ABI - Erwartungswert der Binomialverteilung nutzen

ABI - Erwartungswert der Binomialverteilung nutzen

Mini-Beschreibung: Du nutzt und interpretierst $E(X)=np$ für binomialverteilte Zufallsgrößen und vergleichst den theoretischen Erwartungswert mit beobachteten Trefferzahlen aus Simulationen. Zielgruppe: Kursstufe, Mathematik-Abitur Baden-Württemberg.

Einleitung

Bei einer Binomialverteilung zählt die Zufallsgröße $X$, wie oft ein Treffer in $n$ gleichartigen, unabhängigen Bernoulli-Versuchen auftritt. Ist die Trefferwahrscheinlichkeit in jedem Versuch $p$, dann gilt:

$$X\sim B(n,p)$$

$$E(X)=n\cdot p$$

Kernidee: $E(X)$ beschreibt die langfristig zu erwartende durchschnittliche Trefferzahl pro Serie. Eine einzelne beobachtete Trefferzahl muss nicht gleich $E(X)$ sein.

Beispiel:

$$n=20,p=\mathrm{0,35}$$

$$E(X)=20\cdot \mathrm{0,35}=7$$

In einer einzelnen Simulation können trotzdem etwa $5$, $8$ oder $9$ Treffer auftreten.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Binomialmodelle an den Parametern $n$ und $p$ erkennen.
2. den Erwartungswert mit $E(X)=np$ berechnen.
3. $E(X)$ im Sachzusammenhang korrekt deuten.
4. beobachtete Trefferzahlen aus Simulationen mit $E(X)$ vergleichen.
5. typische Fehlinterpretationen erkennen und verbessern.
6. im Leistungsfach die Formel über Indikatorvariablen begründen und mit $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ einordnen.

Abiturbezug Baden-Württemberg

Der Bildungsplan Baden-Württemberg und aktuelle ZSL-Unterstützung verorten Binomialverteilung, Erwartungswert und grafische Interpretation im Bereich Daten und Zufall beziehungsweise in der Kursstufen-Wiederholung der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Für die konkrete Abiturprüfung gilt immer der für Deinen Prüfungsjahrgang gültige Erlass beziehungsweise die aktuelle amtliche Regelung.

Wichtig: Übungswerkzeuge wie GeoGebra, Simulationen oder Lernapps sind nicht automatisch zugelassene Prüfungshilfsmittel.

Offizielle Orientierung:

1. Bildungsplan Baden-Württemberg: Daten und Zufall
2. Zentrum für Schulqualität und Lehrerbildung Baden-Württemberg

Prüfungsjahrgang beachten: Prüfe vor der Abiturvorbereitung die aktuell gültigen Vorgaben zu Aufgabenformaten und Hilfsmitteln. Dieser Kurs trainiert mathematische Kompetenzen; er ersetzt keine amtliche Prüfungsinformation.

Vorwissen-Check

1. Bernoulli-Struktur

Entscheide, ob die Situation als Binomialmodell geeignet ist: Eine Maschine produziert $50$ Teile. Jedes Teil ist mit konstanter Wahrscheinlichkeit $p=\mathrm{0,04}$ fehlerhaft; die Fehlerereignisse werden als unabhängig modelliert.

$$X=\text{Anzahl fehlerhafter Teile}$$

Lösung: Ja, unter den Modellannahmen gilt $X\sim B(50,\mathrm{0,04})$.

2. Parameter lesen

Bei $X\sim B(80,\mathrm{0,25})$ gilt:

$$n=80,p=\mathrm{0,25}$$

Lösung: $n$ ist die Zahl der Versuche; $p$ ist die Trefferwahrscheinlichkeit je Versuch.

3. Trefferzahl und Trefferanteil unterscheiden

Bei $n=40$ und $12$ Treffern ist

$$X=12,\frac{X}{n}=\frac{12}{40}=\mathrm{0,3}$$

Merke: $X$ ist eine absolute Trefferzahl. $X/n$ ist ein relativer Trefferanteil.

4. Erwartungswert allgemein

Für eine diskrete Zufallsgröße gilt grundsätzlich:

$$E(X)=\sum _{k}k\cdot P(X=k)$$

Bei der Binomialverteilung vereinfacht sich dies zu $E(X)=np$.

Erwartungswert verstehen

Das Galtonbrett veranschaulicht viele aufeinanderfolgende Ja-Nein-Entscheidungen. Bei symmetrischen Abzweigungen ist $p=\mathrm{0,5}$. Nach vielen Kugeln entsteht eine Häufigkeitsverteilung, deren Zentrum mit dem Erwartungswert des zugrunde liegenden Binomialmodells zusammenhängt.

Formel und Bedeutung

$$X\sim B(n,p)$$

$$E(X)=np$$

Bedeutung der Größen:

1. $n$: Anzahl der Versuche.
2. $p$: Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch.
3. $E(X)$: langfristige mittlere Trefferzahl pro Versuchsserie.

Wichtig: $E(X)$ ist kein Versprechen für die nächste Serie. Außerdem muss $E(X)$ nicht ganzzahlig sein, obwohl $X$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann.

Beispiel:

$$X\sim B(12,\mathrm{0,4})$$

$$E(X)=12\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{4,8}$$

Die Zahl $\mathrm{4,8}$ ist keine mögliche Trefferzahl einer einzelnen Serie. Sie ist ein langfristiger Mittelwert über sehr viele gleichartige Serien.

Visuelle Erkundung: Erwartungswert im Histogramm

Verändere $n$ und $p$. Beobachte, wie sich der Erwartungswert im Histogramm verschiebt.

Denkfragen:

1. Was geschieht mit $E(X)$, wenn $n$ verdoppelt und $p$ gleich bleibt?
2. Was geschieht mit $E(X)$, wenn $p$ halbiert und $n$ gleich bleibt?
3. Liegt der höchste Balken immer exakt bei $E(X)$? Begründe Deine Beobachtung.

Feedback: Aus $E(X)=np$ folgt: Verdopplung von $n$ verdoppelt $E(X)$. Halbierung von $p$ halbiert $E(X)$. Der Erwartungswert ist nicht automatisch identisch mit der wahrscheinlichsten ganzzahligen Trefferzahl.

Rechenweg als Schrittfolge

Gegeben:

$$X\sim B(60,\mathrm{0,3})$$

Schritt 1: Parameter identifizieren.

$$n=60,p=\mathrm{0,3}$$

Schritt 2: Formel einsetzen.

$$E(X)=n\cdot p$$

$$E(X)=60\cdot \mathrm{0,3}$$

Schritt 3: Berechnen.

$$E(X)=18$$

Schritt 4: Im Kontext deuten.

Bei sehr vielen vergleichbaren Serien mit jeweils $60$ Versuchen liegt die durchschnittliche Trefferzahl pro Serie langfristig bei etwa $18$.

Erwartungswert und Simulation vergleichen

Eine Simulation erzeugt konkrete Zufallsergebnisse. Der Erwartungswert bleibt ein theoretischer Kennwert des Modells.

Nimm

$$X\sim B(50,\mathrm{0,4})$$

Dann gilt

$$E(X)=50\cdot \mathrm{0,4}=20$$

Mögliche simulierte Trefferzahlen in fünf unabhängigen Serien:

$$17,21,19,24,18$$

Der Mittelwert dieser fünf Serien ist

$$\overline{X}=\frac{17+21+19+24+18}{5}=\mathrm{19,8}$$

Das liegt nahe bei $E(X)=20$, muss aber nicht exakt gleich sein.

Für $m$ simulierte Serien mit Trefferzahlen $X_1,\dots ,X_m$ betrachtet man

$${\overline{X}}_m=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{X}_j$$

Mit wachsendem $m$ stabilisiert sich ${\overline{X}}_m$ typischerweise in der Nähe von $E(X)$. Das ist eine anschauliche Verbindung zum Gesetz der großen Zahlen.

Dynamische Simulation

Arbeitsauftrag:

1. Setze $n=20$ und $p=\mathrm{0,35}$.
2. Bestimme zuerst theoretisch $E(X)$.
3. Verändere anschließend die Darstellung und beobachte die Lage des Histogramms.
4. Wiederhole für $p=\mathrm{0,7}$.
5. Formuliere eine Regel, wie $p$ die Lage des Verteilungsbildes beeinflusst.

Beobachtete Trefferzahl richtig deuten

Beispiel:

$$X\sim B(100,\mathrm{0,6}),E(X)=60$$

Eine Simulation liefert $X=54$.

Die Abweichung vom Erwartungswert ist

$$X-E(X)=54-60=-6$$

Die absolute Abweichung ist

$$|X-E(X)|=6$$

Zulässige Aussage: In dieser Serie wurden sechs Treffer weniger beobachtet als nach dem Erwartungswert des Modells.

Nicht zulässige Schlussfolgerung: Das Binomialmodell ist allein deshalb falsch. Einzelne Zufallsergebnisse schwanken.

Basisfach und Leistungsfach

Basisfach: verständig rechnen und deuten

Im Basisfach steht besonders im Vordergrund:

1. die Modellparameter $n$ und $p$ sicher zu identifizieren,
2. $E(X)=np$ korrekt anzuwenden,
3. das Ergebnis im Sachkontext zu deuten,
4. Erwartungswert und einzelne Beobachtung auseinanderzuhalten,
5. Histogramme und Simulationsergebnisse anschaulich zu interpretieren.

Leistungsfach: begründen und modellieren

Für eine vertiefte Begründung schreibe die Trefferzahl als Summe von Indikatorvariablen:

$$X=I_1+I_2+\dots +I_n$$

Dabei gilt für jeden Versuch:

$$I_i=\{\begin{array}{cc}1,& \text{Treffer}\\ 0,& \text{kein Treffer}\end{array}$$

Mit

$$E(I_i)=1\cdot p+0\cdot (1-p)=p$$

und der Linearität des Erwartungswertes folgt:

$$E(X)=E(I_1+\dots +I_n)$$

$$E(X)=E(I_1)+\dots +E(I_n)$$

$$E(X)=p+\dots +p=np$$

Für die Streuung einer Binomialverteilung gilt zusätzlich:

$$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$$

$$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$$

Damit kannst Du eine beobachtete Abweichung nicht nur absolut, sondern auch im Verhältnis zur typischen Streuung einordnen.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Qualitätskontrolle

Ein Bauteil ist mit Wahrscheinlichkeit $p=\mathrm{0,03}$ fehlerhaft. Es werden $n=200$ Bauteile betrachtet.

$$X\sim B(200,\mathrm{0,03})$$

Aufgabe: Bestimme und interpretiere $E(X)$.

Hilfe 1: Nutze $E(X)=np$.

Hilfe 2: $E(X)=200\cdot \mathrm{0,03}$.

Feedback: $E(X)=6$. Langfristig sind in Serien von jeweils $200$ Bauteilen durchschnittlich etwa $6$ fehlerhafte Teile zu erwarten. Das bedeutet nicht, dass jede Serie genau $6$ Fehler enthält.

Beispiel 2: Nicht-ganzzahliger Erwartungswert

Eine Trefferwahrscheinlichkeit beträgt $p=\mathrm{0,45}$; es gibt $n=15$ Versuche.

$$E(X)=15\cdot \mathrm{0,45}=\mathrm{6,75}$$

Denkfrage: Wie deutest Du $\mathrm{6,75}$, obwohl keine Serie $\mathrm{6,75}$ Treffer haben kann?

Feedback: $\mathrm{6,75}$ ist der langfristige Mittelwert der Trefferzahl über viele Serien, nicht das Ergebnis einer einzelnen Serie.

Beispiel 3: Rückwärts rechnen

Gegeben sind

$$n=120,E(X)=30$$

Gesucht ist $p$.

$$E(X)=np$$

$$p=\frac{E(X)}{n}=\frac{30}{120}=\mathrm{0,25}$$

Kontrolle:

$$120\cdot \mathrm{0,25}=30$$

Übungen mit Hilfen und Feedback

Übung A

$$X\sim B(40,\mathrm{0,15})$$

Berechne $E(X)$.

Hilfe: Multipliziere $40$ mit $\mathrm{0,15}$.

Feedback: $E(X)=6$.

Übung B

Eine Basketballspielerin trifft einen Freiwurf im Modell mit $p=\mathrm{0,8}$. Sie wirft $25$-mal. Eine Simulation liefert $18$ Treffer.

Berechne den Erwartungswert und vergleiche.

Feedback: $E(X)=25\cdot \mathrm{0,8}=20$. Die Simulation liegt mit $18$ Treffern um $2$ unter dem Erwartungswert.

Übung C

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gilt

$$E(X)=14,p=\mathrm{0,35}$$

Bestimme $n$.

Hilfe: Stelle $E(X)=np$ nach $n$ um.

Feedback: $n=\frac{14}{\mathrm{0,35}}=40$.

Übung D: Leistungsfach

Für $X\sim B(80,\mathrm{0,25})$ bestimme $E(X)$ und $\sigma$.

Feedback: $$E(X)=80\cdot \mathrm{0,25}=20$$ $$\sigma =\sqrt{80\cdot \mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,75}}=\sqrt{15}\approx \mathrm{3,87}$$

Fehleranalyse

Fehler 1: Erwartungswert = sicheres Ergebnis

Falsch:

$$E(X)=12\Rightarrow X=12$$

Richtig:

$$E(X)=12$$

bedeutet einen langfristigen Mittelwert; einzelne Werte von $X$ können davon abweichen.

Fehler 2: Trefferzahl und Trefferwahrscheinlichkeit verwechseln

Bei $n=50$ und $p=\mathrm{0,2}$ gilt

$$E(X)=10$$

Nicht $\mathrm{0,2}$. Die Größe $p$ ist eine Wahrscheinlichkeit, $E(X)$ ist hier eine erwartete Anzahl.

Fehler 3: Erwartungswert unnötig runden

Bei

$$E(X)=\mathrm{7,5}$$

sollst Du nicht automatisch auf $8$ runden. $\mathrm{7,5}$ ist als Mittelwert sinnvoll.

Fehler 4: Binomialmodell ungeprüft verwenden

Prüfe:

1. feste Anzahl $n$ von Versuchen,
2. je Versuch zwei relevante Ausgänge,
3. konstante Trefferwahrscheinlichkeit $p$,
4. Unabhängigkeit der Versuche im Modell.

Selbstkontrolle

Beantworte ohne Hilfsmittel:

1. Für $X\sim B(30,\mathrm{0,4})$: $E(X)=?$
2. Eine Simulation liefert $X=9$. Wie groß ist die Abweichung von $E(X)$?
3. Kann $E(X)=\mathrm{7,2}$ gelten, obwohl $X$ nur ganze Zahlen annimmt?
4. Wenn $n$ verdoppelt wird und $p$ konstant bleibt: Wie ändert sich $E(X)$?
5. Warum widerlegt eine einzelne deutliche Abweichung nicht automatisch das Modell?

Lösungen:

1. $E(X)=30\cdot \mathrm{0,4}=12$.
2. $9-12=-3$, also drei Treffer unter dem Erwartungswert.
3. Ja. Der Erwartungswert ist ein langfristiger Mittelwert.
4. Er verdoppelt sich.
5. Zufallsgrößen schwanken von Serie zu Serie.

Transfer

Von der Trefferzahl zum Anteil

Aus

$$E(X)=np$$

folgt für den erwarteten Trefferanteil:

$$E\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{E(X)}{n}=p$$

Damit verbindet sich die erwartete Trefferzahl mit der zugrunde gelegten Trefferwahrscheinlichkeit.

Parameter aus dem Erwartungswert rekonstruieren

Wenn $n$ bekannt ist:

$$p=\frac{E(X)}{n}$$

Wenn $p$ bekannt ist:

$$n=\frac{E(X)}{p}$$

Bei $n$ muss das Ergebnis als Anzahl von Versuchen sinnvoll und ganzzahlig sein. Ist das nicht der Fall, prüfe Modell, Daten oder Aufgabenangaben.

Modellkritik

Ein beobachteter Mittelwert vieler Serien kann zur Modellprüfung beitragen. Beispiel:

$$n=100,p=\mathrm{0,5},E(X)=50$$

Wenn sehr viele gleichartige Serien systematisch Mittelwerte deutlich fern von $50$ liefern, ist es sinnvoll, die Modellannahmen zu prüfen. Eine einzelne Serie reicht dafür nicht aus.

Kompetenzcheck

Markiere für Dich sicher, teilweise oder noch üben.

1. Ich erkenne, wann $X\sim B(n,p)$ sinnvoll modelliert werden kann.
2. Ich berechne $E(X)=np$ sicher.
3. Ich deute einen nicht-ganzzahligen Erwartungswert korrekt.
4. Ich vergleiche Simulationsergebnisse mit $E(X)$, ohne aus Einzelwerten zu viel zu schließen.
5. Ich kann $E(X)=np$ nach $n$ oder $p$ umstellen.
6. Leistungsfach: Ich kann $E(X)=np$ über Indikatorvariablen begründen.
7. Leistungsfach: Ich kann $E(X)$ zusammen mit $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ interpretieren.

Reflexion

1. Welche Bedeutung von $E(X)$ war für Dich neu?
2. Welche Fehlinterpretation würdest Du jetzt sicher vermeiden?
3. Was zeigt eine Simulation, was die Formel allein nicht zeigt?
4. Was zeigt die Formel, was eine einzelne Simulation nicht zeigt?
5. Welche Annahme des Binomialmodells würdest Du in realen Daten zuerst prüfen?

KI-Hinweis: KI kann Rechenwege, Simulationen oder Erklärungen vorschlagen. Prüfe Parameter, Rechenoperationen und Schlussfolgerungen selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische Begründung und keinen Beweis.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie lautet der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße? (E von X gleich n mal p) (!E von X gleich n plus p) (!E von X gleich p durch n) (!E von X gleich n minus p)

Was beschreibt n in einem Binomialmodell? (Anzahl der Versuche) (!Trefferwahrscheinlichkeit) (!Beobachtete Trefferquote) (!Standardabweichung)

Was beschreibt p in einem Binomialmodell? (Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch) (!Anzahl der Versuche) (!Sichere Trefferzahl) (!Anzahl der Simulationen)

Für n gleich 50 und p gleich 0 Komma 2 ist der Erwartungswert? (10) (!2) (!25) (!50)

Was bedeutet ein Erwartungswert von 7 Komma 5 Treffern? (Langfristig liegt die mittlere Trefferzahl bei 7 Komma 5) (!Jede Serie hat genau 8 Treffer) (!Jede Serie hat genau 7 Treffer) (!Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 7 Komma 5 Prozent)

Eine Simulation liegt drei Treffer unter dem Erwartungswert. Was folgt sicher? (Die beobachtete Trefferzahl ist um drei kleiner als der Erwartungswert) (!Das Binomialmodell ist falsch) (!Die Trefferwahrscheinlichkeit ist null) (!Die nächste Simulation liegt drei Treffer darüber)

Was passiert mit dem Erwartungswert wenn n verdoppelt und p konstant bleibt? (Er verdoppelt sich) (!Er halbiert sich) (!Er bleibt gleich) (!Er wird null)

Welche Aussage über einzelne Simulationen ist richtig? (Sie können vom Erwartungswert abweichen) (!Sie ergeben immer den Erwartungswert) (!Sie sind immer größer als der Erwartungswert) (!Sie sind immer kleiner als der Erwartungswert)

Wie bestimmt man p aus E von X und n? (p gleich E von X geteilt durch n) (!p gleich n geteilt durch E von X) (!p gleich E von X mal n) (!p gleich n minus E von X)

Welche Bedingung gehört zum Binomialmodell? (Konstante Trefferwahrscheinlichkeit) (!Ständig wechselnde Trefferwahrscheinlichkeit) (!Beliebig viele Ausgänge pro Versuch) (!Abhängigkeit aller Versuche)

Memory

Erwartungswert	langfristige mittlere Trefferzahl
Parameter n	Anzahl der Versuche
Parameter p	Trefferwahrscheinlichkeit
Simulation	konkrete zufällige Realisierung
Abweichung	Differenz zur theoretischen Mitte
Standardabweichung	Maß für typische Streuung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Versuchsanzahl	Parameter n
Trefferwahrscheinlichkeit	Parameter p
Erwartungswert	Produkt aus n und p
Beobachtung	konkrete Trefferzahl
Langfristiger Mittelwert	theoretische Deutung

Kreuzworträtsel

Erwartungswert	Wie heißt der langfristige Mittelwert einer Zufallsgröße?
Trefferzahl	Welche Anzahl beschreibt X im Binomialmodell?
Parameter	Wie nennt man n und p gemeinsam?
Simulation	Wie heißt eine rechnerische Nachbildung zufälliger Versuche?
Binomial	Welcher Verteilungstyp liegt bei wiederholten Bernoulli-Versuchen vor?
Abweichung	Wie heißt die Differenz zwischen Beobachtung und theoretischer Mitte?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße gilt für den Erwartungswert . Der Parameter $n$ beschreibt die . Der Parameter $p$ beschreibt die . Eine einzelne simulierte Trefferzahl kann vom abweichen. Ein nicht-ganzzahliger Erwartungswert ist als langfristiger sinnvoll. Werden sehr viele gleichartige Serien simuliert, nähert sich der Mittelwert der beobachteten Trefferzahlen typischerweise dem .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Formelkarte: Gestalte eine Lernkarte mit $E(X)=np$, der Bedeutung aller Größen und einem eigenen Beispiel.
2. Mini-Simulation: Simuliere zehn Serien eines einfachen Bernoulli-Experiments ohne personenbezogene Daten und vergleiche die Trefferzahlen mit $E(X)$.
3. Fehlerposter: Stelle drei typische Fehlinterpretationen des Erwartungswertes mit Korrektur gegenüber.
4. Bildanalyse: Beschreibe an einem Binomialhistogramm, wo Du den Erwartungswert ungefähr erwartest und warum.

Standard

1. Sachmodell: Erfinde eine realistische Binomialsituation, bestimme $n$, $p$ und $E(X)$ und begründe die Modellannahmen.
2. Simulationsvergleich: Führe Simulationen mit $20$, $100$ und $1000$ Serien durch und untersuche, wie sich der Mittelwert der Trefferzahlen verändert.
3. Erklärclip: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, das den Unterschied zwischen Erwartungswert und beobachteter Trefferzahl erklärt.
4. Parameterexperiment: Halte $n$ konstant, variiere $p$ und dokumentiere die Wirkung auf $E(X)$ und das Histogramm.

Schwer

1. Herleitung: Begründe mit Indikatorvariablen, warum bei einer Binomialverteilung $E(X)=np$ gilt.
2. Streuungsvergleich: Vergleiche zwei Binomialmodelle mit demselben Erwartungswert, aber unterschiedlicher Streuung.
3. Modellprüfung: Entwickle Kriterien, wann beobachtete Simulationsergebnisse Anlass geben, die Annahme eines konstanten $p$ zu hinterfragen.
4. Transferaufgabe: Entwirf eine mehrteilige abiturähnliche Aufgabe, in der $E(X)$ berechnet, rückwärts nach einem Parameter aufgelöst und mit Simulationsdaten verglichen wird.

Lernkontrolle

1. Modellwahl begründen: Eine reale Situation liefert wechselnde Trefferwahrscheinlichkeiten. Erkläre, warum $E(X)=np$ möglicherweise nicht direkt anwendbar ist und welche Annahme verletzt ist.
2. Simulation interpretieren: Zwei Simulationen mit demselben $n$ und $p$ liefern unterschiedliche Trefferzahlen. Erkläre, warum das mit einem gemeinsamen Erwartungswert vereinbar ist.
3. Parameteränderung analysieren: Untersuche, wie sich $E(X)$ verändert, wenn $n$ verdreifacht und $p$ halbiert wird.
4. Rückwärtsmodellierung: Ein Prozess hat bei $n=200$ einen erwarteten Wert von $16$ Treffern. Bestimme $p$ und interpretiere den Wert.
5. Erwartungswert und Streuung: Zwei Modelle haben denselben Erwartungswert. Begründe, warum ihre Histogramme trotzdem unterschiedlich breit sein können.
6. Langzeitvergleich: Erkläre, warum der Mittelwert vieler simulierter Trefferzahlen näher an $E(X)$ liegen kann als einzelne Simulationsergebnisse.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du modellierst eine Situation als $X\sim B(n,p)$ und begründest die Voraussetzungen.
2. Du berechnest $E(X)=np$ korrekt.
3. Du deutest den Erwartungswert im Kontext als langfristigen Mittelwert der Trefferzahl.
4. Du vergleichst beobachtete Trefferzahlen sachgerecht mit $E(X)$.
5. Du vermeidest die Aussage, eine einzelne Serie müsse den Erwartungswert treffen.
6. Du kannst $E(X)=np$ nach einem fehlenden Parameter umstellen.
7. Im Leistungsfach kannst Du die Formel über Indikatorvariablen begründen und mit $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ einordnen.

OERs zum Thema

Wikimedia Commons:

1. Binomial distribution PDF.svg – freie Visualisierung mehrerer Binomialverteilungen.
2. Galton Box.svg – freie schematische Darstellung eines Galtonbretts.

Dynamische Mathematik:

1. GeoGebra: Histogramm und Erwartungswert
2. GeoGebra: Einfluss der Parameter n und p

Amtliche Orientierung:

1. Bildungspläne Baden-Württemberg
2. ZSL Baden-Württemberg

Wikipedia:

Folgekurs

Als nächsten Schritt bietet sich an:

$$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$$

und damit der Zusammenhang zwischen Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung und der Form des Binomialhistogramms. Danach folgen je nach Kurs und Prüfungsjahrgang Normalverteilung, Hypothesentest und weitere stochastische Modelle.

Verknüpfte Lernbereiche

Binomialverteilung Bernoulli-Experiment Zufallsgröße Erwartungswert Varianz Standardabweichung Histogramm Gesetz der großen Zahlen Stochastik