Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Diesen aiMOOC als Battle spielen: Mathematik, Klasse 7-8, G-Niveau

Einleitung

Mit der Trigonometrie kannst Du in einem rechtwinkligen Dreieck fehlende Seiten und Winkel berechnen. Dafür nutzt Du vor allem Sinus, Kosinus und Tangens.

Lernbereiche

1. Mathematik
2. Geometrie
3. Trigonometrie
4. Rechtwinkliges Dreieck
5. Klasse 8 bis Klasse 13

Lernziele

Du lernst:

1. Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete zu erkennen.
2. Sinus, Kosinus und Tangens richtig auszuwählen.
3. Seiten und Winkel mit dem Taschenrechner zu berechnen.
4. Anwendungen wie Leitern, Steigungen und Höhen zu untersuchen.

Grundwissen

Die Seiten des Dreiecks

Die Hypotenuse liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist die längste Seite.

Die Ankathete liegt am betrachteten Winkel. Die Gegenkathete liegt diesem Winkel gegenüber.

Die drei wichtigsten Formeln

Für einen Winkel $\alpha$ gilt:

$\sin (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos (\alpha )=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan (\alpha )=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Merke: Welche Kathete Ankathete oder Gegenkathete ist, hängt vom betrachteten Winkel ab.

Ein kurzes Beispiel

Ein Dreieck hat zur Ecke $\alpha$ die Gegenkathete 3 cm, die Ankathete 4 cm und die Hypotenuse 5 cm.

$\sin (\alpha )=\frac{3}{5}=\mathrm{0,6}$

$\cos (\alpha )=\frac{4}{5}=\mathrm{0,8}$

$\tan (\alpha )=\frac{3}{4}=\mathrm{0,75}$

Mit der Umkehrfunktion erhältst Du:

$\alpha ={\sin }^{-1}(\mathrm{0,6})\approx \mathrm{36,}{9}^{\circ }$

Achte darauf, dass Dein Taschenrechner auf Grad eingestellt ist.

Video: Planet Schule

Das Video erklärt den Einheitskreis, die Seiten im rechtwinkligen Dreieck sowie Sinus, Kosinus und Tangens.

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Fortfahren Ausblenden

Eine frei nutzbare Fassung des Lernvideos ist auch bei Wikimedia Commons verfügbar:

Datei:Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck - kolleg24 Mathematik.webm

Aufgaben zum Video

1. Vorwissen aktivieren: Zeichne vor dem Video ein rechtwinkliges Dreieck und beschrifte den rechten Winkel.
2. Seiten erkennen: Notiere während des Videos die Erklärungen zu Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
3. Formeln sichern: Schreibe die drei Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens auf.
4. Einheitskreis erklären: Formuliere in zwei einfachen Sätzen, was der Einheitskreis mit Sinus und Kosinus zu tun hat.
5. Anwendung finden: Nenne ein Beispiel aus dem Video, bei dem Trigonometrie im Alltag genutzt wird.
6. Video prüfen: Wähle eine Rechnung aus dem Video und rechne sie selbst nach.

Der Einheitskreis

Der Einheitskreis hat den Radius 1. Am Einheitskreis ist der Kosinus die waagerechte Koordinate und der Sinus die senkrechte Koordinate eines Punktes.

Aus dem Satz des Pythagoras folgt:

${\sin }^2(\alpha )+{\cos }^2(\alpha )=1$

Anwendungen

Trigonometrie hilft Dir bei:

1. Höhenmessung: Höhe eines Baumes oder Gebäudes bestimmen.
2. Steigung: Neigung einer Straße oder Rampe untersuchen.
3. Entfernungsmessung: Unzugängliche Strecken berechnen.
4. Technik: Kräfte, Winkel und Bauteile planen.

Der Tangens beschreibt auch eine Steigung:

$\tan (\alpha )=\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{waagerechte Strecke}}$

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? (Hypotenuse) (!Ankathete) (!Gegenkathete) (!Winkelhalbierende)

Wie groß ist ein rechter Winkel? (90 Grad) (!45 Grad) (!100 Grad) (!180 Grad)

Welches Seitenverhältnis beschreibt den Sinus? (Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) (!Ankathete geteilt durch Hypotenuse) (!Gegenkathete geteilt durch Ankathete) (!Hypotenuse geteilt durch Gegenkathete)

Welches Seitenverhältnis beschreibt den Kosinus? (Ankathete geteilt durch Hypotenuse) (!Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) (!Gegenkathete geteilt durch Ankathete) (!Hypotenuse geteilt durch Ankathete)

Welches Seitenverhältnis beschreibt den Tangens? (Gegenkathete geteilt durch Ankathete) (!Ankathete geteilt durch Hypotenuse) (!Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse) (!Hypotenuse geteilt durch Gegenkathete)

Welche Seite ist im rechtwinkligen Dreieck die längste? (Hypotenuse) (!Ankathete) (!Gegenkathete) (!Höhe)

Welche Taste wird für einen Winkel aus einem Sinuswert genutzt? (Umkehrfunktion des Sinus) (!Quadratwurzel) (!Logarithmus) (!Prozenttaste)

Welche Einstellung braucht der Taschenrechner bei Winkelangaben in Grad? (Gradmodus) (!Bogenmaßmodus) (!Statistikmodus) (!Bruchmodus)

Was beschreibt der Tangens bei einer Straße? (Steigung) (!Flächeninhalt) (!Umfang) (!Geschwindigkeit)

Welche Gleichung gilt am Einheitskreis? (Sinusquadrat plus Kosinusquadrat gleich eins) (!Sinus plus Kosinus gleich null) (!Tangensquadrat gleich eins) (!Sinus mal Kosinus gleich zwei)

Memory

Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Ankathete	Kathete am betrachteten Winkel
Gegenkathete	Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel
Sinus	Gegenkathete durch Hypotenuse
Kosinus	Ankathete durch Hypotenuse
Tangens	Gegenkathete durch Ankathete

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Sinus	Verhältnis aus Gegenkathete und Hypotenuse
Kosinus	Verhältnis aus Ankathete und Hypotenuse
Tangens	Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Einheitskreis	Kreis mit dem Radius eins

Kreuzworträtsel

Hypotenuse	Wie heißt die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck?
Ankathete	Welche Kathete liegt am betrachteten Winkel?
Gegenkathete	Welche Kathete liegt dem betrachteten Winkel gegenüber?
Sinus	Welche Funktion nutzt Gegenkathete und Hypotenuse?
Kosinus	Welche Funktion nutzt Ankathete und Hypotenuse?
Tangens	Welche Funktion beschreibt Gegenkathete durch Ankathete?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein rechtwinkliges Dreieck besitzt einen Winkel von .

Die längste Seite heißt .

Die Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel heißt .

Die Kathete am betrachteten Winkel heißt .

Der Sinus ist Gegenkathete geteilt durch .

Der Kosinus ist Ankathete geteilt durch .

Der Tangens ist Gegenkathete geteilt durch .

Der Einheitskreis hat den Radius .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Videonotizen: Sieh das Planet-Schule-Video an und notiere fünf wichtige Begriffe.
2. Dreieck beschriften: Zeichne drei rechtwinklige Dreiecke und markiere jeweils Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
3. Formelkarte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit Sinus, Kosinus und Tangens.
4. Fotoprojekt: Fotografiere eine Leiter, Rampe oder Treppe und markiere darin ein rechtwinkliges Dreieck.

Standard

1. Videozusammenfassung: Erkläre den Inhalt des Videos in höchstens acht einfachen Sätzen.
2. Messaufgabe: Miss an einer Zeichnung zwei Seiten und berechne einen Winkel.
3. Schattenmessung: Miss Schatten und Höhe eines Gegenstandes und untersuche das entstehende Dreieck.
4. Wertetabelle: Berechne Sinus, Kosinus und Tangens für fünf verschiedene Winkel.

Schwer

1. Ähnliche Dreiecke: Erkläre, warum gleich große Winkel zu gleichen Seitenverhältnissen führen.
2. Einheitskreis-Modell: Baue oder zeichne einen Einheitskreis und zeige Sinus und Kosinus.
3. Straßensteigung: Untersuche den Zusammenhang zwischen Prozentsteigung und Steigungswinkel.
4. Erklärvideo: Erstelle ein eigenes kurzes Lernvideo mit einer Beispielrechnung und vergleiche es mit dem Planet-Schule-Video.

Lernkontrolle

1. Leiterproblem: Eine Leiter lehnt an einer Wand. Entscheide, welche trigonometrische Funktion Du für die Höhe brauchst, und begründe Deine Wahl.
2. Fehleranalyse: Eine Person verwechselt Ankathete und Gegenkathete. Erkläre den Fehler und verbessere die Rechnung.
3. Funktionswahl: Entwickle eine Regel, mit der Du zwischen Sinus, Kosinus und Tangens auswählst.
4. Modellvergleich: Vergleiche eine trigonometrische Lösung mit einer maßstäblichen Zeichnung. Beurteile mögliche Abweichungen.
5. Steigung übertragen: Erkläre, wie aus einer Straßensteigung ein rechtwinkliges Dreieck entsteht und wie daraus der Winkel berechnet wird.
6. Video-Transfer: Übertrage eine Idee aus dem Planet-Schule-Video auf ein selbst gewähltes Alltagsproblem.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:

1. die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sicher benennen kannst.
2. Sinus, Kosinus und Tangens passend auswählst.
3. fehlende Seiten und Winkel berechnest.
4. Ergebnisse mit Einheit und sinnvoller Rundung angibst.
5. Deine Rechenwege verständlich erklärst.
6. Trigonometrie auf ein Alltagsproblem überträgst.

Links

Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Hypotenuse Kathete Sinus Kosinus Tangens Einheitskreis Satz des Pythagoras Steigung