M9 M - Theoretische Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit vergleichen

M9 M - Theoretische Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit vergleichen

Mini-Beschreibung: Vergleiche berechnete Wahrscheinlichkeiten mit Ergebnissen realer beziehungsweise digital simulierter Zufallsexperimente. Du unterscheidest dabei konsequent zwischen theoretischer Wahrscheinlichkeit und tatsächlich beobachteter relativer Häufigkeit.

Zielgruppe: Mathematik, Klasse 9, Baden-Württemberg, M-Niveau.

Einleitung

Eine faire Münze hat für „Kopf“ die theoretische Wahrscheinlichkeit

$P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}=50\mathrm{\%}$.

Aber bekommst Du bei 20 Würfen wirklich genau 10-mal Kopf? Nicht unbedingt. Ein Zufallsexperiment liefert beobachtete Häufigkeiten. Diese können von der theoretischen Wahrscheinlichkeit abweichen.

Der zentrale Vergleich lautet:

Theorie $P(A)$   ↔   Experiment $h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}$

Dabei ist $H_n(A)$ die absolute Häufigkeit des Ereignisses $A$ bei $n$ Versuchen.

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Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Laplace-Experimenten berechnen.
2. absolute und relative Häufigkeiten aus Versuchsdaten bestimmen.
3. $P(A)$ und $h_n(A)$ fachsprachlich unterscheiden.
4. Versuchstabellen und Diagramme lesen, erstellen und vergleichen.
5. Zufallsexperimente real und digital simulieren.
6. eine Tabellenkalkulation zur Auswertung und Visualisierung einsetzen.
7. Abweichungen zwischen Theorie und Beobachtung begründet deuten.
8. digitale Ergebnisse kritisch auf Plausibilität prüfen.
9. einen Lösungsweg mit Rechnung, Darstellung und Begründung nachvollziehbar dokumentieren.

Bezug zum M-Niveau

Im M-Niveau arbeitest Du zunehmend selbstständig: Du rechnest sicher, verknüpfst Tabellen, Diagramme und Formeln, modellierst Zufallssituationen, wählst Verfahren begründet aus und bereitest Dich auf Anforderungen des mittleren Abschlusses vor.

Digitale Werkzeuge helfen beim Simulieren und Darstellen. Ihr Ergebnis muss trotzdem mathematisch geprüft werden.

Vorwissen-Check

Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6? (1 durch 6) (!1 durch 5) (!5 durch 6) (!6)

Bei 40 Würfen erscheint die 6 achtmal. Wie groß ist ihre relative Häufigkeit? (0,2) (!0,8) (!5) (!8)

Welche Aussage beschreibt ein Zufallsexperiment passend? (Der einzelne Ausgang ist nicht sicher vorhersagbar) (!Das Ergebnis steht immer vorher fest) (!Jedes Ergebnis muss gleich wahrscheinlich sein) (!Ein Zufallsexperiment darf nur einmal durchgeführt werden)

Wenn Du alle drei Aufgaben sicher lösen kannst, bist Du startklar.

Zwei Größen, die Du nicht verwechseln darfst

Theoretische Wahrscheinlichkeit

Bei einem fairen sechsseitigen Würfel sind alle sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Für das Ereignis $A=\{\text{gerade Augenzahl}\}$ sind 2, 4 und 6 günstig:

$P(A)=\frac{\text{Anzahl günstiger Ergebnisse}}{\text{Anzahl möglicher Ergebnisse}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}$.

Wichtig: $P(A)$ gehört zum mathematischen Modell des Zufallsexperiments. Die Wahrscheinlichkeit ändert sich bei einem fairen Würfel nicht dadurch, dass bei einer kurzen Versuchsreihe ungewöhnlich viele oder wenige Treffer auftreten.

Relative Häufigkeit

Wird das Ereignis $A$ bei $n$ Versuchen insgesamt $H_n(A)$-mal beobachtet, gilt

$h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}$.

Beispiel: Bei 60 Würfen fällt 34-mal eine gerade Zahl.

$h_{60}(A)=\frac{34}{60}\approx \mathrm{0,567}\approx \mathrm{56,7}\mathrm{\%}$.

Die theoretische Wahrscheinlichkeit bleibt

$P(A)=\mathrm{0,5}=50\mathrm{\%}$.

Die Abweichung beträgt hier

$|h_{60}(A)-P(A)|\approx |\mathrm{0,567}-\mathrm{0,5}|=\mathrm{0,067}$.

also ungefähr $\mathrm{6,7}$ Prozentpunkte.

Direktvergleich

Größe	Bedeutung	Beispiel
Wahrscheinlichkeit $P(A)$	theoretischer Modellwert	$\mathrm{0,5}$
absolute Häufigkeit $H_n(A)$	beobachtete Trefferzahl	$34$
relative Häufigkeit $h_n(A)$	beobachteter Trefferanteil	$\frac{34}{60}\approx \mathrm{0,567}$

Merksatz: Wahrscheinlichkeit ist nicht dasselbe wie relative Häufigkeit. Die Wahrscheinlichkeit ist ein Modellwert; die relative Häufigkeit entsteht aus einer konkreten Versuchsreihe.

Was passiert bei vielen Wiederholungen?

Bei kleinen Versuchszahlen schwanken relative Häufigkeiten oft stark. Bei vielen gleichartigen Wiederholungen liegen sie typischerweise stabiler in der Nähe der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Eine wichtige Präzisierung: Die relative Häufigkeit nähert sich nicht bei jedem einzelnen zusätzlichen Versuch Schritt für Schritt monoton an. Auch nach vielen Versuchen kann sie sich kurzfristig wieder vom theoretischen Wert entfernen.

Beispieldaten einer Münzsimulation

Die folgende Tabelle ist eine mögliche simulierte Versuchsreihe für „Kopf“.

Würfe $n$	Kopf $H_n$	Relative Häufigkeit $h_n$	Theorie $P$	Abweichung
20	13	$\mathrm{0,650}$	$\mathrm{0,500}$	$\mathrm{0,150}$
200	104	$\mathrm{0,520}$	$\mathrm{0,500}$	$\mathrm{0,020}$
2000	1008	$\mathrm{0,504}$	$\mathrm{0,500}$	$\mathrm{0,004}$

Die Tabelle zeigt ein mögliches Ergebnis. Eine neue Simulation kann andere Häufigkeiten liefern.

Interaktives Würfelexperiment

Mit dem GeoGebra-Applet kannst Du viele Würfe simulieren und die Entwicklung relativer Häufigkeiten beobachten.

Arbeitsauftrag:

1. Simuliere zuerst 20 Würfe und notiere die relative Häufigkeit einer festgelegten Augenzahl.
2. Wiederhole mit 100, 500 und 1000 Würfen.
3. Vergleiche jeweils mit $\frac{1}{6}\approx \mathrm{0,167}$.
4. Beschreibe, was sich im Diagramm verändert.
5. Starte eine neue Serie und prüfe, ob dieselben Werte entstehen.

Denkfrage: Warum beweist eine einzelne Simulation mit 1000 Würfen nicht, dass der Würfel fair ist?

Rechnen, darstellen, begründen

Beispiel: Treffer bei einem Glücksrad

Ein Glücksrad besitzt vier gleich große Felder. Ein Feld ist rot.

Damit gilt theoretisch:

$P(\text{Rot})=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$.

In einer Simulation wird 120-mal gedreht. Rot erscheint 34-mal.

Schritt 1 – beobachteten Anteil berechnen

$h_{120}(\text{Rot})=\frac{34}{120}\approx \mathrm{0,283}$.

Schritt 2 – vergleichen

$\mathrm{0,283}>\mathrm{0,25}$.

Schritt 3 – Abweichung bestimmen

$|\mathrm{0,283}-\mathrm{0,25}|=\mathrm{0,033}$.

Die beobachtete relative Häufigkeit liegt also etwa 3,3 Prozentpunkte über der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

Schritt 4 – begründen

Das Ergebnis widerspricht dem Modell nicht. Bei einer endlichen Zahl von Zufallsversuchen sind Abweichungen zu erwarten.

Rechenweg kompakt einblenden

$P(\text{Rot})=\frac{1}{4}=\mathrm{0,25}$
$h_{120}(\text{Rot})=\frac{34}{120}\approx \mathrm{0,283}$
$|h-P|\approx \mathrm{0,033}$
Deutung: Beobachtung und Modellwert sind verschieden, aber plausibel miteinander vereinbar.

Visuelle Bruchidee

Bei einer fairen Münze teilt das Modell die Wahrscheinlichkeit in zwei gleich große Anteile:

$P(\text{Kopf})=\frac{1}{2}$ und $P(\text{Zahl})=\frac{1}{2}$.

Eine konkrete Versuchsreihe muss diese Hälfte-Hälfte-Aufteilung nicht exakt treffen.

Versuchstabelle selbst auswerten

Ein fairer Würfel wurde 90-mal geworfen.

Augenzahl	Absolute Häufigkeit	Relative Häufigkeit	Theoretische Wahrscheinlichkeit
1	13	?	$\frac{1}{6}$
2	17	?	$\frac{1}{6}$
3	14	?	$\frac{1}{6}$
4	16	?	$\frac{1}{6}$
5	15	?	$\frac{1}{6}$
6	15	?	$\frac{1}{6}$

Aufgabe: Berechne alle relativen Häufigkeiten und vergleiche sie mit $\frac{1}{6}$.

Hilfe 1

Nutze immer $h_n=\frac{H_n}{n}$. Hier ist $n=90$.

Hilfe 2

Für die Augenzahl 1 gilt $h_{90}(1)=\frac{13}{90}\approx \mathrm{0,144}$.

Feedback

Deine sechs relativen Häufigkeiten müssen zusammen ungefähr $1$ ergeben. Durch Rundung kann eine kleine Abweichung entstehen. Keine einzelne relative Häufigkeit muss exakt $\frac{1}{6}$ sein.

Tabellenkalkulation

Mit einer Tabellenkalkulation kannst Du große Versuchsreihen schnell auswerten.

Spalte	Inhalt	Beispiel
A	Versuch	1, 2, 3, …
B	Zufallsergebnis	1 bis 6
C	Treffer für Ereignis „6“	0 oder 1
D	kumulierte Treffer	Summe bis zur aktuellen Zeile
E	relative Häufigkeit	Treffer geteilt durch Versuchszahl

Eine mögliche Zufallsformel für einen Würfel lautet in vielen Tabellenkalkulationen sinngemäß:

Zufallszahl als ganze Zahl von 1 bis 6 erzeugen.

Die genaue Funktionsbezeichnung hängt vom verwendeten Programm und der Spracheinstellung ab.

Mathematische Kontrolle:

$0\le h_n(A)\le 1$.

Außerdem sollte bei einem fairen Würfel für große Versuchsreihen die relative Häufigkeit einer festgelegten Augenzahl häufig in der Nähe von

$P(A)=\frac{1}{6}\approx \mathrm{0,167}$

liegen.

Diagramm-Auftrag: Erstelle ein Liniendiagramm mit der Versuchszahl auf der waagerechten Achse und $h_n(A)$ auf der senkrechten Achse. Ergänze eine horizontale Vergleichslinie bei $\frac{1}{6}$.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

1. Prüfe, ob die Formel wirklich die gewünschten Ergebnisse erzeugt.
2. Kontrolliere Stichprobenwerte von Hand.
3. Achte auf den richtigen Nenner bei relativen Häufigkeiten.
4. Verwechsle Prozent und Dezimalzahl nicht.
5. Ein „schönes“ Diagramm ist kein Beweis für ein mathematisches Gesetz.
6. KI-Ausgaben können Rechen-, Modellierungs- oder Interpretationsfehler enthalten und müssen geprüft werden.
7. Verwende für schulische Simulationen keine personenbezogenen Daten, wenn sie nicht erforderlich sind.

Zwei Würfel: Modell und Beobachtung

Beim Werfen zweier fairer Würfel gibt es $6\cdot 6=36$ gleich wahrscheinliche geordnete Ergebnispaarungen.

Für die Augensumme 7 sind günstig:

$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$.

Also:

$P(\text{Summe }7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Simulierst Du 360 Doppelwürfe, wären theoretisch

$360\cdot \frac{1}{6}=60$

Treffer zu erwarten. Erwartet bedeutet nicht, dass genau 60 Treffer auftreten müssen.

Interaktive Aufgabe mit Hilfestufen

Eine Simulation liefert bei 360 Doppelwürfen 66-mal die Summe 7.

Aufgabe: Vergleiche Beobachtung und Theorie.

Hilfe 1: Relative Häufigkeit

Berechne $\frac{66}{360}$.

Hilfe 2: Vergleichswert

Die theoretische Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac{1}{6}\approx \mathrm{0,167}$.

Lösung und Feedback

$h_{360}=\frac{66}{360}\approx \mathrm{0,183}$.
Die relative Häufigkeit liegt ungefähr 1,6 Prozentpunkte über der theoretischen Wahrscheinlichkeit. Das ist eine beobachtete Abweichung, keine neue Wahrscheinlichkeit des fairen Würfels.

Typische Fehler

Fehler	Korrektur
„Bei 12 Würfen muss jede Zahl zweimal kommen.“	Wahrscheinlichkeit garantiert keine exakte Kurzzeitverteilung.
„Ich hatte 8 Sechsen bei 30 Würfen, also ist $P(6)=\frac{8}{30}$.“	$\frac{8}{30}$ ist die beobachtete relative Häufigkeit dieser Serie.
„Je mehr Versuche, desto kleiner wird die Abweichung nach jedem einzelnen Versuch.“	Die Abweichung kann zwischendurch wieder größer werden.
„Eine Simulation beweist die Wahrscheinlichkeit.“	Simulationen liefern Beobachtungen und können Modelle stützen oder infrage stellen, aber keinen mathematischen Beweis ersetzen.
„25 % bedeutet 25 Treffer.“	Erst mit der Versuchszahl lässt sich eine erwartete absolute Häufigkeit bestimmen.

Medienimpuls: Gesetz der großen Zahlen

Beobachtungsauftrag: Beschreibe nicht nur, dass sich Werte stabilisieren, sondern auch, wie sie schwanken. Suche mindestens eine Stelle, an der die Kurve sich wieder vom theoretischen Vergleichswert entfernt.

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Selbstkontrolle

Bewerte Dich jeweils mit sicher, teilweise oder noch unsicher.

Ich kann …	sicher	teilweise	noch unsicher
$P(A)$ bei einem Laplace-Experiment berechnen.	□	□	□
$h_n(A)$ aus Versuchsdaten berechnen.	□	□	□
Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit unterscheiden.	□	□	□
eine Versuchstabelle auswerten.	□	□	□
ein Häufigkeitsdiagramm deuten.	□	□	□
Simulationsergebnisse kritisch prüfen.	□	□	□

Transfer

Ein Hersteller behauptet, ein digitales Glücksrad treffe ein Bonusfeld mit Wahrscheinlichkeit $\mathrm{0,20}$. In 50 Testläufen tritt das Bonusfeld nur 6-mal auf.

$h_{50}=\frac{6}{50}=\mathrm{0,12}$.

Denkauftrag: Reicht dieses Ergebnis aus, um sicher zu behaupten, die angegebene Wahrscheinlichkeit sei falsch?

Nein. Die Abweichung ist ein Anlass für weitere Prüfung, aber eine einzelne endliche Versuchsreihe entscheidet die Frage nicht sicher. Sinnvoll sind weitere Versuchsreihen, größere Stichproben, eine Kontrolle des Simulationsmodells und eine transparente Dokumentation.

Kompetenzcheck M-Niveau

Situation: Ein fairer Würfel soll untersucht werden. Das Ereignis lautet „Augenzahl größer als 4“.

1. Bestimme die theoretische Wahrscheinlichkeit.
2. Plane eine reale Versuchsreihe mit mindestens 60 Würfen.
3. Entwirf eine Versuchstabelle.
4. Berechne nach 10, 20, 40 und 60 Würfen jeweils die relative Häufigkeit.
5. Stelle die Werte in einem Diagramm dar.
6. Simuliere anschließend dieselbe Situation digital.
7. Vergleiche reale und digitale Daten mit der Theorie.
8. Begründe, welches Ergebnis Dich stärker vom Modell abweichen lässt.
9. Erkläre, warum auch eine große Übereinstimmung kein mathematischer Beweis für einen fairen Würfel ist.

Kontrollwert für die Theorie:

$P(\text{Augenzahl}>4)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Reflexion

1. Welche Darstellung hilft Dir beim Vergleichen am meisten: Formel, Tabelle oder Diagramm? Begründe.
2. Wann wirkt eine Abweichung für Dich „groß“? Welche Rolle spielt dabei die Zahl der Versuche?
3. Warum ist die Aussage „Nach vielen Versuchen stimmt die relative Häufigkeit exakt mit der Wahrscheinlichkeit überein“ problematisch?
4. Welche Fehler können bei digitalen Simulationen entstehen?
5. Welche Rechnung würdest Du in einer Prüfung unbedingt hinschreiben, damit Dein Lösungsweg nachvollziehbar bleibt?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was beschreibt die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses? (Einen Wert des mathematischen Modells) (!Die Trefferzahl einer konkreten Versuchsreihe) (!Immer genau die Hälfte aller Versuche) (!Die Zahl aller Fehlversuche)

Wie berechnet man die relative Häufigkeit eines Ereignisses? (Absolute Häufigkeit geteilt durch Anzahl der Versuche) (!Anzahl der Versuche geteilt durch absolute Häufigkeit) (!Wahrscheinlichkeit mal Wahrscheinlichkeit) (!Absolute Häufigkeit plus Anzahl der Versuche)

Ein Ereignis tritt 18-mal bei 60 Versuchen auf. Wie groß ist die relative Häufigkeit? (0,3) (!0,18) (!3) (!42)

Wie groß ist bei einem fairen Würfel die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Augenzahl? (0,5) (!0,25) (!0,6) (!3)

Eine faire Münze wird 20-mal geworfen. Welche Aussage ist richtig? (Die Zahl der Kopfergebnisse muss nicht genau 10 sein) (!Kopf muss genau 10-mal auftreten) (!Kopf kann höchstens 5-mal auftreten) (!Die Wahrscheinlichkeit für Kopf verändert sich nach jedem Wurf)

Welche Größe entsteht aus tatsächlich beobachteten Versuchsdaten? (Relative Häufigkeit) (!Theoretische Wahrscheinlichkeit) (!Ergebnismenge) (!Laplace-Regel)

Was ist bei einer größeren Zahl gleichartiger Versuche typischerweise zu beobachten? (Relative Häufigkeiten liegen oft stabiler nahe der Wahrscheinlichkeit) (!Jede relative Häufigkeit wird automatisch exakt gleich der Wahrscheinlichkeit) (!Zufall verschwindet vollständig) (!Alle Ergebnisse treten gleich oft auf)

Bei 200 Versuchen tritt ein Ereignis 52-mal auf. Welcher Ausdruck gehört zur relativen Häufigkeit? (52 geteilt durch 200) (!200 geteilt durch 52) (!52 geteilt durch 100) (!200 minus 52)

Warum sollte man eine digitale Simulation kontrollieren? (Formeln, Einstellungen oder Zufallsmodell können unpassend sein) (!Digitale Ergebnisse sind grundsätzlich falsch) (!Eine Simulation darf keine Zufallszahlen enthalten) (!Nur handschriftliche Rechnungen sind Mathematik)

Was ersetzt eine KI-Ausgabe nicht? (Eine nachvollziehbare mathematische Begründung) (!Eine Eingabe in eine Tabellenzelle) (!Eine Achsenbeschriftung) (!Eine Versuchszahl)

Memory

Wahrscheinlichkeit	theoretischer Modellwert
Absolute Häufigkeit	Anzahl beobachteter Treffer
Relative Häufigkeit	Trefferanteil an allen Versuchen
Versuchszahl	Anzahl aller Wiederholungen
Laplace-Experiment	gleich wahrscheinliche Einzelergebnisse
Simulation	digitales Nachbilden eines Zufallsexperiments
Diagramm	grafische Darstellung von Versuchsdaten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Wahrscheinlichkeit	Modell vor beziehungsweise unabhängig von der konkreten Versuchsserie
Absolute Häufigkeit	gezählte Treffer
Relative Häufigkeit	Trefferanteil
Simulation	digital erzeugte Versuchsergebnisse
Diagramm	visuelle Entwicklung der Häufigkeiten

Kreuzworträtsel

Zufall	Wie heißt der nicht sicher vorhersagbare Einfluss beim Einzelergebnis?
Ereignis	Wie heißt eine Menge von Ergebnissen, für die man eine Wahrscheinlichkeit angibt?
Häufigkeit	Welcher Begriff beschreibt, wie oft etwas beobachtet wurde?
Simulation	Wie nennt man das digitale Nachbilden eines Zufallsexperiments?
Diagramm	Wie heißt eine grafische Darstellung von Daten?
Laplace	Wie heißt ein Experimenttyp mit gleich wahrscheinlichen Einzelergebnissen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Die theoretische gehört zu einem mathematischen Modell. Die Anzahl tatsächlich beobachteter Treffer heißt absolute . Teilt man diese Trefferzahl durch die Anzahl aller Versuche, erhält man die relative . Bei vielen gleichartigen Wiederholungen liegt die relative Häufigkeit häufig stabiler in der Nähe der theoretischen . Eine digitale kann sehr viele Zufallsversuche schnell erzeugen. Ergebnisse aus Software oder KI müssen trotzdem kritisch werden.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1 – Leicht

Eine Münze wird 80-mal geworfen. Kopf tritt 46-mal auf.

Berechne $h_{80}(\text{Kopf})$.

Hilfe

Setze in $h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}$ ein.

Feedback

$h_{80}(\text{Kopf})=\frac{46}{80}=\mathrm{0,575}=\mathrm{57,5}\mathrm{\%}$.
Bei einer fairen Münze gilt theoretisch $P(\text{Kopf})=\mathrm{0,5}$.

Übung 2 – Standard

Ein Glücksrad besitzt fünf gleich große Felder, davon zwei grüne. Bei 150 Drehungen erscheint Grün 54-mal.

Berechne und vergleiche $P(\text{Grün})$ und $h_{150}(\text{Grün})$.

Hilfe 1

Theorie: günstige Felder durch alle Felder.

Hilfe 2

Beobachtung: Treffer durch Versuche.

Feedback

$P(\text{Grün})=\frac{2}{5}=\mathrm{0,4}$.
$h_{150}(\text{Grün})=\frac{54}{150}=\mathrm{0,36}$.
Die beobachtete relative Häufigkeit liegt 4 Prozentpunkte unter der theoretischen Wahrscheinlichkeit.

Übung 3 – M-Niveau Transfer

Zwei Simulationen untersuchen dasselbe Ereignis mit $P(A)=\mathrm{0,25}$.

Simulation	Versuche	Treffer
A	40	13
B	800	196

Aufgabe: Berechne beide relativen Häufigkeiten. Vergleiche ihre Abweichungen vom Modellwert. Begründe, warum die Versuchszahl bei der Interpretation wichtig ist.

Feedback

Simulation A: $\frac{13}{40}=\mathrm{0,325}$, Abweichung $\mathrm{0,075}$.
Simulation B: $\frac{196}{800}=\mathrm{0,245}$, Abweichung $\mathrm{0,005}$.
Die größere Serie liegt hier deutlich näher am Modellwert. Daraus folgt aber nicht, dass jede größere Serie automatisch näher liegen muss als jede kleinere Serie.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Münzwurf: Führe 40 Münzwürfe durch und dokumentiere Kopf als Strichliste, absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit.
2. Würfelexperiment: Würfle 60-mal und vergleiche die relative Häufigkeit einer ausgewählten Augenzahl mit $\frac{1}{6}$.
3. Diagramm: Zeichne für eine eigene Versuchsreihe ein Säulen- oder Liniendiagramm und beschrifte beide Achsen vollständig.
4. Fehleranalyse: Formuliere eine falsche Aussage, in der Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit verwechselt werden, und korrigiere sie.

Standard

1. Tabellenkalkulation: Simuliere 500 Würfe, berechne kumulierte relative Häufigkeiten und erstelle ein Liniendiagramm.
2. Versuchsvergleich: Vergleiche zwei unabhängig erzeugte Simulationen mit jeweils 200 Wiederholungen und erkläre Unterschiede.
3. Glücksrad: Entwirf ein Glücksrad mit einer theoretischen Trefferwahrscheinlichkeit von $\mathrm{0,3}$ und plane eine geeignete Versuchsreihe.
4. Medienanalyse: Untersuche eine Grafik zum Gesetz der großen Zahlen und beschreibe, welche Aussage sie unterstützt und welche sie nicht beweist.

Schwer

1. Modellkritik: Entwickle Kriterien, mit denen Du prüfen würdest, ob ein digitaler Würfelsimulator plausibel arbeitet.
2. Simulation und Realität: Vergleiche 100 reale Würfe mit 1000 digital simulierten Würfen. Diskutiere Unterschiede in Aufwand, Kontrolle und Aussagekraft.
3. Erwartete Häufigkeit: Entwickle eine Alltagssituation, in der $n\cdot P(A)$ als erwartete Trefferzahl sinnvoll ist, und grenze sie von der tatsächlich beobachteten Trefferzahl ab.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo, das an einem selbst gewählten Beispiel den Unterschied zwischen $P(A)$ und $h_n(A)$ erklärt. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Modellieren: Ein Spiel verspricht eine Gewinnchance von 30 %. Entwickle einen Versuchsplan, mit dem Du die Angabe untersuchen kannst. Begründe die Wahl der Versuchszahl.
2. Darstellungen verknüpfen: Überführe eine Versuchstabelle in ein Diagramm und erkläre, welche zusätzliche Information durch die grafische Darstellung sichtbar wird.
3. Argumentieren: Eine Person sagt: „Nach 1000 Würfen muss die relative Häufigkeit exakt der Wahrscheinlichkeit entsprechen.“ Widerlege die Aussage fachlich.
4. Digitale Werkzeuge beurteilen: Eine Tabellenkalkulation liefert bei 500 simulierten Münzwürfen 500-mal Kopf. Beschreibe mindestens drei Prüfungen, die Du durchführen würdest.
5. Transfer: Zwei Klassen führen dasselbe Zufallsexperiment mit unterschiedlich vielen Wiederholungen durch. Entwickle eine faire Vergleichsmethode für ihre Ergebnisse.
6. Begründen: Erkläre, warum $n\cdot P(A)$ eine erwartete absolute Häufigkeit liefert, aber keine Garantie für eine konkrete Versuchsserie ist.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. theoretische Wahrscheinlichkeiten korrekt berechnen kannst,
2. absolute und relative Häufigkeiten sicher unterscheidest,
3. $h_n(A)=\frac{H_n(A)}{n}$ korrekt anwendest,
4. Tabellen und Diagramme erstellen und interpretieren kannst,
5. reale und digitale Versuchsergebnisse mit einem Modellwert vergleichst,
6. Abweichungen angemessen deutest,
7. Deine Rechenwege nachvollziehbar dokumentierst,
8. digitale Resultate auf Plausibilität kontrollierst,
9. begründet zwischen Modell, Beobachtung und Schlussfolgerung unterscheidest.

Der Lernnachweis bewertet nicht nur das Endergebnis, sondern auch Darstellung, Begründung und kritische Prüfung.

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein Kurs zu mehrstufigen Zufallsexperimenten, Baumdiagrammen, Pfadregeln und Gegenereignissen. Dort verknüpfst Du mehrere Zufallsschritte und berechnest komplexere Wahrscheinlichkeiten.

OERs zum Thema

Weitere freie Lernmedien:

1. Wikimedia Commons: Animation zum Gesetz der großen Zahlen
2. Wikimedia Commons: Verteilung relativer Häufigkeiten
3. Wikimedia Commons: Wahrscheinlichkeitsverteilung eines fairen Würfels
4. GeoGebra: Würfeln und relative Häufigkeit
5. Wikipedia: Gesetz der großen Zahlen
6. Bildungsplan Baden-Württemberg: Leitidee Daten und Zufall

Verknüpfte Lernbereiche

Daten und Zufall Zufallsexperiment Wahrscheinlichkeit Laplace-Experiment Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Gesetz der großen Zahlen Simulation Tabellenkalkulation Diagramm Baumdiagramm