Wendepunkte und Wendestellen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 11-13, G-Niveau

Einleitung

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Graphen, an dem sich die Krümmung ändert: aus einer Rechtskurve wird eine Linkskurve oder umgekehrt.

Die Wendestelle ist nur die x-Koordinate $x_W$. Der Wendepunkt enthält beide Koordinaten:

$W(x_W\mid f(x_W))$

Anschauliche Bedeutung

Stell Dir vor, Du fährst mit dem Fahrrad durch eine Kurve. Zuerst lenkst Du nach rechts, danach nach links. Beim Wechsel liegt der Wendepunkt.

1. Linkskrümmung: $f^{″}(x)>0$
2. Rechtskrümmung: $f^{″}(x)<0$
3. Krümmungswechsel: Das Vorzeichen von $f^{″}$ ändert sich.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Die roten Kreise zeigen Extrempunkte. Die blauen Quadrate zeigen Wendepunkte. So erkennst Du: Ein Wendepunkt ist nicht dasselbe wie ein Hochpunkt oder Tiefpunkt.

Wendestellen berechnen

Gehe in vier Schritten vor:

1. Ableiten: Bilde $f^{\prime }(x)$, $f^{″}(x)$ und möglichst $f^{‴}(x)$.
2. Notwendige Bedingung: Löse $f^{″}(x)=0$.
3. Hinreichende Bedingung: Prüfe einen Vorzeichenwechsel von $f^{″}$ oder zeige $f^{‴}(x_W)\ne 0$.
4. Wendepunkt: Berechne $y_W=f(x_W)$.

Wichtig: Aus $f^{″}(x_W)=0$ allein folgt noch kein Wendepunkt.

Beispiel:

$f(x)=x^3-3x^2$

$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$

$f^{″}(x)=6x-6$

$f^{‴}(x)=6$

Aus $6x-6=0$ folgt $x_W=1$. Weil $f^{‴}(1)=6\ne 0$, liegt eine Wendestelle vor. Mit $f(1)=-2$ erhältst Du:

$W(1\mid -2)$

Gegenbeispiel und Sonderfall

Bei $f(x)=x^4$ gilt zwar $f^{″}(0)=0$. Die zweite Ableitung wechselt dort aber nicht das Vorzeichen. Deshalb liegt kein Wendepunkt vor.

Bei $f(x)=x^5$ ist $f^{‴}(0)=0$. Trotzdem wechselt $f^{″}$ das Vorzeichen. Deshalb ist $W(0\mid 0)$ ein Wendepunkt.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Zusätzlich gilt dann $f^{\prime }(x_W)=0$.

Datei:Point inflexion arctan.png

Lernvideo: Wendepunkte und Wendestellen

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Aufgaben zum Video

1. Videoanalyse: Notiere in einem Satz, wie das Video einen Wendepunkt erklärt.
2. Rechenweg: Schreibe die im Video genannten Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge auf.
3. Begriffe unterscheiden: Erkläre nach dem Video den Unterschied zwischen Wendestelle und Wendepunkt.
4. Bedingungen prüfen: Erkläre, warum $f^{″}(x)=0$ allein nicht genügt.
5. Eigenes Beispiel: Pausiere vor einer Beispielrechnung, rechne selbst weiter und vergleiche Deinen Weg mit dem Video.

Zweites Erklärvideo

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Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ändert sich an einem Wendepunkt? (Das Krümmungsverhalten) (!Der Definitionsbereich) (!Die Einheit der x-Achse) (!Der Funktionsname)

Was ist eine Wendestelle? (Die x-Koordinate eines Wendepunkts) (!Die y-Koordinate eines Hochpunkts) (!Die Steigung der x-Achse) (!Der gesamte Funktionsgraph)

Welche Gleichung liefert mögliche Wendestellen? (f von x gleich null) (!f von x gleich null) (!f' von x gleich null) (!x gleich f von x)

Welche Prüfung weist sicher einen Krümmungswechsel nach? (Ein Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung) (!Ein Vorzeichenwechsel der Funktion) (!Eine Nullstelle der ersten Ableitung) (!Ein positiver Funktionswert)

Wie erhältst Du die y-Koordinate eines Wendepunkts? (Durch Einsetzen der Wendestelle in die Ausgangsfunktion) (!Durch Einsetzen in die zweite Ableitung) (!Durch Verdoppeln der Wendestelle) (!Durch Nullsetzen der dritten Ableitung)

Was gilt bei f von xW gleich null und f' von xW ungleich null? (Bei xW liegt eine Wendestelle) (!Bei xW liegt immer ein Hochpunkt) (!Bei xW liegt immer eine Nullstelle) (!Die Funktion ist konstant)

Was zeigt f von x größer null? (Der Graph ist linksgekrümmt) (!Der Graph ist rechtsgekrümmt) (!Der Graph fällt immer) (!Der Graph hat keine Steigung)

Was zeigt f von x kleiner null? (Der Graph ist rechtsgekrümmt) (!Der Graph ist linksgekrümmt) (!Der Graph steigt immer) (!Der Graph liegt unter der x-Achse)

Welche zusätzliche Bedingung gilt bei einem Sattelpunkt? (Die erste Ableitung ist dort null) (!Die Funktion ist überall null) (!Die zweite Ableitung ist überall positiv) (!Die x-Koordinate ist immer eins)

Warum hat x hoch vier bei x gleich null keinen Wendepunkt? (Die zweite Ableitung wechselt dort nicht das Vorzeichen) (!Die Funktion besitzt keine Ableitung) (!Die Funktion besitzt keinen Graphen) (!Die dritte Ableitung ist positiv)

Memory

Wendestelle	x-Koordinate
Wendepunkt	Punkt auf dem Graphen
Zweite Ableitung	Krümmungsverhalten
Vorzeichenwechsel	sicherer Nachweis
Sattelpunkt	waagerechte Wendetangente
Dritte Ableitung	schnelle Prüfung

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Wendestelle	x-Wert des Wendepunkts
Wendepunkt	Koordinatenpaar auf dem Graphen
Linkskrümmung	zweite Ableitung positiv
Rechtskrümmung	zweite Ableitung negativ
Sattelpunkt	Wendepunkt mit waagerechter Tangente

Kreuzworträtsel

Wendestelle	Wie heißt die x-Koordinate eines Wendepunkts?
Krümmung	Welche Eigenschaft des Graphen ändert sich?
Ableitung	Welches mathematische Werkzeug wird mehrfach gebildet?
Vorzeichen	Was muss bei der zweiten Ableitung wechseln?
Sattelpunkt	Wie heißt ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente?
Tangente	Welche Gerade berührt den Graphen am Wendepunkt?

Lückentext

Vervollständige den Text.

An einem Wendepunkt ändert sich die des Graphen. Die x-Koordinate heißt . Mögliche Wendestellen erhältst Du aus der Gleichung . Danach musst Du einen prüfen. Alternativ reicht häufig die Bedingung, dass die dritte Ableitung dort ist. Den y-Wert berechnest Du mit der . Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Graphenskizze: Zeichne eine S-Kurve und markiere einen möglichen Wendepunkt.
2. Begriffskarte: Gestalte eine Karte mit den Begriffen Wendestelle, Wendepunkt und Krümmung.
3. Kurvenfahrt: Erkläre den Krümmungswechsel mit dem Beispiel einer Fahrradfahrt.
4. Videozusammenfassung: Fasse das Lernvideo in höchstens fünf einfachen Sätzen zusammen.

Standard

1. Wendepunkt berechnen: Bestimme den Wendepunkt von $f(x)=x^3-6x^2+9x$.
2. Vorzeichentabelle: Untersuche $f(x)=x^4-4x^3$ mit einer Vorzeichentabelle für $f^{″}$.
3. Fehleranalyse: Eine Person behauptet, jede Nullstelle von $f^{″}$ sei eine Wendestelle. Widerlege die Aussage.
4. Wendetangente: Berechne die Wendetangente von $f(x)=x^3$ im Ursprung.

Schwer

1. Parameterfunktion: Untersuche $f_a(x)=x^3+ax$ auf Wendepunkt und Wendetangente.
2. Modellierung: Erfinde einen Sachzusammenhang, in dem ein Wendepunkt eine stärkste Zu- oder Abnahme beschreibt.
3. Gegenbeispiel: Vergleiche $x^4$ und $x^5$ bei $x=0$.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Video, das notwendige und hinreichende Bedingungen unterscheidet.

Lernkontrolle

1. Strategiewahl: Entscheide bei $f(x)=x^5$, ob die Prüfung mit der dritten Ableitung genügt. Begründe Deine Wahl.
2. Graph und Ableitung: Erkläre, wie ein Wendepunkt von $f$ mit einem Extrempunkt von $f^{\prime }$ zusammenhängt.
3. Fehler korrigieren: Prüfe die Aussage „Aus $f^{″}(2)=0$ folgt der Wendepunkt $W(2\mid 0)$“ und verbessere sie.
4. Transfer: Beschreibe, was ein Wendepunkt in einem Graphen zur Wachstumsgeschwindigkeit einer Population bedeuten kann.
5. Vergleich: Unterscheide Extrempunkt, Wendepunkt und Sattelpunkt anhand von Steigung und Krümmung.
6. Begründung: Erkläre ohne Rechnung, warum ein sichtbarer Wechsel von Links- zu Rechtskrümmung einen Wendepunkt zeigt.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du:

1. den Unterschied zwischen Wendestelle und Wendepunkt erklären,
2. die zweite und dritte Ableitung bilden,
3. mögliche Wendestellen berechnen,
4. einen Vorzeichenwechsel prüfen,
5. Wendepunkte mit beiden Koordinaten angeben,
6. einen Sattelpunkt erkennen,
7. einen Rechenweg verständlich begründen.

Links

Wendepunkte und Wendestellen Wendepunkt Wendestelle Krümmung Differentialrechnung Zweite Ableitung Dritte Ableitung Wendetangente Sattelpunkt Kurvendiskussion