M9 M - Ähnliche Dreiecke untersuchen und nutzen

M9 M - Ähnliche Dreiecke untersuchen und nutzen

Mini-Beschreibung: Prüfe Dreiecke auf Ähnlichkeit anhand von Winkeln beziehungsweise Seitenverhältnissen und berechne unbekannte Größen. Du arbeitest auf M-Niveau, Klasse 9, Baden-Württemberg mit dynamischen Dreiecken, Seitenverhältnissen und Maßstabsmodellen.

Einleitung

Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und trotzdem dieselbe Form besitzen. Dann sind sie ähnlich. Entscheidend sind nicht die absoluten Seitenlängen, sondern gleiche Winkel und passende Seitenverhältnisse.

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Leitfrage: Wie kannst Du sicher entscheiden, ob zwei Dreiecke ähnlich sind, und wie nutzt Du diese Ähnlichkeit zum Berechnen unbekannter Strecken?

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. ähnliche Dreiecke anhand von zwei übereinstimmenden Winkeln erkennen.
2. ähnliche Dreiecke anhand gleicher Verhältnisse aller drei entsprechenden Seiten erkennen.
3. entsprechende Ecken und Seiten sicher zuordnen.
4. den Ähnlichkeitsfaktor $k$ bestimmen.
5. unbekannte Seitenlängen mit Verhältnisgleichungen berechnen.
6. Maßstabsmodelle und Vermessungssituationen mathematisch modellieren.
7. Ergebnisse aus dynamischer Geometriesoftware kritisch prüfen und begründen.

Vorwissen-Check

1. Winkelsumme: In einem Dreieck gilt

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$

Ist $\alpha =52^{\circ }$ und $\beta =71^{\circ }$, dann:

$\gamma =180^{\circ }-52^{\circ }-71^{\circ }=57^{\circ }$

2. Verhältnis: Prüfe:

$\frac{6}{4}=\mathrm{1,5}$

$\frac{9}{6}=\mathrm{1,5}$

3. Proportion: Wenn

$\frac{x}{6}=\frac{10}{4}$

gilt, dann

$x=6\cdot \frac{10}{4}=15$

4. Denkfrage: Reicht es aus, wenn zwei Dreiecke nur ähnlich aussehen? Nein. Du brauchst ein mathematisches Kriterium.

Ähnlichkeit verstehen

Bei ähnlichen Dreiecken sind entsprechende Winkel gleich groß und entsprechende Seiten proportional.

$\alpha ={\alpha }^{\prime }$

$\beta ={\beta }^{\prime }$

$\gamma ={\gamma }^{\prime }$

und

$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}=k$

Der Wert $k$ heißt Ähnlichkeitsfaktor.

1. $k>1$: Vergrößerung
2. $0<k<1$: Verkleinerung
3. $k=1$: gleiche Größe; die Dreiecke sind zusätzlich kongruent

Ähnlichkeit über Winkel: WW

Für das M-Niveau genügt: Stimmen zwei entsprechende Winkel überein, dann stimmen automatisch auch die dritten Winkel überein.

Beispiel:

$\alpha =42^{\circ },\beta =68^{\circ }$

${\alpha }^{\prime }=42^{\circ },{\beta }^{\prime }=68^{\circ }$

Daraus folgt:

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Begründung: Zwei entsprechende Winkel stimmen überein.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Ähnlichkeit über Seitenverhältnisse: SSS

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn die Verhältnisse aller drei entsprechenden Seiten gleich sind.

Beispiel:

Erstes Dreieck:

$a=4,b=6,c=8$

Zweites Dreieck:

$a^{\prime }=6,b^{\prime }=9,c^{\prime }=12$

Prüfung:

$\frac{6}{4}=\mathrm{1,5}$

$\frac{9}{6}=\mathrm{1,5}$

$\frac{12}{8}=\mathrm{1,5}$

Also:

$\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

mit

$k=\mathrm{1,5}$

Entsprechende Seiten richtig zuordnen

Die Reihenfolge der Eckpunkte hilft:

$A\leftrightarrow A^{\prime }$

$B\leftrightarrow B^{\prime }$

$C\leftrightarrow C^{\prime }$

Daraus folgt:

$AB\leftrightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }$

$BC\leftrightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }$

$CA\leftrightarrow C^{\prime }{A}^{\prime }$

Wichtig: Ein Verhältnis darf nicht mitten in der Rechnung umgedreht werden.

Richtig:

$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}$

Falsch gemischt:

$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b}{b^{\prime }}$

Dynamische Geometrie

Ziehe Punkte, verändere die Größe und beobachte Winkel und Seitenverhältnisse.

Arbeitsauftrag:

1. Verändere den Skalierungsfaktor.
2. Vergleiche entsprechende Winkel.
3. Berechne mindestens zwei Seitenverhältnisse.
4. Formuliere eine Vermutung.
5. Prüfe Deine Vermutung an einer zweiten Einstellung.

Kritische Prüfung: Ein Bildschirmbild ist noch kein Beweis. Begründe Deine Aussage zusätzlich mit Winkeln oder Seitenverhältnissen.

Dynamische Erkundung: ähnliche Dreiecke

Beobachte: Was bleibt gleich, wenn ein ähnliches Dreieck größer oder kleiner wird?

Erwartung:

$\alpha ={\alpha }^{\prime }$

und

$\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{b^{\prime }}{b}=\frac{c^{\prime }}{c}$

Unbekannte Größen berechnen

Gegeben sind zwei ähnliche Dreiecke.

Kleine Seite:

$a=4\text{cm}$

Entsprechende große Seite:

$a^{\prime }=10\text{cm}$

Weitere kleine Seite:

$b=6\text{cm}$

Gesucht:

$b^{\prime }=x$

Visueller Rechenweg

Schritt 1: Faktor bestimmen

$k=\frac{a^{\prime }}{a}=\frac{10}{4}=\mathrm{2,5}$

Schritt 2: passende Seite vergrößern

$b^{\prime }=k\cdot b$

Schritt 3: einsetzen

$b^{\prime }=\mathrm{2,5}\cdot 6$

Schritt 4: Ergebnis

$b^{\prime }=15\text{cm}$

Kontrolle:

$\frac{15}{6}=\mathrm{2,5}$

Das Verhältnis stimmt.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: Winkel prüfen

Dreieck 1 hat die Winkel $38^{\circ }$, $67^{\circ }$ und $75^{\circ }$.

Dreieck 2 hat die Winkel $75^{\circ }$, $38^{\circ }$ und $67^{\circ }$.

Aufgabe: Sind die Dreiecke ähnlich? Begründe.

Hilfestufe 1: Suche zwei Winkel, die in beiden Dreiecken vorkommen.

Hilfestufe 2: Für das WW-Kriterium reichen zwei übereinstimmende Winkel.

Feedback: Ja. Die Dreiecke sind ähnlich, weil mindestens zwei entsprechende Winkel übereinstimmen.

Beispiel 2: Seiten prüfen

Dreieck A:

$5\text{cm},7\text{cm},9\text{cm}$

Dreieck B:

$10\text{cm},14\text{cm},18\text{cm}$

Aufgabe: Prüfe die Ähnlichkeit.

Hilfestufe 1: Bilde drei Quotienten aus entsprechenden Seiten.

Hilfestufe 2:

$\frac{10}{5},\frac{14}{7},\frac{18}{9}$

Feedback:

$\frac{10}{5}=\frac{14}{7}=\frac{18}{9}=2$

Die Dreiecke sind ähnlich.

Beispiel 3: unbekannte Seite

Es gilt:

$\frac{x}{8}=\frac{15}{10}$

Hilfestufe 1: Bestimme zuerst den Faktor $\frac{15}{10}$.

Hilfestufe 2:

$x=8\cdot \mathrm{1,5}$

Feedback:

$x=12$

Maßstab und Modell

Ein Gebäudemodell ist $18\text{cm}$ lang. Das Original ist $9\text{m}$ lang.

Zuerst gleiche Einheit:

$9\text{m}=900\text{cm}$

Maßstabsfaktor:

$\frac{900}{18}=50$

Der Maßstab ist:

$1:50$

Transfer: Eine dreieckige Dachfläche hat im Modell eine Grundseite von $12\text{cm}$. Im Original:

$12\cdot 50=600\text{cm}=6\text{m}$

Vermessen mit ähnlichen Dreiecken

Eine Person ist $\mathrm{1,60}\text{m}$ groß und wirft einen Schatten von $\mathrm{2,0}\text{m}$. Gleichzeitig ist der Schatten eines Baumes $\mathrm{7,5}\text{m}$ lang.

Bei gleicher Sonnenrichtung entstehen ähnliche Dreiecke.

$\frac{h}{\mathrm{7,5}}=\frac{\mathrm{1,60}}{\mathrm{2,0}}$

$h=\mathrm{7,5}\cdot \frac{\mathrm{1,60}}{\mathrm{2,0}}$

$h=\mathrm{6,0}\text{m}$

Plausibilitätscheck: Der Baumschatten ist deutlich länger als der Personenschatten. Deshalb muss auch der Baum deutlich höher als die Person sein.

Typische Fehler

1. Zuordnung: Falsche Seiten werden miteinander verglichen.
2. Verhältnis: Ein Quotient wird später umgedreht.
3. Augenmaß: „Sieht ähnlich aus“ wird mit einem Beweis verwechselt.
4. Einheiten: Zentimeter und Meter werden direkt verglichen.
5. Runden: Zwischenergebnisse werden zu früh gerundet.
6. Digitale Werkzeuge: Ein Messwert aus Software wird ungeprüft übernommen.

Gegenstrategie: Markiere entsprechende Ecken zuerst und schreibe dann die Verhältnisgleichung.

Digitale Werkzeuge verantwortungsvoll nutzen

Dynamische Geometrie hilft beim Entdecken von Mustern. Sie ersetzt aber keine mathematische Begründung.

1. Prüfe digitale Messwerte mit einer zweiten Methode.
2. Speichere keine personenbezogenen Daten in öffentlichen Aufgaben.
3. Verwende KI-Ausgaben nur als Vorschlag und kontrolliere Rechnung, Zuordnung und Begründung selbst.
4. Eine KI-Antwort ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Kannst Du diese Aussagen begründen?

1. Zwei gleiche Winkel reichen bei Dreiecken zum Nachweis der Ähnlichkeit.
2. Bei ähnlichen Dreiecken ist der Streckfaktor für alle entsprechenden Seiten gleich.
3. Vor einer Maßstabsrechnung müssen die Einheiten passen.
4. Eine unbekannte Seite kann über eine Verhältnisgleichung berechnet werden.
5. Digitale Ergebnisse müssen mathematisch geprüft werden.

Wenn Du bei mindestens einem Punkt unsicher bist, gehe zu den interaktiven Beispielen zurück und rechne ein eigenes Gegen- oder Bestätigungsbeispiel.

Transfer

Situation: Ein dreieckiges Verkehrsschild wird für ein Modell verkleinert. Die Originalseiten sind $90\text{cm}$, $90\text{cm}$ und $90\text{cm}$. Im Modell ist eine Seite $15\text{cm}$ lang.

$k=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$

Alle Modellseiten sind daher:

$15\text{cm}$

Transferfrage: Wie verändert sich eine unbekannte Höhe des Dreiecks bei demselben Maßstab? Begründe mit der Idee der Ähnlichkeit.

Kompetenzcheck

1. Prüfe zwei Dreiecke mit den Winkeln $45^{\circ },65^{\circ },70^{\circ }$ und $70^{\circ },45^{\circ },65^{\circ }$ auf Ähnlichkeit.
2. Prüfe die Seitenlängen $6,8,10$ und $9,12,15$.
3. Bestimme den Faktor zwischen den Dreiecken aus Aufgabe 2.
4. Berechne die zu $8$ gehörende Seite im größeren Dreieck.
5. Erkläre, warum die Quotienten immer in derselben Richtung gebildet werden müssen.
6. Formuliere eine eigene Alltagssituation, in der ähnliche Dreiecke zur Vermessung helfen.

Kurzfeedback: Aufgabe 1: ähnlich nach WW. Aufgabe 2: ähnlich nach SSS. Aufgabe 3: $k=\mathrm{1,5}$. Aufgabe 4: $12$.

Reflexion

1. Welche Darstellung hilft Dir mehr: Winkelmarkierungen, Seitenverhältnisse oder dynamische Geometrie?
2. An welcher Stelle musst Du besonders sorgfältig begründen?
3. Wie erkennst Du, ob ein digitales Ergebnis plausibel ist?
4. Formuliere in einem Satz den Unterschied zwischen „ähnlich aussehen“ und „Ähnlichkeit nachweisen“.

Folgekurs

M9 M - Strahlensätze untersuchen und nutzen

Dort nutzt Du ähnliche Dreiecke systematisch in Strahlenfiguren.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann sind zwei Dreiecke nach dem WW-Kriterium ähnlich? (Wenn zwei entsprechende Winkel gleich groß sind) (!Wenn nur eine Seite gleich lang ist) (!Wenn beide denselben Umfang haben) (!Wenn sie gleich groß gezeichnet sind)

Was beschreibt der Ähnlichkeitsfaktor k? (Das Verhältnis entsprechender Seitenlängen) (!Die Summe aller Winkel) (!Die Anzahl der Dreiecksseiten) (!Den Umfang eines Dreiecks)

Welche Rechnung prüft passende Seitenverhältnisse korrekt? (a Strich durch a gleich b Strich durch b gleich c Strich durch c) (!a Strich durch b gleich b Strich durch c) (!a plus a Strich gleich b plus b Strich) (!a mal b gleich c)

Was gilt für entsprechende Winkel ähnlicher Dreiecke? (Sie sind gleich groß) (!Sie sind immer rechte Winkel) (!Sie unterscheiden sich um zehn Grad) (!Sie ergeben zusammen neunzig Grad)

Was bedeutet k gleich 2? (Alle entsprechenden Seiten des Bilddreiecks sind doppelt so lang) (!Alle Winkel sind doppelt so groß) (!Der Umfang bleibt immer gleich) (!Die Fläche bleibt immer gleich)

Warum müssen vor einer Maßstabsrechnung die Einheiten angepasst werden? (Damit vergleichbare Größen im Verhältnis stehen) (!Damit alle Winkel gleich werden) (!Damit das Dreieck rechtwinklig wird) (!Damit der Maßstab verschwindet)

Welche Aussage reicht allein nicht als Nachweis für Ähnlichkeit? (Die Dreiecke sehen ähnlich aus) (!Zwei entsprechende Winkel stimmen überein) (!Alle drei Seitenverhältnisse stimmen überein) (!Ein gültiges Ähnlichkeitskriterium ist erfüllt)

Was ist bei einer Verhältnisgleichung besonders wichtig? (Entsprechende Seiten in derselben Reihenfolge zu vergleichen) (!Immer die kleinste Seite wegzulassen) (!Nur ganze Zahlen zu verwenden) (!Alle Längen zuerst zu addieren)

Was solltest Du mit einem Ergebnis aus dynamischer Geometriesoftware tun? (Mathematisch prüfen und begründen) (!Ungeprüft übernehmen) (!Nur auf die Zeichnung vertrauen) (!Die Einheiten ignorieren)

Welche Anwendung passt zu ähnlichen Dreiecken? (Eine Höhe über Schattenlängen bestimmen) (!Eine Zufallszahl würfeln) (!Eine Häufigkeitstabelle sortieren) (!Eine Primzahl zerlegen)

Memory

WW-Kriterium	zwei entsprechende Winkel gleich
SSS-Kriterium	drei gleiche Seitenverhältnisse
Ähnlichkeitsfaktor	Verhältnis entsprechender Seiten
entsprechende Seiten	gehören zu entsprechenden Ecken
Maßstab	Verhältnis Modell zu Original
Plausibilitätsprüfung	Ergebnis kritisch kontrollieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
WW-Kriterium	Winkel vergleichen
SSS-Kriterium	Seitenverhältnisse vergleichen
Ähnlichkeitsfaktor	Vergrößerung oder Verkleinerung
Zuordnung	entsprechende Seiten finden
Maßstab	Modell und Original vergleichen

Kreuzworträtsel

Winkel	Welche Größe bleibt bei ähnlichen Dreiecken an entsprechenden Ecken gleich?
Faktor	Wie heißt die Zahl, mit der entsprechende Seiten skaliert werden?
Seiten	Welche Strecken werden bei SSS miteinander verglichen?
Maßstab	Wie heißt das feste Verhältnis zwischen Modell und Original?
Dreieck	Welche geometrische Figur steht im Mittelpunkt dieses Kurses?
Quotient	Wie heißt das Ergebnis einer Division zweier Seitenlängen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn ihre Form übereinstimmt und passende Größen dieselben Beziehungen besitzen. Beim WW-Kriterium genügen zwei entsprechende . Beim SSS-Kriterium müssen die Verhältnisse aller drei entsprechenden übereinstimmen. Der gemeinsame Quotient entsprechender Seiten heißt Ähnlichkeits . Vor Maßstabsrechnungen müssen die verwendeten zusammenpassen. Ergebnisse digitaler Werkzeuge müssen mathematisch werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Winkelvergleich: Zeichne zwei Dreiecke mit denselben drei Winkeln, aber unterschiedlichen Seitenlängen. Markiere entsprechende Winkel.
2. Seitenverhältnis: Erfinde zwei ähnliche Dreiecke mit dem Faktor $k=2$ und notiere alle drei Quotienten.
3. Fehleranalyse: Erkläre an einem Beispiel, warum „sieht ähnlich aus“ kein Nachweis ist.
4. Maßstab: Fotografiere keine Personen, sondern wähle einen Gegenstand oder eine Skizze und entwirf ein maßstäbliches Modell.

Standard

1. Dynamische Geometrie: Erzeuge in GeoGebra zwei ähnliche Dreiecke, verändere einen Punkt und dokumentiere, welche Größen gleich beziehungsweise proportional bleiben.
2. Vermessung: Plane eine Schattenmessung für einen Gegenstand auf dem Schulgelände und beschreibe das mathematische Modell.
3. Rechenweg: Erstelle eine visuelle Schritt-für-Schritt-Erklärung zum Berechnen einer unbekannten Seite.
4. Gegenbeispiel: Zeichne zwei Dreiecke, die ähnlich wirken, aber die SSS-Prüfung nicht bestehen.

Schwer

1. Modellierung: Entwickle eine Aufgabe zu einem Architekturmodell im Maßstab und löse sie mit vollständiger Begründung.
2. Begründung: Erkläre, warum beim WW-Kriterium die Gleichheit zweier Winkel ausreicht.
3. Vergleich von Verfahren: Löse dieselbe unbekannte Seitenlänge einmal über den Faktor $k$ und einmal über eine Verhältnisgleichung. Vergleiche beide Wege.
4. Digitale Prüfung: Lass Dir von einem digitalen Werkzeug oder einer KI eine Ähnlichkeitsaufgabe erzeugen. Prüfe Aufgabenstellung, Rechnung und Begründung vollständig und dokumentiere gefundene Fehler ohne personenbezogene Daten.

Lernkontrolle

1. Begründen: Zwei Dreiecke besitzen je die Winkel $35^{\circ }$ und $82^{\circ }$. Erkläre ohne Zeichnung, warum das für eine Ähnlichkeitsentscheidung ausreicht.
2. Modellieren: Ein Modell und sein Original haben den Maßstab $1:40$. Entwickle eine passende Dreiecksaufgabe mit einer unbekannten Länge und löse sie.
3. Fehler finden: Jemand rechnet $\frac{12}{8}=\frac{5}{x}$, obwohl $12$ zu $8$ und $x$ zu $5$ gehören. Erkläre den Zuordnungsfehler und korrigiere die Gleichung.
4. Transfer: Begründe, weshalb Schattenmessungen nur unter passenden Bedingungen mit ähnlichen Dreiecken modelliert werden können.
5. Darstellungen verknüpfen: Übersetze eine Dreieckszeichnung in eine Verhältnisgleichung und erkläre anschließend jeden Term der Gleichung.
6. Digitale Ergebnisse prüfen: Ein Geometrieprogramm zeigt $k=\mathrm{1,49}$. Aus den Seitenlängen ergibt sich rechnerisch $k=\mathrm{1,5}$. Nenne mögliche Ursachen und entscheide, welche zusätzliche Prüfung sinnvoll ist.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen, dass Du

1. entsprechende Ecken und Seiten korrekt zuordnest.
2. das WW- und das SSS-Kriterium sicher anwendest.
3. Seitenverhältnisse und den Faktor $k$ korrekt bestimmst.
4. unbekannte Längen mit nachvollziehbarem Rechenweg berechnest.
5. Einheiten und Maßstäbe korrekt behandelst.
6. Ergebnisse auf Plausibilität prüfst.
7. eine geometrische Aussage fachsprachlich begründest.
8. digitale Ergebnisse kritisch kontrollierst und KI-Ausgaben nicht mit einem Beweis verwechselst.

OERs zum Thema

Medienhinweis: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien führen auf ihren Dateibeschreibungsseiten Urheber- und Lizenzinformationen. YouTube- und GeoGebra-Inhalte werden als externe Originalangebote eingebettet.

Verknüpfte Lernbereiche

Ähnliche Dreiecke Winkel Seitenverhältnis Ähnlichkeitsfaktor Maßstab Strahlensatz Dynamische Geometrie