Ungleichungen lösen

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 9-10, G-Niveau

Ungleichungen lösen

Fach: Mathematik | Klassen: 7–11

Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme. Du suchst alle Zahlen, für die der Vergleich stimmt.

Zwei Zahlen werden auf der Zahlengeraden verglichen.

Einleitung

Bei einer Gleichung steht ein Gleichheitszeichen. Bei einer Ungleichung stehen Zeichen wie <, >, ≤ oder ≥.

Zeichen	Bedeutung
<	kleiner als
>	größer als
≤	kleiner oder gleich
≥	größer oder gleich

Vier ist größer als zwei.

Vier ist größer als zwei.

So löst Du eine lineare Ungleichung

Du formst die Ungleichung ähnlich wie eine Gleichung um.

1. Vereinfache beide Seiten.
2. Bringe die Variable auf eine Seite.
3. Bringe die Zahlen auf die andere Seite.
4. Teile durch die Zahl vor der Variablen.
5. Gib die Lösungsmenge an und mache eine Probe.

Wichtige Regel: Multiplizierst oder dividierst Du beide Seiten durch eine negative Zahl, musst Du das Vergleichszeichen umdrehen.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl kehrt sich die Ordnung um.

Beispiel 1:

$2x+3<11$

$2x<8$

$x<4$

Beispiel 2:

$-3x\le 12$

Durch $-3$ teilen und das Zeichen umdrehen:

$x\ge -4$

Lösungsmenge und Zahlengerade

Eine Ungleichung hat oft viele Lösungen. Bei $x<4$ gehören zum Beispiel 3, 0 und −10 zur Lösung. Die 4 gehört nicht dazu.

$L=\{x\mid x<4\}$

Auf der Zahlengerade zeigt ein offener Punkt: Die Grenze gehört nicht dazu. Ein ausgefüllter Punkt zeigt: Die Grenze gehört dazu.

Darstellung der Lösung −1 kleiner x kleiner oder gleich 4.

Darstellung der Lösung −1 kleiner x kleiner oder gleich 4.

Die reelle Zahlengerade.

Die reelle Zahlengerade.

Lernvideo

Sieh Dir das Video an. Achte besonders auf die Umkehrregel bei negativen Zahlen.

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Aufgaben zum Video

1. Vergleichszeichen: Notiere die vier Vergleichszeichen aus dem Video und schreibe ihre Bedeutung dazu.
2. Lösungsweg: Schreibe die Schritte zum Lösen einer Ungleichung in eigenen Worten auf.
3. Umkehrregel: Erkläre, wann und warum das Vergleichszeichen umgedreht wird.
4. Rechenaufgabe: Löse $2x+3<11$ wie im Video und gib die Lösungsmenge an.
5. Negative Zahl: Löse $-3x\le 12$. Markiere den Schritt, an dem Du das Zeichen umdrehst.
6. Probe: Prüfe für jede Lösung eine passende und eine unpassende Zahl.
7. Eigene Aufgabe: Erfinde eine lineare Ungleichung, löse sie und erkläre den Lösungsweg in einem kurzen Audio oder Video.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welches Zeichen bedeutet kleiner als? (<) (!>) (!=) (!≥)

Welche Lösung hat x plus 4 kleiner als 9? (x kleiner als 5) (!x größer als 5) (!x kleiner als 13) (!x gleich 5)

Welche Lösung hat x minus 3 größer oder gleich 2? (x größer oder gleich 5) (!x kleiner oder gleich 5) (!x größer oder gleich minus 1) (!x gleich 6)

Welche Lösung hat 2x kleiner oder gleich 10? (x kleiner oder gleich 5) (!x größer oder gleich 5) (!x kleiner oder gleich 8) (!x gleich 20)

Welche Lösung hat minus 2x kleiner als 6? (x größer als minus 3) (!x kleiner als minus 3) (!x größer als 3) (!x kleiner als 12)

Wann muss das Vergleichszeichen umgedreht werden? (Beim Multiplizieren oder Dividieren mit einer negativen Zahl) (!Beim Addieren einer positiven Zahl) (!Beim Subtrahieren derselben Zahl) (!Bei jeder Probe)

Was bedeutet die Lösungsmenge x größer als 2? (Alle Zahlen größer als 2) (!Nur die Zahl 2) (!Alle Zahlen kleiner als 2) (!Nur ganze Zahlen größer als 2)

Ist 4 eine Lösung von x kleiner oder gleich 4? (Ja) (!Nein) (!Nur bei negativen Zahlen) (!Das kann man nicht prüfen)

Welche Lösung hat 3x plus 1 größer als 7? (x größer als 2) (!x kleiner als 2) (!x größer als 6) (!x gleich 8)

Wie kannst Du eine gefundene Lösung prüfen? (Du setzt einen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein) (!Du drehst immer das Zeichen um) (!Du löschst die Variable) (!Du addierst beide Seiten)

Memory

Ungleichung	Vergleich zweier Terme
Lösungsmenge	Alle passenden Zahlen
Äquivalenzumformung	Gleiche Operation auf beiden Seiten
Negativer Faktor	Vergleichszeichen wird umgedreht
Zahlengerade	Bild der Lösungen
Probe	Einsetzen eines Wertes

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Wirkung auf das Vergleichszeichen
Addition auf beiden Seiten	Zeichen bleibt gleich
Subtraktion auf beiden Seiten	Zeichen bleibt gleich
Multiplikation mit positiver Zahl	Zeichen bleibt gleich
Division durch negative Zahl	Zeichen wird umgedreht
Einsetzen eines Wertes	Lösung wird geprüft

Kreuzworträtsel

Ungleichung	Wie heißt ein Vergleich von zwei Termen mit kleiner oder größer?
Lösungsmenge	Wie heißen alle Zahlen, die eine Ungleichung erfüllen?
Zahlengerade	Wo kann man Lösungen als Punkte und Pfeile darstellen?
Umkehrregel	Welche Regel gilt beim Teilen durch eine negative Zahl?
Probe	Wie heißt das Prüfen durch Einsetzen?
Vergleichszeichen	Wie heißen die Zeichen kleiner, größer, kleiner gleich und größer gleich gemeinsam?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine Ungleichung vergleicht zwei . Zwischen ihnen steht ein . Bei einer Äquivalenzumformung führst Du dieselbe Rechenoperation auf beiden aus. Beim Multiplizieren oder Dividieren durch eine negative Zahl wird das Zeichen . Alle passenden Zahlen bilden die . Durch eine kannst Du einen Wert prüfen.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Zeichenkarte: Gestalte eine Karte mit <, >, ≤ und ≥ und je einem Beispiel.
2. Zahlengerade: Zeichne die Lösung $x<3$ auf einer Zahlengeraden.
3. Probe: Prüfe, ob 2 und 6 die Ungleichung $x+1<5$ erfüllen.
4. Fehlersuche: Finde den Fehler in $-2x<8\Rightarrow x<-4$ und verbessere ihn.

Standard

1. Rechenweg: Löse $4x-5\ge 11$ und erkläre jeden Schritt.
2. Alltagssituation: Formuliere zu „Du darfst höchstens 20 Euro ausgeben“ eine Ungleichung.
3. Erklärvideo: Produziere ein Video von höchstens zwei Minuten zur Umkehrregel.
4. Partneraufgabe: Tauscht selbst erfundene Ungleichungen aus, löst sie und gebt Euch Rückmeldung.

Schwer

1. Doppelte Ungleichung: Löse $-2<3x+1\le 10$ und zeichne die Lösung.
2. Parameter: Untersuche, wie sich die Lösung von $ax<6$ für positives, negatives und nullwertiges $a$ ändert.
3. Modellieren: Entwickle eine Alltagssituation zu $5+2x\le 25$ und deute die Lösung.
4. Vergleich: Erkläre Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Gleichung und Ungleichung an eigenen Beispielen.

Lernkontrolle

1. Budget planen: Ein Eintritt kostet 5 Euro, jede Fahrt 2 Euro. Du hast höchstens 25 Euro. Stelle eine Ungleichung auf, löse sie und deute das Ergebnis.
2. Aufzug: Ein Aufzug trägt höchstens 480 Kilogramm. Eine Person wiegt im Modell 75 Kilogramm. Bestimme mit einer Ungleichung, wie viele Personen höchstens mitfahren dürfen, und erkläre die Rundung.
3. Fehleranalyse: Eine Person löst $-4x>12$ zu $x>-3$. Erkläre den Fehler und verbessere die Lösung.
4. Darstellungen vergleichen: Stelle $x\le 2$ als Mengenschreibweise, in Worten und auf einer Zahlengeraden dar. Erkläre, wie die drei Formen zusammenhängen.
5. Transfer: Vergleiche die Lösungen von $2x<8$ und $-2x<8$. Erkläre, warum die Lösungsrichtungen verschieden sind.
6. Eigene Modellierung: Erfinde eine reale Situation mit einer Mindestgrenze. Formuliere und löse die passende Ungleichung.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Vergleichszeichen sicher liest,
2. lineare Ungleichungen schrittweise löst,
3. die Umkehrregel richtig anwendest,
4. eine Lösungsmenge angibst und auf der Zahlengeraden darstellst,
5. Lösungen durch Einsetzen prüfst,
6. Ungleichungen in Alltagssituationen nutzt.

Links

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