgaben beginnen nicht mit einer fertigen Funktion, sondern mit einer Situation: Material soll gespart, Gewinn maximiert, eine Fläche vergrößert oder eine Reisezeit verkürzt werden. Deine wichtigste Leistung besteht dann darin, das reale Problem in ein mathematisches Modell zu übersetzen.

Grundmuster: Realsituation → Zielfunktion → Extremum → Interpretation

Wichtig: Eine rechnerisch gefundene Extremstelle ist noch keine vollständige Lösung. Du musst den sinnvollen Definitionsbereich, Randwerte, Einheiten und die Bedeutung des Ergebnisses prüfen.

Abiturbezug Baden-Württemberg

Der Landesbildungsserver Baden-Württemberg beschreibt Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen als typische Anwendung der Differentialrechnung und empfiehlt ein systematisches Vorgehen von der Skizze über Nebenbedingung und Zielfunktion bis zur Randprüfung und zum Antwortsatz.

Stand September 2026: Für Deine konkrete Abiturprüfung sind immer der veröffentlichte Prüfungsjahrgang, der aktuelle Facherlass und die dort genannten Hilfsmittel maßgeblich. Digitale Werkzeuge in diesem aiMOOC dienen dem Lernen und Üben; sie sind nicht automatisch in der Prüfung zugelassen.

Lösungsstrategie des Landesbildungsservers Baden-Württemberg

Basisfach: Schwerpunkt sind verständige Verfahren, passende Modelle, sichere Ableitungen, anschauliche Begründungen und die Interpretation im Sachzusammenhang.

Leistungsfach: Zusätzlich werden Modellannahmen, anspruchsvollere Zielfunktionen, Parameter, Begründungen, Randfälle und die Qualität des Modells vertieft.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Zielfunktion: aus einer realen Fragestellung die zu optimierende Größe erkennen und als Funktion formulieren.
Nebenbedingung: mehrere Variablen auf eine Variable reduzieren.
Definitionsbereich: sachlogische Grenzen festlegen und begründen.
Extremstelle: Kandidaten mit $f^{'} (x) = 0$ bestimmen und mit geeigneten Kriterien prüfen.
Randextremum: Randwerte mit inneren Extremstellen vergleichen.
Modellierung: Geometrie-, Produktions- und Bewegungsmodelle mathematisch untersuchen.
Interpretation: Ergebnis, Einheit, Plausibilität und Modellgrenzen erklären.

Vorwissen-Check

Beantworte die Fragen zunächst ohne Hilfsmittel.

Kannst Du $f (x) = 3 x^{4} - 5 x^{2} + 7$ ableiten?
Kannst Du aus $2 a + 2 b = 40$ eine Variable durch die andere ausdrücken?
Kannst Du zwischen lokalem und globalem Maximum unterscheiden?
Weißt Du, warum $f^{'} (x) = 0$ nur eine notwendige Bedingung für ein inneres Extremum ist?
Kannst Du bei einem Sachproblem begründen, warum negative Längen ausgeschlossen sind?

<details> <summary>Selbstkontrolle</summary> $f^{'} (x) = 12 x^{3} - 10 x$ . Aus $2 a + 2 b = 40$ folgt zum Beispiel $b = 20 - a$ . Ein globales Maximum ist im gesamten betrachteten Definitionsbereich maximal. Aus $f^{'} (x) = 0$ folgt nicht automatisch ein Extremum. Sachgrößen müssen zum Modell passen, daher sind etwa negative Längen unzulässig. </details>

Das Modellierungs-Schema

Schritt 1: Zielgröße erkennen

Was soll maximal oder minimal werden?

$A, V, K, G, T, s, \dots$

Schritt 2: Variablen festlegen

Wähle Variablen mit Einheit, zum Beispiel $x$ in Metern.

Schritt 3: Nebenbedingung formulieren

Beispiel bei festem Rechteckumfang:

$2 a + 2 b = 40$

Schritt 4: Auf eine Variable reduzieren

$b = 20 - a$

$A (a) = a (20 - a)$

Schritt 5: Definitionsbereich bestimmen

Für positive Seitenlängen:

$0 < a < 20$

Schritt 6: Extremum bestimmen

$A^{'} (a) = 20 - 2 a$

$A^{'} (a) = 0 \Rightarrow a = 10$

Schritt 7: Ergebnis prüfen

$A^{″} (a) = - 2 < 0$

Also liegt ein Maximum vor.

Schritt 8: Realität interpretieren

$a = b = 10$ . Das Rechteck mit maximalem Flächeninhalt ist hier ein Quadrat.

Global oder nur lokal?

Bei einem abgeschlossenen Definitionsbereich $[a, b]$ vergleichst Du alle relevanten Kandidaten:

$f (a), f (x_{1}), f (x_{2}), \dots, f (b)$

Dabei sind $x_{1}, x_{2}, \dots$ innere kritische Stellen.

Merksatz: Randwerte gehören zur Optimierung dazu. Eine Ableitung findet innere Kandidaten, aber keine Randextrema automatisch.

Dynamischer Graph

Gib zum Beispiel $A (x) = x (20 - x)$ oder später $V (x) = x (30 - 2 x) (20 - 2 x)$ ein. Verändere den sichtbaren Bereich und vergleiche graphische Vermutung und rechnerischen Nachweis.

Prüffrage: Welche Information liefert der Graph schnell, die Du anschließend rechnerisch begründen musst?

Beispiel 1: Geometriemodell – offene Schachtel

Aus einem Karton mit $30 c m$ mal $20 c m$ werden an allen vier Ecken Quadrate der Seitenlänge $x$ ausgeschnitten. Die Ränder werden hochgefaltet.

Die Abmessungen der Schachtel sind:

$x$ , $30 - 2 x$ und $20 - 2 x$ .

Die Zielfunktion lautet:

$V (x) = x (30 - 2 x) (20 - 2 x)$

Aus der Geometrie folgt:

$0 < x < 10$

Ausmultipliziert:

$V (x) = 4 x^{3} - 100 x^{2} + 600 x$

Ableitung:

$V^{'} (x) = 12 x^{2} - 200 x + 600$

Extremstellenbedingung:

$12 x^{2} - 200 x + 600 = 0$

$3 x^{2} - 50 x + 150 = 0$

$x = \frac{25 \pm 5 \sqrt{7}}{3}$

Nur

$x = \frac{25 - 5 \sqrt{7}}{3} \approx 3,924$

liegt im sinnvollen Bereich.

Das maximale Volumen beträgt ungefähr:

$V (3,924) \approx 1056,3 {c m}^{3}$

Interpretation: Schneidest Du ungefähr $3,92 c m$ große Quadrate aus, wird das Volumen maximal.

Interaktive Geometrie-Idee

Erstelle im dynamischen Geometriewerkzeug ein Rechteck mit den Seiten $30 - 2 x$ und $20 - 2 x$ . Verändere $x$ mit einem Schieberegler und beobachte gleichzeitig das Volumen.

Basisfach-Auftrag: Beschreibe, warum $x = 12$ im Modell nicht zulässig ist.

Leistungsfach-Auftrag: Begründe zusätzlich, warum der außerhalb des Definitionsbereichs liegende zweite Nullstellenwert von $V^{'}$ keine reale Lösung darstellt.

Beispiel 2: Produktionsmodell – maximaler Gewinn

Ein vereinfachtes Gewinnmodell sei:

$G (x) = - 0,01 x^{2} + 6 x - 200$

Dabei ist $x$ die produzierte Stückzahl und der sinnvolle Bereich sei:

$0 \leq x \leq 500$

Ableitung:

$G^{'} (x) = - 0,02 x + 6$

Kandidat:

$G^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 300$

Zweite Ableitung:

$G^{″} (x) = - 0,02 < 0$

Gewinn:

$G (300) = 700$

Randwerte:

$G (0) = - 200$

$G (500) = 300$

Ergebnis: Im Modell ist der Gewinn bei $x = 300$ maximal.

Modellkritik: Eine reale Produktion hat oft diskrete Stückzahlen, Kapazitätsgrenzen, veränderliche Preise und weitere Kosten. Das mathematische Optimum ist deshalb immer im Kontext zu prüfen.

Leistungsfach-Vertiefung: Parameter

Betrachte:

$G_{a} (x) = - a x^{2} + 6 x - 200$

mit $a > 0$ .

Dann gilt:

${G_{a}}^{'} (x) = - 2 a x + 6$

und damit:

$x_{o p t} = \frac{3}{a}$

Denkfrage: Wie verändert sich die optimale Produktionsmenge, wenn $a$ größer wird?

<details> <summary>Feedback</summary> Da $x_{o p t} = \frac{3}{a}$ gilt, sinkt die optimale Produktionsmenge bei wachsendem $a$ . </details>

Beispiel 3: Bewegungsmodell – schnellste Route

Ein Punkt $A$ liegt $3 k m$ von einer geraden Straße entfernt. Auf der Straße liegt das Ziel $B$ $8 k m$ vom nächstgelegenen Straßenpunkt $P$ entfernt.

Abseits der Straße beträgt die Geschwindigkeit $4 k m / h$ , auf der Straße $8 k m / h$ .

Du betrittst die Straße in einem Punkt, der $x$ Kilometer von $P$ in Richtung $B$ liegt.

Weg abseits der Straße:

$s_{1} (x) = \sqrt{9 + x^{2}}$

Weg auf der Straße:

$s_{2} (x) = 8 - x$

Zeitfunktion:

$T (x) = \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{4} + \frac{8 - x}{8}$

Definitionsbereich:

$0 \leq x \leq 8$

Ableitung:

$T^{'} (x) = \frac{x}{4 \sqrt{9 + x^{2}}} - \frac{1}{8}$

Bedingung:

$T^{'} (x) = 0$

$\frac{x}{4 \sqrt{9 + x^{2}}} = \frac{1}{8}$

$2 x = \sqrt{9 + x^{2}}$

$4 x^{2} = 9 + x^{2}$

$x = \sqrt{3} \approx 1,732$

Die minimale Zeit beträgt ungefähr:

$T (\sqrt{3}) \approx 1,65 h$

Interpretation: Der kürzeste Weg ist nicht automatisch der schnellste Weg. Unterschiedliche Geschwindigkeiten verändern die optimale Route.

Musteraufgabe „Schnellste Verbindung“ des Landesbildungsservers

Funktionale Nebenbedingungen

Ist eine Begrenzung bereits durch eine Funktion gegeben, kann sie direkt zur Variablenreduktion dienen.

Beispiel:

$f (x) = 9 - x^{2}$

Ein achsenparalleles Rechteck unter dem Graphen habe halbe Breite $x$ und Höhe $f (x)$ .

Dann gilt:

$A (x) = 2 x (9 - x^{2})$

$A (x) = 18 x - 2 x^{3}$

mit:

$0 \leq x \leq 3$

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A – Zaunproblem

Mit $60 m$ Zaun soll ein rechteckiges Gehege an einer geraden Mauer gebaut werden. Die Mauer bildet eine Seite, also müssen nur drei Seiten eingezäunt werden.

Aufgabe: Bestimme die Maße für maximale Fläche.

<details> <summary>Hilfe 1</summary> Setze für die beiden Seiten senkrecht zur Mauer $x$ und für die Seite parallel zur Mauer $y$ . </details>

<details> <summary>Hilfe 2</summary> Nebenbedingung: $2 x + y = 60$ . </details>

<details> <summary>Feedback</summary> $y = 60 - 2 x$ , also $A (x) = x (60 - 2 x) = 60 x - 2 x^{2}$ . Es gilt $A^{'} (x) = 60 - 4 x$ . Damit ist $x = 15$ und $y = 30$ . Die maximale Fläche ist $450 m^{2}$ . </details>

Übung B – Dose

Eine geschlossene zylindrische Dose soll das Volumen $V = 1000 {c m}^{3}$ besitzen.

Aufgabe: Stelle eine Zielfunktion für die Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius $r$ auf.

<details> <summary>Hilfe</summary> Nutze $V = π r^{2} h$ und $O = 2 π r^{2} + 2 π r h$ . </details>

<details> <summary>Feedback</summary> Aus $h = \frac{1000}{π r^{2}}$ folgt $O (r) = 2 π r^{2} + \frac{2000}{r}$ mit $r > 0$ . </details>

Übung C – Bewegung

Im Bewegungsmodell oben wird die Geschwindigkeit auf der Straße von $8$ auf $12 k m / h$ erhöht.

Aufgabe: Formuliere die neue Zeitfunktion und vermute vor dem Rechnen, ob der optimale Eintrittspunkt näher an $P$ oder näher an $B$ liegt.

<details> <summary>Hilfe</summary> Nur der zweite Summand der Zeitfunktion ändert sich. </details>

<details> <summary>Feedback</summary> $T (x) = \frac{\sqrt{9 + x^{2}}}{4} + \frac{8 - x}{12}$ . Da die Straße nun relativ schneller ist, lohnt es sich stärker, sie früher zu erreichen. Der optimale Eintrittspunkt liegt näher an $P$ . </details>

Fehleranalyse

Fehler 1: Nur $f^{'} (x) = 0$ berechnen und sofort „Maximum“ schreiben.

Korrektur: Extremtyp und globale Bedeutung prüfen, zum Beispiel über $f^{″}$ , Vorzeichenwechsel und Randwerte.

Fehler 2: Den Definitionsbereich erst nach der Rechnung beachten.

Korrektur: Sachlogische Grenzen vor der Extremwertrechnung festlegen.

Fehler 3: Eine Variable eliminieren, aber die Nebenbedingung falsch umstellen.

Korrektur: Rückprobe in die ursprüngliche Nebenbedingung durchführen.

Fehler 4: Einheiten weglassen.

Korrektur: Variable, Zielfunktion und Ergebnis mit passenden Einheiten interpretieren.

Fehler 5: Das numerisch kleinste oder größte Ergebnis ungeprüft übernehmen.

Korrektur: Modellannahmen und Randfälle kontrollieren.

Fehler 6: KI- oder CAS-Ausgabe als Beweis behandeln.

Korrektur: Rechenweg, Definitionsbereich, Ableitungen und Interpretation selbst mathematisch prüfen. KI-Ausgaben können Hinweise geben, ersetzen aber keinen Beweis.

Selbstkontrolle

Prüfe vor Deiner Abgabe:

Habe ich klar benannt, was maximiert oder minimiert wird?
Sind alle Variablen definiert?
Habe ich eine passende Nebenbedingung?
Enthält die Zielfunktion nur noch eine freie Variable?
Ist der sachlich sinnvolle Definitionsbereich angegeben?
Habe ich innere Extremstellen korrekt bestimmt?
Habe ich Randwerte geprüft?
Habe ich das Ergebnis mit Einheit in die Realsituation zurückübersetzt?
Habe ich die Plausibilität des Modells geprüft?
Habe ich digitale oder KI-generierte Ergebnisse unabhängig kontrolliert?

Transfer

Ordne zu, welche Zielgröße wahrscheinlich optimiert wird:

Verpackung mit möglichst wenig Material: Oberfläche minimieren.
Produktionsplanung: Gewinn maximieren oder Kosten minimieren.
Rettungsweg mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten: Zeit minimieren.
Rechteck unter einem Graphen: Fläche maximieren.
Abstand eines Punktes von einem Graphen: Distanz minimieren.

Transferfrage Leistungsfach: Wann kann ein Modell mehrere lokale Extrema besitzen, obwohl nur ein globales Optimum gesucht ist?

Reflexion

Welcher Schritt des Modellierens ist für Dich anspruchsvoller: Zielfunktion, Definitionsbereich oder Extremwertrechnung?
Woran erkennst Du, dass ein mathematisch korrektes Ergebnis real unbrauchbar sein kann?
Welche Information liefert ein dynamischer Graph, welche Begründung liefert erst die Differentialrechnung?
Welche Annahme in einem Produktions- oder Bewegungsmodell würdest Du zuerst realitätsnäher gestalten?

Kompetenzcheck

Bewerte Dich jeweils mit sicher, teilweise sicher oder noch üben.

Ich kann aus Text und Skizze eine Zielgröße formulieren.
Ich kann eine Nebenbedingung zur Variablenreduktion nutzen.
Ich kann einen sinnvollen Definitionsbereich begründen.
Ich kann lokale und globale Extrema unterscheiden.
Ich kann Randwerte in eine Optimierung einbeziehen.
Ich kann ein Ergebnis im Sachkontext interpretieren.
Ich kann die Grenzen eines Modells benennen.
Ich kann digitale Ergebnisse mathematisch überprüfen.

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ABI - Extremwertprobleme mit Parametern und Modellkritik. Dort untersuchst Du, wie sich optimale Lösungen ändern, wenn Modellparameter variieren.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Was ist bei einem realen Extremwertproblem die Zielfunktion? (Eine Funktion, deren Wert maximiert oder minimiert werden soll) (!Eine Funktion, die immer eine Gerade sein muss) (!Eine Gleichung ohne Variable) (!Nur die erste Ableitung)

Warum wird eine Nebenbedingung häufig nach einer Variablen aufgelöst? (Damit die Zielgröße als Funktion einer einzigen Variablen dargestellt werden kann) (!Damit keine Ableitung mehr nötig ist) (!Damit der Definitionsbereich unendlich wird) (!Damit alle Randwerte verschwinden)

Welche Bedingung liefert bei einer differenzierbaren Zielfunktion innere Extremstellen-Kandidaten? (Die Gleichung f Strich von x gleich null) (!Die Gleichung f von x gleich null) (!Die Gleichung f Doppelstrich von x gleich null) (!Die Gleichung x gleich null)

Warum müssen Randwerte untersucht werden? (Weil ein globales Extremum am Rand liegen kann) (!Weil jede Ableitung am Rand null ist) (!Weil Randwerte immer Maxima sind) (!Weil der Definitionsbereich sonst nicht existiert)

Welche Größe wird bei einem klassischen Schachtelproblem meist maximiert? (Das Volumen) (!Die Anzahl der Variablen) (!Die erste Ableitung) (!Der Definitionsbereich)

Welche Größe wird bei einer schnellsten Route optimiert? (Die benötigte Zeit) (!Immer die gesamte Weglänge) (!Die Geschwindigkeit selbst) (!Der Startpunkt)

Was bedeutet ein negativer Wert der zweiten Ableitung an einer kritischen Stelle typischerweise? (Die Funktion ist dort lokal nach unten gekrümmt und ein Maximum ist möglich) (!Die Funktion besitzt dort sicher eine Nullstelle) (!Die Stelle liegt außerhalb jedes Definitionsbereichs) (!Die Funktion ist dort nicht differenzierbar)

Was gehört zu einer vollständigen Interpretation eines Optimierungsergebnisses? (Wert, Einheit, Sachbedeutung und Plausibilitätsprüfung) (!Nur der Taschenrechnerwert) (!Nur die erste Ableitung) (!Nur eine Skizze ohne Rechnung)

Welche Aussage zu digitalen Werkzeugen ist richtig? (Sie können beim Erkunden und Kontrollieren helfen, ersetzen aber keine mathematische Begründung) (!Sie sind in jeder Abiturprüfung automatisch zugelassen) (!Sie machen einen Definitionsbereich überflüssig) (!Sie garantieren ein fehlerfreies Modell)

Was unterscheidet ein globales Maximum von einem lokalen Maximum? (Es ist im gesamten betrachteten Definitionsbereich maximal) (!Es liegt immer bei x gleich null) (!Es besitzt immer den Funktionswert null) (!Es kann niemals am Rand liegen)

Memory

Zielfunktion	zu optimierende Größe als Funktion
Nebenbedingung	Beziehung zwischen Modellvariablen
Definitionsbereich	sachlich zulässige Werte
Randwert	möglicher Kandidat für ein globales Extremum
Ableitung	Werkzeug zur Bestimmung innerer Extremstellen
Interpretation	Rückübersetzung in die Realsituation

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Modellierungsschritt
Zielgröße	Bestimmen, was optimiert werden soll
Nebenbedingung	Beziehungen zwischen Variablen formulieren
Zielfunktion	Auf eine Variable reduzieren
Extremwertrechnung	Kritische Stellen und Randwerte untersuchen
Interpretation	Ergebnis im Sachzusammenhang deuten

Kreuzworträtsel

Ableitung	Welches mathematische Werkzeug liefert innere Extremstellen-Kandidaten?
Maximum	Wie heißt ein größter Funktionswert?
Minimum	Wie heißt ein kleinster Funktionswert?
Randwert	Was muss neben inneren Extremstellen bei globaler Optimierung geprüft werden?
Zielfunktion	Wie heißt die Funktion, die optimiert wird?
Modellierung	Wie heißt die Übersetzung einer Realsituation in Mathematik?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Skizze erstellen: Zeichne ein Rechteck mit festem Umfang und markiere alle Variablen sowie die Zielgröße.
Definitionsbereich begründen: Formuliere für das Schachtelproblem in eigenen Worten, warum $0 < x < 10$ gilt.
Graph untersuchen: Gib eine Zielfunktion in GeoGebra ein und markiere vermutete Extremstellen und Randwerte.
Fehler finden: Erfinde einen typischen Fehler bei einer Extremwertaufgabe und erkläre die Korrektur.

Standard

Verpackung optimieren: Entwickle ein eigenes Schachtelproblem mit anderen Kartonmaßen und löse es vollständig.
Produktionsmodell entwickeln: Entwirf eine realistische Gewinnfunktion mit einem sinnvollen Produktionsbereich und interpretiere ihr Optimum.
Bewegungsmodell vergleichen: Verändere im Bewegungsmodell eine Geschwindigkeit und untersuche den Einfluss auf die optimale Route.
Erklärvideo planen: Erstelle ein Storyboard für ein zweiminütiges Lernvideo zum Modellierungs-Schema. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

Parameter untersuchen: Führe für eine Zielfunktion mit Parameter eine vollständige Fallunterscheidung durch.
Modellkritik: Vergleiche zwei unterschiedliche Modelle für dasselbe reale Optimierungsproblem und bewerte ihre Annahmen.
Numerisch und analytisch: Löse ein Optimierungsproblem zuerst graphisch oder numerisch und anschließend analytisch. Erkläre Abweichungen.
Eigene Abituraufgabe: Entwickle eine mehrteilige Extremwertaufgabe für Basisfach und Leistungsfach mit Lösung, Randwertprüfung und Transferteil.

Lernkontrolle

Modellwahl begründen: Eine Firma möchte Material sparen. Entscheide, welche Größe als Zielfunktion sinnvoll ist, und begründe Deine Wahl.
Randfall analysieren: Konstruiere ein Beispiel, bei dem die Gleichung $f^{'} (x) = 0$ nicht das globale Optimum liefert.
Modell verändern: Erkläre an einem Bewegungsmodell, wie eine veränderte Geschwindigkeit die Zielfunktion und das Optimum beeinflusst.
Plausibilität prüfen: Ein CAS liefert eine optimale Länge von $- 2,4 m$ . Analysiere den Fehler im Modellierungsprozess.
Darstellungen verknüpfen: Erkläre, wie Skizze, Funktionsterm, Graph und Ableitung gemeinsam zur Lösung eines Extremwertproblems beitragen.
Basisfach und Leistungsfach: Löse dasselbe Optimierungsproblem einmal verständig-verfahrensorientiert und einmal mit vertiefter Begründung und Modellkritik.