Dieses Quiz als Battle spielen: Deutsch, Klasse 7-8, G-Niveau

Quadratische Funktionen · Allgemeine Form und Scheitelpunktform

Einleitung

Eine quadratische Funktion hat als Graphen eine Parabel. Dieselbe Funktion kann verschieden geschrieben werden. In diesem Kurs lernst Du die allgemeine Form und die Scheitelpunktform kennen. Du wandelst beide Formen ineinander um.

Video auf dem Planet-Schule-Kanal suchen

Datei:Allgemeine Form und Scheitelpunktform quadratischer Funktionen - kolleg24 Mathematik.webm

Freies Erklärvideo von ARD kolleg24, Lizenz CC BY-SA 4.0.

Lernziele

Du kannst nach diesem aiMOOC:

quadratische Funktionen erkennen.
die allgemeine Form und die Scheitelpunktform unterscheiden.
den Scheitelpunkt und den y-Achsenabschnitt ablesen.
beide Formen ineinander umwandeln.
eine Umformung durch Einsetzen oder Ausmultiplizieren prüfen.

Lernbereiche

Grundwissen

Die Parabel

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Die einfachste Parabel gehört zu $f (x) = x^{2}$ .

Der Wert $a$ bestimmt die Öffnung:

$a > 0$ : Die Parabel ist nach oben geöffnet.
$a < 0$ : Die Parabel ist nach unten geöffnet.
Ein großer Betrag von $a$ macht die Parabel schmaler.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form lautet:

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a \neq 0$

Der Wert $c$ ist der y-Achsenabschnitt, denn $f (0) = c$ .

Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform lautet:

$f (x) = a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$

Der Scheitelpunkt ist direkt ablesbar:

$S (x_{S} | y_{S})$

Achte auf das Vorzeichen in der Klammer:

$(x - 3)^{2}$ bedeutet $x_{S} = 3$ .
$(x + 3)^{2}$ bedeutet $x_{S} = - 3$ .

Von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form

Du löst die Klammer mit einer binomischen Formel auf und fasst zusammen.

$f (x) = 2 (x - 3)^{2} + 4$

$f (x) = 2 (x^{2} - 6 x + 9) + 4$

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 22$

Von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform

Du nutzt die quadratische Ergänzung.

$f (x) = x^{2} - 6 x + 4$

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 4$

$f (x) = (x - 3)^{2} - 5$

Damit ist der Scheitelpunkt $S (3 | - 5)$ .

Eine zweite Möglichkeit ist:

$x_{S} = - \frac{b}{2 a}$

Danach berechnest Du $y_{S} = f (x_{S})$ .

Merktabelle

Form	Funktionsterm	Gut ablesbar
Allgemeine Form	$a x^{2} + b x + c$	y-Achsenabschnitt $c$
Scheitelpunktform	$a (x - x_{S})^{2} + y_{S}$	Scheitelpunkt $S (x_{S} \| y_{S})$

Aufgaben zum Video

Sieh das Planet-Schule-Video an und bearbeite diese Aufgaben:

Darstellungsformen: Schreibe die allgemeine Form und die Scheitelpunktform aus dem Video ab.
Informationen ablesen: Erkläre, welche Information Du aus jeder Form direkt ablesen kannst.
Ausmultiplizieren: Wandle $f (x) = (x - 2)^{2} - 1$ in die allgemeine Form um.
Quadratische Ergänzung: Wandle $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ in die Scheitelpunktform um.
Vorzeichenregel: Erkläre, warum $(x + 3)^{2}$ zum Scheitelwert $x_{S} = - 3$ gehört.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion? (Parabel) (!Gerade) (!Kreis) (!Hyperbel)

Welche Gleichung zeigt die allgemeine Form? (f von x gleich a x Quadrat plus b x plus c) (!f von x gleich m x plus n) (!f von x gleich a geteilt durch x) (!f von x gleich x hoch drei)

Was zeigt der Wert c in der allgemeinen Form direkt? (Den y-Achsenabschnitt) (!Den Scheitelpunkt) (!Die Nullstellen) (!Die Symmetrieachse)

Welche Form zeigt den Scheitelpunkt direkt? (Die Scheitelpunktform) (!Die allgemeine Form) (!Die lineare Form) (!Die Bruchform)

Welchen Scheitelpunkt hat f von x gleich 2 mal x minus 3 zum Quadrat plus 4? (S bei x gleich 3 und y gleich 4) (!S bei x gleich minus 3 und y gleich 4) (!S bei x gleich 2 und y gleich 4) (!S bei x gleich 3 und y gleich minus 4)

Wie ist eine Parabel bei negativem a geöffnet? (Nach unten) (!Nach oben) (!Nach rechts) (!Nach links)

Wie berechnet man die x-Koordinate des Scheitelpunkts aus der allgemeinen Form? (Minus b geteilt durch 2a) (!b geteilt durch a) (!c geteilt durch 2) (!a plus b plus c)

Welche Methode führt von der allgemeinen Form zur Scheitelpunktform? (Quadratische Ergänzung) (!Polynomdivision) (!Dreisatz) (!Kreuzmultiplikation)

Welchen Scheitelpunkt hat f von x gleich x Quadrat minus 6x plus 4? (S bei x gleich 3 und y gleich minus 5) (!S bei x gleich minus 3 und y gleich 5) (!S bei x gleich 6 und y gleich 4) (!S bei x gleich 3 und y gleich 5)

Was entsteht aus x minus 2 zum Quadrat minus 1 nach dem Ausmultiplizieren? (x Quadrat minus 4x plus 3) (!x Quadrat minus 2x minus 1) (!x Quadrat plus 4x plus 3) (!x Quadrat minus 4x minus 3)

Memory

Allgemeine Form	ax² plus bx plus c
Scheitelpunktform	a mal x minus xS zum Quadrat plus yS
Koeffizient c	y-Achsenabschnitt
Koeffizient a	Öffnung und Breite
Quadratische Ergänzung	Umformung zur Scheitelpunktform
Scheitelpunkt	Höchster oder tiefster Punkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Klammer ausmultiplizieren	Scheitelpunktform zur allgemeinen Form
Quadratische Ergänzung	Allgemeine Form zur Scheitelpunktform
Wert c ablesen	y-Achsenabschnitt bestimmen
Werte xS und yS ablesen	Scheitelpunkt bestimmen
Vorzeichen von a prüfen	Öffnungsrichtung bestimmen

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph einer quadratischen Funktion?
Scheitelpunkt	Wie heißt der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel?
Koeffizient	Wie nennt man eine Zahl vor einer Variablen?
Ergaenzung	Welches Wort ergänzt den Ausdruck quadratische ...?
Symmetrieachse	Welche senkrechte Linie verläuft durch den Scheitelpunkt?
Ausmultiplizieren	Welche Rechenhandlung löst eine quadratische Klammer auf?

LearningApps

Lückentext

Offene Aufgaben

Leicht

Formenkarte: Gestalte eine Karte mit beiden Funktionsformen und den ablesbaren Informationen.
Parabel zeichnen: Zeichne $f (x) = (x - 1)^{2} - 2$ und markiere den Scheitelpunkt.
Parameter erklären: Erkläre die Aufgaben von $a$ und $c$ in einfachen Sätzen.
Mini-Beispiel: Erfinde eine Scheitelpunktform mit dem Scheitelpunkt $S (2 | 3)$ .

Standard

Video-Protokoll: Notiere drei wichtige Aussagen und ein Rechenbeispiel aus dem Video.
Fehler finden: Erkläre den Fehler in $(x - 4)^{2} = x^{2} - 16$ und verbessere ihn.
Partnerquiz: Erstelle fünf kurze Fragen zu beiden Formen und tausche sie mit einer anderen Person.
Funktionsvergleich: Vergleiche $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 (x - 3)^{2} + 1$ .

Schwer

Funktionsrekonstruktion: Bestimme eine Parabel mit Scheitelpunkt $S (2 | - 1)$ , die durch $P (3 | 1)$ verläuft.
Methodenvergleich: Bestimme den Scheitelpunkt von $f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 5$ auf zwei verschiedenen Wegen.
Sachmodell: Erfinde eine kurze Sachsituation, die durch eine nach unten geöffnete Parabel beschrieben wird.
Erklärvideo: Produziere ein zweiminütiges Video zur Umwandlung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform.

Lernkontrolle

Passende Form wählen: Für das Zeichnen, den y-Achsenabschnitt und den Scheitelpunkt stehen verschiedene Ziele fest. Entscheide jeweils, welche Form günstiger ist, und begründe Deine Wahl.
Fehleranalyse: Eine Person schreibt $x^{2} + 6 x + 4 = (x + 3)^{2} + 4$ . Prüfe die Aussage, beschreibe den Denkfehler und korrigiere das Ergebnis.
Funktion bestimmen: Eine Parabel hat den Scheitelpunkt $S (- 1 | 2)$ und geht durch $P (1 | 10)$ . Bestimme zuerst die Scheitelpunktform und danach die allgemeine Form.
Graphen vergleichen: Untersuche, wie sich die Graphen von $f (x) = 2 (x - 1)^{2} - 3$ und $g (x) = 2 (x + 2)^{2} + 1$ unterscheiden. Begründe ohne Wertetabelle.
Transferaufgabe: Der höchste Punkt eines parabelförmigen Bogens liegt bei $S (0 | 6)$ . Der Bogen geht durch $P (2 | 2)$ . Stelle eine passende Funktion auf und erkläre die Bedeutung von $a$ .

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis ist wichtig, dass Du:

beide Funktionsformen sicher erkennst.
den Scheitelpunkt, den y-Achsenabschnitt und die Öffnung erklärst.
die Scheitelpunktform ausmultiplizierst.
die allgemeine Form durch quadratische Ergänzung umwandelst.
Ergebnisse durch eine Probe kontrollierst.
für eine Aufgabe die passende Darstellungsform auswählst und Deine Wahl begründest.

OERs zum Thema

Planet Schule: Allgemeine Form und Scheitelpunktform

Planet Schule: Übungen

Freies Video auf Wikimedia Commons

Links

Quadratische Funktionen · Allgemeine Form und Scheitelpunktform

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Schulfach+

Prüfungsliteratur 2026
Bundesland	Bücher	Kurzbeschreibung
Baden-Württemberg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Mittlere Reife Der Markisenmann - Jan Weiler oder Als die Welt uns gehörte - Liz Kessler Ein Schatten wie ein Leopard - Myron Levoy oder Pampa Blues - Rolf Lappert	Abitur Dorfrichter-Komödie über Wahrheit/Schuld; Roman über einen Ort und deutsche Geschichte. Mittlere Reife Wahllektüren (Roadtrip-Vater-Sohn / Jugendroman im NS-Kontext / Coming-of-age / Provinzroman).
Bayern	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Lustspiel über Machtmissbrauch und Recht; Roman als Zeitschnitt deutscher Geschichte an einem Haus/Grundstück.
Berlin/Brandenburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Der Biberpelz - Gerhart Hauptmann Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Gerichtskomödie; soziales Drama um Ausbeutung/Armut; Komödie/Satire um Diebstahl und Obrigkeit; Roman über Erinnerungsräume und Umbrüche.
Bremen	Abitur Nach Mitternacht - Irmgard Keun Mario und der Zauberer - Thomas Mann Emilia Galotti - Gotthold Ephraim Lessing oder Miss Sara Sampson - Gotthold Ephraim Lessing	Abitur Roman in der NS-Zeit (Alltag, Anpassung, Angst); Novelle über Verführung/Massenpsychologie; bürgerliche Trauerspiele (Moral, Macht, Stand).
Hamburg	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun	Abitur Justiz-/Machtkritik als Komödie; Großstadtroman der Weimarer Zeit (Rollenbilder, Aufstiegsträume, soziale Realität).
Hessen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Prozess - Franz Kafka	Abitur Gerichtskomödie; Fragmentdrama über Gewalt/Entmenschlichung; Erinnerungsroman über deutsche Brüche; moderner Roman über Schuld, Macht und Bürokratie.
Niedersachsen	Abitur Der zerbrochene Krug - Heinrich von Kleist Das kunstseidene Mädchen - Irmgard Keun Die Marquise von O. - Heinrich von Kleist Über das Marionettentheater - Heinrich von Kleist	Abitur Schwerpunkt auf Drama/Roman sowie Kleist-Prosatext und Essay (Ehre, Gewalt, Unschuld; Ästhetik/„Anmut“).
Nordrhein-Westfalen	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Komödie über Wahrheit und Autorität; Roman als literarische „Geschichtsschichtung“ an einem Ort.
Saarland	Abitur Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Furor - Lutz Hübner und Sarah Nemitz Bahnwärter Thiel - Gerhart Hauptmann	Abitur Erinnerungsroman an einem Ort; zeitgenössisches Drama über Eskalation/Populismus; naturalistische Novelle (Pflicht/Überforderung/Abgrund).
Sachsen (berufliches Gymnasium)	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Woyzeck - Georg Büchner Irrungen, Wirrungen - Theodor Fontane Der gute Mensch von Sezuan - Bertolt Brecht Heimsuchung - Jenny Erpenbeck Der Trafikant - Robert Seethaler	Abitur Mischung aus Klassiker-Drama, sozialem Drama, realistischem Roman, epischem Theater und Gegenwarts-/Erinnerungsroman; zusätzlich Coming-of-age im historischen Kontext.
Sachsen-Anhalt	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Themenfelder)	Abitur Schwerpunktsetzung über Themenfelder (u. a. Literatur um 1900; Sprache in politisch-gesellschaftlichen Kontexten), ohne feste Einzeltitel.
Schleswig-Holstein	Abitur Der zerbrochne Krug - Heinrich von Kleist Heimsuchung - Jenny Erpenbeck	Abitur Recht/Gerechtigkeit und historische Tiefenschichten eines Ortes – umgesetzt über Drama und Gegenwartsroman.
Thüringen	Abitur (keine fest benannte landesweite Pflichtlektüre veröffentlicht; Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool)	Abitur In der Praxis häufig Orientierung am gemeinsamen Aufgabenpool; landesweite Einzeltitel je nach Vorgabe/Handreichung nicht einheitlich ausgewiesen.
Mecklenburg-Vorpommern	Abitur (Quelle aktuell technisch nicht abrufbar; Beteiligung am gemeinsamen Aufgabenpool bekannt)	Abitur Land beteiligt sich am länderübergreifenden Aufgabenpool; konkrete, veröffentlichte Einzeltitel konnten hier nicht ausgelesen werden.
Rheinland-Pfalz	Abitur (keine landesweit einheitliche Pflichtlektüre; schulische Auswahl)	Abitur Keine landesweite Einheitsliste; Auswahl kann schul-/kursbezogen erfolgen.