Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus, Kosinus und Tangens
Einleitung
Mit Sinus, Kosinus und Tangens kannst Du in einem rechtwinkligen Dreieck fehlende Seiten und Winkel berechnen. Du brauchst dafür die drei Seitenbegriffe Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
Die Seiten im Dreieck
- Hypotenuse: Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite.
- Ankathete: Sie liegt direkt am betrachteten Winkel.
- Gegenkathete: Sie liegt dem betrachteten Winkel gegenüber.
Wichtig: Ankathete und Gegenkathete hängen davon ab, welchen Winkel Du betrachtest.
Die drei Formeln
| Funktion | Formel | Verwendete Seiten |
|---|---|---|
| Sinus | Gegenkathete und Hypotenuse | |
| Kosinus | Ankathete und Hypotenuse | |
| Tangens | Gegenkathete und Ankathete |
Merksatz: Prüfe zuerst, welche zwei Seiten gegeben oder gesucht sind. Stelle Deinen Taschenrechner bei Winkelaufgaben auf DEG oder Gradmaß.
Kurzes Beispiel
Die Hypotenuse ist 10 cm lang. Der Winkel beträgt 30°. Gesucht ist die Gegenkathete.
Lernvideo: Sine, Cosine, Tangent
Aufgaben zum Video
- Video-Notizen: Schreibe die drei Formeln aus dem Video auf.
- Dreieck beschriften: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und markiere Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete.
- Funktionswahl: Erkläre, wann Du Sinus, Kosinus oder Tangens verwendest.
- Standbild erklären: Pausiere bei einer Dreiecksgrafik und erkläre sie mit eigenen Worten.
- Eigenes Beispiel: Erfinde eine Aufgabe mit einem Winkel und zwei Seiten. Löse sie mit einer Formel aus dem Video.
Vom Dreieck zum Einheitskreis
Im Einheitskreis ist der Radius 1. Der Kosinus zeigt die waagerechte Koordinate, der Sinus die senkrechte Koordinate. So lassen sich Sinus und Kosinus auch für Winkel über 90° beschreiben.
Die Funktionsgraphen
Sinus und Kosinus bilden regelmäßige Wellen. Der Tangens besitzt Stellen, an denen er nicht definiert ist.
Freies Vertiefungsvideo
Datei:Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck - kolleg24 Mathematik.webm
Interaktive Aufgaben
Quiz: Teste Dein Wissen
Wo liegt die Hypotenuse? (Gegenüber dem rechten Winkel) (!Direkt am rechten Winkel) (!Immer links im Dreieck) (!Immer unter dem Dreieck)
Welche Formel beschreibt den Sinus? (Gegenkathete durch Hypotenuse) (!Ankathete durch Hypotenuse) (!Gegenkathete durch Ankathete) (!Hypotenuse durch Gegenkathete)
Welche Formel beschreibt den Kosinus? (Ankathete durch Hypotenuse) (!Gegenkathete durch Hypotenuse) (!Gegenkathete durch Ankathete) (!Hypotenuse durch Ankathete)
Welche Formel beschreibt den Tangens? (Gegenkathete durch Ankathete) (!Ankathete durch Hypotenuse) (!Hypotenuse durch Gegenkathete) (!Ankathete durch Gegenkathete und Hypotenuse)
Welche Funktion nutzt Gegenkathete und Hypotenuse? (Sinus) (!Kosinus) (!Tangens) (!Quadratwurzel)
Welche Funktion nutzt Ankathete und Hypotenuse? (Kosinus) (!Sinus) (!Tangens) (!Prozentrechnung)
Welche Funktion nutzt die beiden Katheten? (Tangens) (!Sinus) (!Kosinus) (!Pythagoraszahl)
Welchen Wert hat der Sinus von 30 Grad? (0,5) (!0) (!1) (!2)
Welchen Wert hat der Tangens von 45 Grad? (1) (!0) (!0,5) (!2)
Welche Taschenrechner-Einstellung brauchst Du für Winkel in Grad? (DEG) (!RAD) (!STAT) (!BASE)
Memory
| Sinus | Verhältnis aus gegenüberliegender Kathete und längster Seite |
| Kosinus | Verhältnis aus anliegender Kathete und längster Seite |
| Tangens | Verhältnis der beiden Katheten |
| Hypotenuse | Seite gegenüber dem rechten Winkel |
| Ankathete | Seite direkt am betrachteten Winkel |
| Gegenkathete | Seite gegenüber dem betrachteten Winkel |
Drag and Drop
| Ordne die richtigen Begriffe zu. | Bedeutung |
|---|---|
| Sinus | verbindet Gegenkathete und Hypotenuse |
| Kosinus | verbindet Ankathete und Hypotenuse |
| Tangens | verbindet Gegenkathete und Ankathete |
| Gradmaß | wird am Taschenrechner als DEG angezeigt |
| Umkehrfunktion | berechnet einen Winkel aus einem Seitenverhältnis |
Kreuzworträtsel
| Hypotenuse | Wie heißt die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck? |
| Ankathete | Wie heißt die Kathete direkt am betrachteten Winkel? |
| Gegenkathete | Wie heißt die Kathete gegenüber dem betrachteten Winkel? |
| Sinus | Welche Funktion verbindet Gegenkathete und Hypotenuse? |
| Kosinus | Welche Funktion verbindet Ankathete und Hypotenuse? |
| Tangens | Welche Funktion verbindet die beiden Katheten? |
LearningApps
Lückentext
Offene Aufgaben
Leicht
- Formelkarte: Gestalte eine kleine Karte mit den drei Formeln.
- Begriffsskizze: Zeichne ein Dreieck und beschrifte alle Seiten.
- Video-Zusammenfassung: Fasse das Lernvideo in fünf einfachen Sätzen zusammen.
- Taschenrechner-Test: Berechne Sinus, Kosinus und Tangens für 30°, 45° und 60°.
Standard
- Funktionsentscheidung: Erfinde drei Dreiecke, bei denen jeweils eine andere Funktion gebraucht wird.
- Leiteraufgabe: Zeichne eine Leiter an einer Wand und berechne eine fehlende Länge.
- Fehleranalyse: Erstelle eine falsche Rechnung und erkläre anschließend den Fehler.
- Erklärbild: Gestalte ein Lernplakat mit Dreieck, Formeln und einem Beispiel.
Schwer
- Höhenmessung: Bestimme mithilfe eines gemessenen Winkels ungefähr die Höhe eines Gebäudes oder Baumes.
- Einheitskreis-Modell: Baue ein Modell, das Sinus und Kosinus am Einheitskreis zeigt.
- Graphenvergleich: Vergleiche die Graphen von Sinus, Kosinus und Tangens.
- Eigenes Lernvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo mit Beispiel und Kontrollfrage.
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Lernkontrolle
- Passende Funktion begründen: Entscheide bei drei neuen Dreiecksaufgaben, welche Funktion passt, und begründe Deine Wahl.
- Fehler untersuchen: Eine Person verwechselt Ankathete und Gegenkathete. Erkläre, wie sich dadurch das Ergebnis verändert.
- Messproblem lösen: Plane eine Methode, mit der Du die Höhe eines schwer erreichbaren Gegenstands berechnen kannst.
- Zwei Lösungswege: Löse eine Dreiecksaufgabe zuerst trigonometrisch und prüfe sie anschließend mit dem Satz des Pythagoras.
- Dreieck und Einheitskreis verbinden: Erkläre, warum Sinus und Kosinus im Einheitskreis als Koordinaten erscheinen.
Lernnachweis
Für Deinen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du:
- die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sicher erkennst,
- die passende trigonometrische Funktion auswählst,
- Seiten und Winkel mit dem Taschenrechner berechnest,
- Deinen Rechenweg verständlich erklärst,
- eine reale Messaufgabe auf ein rechtwinkliges Dreieck überträgst.
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