M9 M - Pythagoras in zusammengesetzten Figuren nutzen

Mini-Beschreibung: Führe Hilfslinien ein und nutze den Satz des Pythagoras mehrfach, um unbekannte Längen in zusammengesetzten Figuren zu bestimmen. Du arbeitest auf M-Niveau, Klasse 9, Baden-Württemberg mit Rechtecken, Trapezen und technischen Skizzen.

Animierter Zerlegungsbeweis zum Satz des Pythagoras

Einleitung

In einer zusammengesetzten Figur ist das gesuchte Stück oft nicht sofort Teil eines sichtbaren rechtwinkligen Dreiecks. Dein Werkzeug ist deshalb eine passende Hilfslinie. Sie zerlegt die Figur so, dass Du den Satz des Pythagoras nacheinander anwenden kannst.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Dabei ist $c$ die Hypotenuse. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

M-Niveau: Du sollst nicht nur rechnen. Du wählst Hilfslinien selbstständig, verknüpfst Skizze und Rechnung, modellierst Sachsituationen, begründest Dein Vorgehen und prüfst digitale Ergebnisse.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

Hilfslinien so einzeichnen, dass rechtwinklige Teildreiecke entstehen.
in Rechtecken Diagonalen als Zwischenergebnisse berechnen.
in Trapezen Höhen oder waagerechte Versätze nutzen.
den Satz des Pythagoras mehrfach hintereinander anwenden.
technische Skizzen in ein mathematisches Modell übersetzen.
Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar dokumentieren.
Ergebnisse durch Überschlag, Einheit und Größenvergleich prüfen.

Vorwissen-Check

Prüfe Dich kurz. Öffne die Lösungen erst nach einem eigenen Versuch.

A: In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten 6 cm und 8 cm lang. Berechne die Hypotenuse.

Lösung A: $c = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10$ cm.

B: Die Hypotenuse ist 13 cm, eine Kathete 5 cm. Berechne die zweite Kathete.

Lösung B: $b = \sqrt{1 3^{2} - 5^{2}} = \sqrt{144} = 12$ cm.

C: Nenne die Seite, die der rechten Ecke gegenüberliegt.

Lösung C: Hypotenuse.

Wenn A bis C sicher funktionieren, bist Du startklar. Wenn nicht, wiederhole zuerst Satz des Pythagoras und Quadratwurzel.

Werkzeugkasten: Vom Bild zum Rechenweg

Strategie in fünf Schritten:

Markieren: Wo liegen rechte Winkel?
Ergänzen: Welche Hilfslinie erzeugt ein rechtwinkliges Dreieck?
Planen: Welche Länge muss zuerst berechnet werden?
Rechnen: Pythagoras passend nach der gesuchten Seite umstellen.
Prüfen: Passt die Länge zur Skizze, Einheit und Größenordnung?

Formeln:

Hypotenuse gesucht:

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Kathete gesucht:

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Wichtig: Der Buchstabe $c$ ist nicht automatisch die Hypotenuse einer beliebigen Zeichnung. Entscheidend ist immer die Lage zum rechten Winkel.

Interaktives Beispiel 1: Rechteckdiagonale als Hilfsstrecke

Ein Rechteck ist 6 cm hoch und 8 cm breit. Die Diagonale $d$ teilt es in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Schritt 1 – Modell:

$6^{2} + 8^{2} = d^{2}$

Schritt 2 – Rechnen:

$d = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm

Schritt 3 – Prüfen: Die Diagonale muss länger als 8 cm sein. 10 cm ist plausibel.

Denkfrage: Warum darfst Du die beiden Rechteckseiten als Katheten verwenden?
Feedback: Benachbarte Seiten eines Rechtecks stehen senkrecht aufeinander. Damit bilden sie mit der Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck.

Interaktives Beispiel 2: Zweimal Pythagoras

An das 6-cm-mal-8-cm-Rechteck wird an einer Ecke ein weiteres Segment von 24 cm so angesetzt, dass es senkrecht zur Rechteckdiagonale steht. Gesucht ist die neue Verbindungslänge $x$ .

Erster Pythagoras:

$d = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ cm

Zweiter Pythagoras:

$x = \sqrt{1 0^{2} + 2 4^{2}}$

$x = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$ cm

Kette:

$6^{2} + 8^{2} \to d = 10 \to x = 26$

Das Zwischenergebnis $d$ wird im zweiten rechtwinkligen Dreieck weiterverwendet. Genau dieses Weiterreichen einer Länge ist typisch für zusammengesetzte Figuren.

Arbeitsauftrag zur dynamischen Geometrie: Verändere die Punkte. Suche zwei rechtwinklige Dreiecke mit gemeinsamer Strecke. Erkläre, welche Strecke zuerst bekannt sein muss.

Interaktives Beispiel 3: Rechtwinkliges Trapez

Ein rechtwinkliges Trapez hat die parallelen Seiten 15 cm und 8 cm sowie die Höhe 24 cm.

Die Differenz der parallelen Seiten ist

$15 - 8 = 7$ cm.

Diese 7 cm bilden zusammen mit der Höhe von 24 cm die Katheten eines rechtwinkligen Teildreiecks.

Schräge Seite $s$ :

$s = \sqrt{7^{2} + 2 4^{2}} = \sqrt{625} = 25$ cm

Für die Diagonale von der linken unteren zur rechten oberen Ecke nutzt Du die Katheten 8 cm und 24 cm:

$d = \sqrt{8^{2} + 2 4^{2}} = \sqrt{640}$

also ungefähr 25,3 cm.

Prüfung: $d$ ist etwas länger als 24 cm. Das passt zur Skizze.

Technische Skizze: Streben und Abstände

Technische Zeichnungen enthalten oft Maße, die erst zu einer berechenbaren geometrischen Struktur verbunden werden müssen.

Beispiel: Eine rechteckige Platte ist 120 mm breit und 50 mm hoch. Zuerst wird ihre Diagonale $d$ benötigt. An diese Diagonale schließt rechtwinklig eine 100-mm-Strebe an. Gesucht ist die resultierende Verbindung $x$ .

1. Platte:

$d = \sqrt{12 0^{2} + 5 0^{2}}$

$d = \sqrt{16900} = 130$ mm

2. Strebe:

$x = \sqrt{13 0^{2} + 10 0^{2}}$

$x = \sqrt{26900}$ mm

also ungefähr 164,0 mm.

Technischer Check: Die Endlänge muss größer als 130 mm und größer als 100 mm sein. Außerdem müssen alle Maße vor dem Rechnen in derselben Einheit stehen.

Visueller Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Nutze diese Struktur bei jeder zusammengesetzten Figur:

Bild 1 – Hilfslinie: Zeichne nur eine Hilfslinie, die einen rechten Winkel nutzbar macht.

Bild 2 – Erstes Dreieck:

$a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = c_{1}^{2}$

Bild 3 – Zwischenergebnis:

$c_{1} = \sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}}$

Bild 4 – Zweites Dreieck:

$c_{1}^{2} + b_{2}^{2} = c_{2}^{2}$

Bild 5 – Endergebnis:

$c_{2} = \sqrt{c_{1}^{2} + b_{2}^{2}}$

Merksatz: Runde Zwischenergebnisse möglichst nicht. Rechne mit dem exakten Wert oder mit genügend Stellen weiter und runde erst das Endergebnis.

Dynamische Geometrie

Erkunde: Verändere die Katheten. Beobachte, wie sich die Hypotenuse ändert. Formuliere anschließend ohne Taschenrechner: Was muss mit der Hypotenuse passieren, wenn eine Kathete größer wird und die andere gleich bleibt?

Feedback: Die Hypotenuse wird größer, weil die Summe $a^{2} + b^{2}$ größer wird.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Rechteck und Aufsatz

Ein Rechteck ist 9 cm breit und 12 cm hoch. Seine Diagonale bildet zusammen mit einer senkrecht dazu stehenden 8-cm-Strecke ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Berechne die Endlänge.

Hilfe 1: Berechne zuerst die Rechteckdiagonale.

Hilfe 2: $d = \sqrt{9^{2} + 1 2^{2}}$

Hilfe 3: Danach gilt $x = \sqrt{d^{2} + 8^{2}}$ .

Feedback und Lösung: $d = 15$ cm und $x = \sqrt{1 5^{2} + 8^{2}} = 17$ cm. Wenn Du direkt 9, 12 und 8 in eine einzige Pythagoras-Formel eingesetzt hast, hast Du zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke vermischt.

Übung 2: Trapez zerlegen

Ein rechtwinkliges Trapez hat parallele Seiten von 17 cm und 9 cm sowie eine Höhe von 15 cm. Berechne die schräge Seite.

Hilfe 1: Bestimme zuerst den waagerechten Versatz.

Hilfe 2: $17 - 9 = 8$ cm.

Hilfe 3: Nutze 8 cm und 15 cm als Katheten.

Feedback und Lösung: $s = \sqrt{8^{2} + 1 5^{2}} = \sqrt{289} = 17$ cm.

Übung 3: Technischer Rahmen

Ein rechteckiger Rahmen misst 35 cm mal 12 cm. Eine zweite Strebe von 84 cm steht senkrecht auf seiner Diagonale. Berechne die Länge der Verbindung über beide Stufen.

Hilfe 1: Suche zuerst die Diagonale des Rechtecks.

Hilfe 2: $d = \sqrt{3 5^{2} + 1 2^{2}} = 37$ cm.

Hilfe 3: Berechne danach $x = \sqrt{3 7^{2} + 8 4^{2}}$ .

Feedback und Lösung: $x = \sqrt{8425}$ cm, also ungefähr 91,8 cm. Prüfe: Das Ergebnis muss größer als 84 cm sein.

Übung 4: Fehlende Höhe im Trapez

In einem rechtwinkligen Trapez unterscheiden sich die parallelen Seiten um 9 cm. Die schräge Seite ist 15 cm lang. Berechne die Höhe.

Hilfe 1: Die schräge Seite ist die Hypotenuse des entstehenden Teildreiecks.

Hilfe 2: $h = \sqrt{1 5^{2} - 9^{2}}$ .

Feedback und Lösung: $h = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ cm.

Typische Fehler

Kein rechter Winkel: Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.
Falsche Hypotenuse: Sie liegt gegenüber dem rechten Winkel.
Grundseiten nicht vergleichen: Im Trapez liefert die Differenz der parallelen Seiten häufig den waagerechten Versatz.
Zwischenergebnis vergessen: Bei zusammengesetzten Figuren wird eine berechnete Strecke oft im nächsten Dreieck gebraucht.
Zu früh runden: Dadurch kann sich der Endwert unnötig verändern.
Einheiten mischen: Millimeter, Zentimeter und Meter vor dem Rechnen vereinheitlichen.
Taschenrechner ungeprüft übernehmen: Ergebnis mit Skizze und Größenordnung vergleichen.

Digitale Werkzeuge und KI kritisch nutzen

GeoGebra, Taschenrechner und KI können beim Erkunden, Rechnen oder Prüfen helfen. Sie ersetzen aber keine mathematische Begründung.

Prüffragen:

Entsteht wirklich ein rechtwinkliges Dreieck?
Ist die Hypotenuse richtig erkannt?
Sind die Einheiten einheitlich?
Ist das Ergebnis größer oder kleiner als passende Vergleichslängen?
Kannst Du den Rechenweg ohne das digitale Werkzeug erklären?

Gib in offene KI-Dienste keine personenbezogenen Daten ein. Prüfe KI-Ausgaben selbst: Eine sprachlich überzeugende Antwort ist noch kein mathematischer Beweis.

Selbstkontrolle

Bearbeite ohne Hilfen.

1. Rechteck 16 cm mal 30 cm: Diagonale?

Lösung: $d = \sqrt{1 6^{2} + 3 0^{2}} = 34$ cm.

2. Rechtwinkliges Trapez: Grundseiten 20 cm und 8 cm, Höhe 5 cm. Schräge Seite?

Lösung: Versatz 12 cm, also $s = \sqrt{1 2^{2} + 5^{2}} = 13$ cm.

3. Ein Zwischenergebnis ist 20 cm. Dazu kommt rechtwinklig eine Strecke von 21 cm. Endlänge?

Lösung: $x = \sqrt{2 0^{2} + 2 1^{2}} = 29$ cm.

4. Kann eine 7-cm-Strecke die Hypotenuse sein, wenn eine Kathete 9 cm lang ist?

Lösung: Nein. Die Hypotenuse ist im rechtwinkligen Dreieck die längste Seite.

Transfer

Montageproblem: Eine rechteckige Solarmodul-Fläche ist 1,2 m breit und 0,5 m hoch. Eine Stütze wird rechtwinklig zur Diagonale mit 0,9 m angesetzt.

Erstelle eine Skizze.
Berechne zuerst die Diagonale.
Nutze diese als Kathete im zweiten Dreieck.
Gib die Endlänge auf Zentimeter genau an.
Begründe, warum Dein Ergebnis plausibel ist.

Kontrolle: $d = \sqrt{1. 2^{2} + 0. 5^{2}} = 1.3$ m. Danach $x = \sqrt{1. 3^{2} + 0. 9^{2}} = \sqrt{2.5}$ m, also ungefähr 1,58 m beziehungsweise 158 cm.

Kompetenzcheck M-Niveau

Setze Dir nach jeder Aussage ein Häkchen, wenn Du sie ohne Hilfe sicher kannst.

Ich erkenne in einer zusammengesetzten Figur rechtwinklige Teildreiecke.
Ich zeichne eine sinnvolle Hilfslinie und begründe ihre Lage.
Ich entscheide selbstständig, welche Länge zuerst berechnet werden muss.
Ich nutze ein Zwischenergebnis in einer zweiten Pythagoras-Anwendung.
Ich verknüpfe Skizze, Formel, Rechnung und Einheit.
Ich modelliere Rechtecke, Trapeze und technische Skizzen.
Ich prüfe digitale Ergebnisse mathematisch.
Ich kann einen Fehler im Rechenweg erklären und verbessern.

Ziel M-Niveau: selbstständig rechnen, Darstellungen verknüpfen, modellieren, Verfahren begründet wählen und auf Anforderungen des mittleren Abschlusses vorbereiten.

Reflexion

Beantworte schriftlich in drei bis fünf Sätzen:

Woran erkennst Du, dass eine Hilfslinie nützlich ist?
Welcher Schritt ist bei mehrfachem Pythagoras am wichtigsten?
Wie prüfst Du, ob ein Taschenrechner- oder KI-Ergebnis sinnvoll ist?
Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Skizze, Formel oder Schrittfolge? Begründe.

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich M9 M - Pythagoras in Körpern und räumlichen Modellen nutzen. Dort werden Flächen- und Raumdiagonalen als aufeinanderfolgende rechtwinklige Dreiecke modelliert.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Wann darf der Satz des Pythagoras direkt angewendet werden? (In einem rechtwinkligen Dreieck) (!In jedem beliebigen Dreieck) (!Nur in gleichseitigen Dreiecken) (!Nur in Trapezen)

Welche Seite ist im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse? (Die Seite gegenüber dem rechten Winkel) (!Die kürzeste Seite) (!Jede waagerechte Seite) (!Die Seite neben dem rechten Winkel mit der kleinsten Zahl)

Was ist bei einer zusammengesetzten Figur oft der erste sinnvolle Schritt? (Eine geeignete Hilfslinie einzeichnen) (!Alle Seiten addieren) (!Sofort runden) (!Den größten Wert quadrieren)

Ein Rechteck ist 6 cm mal 8 cm groß. Wie lang ist seine Diagonale? (10 cm) (!12 cm) (!14 cm) (!48 cm)

Was liefert in einem rechtwinkligen Trapez häufig den waagerechten Versatz? (Die Differenz der parallelen Seiten) (!Die Summe aller Seiten) (!Das Produkt der parallelen Seiten) (!Der halbe Umfang)

Warum sollte ein Zwischenergebnis möglichst nicht früh gerundet werden? (Weil sonst der Endwert unnötig ungenau werden kann) (!Weil Wurzeln nie Dezimalzahlen sein dürfen) (!Weil nur ganze Zahlen erlaubt sind) (!Weil Einheiten sonst verschwinden)

Eine Hypotenuse ist 13 cm und eine Kathete 5 cm. Wie lang ist die andere Kathete? (12 cm) (!8 cm) (!18 cm) (!169 cm)

Welche Prüfung ist nach einer technischen Berechnung sinnvoll? (Ergebnis mit Skizze Einheit und Größenordnung vergleichen) (!Nur die letzte Ziffer betrachten) (!Die Einheit weglassen) (!Jedes Ergebnis auf ganze Meter runden)

Was bedeutet mehrfacher Pythagoras in einer zusammengesetzten Figur? (Eine berechnete Strecke wird in einem weiteren rechtwinkligen Dreieck genutzt) (!Die gleiche Rechnung wird ohne Grund wiederholt) (!Alle Seiten werden gleichzeitig quadriert) (!Nur die Hypotenuse wird zweimal benannt)

Welche Aussage zu KI-Ausgaben in Mathematik ist richtig? (Sie müssen fachlich geprüft und begründet werden) (!Sie gelten automatisch als Beweis) (!Sie machen Skizzen überflüssig) (!Sie ersetzen die Kontrolle der Einheiten)

Memory

Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Kathete	Seite am rechten Winkel
Hilfslinie	erzeugt ein berechenbares Teildreieck
Grundseitendifferenz	waagerechter Versatz im Trapez
Zwischenergebnis	wird im nächsten Rechenschritt weiterverwendet
Plausibilitätscheck	vergleicht Ergebnis mit Skizze und Größenordnung
Einheit	muss vor dem Rechnen konsistent sein

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rechteckdiagonale	zwei senkrechte Seiten als Katheten
Trapezschräge	Versatz und Höhe als Katheten
Hilfsstrecke	kann Zwischenergebnis sein
Technische Skizze	Maße zuerst vereinheitlichen
Endergebnis	erst am Schluss sinnvoll runden

Kreuzworträtsel

Hypotenuse	Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber?
Kathete	Wie heißt eine der beiden Seiten am rechten Winkel?
Trapez	Welche Figur besitzt mindestens ein Paar paralleler Seiten?
Diagonale	Welche Strecke verbindet zwei nicht benachbarte Ecken eines Rechtecks?
Hilfslinie	Was ergänzt man oft, um rechtwinklige Teildreiecke sichtbar zu machen?
Wurzel	Welche Rechenoperation beendet häufig eine Pythagoras-Berechnung?

LearningApps

Lückentext

Der Satz des Pythagoras gilt in einem

Dreieck.

Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt

.

Eine zusätzliche Strecke in einer zusammengesetzten Figur heißt oft

.

Im Rechteck kann die

als Zwischenergebnis dienen.

Beim rechtwinkligen Trapez ist die Differenz der parallelen Seiten häufig der waagerechte

.

Ein berechneter Wert kann im nächsten Dreieck als

verwendet werden.

Zwischenergebnisse sollten möglichst nicht früh

werden.

Digitale Resultate werden durch Einheit und

geprüft.

Offene Aufgaben

Leicht

Hilfslinie einzeichnen: Zeichne drei verschiedene zusammengesetzte Figuren und markiere jeweils eine Hilfslinie, die ein rechtwinkliges Dreieck erzeugt.
Rechteckdiagonale dokumentieren: Erstelle zu einem selbst gewählten Rechteck eine Skizze, Formel, Rechnung und Ergebniskontrolle.
Trapez zerlegen: Zeichne ein rechtwinkliges Trapez und erkläre mit Pfeilen, wo der waagerechte Versatz entsteht.
Fehlerkarte erstellen: Gestalte eine kleine Lernkarte zu einem typischen Fehler bei Hypotenuse, Einheit oder Rundung.

Standard

Zweifacher Pythagoras: Erfinde eine Figur mit zwei rechtwinkligen Teildreiecken, bei der das erste Ergebnis im zweiten Schritt gebraucht wird. Löse sie vollständig.
Technische Skizze modellieren: Zeichne eine einfache Halterung oder Rahmenkonstruktion mit mindestens drei Maßen und berechne eine nicht direkt angegebene Verbindungslänge.
GeoGebra-Untersuchung: Verändere in einer dynamischen Konstruktion zwei Längen systematisch und protokolliere, wie sich die gesuchte Strecke verändert.
Lösungsweg vergleichen: Löse dieselbe Aufgabe mit zwei unterschiedlichen Hilfslinien, falls möglich. Vergleiche Aufwand und Übersichtlichkeit.

Schwer

Trapez und Rechteck kombinieren: Entwirf eine zusammengesetzte Figur aus Rechteck und Trapez mit mindestens zwei nacheinander nötigen Pythagoras-Schritten.
Rundungsfehler untersuchen: Vergleiche ein Ergebnis, wenn Du nach jedem Schritt auf eine Dezimalstelle rundest, mit einem Ergebnis, bei dem Du erst am Ende rundest.
Digitale Lösung prüfen: Lass ein digitales Werkzeug eine selbst erstellte Aufgabe lösen. Prüfe jeden Schritt und kennzeichne, welche Aussagen mathematisch begründet sind.
Mini-Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du Hilfslinie, zwei Pythagoras-Schritte und Plausibilitätscheck sichtbar machst.

Lernkontrolle

Modellieren: Eine technische Skizze enthält ein Rechteck und einen schrägen Anbau. Zeichne geeignete Hilfslinien und begründe, welche Länge zuerst berechnet werden muss.
Strategien vergleichen: Erkläre, warum eine Diagonale als Zwischenergebnis hilfreich sein kann und wann sie keine geeignete Hilfslinie ist.
Fehler analysieren: Eine Lösung setzt drei Seiten aus zwei verschiedenen rechtwinkligen Teildreiecken in eine einzige Pythagoras-Gleichung ein. Beschreibe den Fehler und verbessere den Plan.
Plausibilität beurteilen: Eine 30-cm-Kathete und eine 40-cm-Kathete ergeben laut Rechner eine Hypotenuse von 4,8 cm. Beurteile das Ergebnis ohne vollständige Neuberechnung und begründe.
Transfer auf Trapeze: Entwickle aus den Maßen eines rechtwinkligen Trapezes eine Folge von zwei sinnvollen Längenberechnungen und erkläre die Reihenfolge.
Digitales Ergebnis bewerten: Ein KI-System liefert eine korrekte Zahl, nennt aber keinen rechten Winkel und keine Hypotenuse. Bewerte, welche mathematische Begründung für einen vollständigen Lösungsnachweis fehlt.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

eine saubere und beschriftete Skizze mit sichtbaren rechten Winkeln,
mindestens eine sinnvoll begründete Hilfslinie,
die richtige Zuordnung von Katheten und Hypotenuse,
ein nachvollziehbarer erster Pythagoras-Schritt,
die Weiterverwendung eines Zwischenergebnisses in einer zweiten Berechnung,
korrekte Einheiten und sinnvolles Runden,
ein Plausibilitätscheck,
eine kurze Begründung des gewählten Verfahrens.

OERs zum Thema

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Der Landesbildungsserver Baden-Württemberg führt den Satz des Pythagoras in der digitalen Lernumgebung für Klasse 9 ausdrücklich auch auf M-Niveau. Inhaltliche Kompetenzen werden mit prozessorientierten Kompetenzen wie Problemlösen, Modellieren und Begründen verbunden.