M9 G - Satz des Pythagoras verstehen

M9 G - Satz des Pythagoras verstehen

Mini-Beschreibung: Erschließe den Zusammenhang zwischen Katheten und Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und nutze $a^2+b^2=c^2$.

Zielgruppe: Klasse 9, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau

Einleitung

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von $90^{\circ }$. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen Katheten. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse.

Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt:

$a^2+b^2=c^2$

Dabei sind $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse.

Beim bekannten Beispiel mit $a=3$, $b=4$ und $c=5$ gilt:

$3^2+4^2=5^2$

$9+16=25$

Wichtig: Der Satz des Pythagoras gilt in dieser Form nur für rechtwinklige Dreiecke.

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. rechtwinklige Dreiecke erkennen.
2. Katheten und Hypotenuse richtig benennen.
3. die Flächenbedeutung von $a^2+b^2=c^2$ erklären.
4. mit dem Satz des Pythagoras eine fehlende Seitenlänge berechnen.
5. Deinen Rechenweg Schritt für Schritt darstellen.
6. Ergebnisse durch Einsetzen oder Überschlagen prüfen.
7. digitale Ergebnisse kritisch kontrollieren.

Vorwissen-Check

Beantworte zuerst diese kurzen Fragen im Kopf oder auf Papier.

Welcher Winkel kennzeichnet ein rechtwinkliges Dreieck? ($90^{\circ }$) (!$45^{\circ }$) (!$60^{\circ }$) (!$180^{\circ }$)

Welche Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber? (Hypotenuse) (!Kathete) (!Höhe) (!Mittelsenkrechte)

Wie groß ist $4^2$? (16) (!8) (!12) (!24)

Wenn Dir eine Antwort schwerfiel: Wiederhole kurz Quadratzahlen, Quadratwurzeln und die Begriffe am rechtwinkligen Dreieck.

Entdecken: Quadrate über den Seiten

Der Ausdruck $a^2$ ist nicht nur eine Rechnung. Er kann als Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge $a$ verstanden werden.

Beim Satz des Pythagoras gilt deshalb:

$A_a+A_b=A_c$

mit

$A_a=a^2$

$A_b=b^2$

$A_c=c^2$

Die Summe der beiden Kathetenquadrate ist genauso groß wie das Hypotenusenquadrat.

Beobachtungsauftrag: Achte in der Animation darauf, dass sich die Dreiecke nur verschieben. Die gesamte Fläche bleibt gleich. Dadurch wird sichtbar, warum die beiden kleineren Quadratflächen zusammen genauso groß sind wie die große Quadratfläche.

Zerlegungspuzzle

Stelle Dir vier gleiche rechtwinklige Dreiecke vor. Sie werden in einem großen Quadrat auf zwei verschiedene Arten angeordnet.

Variante 1: Die freie Fläche besteht aus zwei Quadraten mit den Flächen $a^2$ und $b^2$.

Variante 2: Die freie Fläche besteht aus einem Quadrat mit der Fläche $c^2$.

Da der äußere Rahmen gleich bleibt und dieselben vier Dreiecke verwendet werden, müssen die freien Flächen gleich groß sein:

$a^2+b^2=c^2$

Dynamische Geometrie

Bewege in der dynamischen Konstruktion die Eckpunkte des rechtwinkligen Dreiecks. Beobachte die drei Quadrate über den Seiten.

Arbeitsauftrag:

1. Verändere die Form des Dreiecks.
2. Vergleiche die beiden Kathetenquadrate mit dem Hypotenusenquadrat.
3. Formuliere Deine Beobachtung in einem Satz.
4. Prüfe danach mit Zahlen, ob $a^2+b^2=c^2$ erfüllt ist.

Digital prüfen: Eine dynamische Zeichnung kann eine Vermutung sehr gut sichtbar machen. Sie ersetzt aber keinen mathematischen Beweis. Prüfe deshalb zusätzlich mit Rechnung und Begründung.

Der Satz des Pythagoras

Merksatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse.

$a^2+b^2=c^2$

Erkennungsregel für $c$: Die Hypotenuse liegt immer dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

Rechenweg Schritt für Schritt

Fall 1: Hypotenuse gesucht

Gegeben:

$a=6\mathrm{c}\mathrm{m}$

$b=8\mathrm{c}\mathrm{m}$

Gesucht: $c$

Schritt 1: Formel

$a^2+b^2=c^2$

Schritt 2: Einsetzen

$6^2+8^2=c^2$

Schritt 3: Quadrate berechnen

$36+64=c^2$

$100=c^2$

Schritt 4: Wurzel ziehen

$c=\sqrt{100}$

$c=10\mathrm{c}\mathrm{m}$

Selbstkontrolle: Die Hypotenuse muss länger als jede Kathete sein. $10>8$. Das Ergebnis ist plausibel.

Fall 2: Kathete gesucht

Gegeben:

$c=13\mathrm{c}\mathrm{m}$

$a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

Gesucht: $b$

Schritt 1: Formel

$a^2+b^2=c^2$

Schritt 2: Einsetzen

$5^2+b^2=13^2$

Schritt 3: Quadrate berechnen

$25+b^2=169$

Schritt 4: $25$ abziehen

$b^2=144$

Schritt 5: Wurzel ziehen

$b=\sqrt{144}$

$b=12\mathrm{c}\mathrm{m}$

Selbstkontrolle:

$5^2+12^2=13^2$

$25+144=169$

Interaktives Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $9\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $12\mathrm{c}\mathrm{m}$. Wie lang ist die Hypotenuse? ($15\mathrm{c}\mathrm{m}$) (!$21\mathrm{c}\mathrm{m}$) (!$13\mathrm{c}\mathrm{m}$) (!$225\mathrm{c}\mathrm{m}$)

Rechenweg:

$9^2+12^2=c^2$

$81+144=c^2$

$225=c^2$

$c=\sqrt{225}=15$

Video laden

YouTube

YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie

Fortfahren Ausblenden

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Hypotenuse berechnen

Gegeben:

$a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

$b=12\mathrm{c}\mathrm{m}$

Berechne $c$.

Hilfe 1: Beginne mit $a^2+b^2=c^2$.

Setze ein: $5^2+12^2=c^2$.

Hilfe 2: Berechne zuerst die Quadratzahlen.

$25+144=169$

Lösung und Feedback

$c=\sqrt{169}=13\mathrm{c}\mathrm{m}$. Wenn Du direkt $5+12$ gerechnet hast, hast Du die Quadrate vergessen.

Übung 2: Kathete berechnen

Gegeben:

$c=10\mathrm{m}$

$a=6\mathrm{m}$

Berechne $b$.

Hilfe 1

$6^2+b^2=10^2$

Hilfe 2

$b^2=100-36$

Lösung und Feedback

$b^2=64$ und damit $b=8\mathrm{m}$. Beim Suchen einer Kathete wird ein Quadrat von $c^2$ abgezogen.

Übung 3: Sachaufgabe Leiter

Eine Leiter ist $\mathrm{6,5}\mathrm{m}$ lang. Ihr Fuß steht $\mathrm{2,5}\mathrm{m}$ von einer Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter?

Hilfe 1

Die Leiter ist die Hypotenuse, weil sie dem rechten Winkel zwischen Boden und Wand gegenüberliegt.

Hilfe 2

$h^2+\mathrm{2,}{5}^2=\mathrm{6,}{5}^2$

Lösung und Feedback

$h^2=\mathrm{42,25}-\mathrm{6,25}=36$, also $h=6\mathrm{m}$.

Visuelle Selbstkontrolle

Nutze bei jeder Aufgabe diese Reihenfolge:

1. rechten Winkel finden
2. Hypotenuse markieren
3. Formel notieren
4. Werte einsetzen
5. Quadrate berechnen
6. nach der gesuchten Größe umformen
7. Wurzel ziehen
8. Einheit angeben
9. Ergebnis prüfen

Typische Fehler

Fehler 1: Hypotenuse falsch gewählt

Die Hypotenuse ist nicht einfach die Seite, die in einer Zeichnung „schräg“ aussieht. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Fehler 2: Quadrate vergessen

Falsch:

$a+b=c$

Richtig:

$a^2+b^2=c^2$

Fehler 3: Beim Suchen einer Kathete addiert

Für eine Kathete gilt zum Beispiel:

$b^2=c^2-a^2$

Fehler 4: Wurzel vergessen

Aus $c^2=100$ folgt:

$c=10$

nicht $c=100$.

Fehler 5: Satz bei beliebigem Dreieck verwendet

Vor der Rechnung prüfen: Ist ein rechter Winkel gegeben oder gesichert?

Digitale Werkzeuge sinnvoll nutzen

Ein Taschenrechner oder eine Geometriesoftware kann beim Rechnen und Prüfen helfen.

Prüfregel:

1. Formuliere zuerst selbst die mathematische Aufgabe.
2. Gib nur notwendige Werte ein.
3. Teile keine personenbezogenen Daten.
4. Prüfe das digitale Ergebnis mit Überschlag oder Einsetzen.
5. Übernimm KI-Ausgaben nicht ungeprüft.
6. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Beispiel für eine Kontrolle:

Wenn $a=7$ und $b=24$, dann muss $c$ größer als $24$ sein.

$c=\sqrt{7^2+24^2}$

$c=\sqrt{49+576}$

$c=\sqrt{625}=25$

Das Ergebnis passt zur Größenkontrolle.

Transfer

Diagonale in einem Rechteck

Ein Rechteck ist $9\mathrm{c}\mathrm{m}$ breit und $12\mathrm{c}\mathrm{m}$ hoch. Die Diagonale bildet mit zwei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck.

$d^2=9^2+12^2$

$d^2=225$

$d=15\mathrm{c}\mathrm{m}$

So kann der Satz des Pythagoras auch bei Rechtecken, Leitern, Rampen oder Entfernungen eingesetzt werden.

MSA-Brücke – optional

Diese Aufgabe ist nur als gekennzeichnete Brücke gedacht und gehört nicht zum Kern des G-Niveaus.

Prüfe bei den Seitenlängen $8$, $15$ und $17$:

$8^2+15^2=17^2$

$64+225=289$

$289=289$

Damit erfüllt das Dreieck die pythagoreische Gleichung. Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras erlaubt dann die Aussage, dass das Dreieck rechtwinklig ist.

Kompetenzcheck

Markiere für Dich: sicher, fast sicher oder noch üben.

1. Ich erkenne den rechten Winkel.
2. Ich finde die Hypotenuse.
3. Ich kann $a^2+b^2=c^2$ erklären.
4. Ich kann die Hypotenuse berechnen.
5. Ich kann eine Kathete berechnen.
6. Ich kann meinen Rechenweg verständlich darstellen.
7. Ich kann mein Ergebnis prüfen.
8. Ich kann eine Sachaufgabe in ein rechtwinkliges Dreieck übersetzen.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Was hilft Dir mehr: Quadratflächen, Formel oder Rechenbeispiel?
2. An welcher Stelle im Rechenweg machst Du noch Fehler?
3. Wie erkennst Du sicher die Hypotenuse?
4. Wie kannst Du ein Taschenrechner-Ergebnis kontrollieren?
5. Warum ist eine Animation noch kein Beweis?

Folgekurs

Wenn Du diesen aiMOOC sicher beherrschst, kannst Du weiterarbeiten mit:

1. Satz des Pythagoras anwenden
2. Rechtwinklige Dreiecke
3. Quadratwurzel
4. Entfernungen im Koordinatensystem
5. Satzgruppe des Pythagoras

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Für welche Dreiecke gilt der Satz des Pythagoras in der Form $a^2+b^2=c^2$? (Für rechtwinklige Dreiecke) (!Für alle Dreiecke) (!Nur für gleichseitige Dreiecke) (!Nur für gleichschenklige Dreiecke)

Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel? (Hypotenuse) (!Kathete) (!Höhe) (!Diagonale)

Welche Seiten sind die Katheten? (Die beiden Seiten am rechten Winkel) (!Die beiden längsten Seiten) (!Die beiden Seiten gegenüber dem rechten Winkel) (!Nur die waagerechten Seiten)

Welche Gleichung ist der Satz des Pythagoras? ($a^2+b^2=c^2$) (!$a+b=c$) (!$a^2-b^2=c^2$) (!$a+b^2=c$)

Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten mit den Längen 3 und 4. Wie lang ist die Hypotenuse? (5) (!6) (!7) (!12)

Was bedeutet $a^2$ geometrisch? (Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge a) (!Umfang eines Quadrats mit Seitenlänge a) (!Länge der Hypotenuse) (!Doppeltes von a)

Was ist der nächste Schritt nach $c^2=81$? ($c=\sqrt{81}$) (!$c=81^2$) (!$c=81+2$) (!$c=81-2$)

Bei $c=10$ und $a=6$ gilt für die gesuchte Kathete b zuerst: ($b^2=10^2-6^2$) (!$b^2=10^2+6^2$) (!$b=10+6$) (!$b=10^2-6$)

Welche Kontrolle ist sinnvoll? (Die Hypotenuse muss länger als jede Kathete sein) (!Die Hypotenuse muss immer kleiner als eine Kathete sein) (!Alle drei Seiten müssen gleich lang sein) (!Die Summe der Katheten muss gleich der Hypotenuse sein)

Warum sollte ein digitales Ergebnis geprüft werden? (Weil Eingaben oder Ausgaben fehlerhaft sein können) (!Weil Taschenrechner nie Wurzeln berechnen können) (!Weil Geometrie ohne Zahlen auskommt) (!Weil digitale Werkzeuge immer falsche Ergebnisse liefern)

Memory

Kathete	Seite am rechten Winkel
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
$a^2$	Quadratfläche über a
Quadratwurzel	Umkehrung des Quadrierens
rechter Winkel	$90^{\circ }$
Selbstkontrolle	Ergebnis durch Einsetzen prüfen

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Rechter Winkel	Ausgangsbedingung
Hypotenuse	Seite gegenüber von $90^{\circ }$
Katheten	Seiten am rechten Winkel
Quadratwurzel	letzter Rechenschritt bei $c^2$
Plausibilitätsprüfung	Ergebnis kontrollieren

Kreuzworträtsel

Hypotenuse	Wie heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel?
Kathete	Wie heißt eine Seite am rechten Winkel?
Quadrat	Welche geometrische Figur veranschaulicht eine zweite Potenz?
Wurzel	Welche Rechenoperation führt von $c^2$ zu $c$?
Dreieck	In welcher geometrischen Figur wird der Satz hier angewendet?
Flaeche	Welche Größe wird durch die Seitenquadrate verglichen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Der Satz des Pythagoras gilt bei einem Dreieck. Die beiden Seiten am rechten Winkel heißen . Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt . Für die üblichen Bezeichnungen gilt . Die Hypotenuse ist die Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Um aus einem Wert für $c^2$ die Länge $c$ zu erhalten, zieht man die . Ein digitales Ergebnis sollte durch eine geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Dreieck markieren: Zeichne drei rechtwinklige Dreiecke und markiere jeweils den rechten Winkel, beide Katheten und die Hypotenuse.
2. Quadratflächen legen: Lege mit Papierquadraten ein 3-4-5-Dreieck nach und beschreibe, welche Flächen zusammenpassen.
3. Rechenweg erklären: Erkläre in vier kurzen Sätzen, wie Du aus zwei Katheten die Hypotenuse berechnest.
4. Fehler finden: Erfinde einen typischen falschen Pythagoras-Rechenweg und verbessere ihn.

Standard

1. Zerlegungspuzzle: Bastle ein Zerlegungspuzzle mit vier gleichen rechtwinkligen Dreiecken und dokumentiere die zwei Anordnungen mit Fotos oder Zeichnungen.
2. GeoGebra-Untersuchung: Verändere ein rechtwinkliges Dreieck in einer dynamischen Geometriesoftware und notiere mindestens fünf Datensätze zu den Quadratflächen.
3. Alltagsfoto: Fotografiere ohne Personenbezug eine rechtwinklige Situation aus Deinem Alltag und formuliere eine passende Pythagoras-Aufgabe.
4. Erklärvideo: Erstelle ein kurzes Erklärvideo zu einem Beispiel. Verwende keine personenbezogenen Daten und zeige jeden Rechenschritt.

Schwer

1. Leiterproblem: Miss eine geeignete ungefährliche Situation im Schulhaus oder auf dem Schulgelände und modelliere sie als rechtwinkliges Dreieck.
2. Zwei Lösungswege: Löse eine Sachaufgabe einmal rechnerisch und einmal mit dynamischer Geometrie. Vergleiche die Ergebnisse.
3. Beweisidee erklären: Erkläre mit eigenen Worten, warum ein Zerlegungsbeweis die Gleichheit der Quadratflächen zeigt.
4. Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug eine selbst erstellte Pythagoras-Aufgabe lösen und prüfe jeden einzelnen Rechenschritt kritisch.

Lernkontrolle

1. Begründen: Erkläre, warum Du vor jeder Rechnung zuerst den rechten Winkel und die Hypotenuse bestimmen musst.
2. Modellieren: Eine rechteckige Fläche ist $8\mathrm{m}$ lang und $15\mathrm{m}$ breit. Entwickle einen Rechenweg für die Diagonale und begründe jeden Schritt.
3. Fehleranalyse: Jemand rechnet bei $c=13$ und $a=5$ mit $b^2=13^2+5^2$. Erkläre den Fehler und korrigiere den Rechenweg.
4. Darstellungen verbinden: Beschreibe, wie Formel, Quadratflächen und Zerlegungspuzzle dieselbe mathematische Aussage zeigen.
5. Transfer: Erfinde eine Alltagssituation, in der der Satz des Pythagoras sinnvoll ist, und erläutere, welche Größen Katheten und Hypotenuse sind.
6. Medienkritik: Vergleiche eine digitale Lösung mit Deinem eigenen Rechenweg. Nenne mindestens zwei Möglichkeiten, wie Du die digitale Lösung überprüfst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema ist wichtig:

1. Du erkennst ein rechtwinkliges Dreieck.
2. Du benennst Katheten und Hypotenuse korrekt.
3. Du erklärst die Flächenidee hinter $a^2+b^2=c^2$.
4. Du berechnest eine fehlende Seitenlänge nachvollziehbar.
5. Du schreibst Formel, Einsetzen, Umformen, Wurzel und Einheit auf.
6. Du prüfst die Plausibilität des Ergebnisses.
7. Du überträgst den Satz auf einfache Sachaufgaben.
8. Du kannst typische Fehler erkennen und berichtigen.
9. Du prüfst digitale oder KI-gestützte Ergebnisse selbstständig.

OERs zum Thema

Weitere freie und interaktive Medien

Hinweis zu freien Bildern: Die eingebundenen Wikimedia-Commons-Dateien sind über ihre jeweilige Dateibeschreibungsseite mit Urheber- und Lizenzangaben dokumentiert. Bei einer Weiterverwendung müssen die dort angegebenen Lizenzbedingungen beachtet werden.

Hinweis zu Videos: YouTube-Videos werden nur eingebettet. Lade sie nicht herunter und veröffentliche sie nicht neu.

Verknüpfte Lernbereiche

Satz des Pythagoras Rechtwinkliges Dreieck Kathete Hypotenuse Quadratzahl Quadratwurzel Flächeninhalt Dynamische Geometrie Sachaufgabe