M9 G - Reinquadratische Gleichungen lösen – MSA-Brücke

M9 G - Reinquadratische Gleichungen lösen – MSA-Brücke

Mini-Beschreibung: Du löst als MSA-Brücke einfache reinquadratische Gleichungen der Form $x^2=a$ und $a{x}^2=c$. Du achtest darauf, dass eine positive Zahl beim Quadrieren oft zu zwei Lösungen führt: einer positiven und einer negativen.

Einleitung

Ein Quadrat mit Seitenlänge $x$ hat den Flächeninhalt $x^2$. Ist die Fläche bekannt, kannst Du rückwärts nach der Seitenlänge fragen.

$x^2=16$

Dazu passen zwei Zahlen:

$4^2=16$

$(-4{)}^2=16$

Also gilt:

$x=4$ oder $x=-4$

Merksatz: Bei $x^2=a$ mit $a>0$ gibt es zwei reelle Lösungen:

$x=\pm \sqrt{a}$

MSA-Brücke: Das Zeichen $\pm$ bedeutet: einmal mit Plus und einmal mit Minus rechnen.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. reinquadratische Gleichungen der Form $x^2=a$ lösen.
2. Gleichungen der Form $a{x}^2=c$ zuerst nach $x^2$ auflösen.
3. positive und negative Lösungen angeben und durch Einsetzen prüfen.
4. an einem Quadrat erklären, warum die Quadratwurzel beim Lösen hilft.
5. am Graphen von $y=x^2$ erkennen, wann zwei, eine oder keine reelle Lösung vorliegt.
6. digitale Ergebnisse durch eine Probe kontrollieren.

Vorwissen-Check

1. Quadratzahlen

$3^2=9$

$5^2=25$

$10^2=100$

2. Negative Zahlen quadrieren

$(-3{)}^2=9$

$(-5{)}^2=25$

3. Wurzel als Rückweg

$\sqrt{49}=7$

Wichtig: $\sqrt{49}$ bezeichnet die nichtnegative Quadratwurzel $7$. Beim Lösen von $x^2=49$ musst Du aber beide Zahlen berücksichtigen:

$x=7$ oder $x=-7$

Selbstcheck anzeigen

Wenn Du $4^2$, $(-4{)}^2$ und $\sqrt{64}$ sicher berechnen kannst, bist Du startklar. Ergebnisse: $16$, $16$, $8$.

Quadratmodell: Warum entstehen zwei Lösungen?

Ein Quadrat mit Seitenlänge $5$ hat Fläche $25$. Eine geometrische Seitenlänge ist positiv. In einer Gleichung darf $x$ aber auch eine negative Zahl sein.

$5^2=25$

$(-5{)}^2=25$

Darum hat die Gleichung

$x^2=25$

die Lösungsmenge

$L=\{-5,5\}$.

Denkfrage: Das Quadratmodell zeigt eine positive Seitenlänge. Warum gehört trotzdem $-5$ zur Gleichung $x^2=25$?

Antwort

Weil beim Quadrieren auch $-5$ den Wert $25$ ergibt. Die Variable beschreibt hier eine Zahl und nicht zwingend eine reale Seitenlänge.

Grundform $x^2=a$

Fall	Beispiel	Ergebnis
$a>0$	$x^2=36$	$x=\pm 6$
$a=0$	$x^2=0$	$x=0$
$a<0$	$x^2=-9$	keine reelle Lösung

Warum? Für jede reelle Zahl gilt $x^2\ge 0$. Ein Quadrat kann also nicht negativ sein.

Visueller Rechenweg 1: $x^2=49$

Schritt 1: Gleichung lesen

$x^2=49$

Schritt 2: Wurzel ziehen

$x=\pm \sqrt{49}$

Schritt 3: Wurzel berechnen

$x=\pm 7$

Schritt 4: Lösungen getrennt notieren

$x_1=7$ und $x_2=-7$

Schritt 5: Probe

$7^2=49$ und $(-7{)}^2=49$. Beide Lösungen stimmen.

Grundform $a{x}^2=c$

Hier musst Du zuerst $x^2$ allein stellen.

Beispiel:

$3x^2=27$

1. Durch $3$ teilen:

$x^2=9$

2. Wurzel ziehen und beide Vorzeichen beachten:

$x=\pm \sqrt{9}$

$x=\pm 3$

3. Probe:

$3\cdot 3^2=27$

$3\cdot (-3{)}^2=27$

Visueller Rechenweg 2: $5x^2=80$

Schritt	Rechnung	Frage
1	$5x^2=80$	Was stört vor $x^2$?
2	$x^2=16$	Durch welche Zahl wurde geteilt?
3	$x=\pm \sqrt{16}$	Warum steht hier $\pm$?
4	$x=\pm 4$	Welche zwei Lösungen entstehen?
5	$5\cdot 4^2=80$	Stimmt die Probe?

Graph: Lösungen sehen

Der Graph von $y=x^2$ ist eine Parabel.

Die Gleichung $x^2=4$ fragt:

An welchen Stellen hat die Parabel die Höhe $4$?

Die Antwort lautet:

$x=-2$ und $x=2$.

MSA-Brücke: Eine waagerechte Linie $y=a$ kann die Parabel $y=x^2$

1. bei $a>0$ in zwei Punkten schneiden,
2. bei $a=0$ in einem Punkt berühren,
3. bei $a<0$ gar nicht schneiden.

Dynamischer Graph und Zahlengerade

Nutze den interaktiven Grafikrechner ohne Anmeldung. Gib keine Namen, E-Mail-Adressen oder andere personenbezogene Daten ein.

Auftrag:

1. Gib $y=x^2$ ein.
2. Ergänze $y=9$.
3. Lies die beiden Schnittstellen ab.
4. Prüfe rechnerisch mit $x^2=9$.
5. Ändere die Gerade auf $y=1$, $y=0$ und $y=-4$ und vergleiche.

Digitale Kontrolle: Ein Graph liefert Hinweise. Die rechnerische Probe bleibt wichtig.

Wurzeln auf der Zahlengeraden

Nicht jede Lösung ist eine ganze Zahl. Bei

$x^2=2$

gilt

$x=\pm \sqrt{2}$.

MSA-Brücke: Näherungsweise gilt

$\sqrt{2}\approx \mathrm{1,414}$.

Damit sind die Lösungen ungefähr

$x_1\approx \mathrm{1,414}$

und

$x_2\approx -\mathrm{1,414}$.

Prüfe kritisch: Ein Taschenrechner zeigt nur eine Näherung. Die exakte Lösung bleibt $\pm \sqrt{2}$.

Quadratwurzelfunktion als Rückweg

Die Wurzelfunktion zeigt den nichtnegativen Rückweg zum Quadrieren. Beim Gleichungslösen musst Du zusätzlich an die negative Lösung denken, wenn die rechte Seite positiv ist.

Lernvideo 1: Reinquadratische Gleichungen

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Arbeitsauftrag: Stoppe das Video nach einem Beispiel. Rechne zuerst selbst weiter und vergleiche erst danach den Lösungsweg.

Lernvideo 2: $a{x}^2+c=0$

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MSA-Brücke: Im Video kommen auch Schreibweisen vor, die über die Grundform $a{x}^2=c$ hinausgehen. Für diesen Kurs konzentrierst Du Dich auf das Freistellen von $x^2$ und das anschließende Wurzelziehen.

Interaktive Beispiele

Beispiel A

$x^2=64$

Hilfe 1

Welche positive Zahl hat das Quadrat $64$?

Hilfe 2

$\sqrt{64}=8$. Denke an beide Vorzeichen.

Lösung und Feedback

$x=8$ oder $x=-8$. Wenn Du nur $8$ notiert hast, fehlt die zweite Lösung.

Beispiel B

$2x^2=50$

Hilfe 1

Teile zuerst beide Seiten durch $2$.

Hilfe 2

Danach steht $x^2=25$.

Lösung und Feedback

$x=\pm 5$. Probe: $2\cdot 5^2=50$ und $2\cdot (-5{)}^2=50$.

Beispiel C – MSA-Brücke

$4x^2=8$

Hilfe 1

Teile durch $4$.

Hilfe 2

Es entsteht $x^2=2$.

Lösung und Feedback

$x=\pm \sqrt{2}$. Eine Dezimalzahl ist nur eine Näherung.

Übungen mit Hilfestufen

Übung 1

$x^2=81$

Tipp

$\sqrt{81}=9$.

Lösung

$x=\pm 9$.

Übung 2

$7x^2=63$

Tipp

Teile zuerst durch $7$.

Lösung

$x^2=9$, also $x=\pm 3$.

Übung 3

$6x^2=0$

Tipp

Nach dem Teilen steht $x^2=0$.

Lösung

Nur $x=0$.

Übung 4 – MSA-Brücke

$3x^2=-12$

Tipp

Teile durch $3$ und prüfe das Vorzeichen der rechten Seite.

Lösung

$x^2=-4$. Es gibt keine reelle Lösung.

Typische Fehler

Fehler	Beispiel	Korrektur
Minuslösung vergessen	$x^2=25\Rightarrow x=5$	$x=\pm 5$
Zu früh Wurzel ziehen	$3x^2=27\Rightarrow x=\sqrt{27}$	erst durch $3$
Falsches Minus	$(-4{)}^2=-16$	$(-4{)}^2=16$
Negative Wurzel erzwingen	$x^2=-9\Rightarrow x=-3$	keine reelle Lösung
Probe auslassen	Ergebnis ungeprüft	beide Lösungen einsetzen

Selbstkontrolle: 5-Sekunden-Check

Bei jeder Aufgabe fragst Du:

1. Steht $x^2$ schon allein?
2. Ist die rechte Seite positiv, null oder negativ?
3. Habe ich bei einer positiven rechten Seite beide Vorzeichen notiert?
4. Habe ich beide Lösungen durch Einsetzen geprüft?
5. Passt mein Ergebnis zum Graphen?

Transfer: Fläche rückwärts bestimmen

Ein quadratisches Feld hat den Flächeninhalt $144{\mathrm{m}}^2$.

Für die Seitenlänge $s$ gilt:

$s^2=144$

Rechnerisch liefert die Gleichung

$s=\pm 12$.

Im Sachzusammenhang kann eine Seitenlänge nicht negativ sein. Deshalb gilt für das Feld:

$s=12\mathrm{m}$.

Transferregel: Eine Gleichung kann mathematisch mehrere Lösungen haben. Im Sachzusammenhang musst Du prüfen, welche davon sinnvoll sind.

Kompetenzcheck

Kannst Du diese vier Aufgaben ohne Hilfe lösen?

1. $x^2=121$
2. $4x^2=100$
3. $9x^2=0$
4. $2x^2=-18$

Lösungen

1. $x=\pm 11$
2. $x=\pm 5$
3. $x=0$
4. keine reelle Lösung

Auswertung: Bei 4 sicheren Lösungen bist Du bereit für den Folgekurs. Bei 2 oder 3 Treffern wiederhole die Übungen mit Hilfestufen. Bei 0 oder 1 Treffer wiederhole zuerst Quadratzahlen, negative Zahlen und Quadratwurzeln.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Warum besitzt $x^2=36$ zwei Lösungen?
2. Warum besitzt $x^2=0$ nur eine Lösung?
3. Warum besitzt $x^2=-36$ keine reelle Lösung?
4. Welche Rolle spielt die Probe?
5. Wann darfst Du in einer Sachaufgabe eine negative mathematische Lösung verwerfen?

Digital arbeiten und kritisch prüfen

Digitale Werkzeuge können Graphen, Näherungen und Rechenwege schnell anzeigen. Sie ersetzen aber keine Begründung.

Prüfregel: digitales Ergebnis → eigener Rechenweg → Probe → Begründung.

Gib in digitalen Werkzeugen keine personenbezogenen Daten ein. Prüfe KI-Ausgaben besonders sorgfältig: Eine KI kann Rechenfehler machen oder eine Lösung vergessen. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Folgekurs

Als nächster Schritt passt M9 G - Quadratische Gleichungen weiter lösen – MSA-Brücke. Dort kannst Du weitere Formen quadratischer Gleichungen kennenlernen und Darstellungen miteinander verbinden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Lösungen hat $x^2=36$? ($x=6$ und $x=-6$) (!nur $x=6$) (!nur $x=-6$) (!keine reelle Lösung)

Was musst Du bei $4x^2=64$ zuerst tun? (durch $4$ teilen) (!mit $4$ multiplizieren) (!$64$ quadrieren) (!$x$ durch $4$ teilen)

Welche Gleichung entsteht aus $5x^2=45$ nach dem Teilen durch $5$? ($x^2=9$) (!$x^2=40$) (!$x^2=225$) (!$x=9$)

Welche Lösungen hat $x^2=0$? (nur $x=0$) (!nur $x=1$) (!keine reelle Lösung) (!zwei verschiedene Lösungen)

Warum hat $x^2=-4$ keine reelle Lösung? (Das Quadrat einer reellen Zahl ist nie negativ) (!Jede Wurzel ist negativ) (!Negative Zahlen dürfen nicht in Gleichungen vorkommen) (!Die Zahl $4$ ist keine Quadratzahl)

Welche Probe bestätigt die negative Lösung von $x^2=9$? (Die negative Drei quadriert ergibt Neun) (!Die negative Drei verdoppelt ergibt Neun) (!Die Zahl Neun wird durch Drei geteilt) (!Die positive Drei wird negiert und bleibt positiv)

Welche Lösungen hat $2x^2=18$? ($x=3$ und $x=-3$) (!nur $x=9$) (!$x=18$ und $x=-18$) (!keine reelle Lösung)

Was bedeutet $\pm 5$ beim Gleichungslösen? ($5$ und $-5$) (!nur $5$) (!nur $-5$) (!$5$ oder $0$)

Wie viele reelle Lösungen hat $x^2=2$? (zwei) (!eine) (!keine) (!vier)

Was ist die beste Kontrolle nach dem Lösen einer reinquadratischen Gleichung? (Die gefundenen Werte in die Ausgangsgleichung einsetzen) (!Nur das Vorzeichen ansehen) (!Die Aufgabe abschreiben) (!Das Ergebnis ohne Prüfung übernehmen)

Memory

$x^2=25$	$x=5$ oder $x=-5$
$3x^2=27$	zuerst durch $3$ teilen
Quadratwurzel	Umkehroperation zum Quadrieren
Parabel	Graph von $y=x^2$
Probe	Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen
positive rechte Seite	meist zwei reelle Lösungen
negative rechte Seite	keine reelle Lösung für $x^2=a$

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Zwei reelle Lösungen	positive rechte Seite nach dem Freistellen von $x^2$
Eine reelle Lösung	rechte Seite gleich null
Keine reelle Lösung	negative rechte Seite nach dem Freistellen von $x^2$
Wurzelziehen	Rückweg vom Quadrat zur Zahl
Probe	Einsetzen in die Ausgangsgleichung

...

Kreuzworträtsel

Parabel	Wie heißt der Graph der Funktion $y=x^2$?
Quadratwurzel	Welche Rechenoperation macht das Quadrieren rückgängig?
Nullstelle	Wie heißt eine Stelle, an der ein Funktionsgraph die x-Achse trifft?
Probe	Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen einer gefundenen Lösung?
Gleichung	Wie nennt man eine mathematische Aussage mit Gleichheitszeichen?
Symmetrie	Wie nennt man die Spiegelbeziehung der Lösungen $-a$ und $a$?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einer Gleichung der Form $x^2=a$ mit positiver rechter Seite gibt es meist reelle Lösungen. Beim Lösen von $x^2=49$ erhältst Du . Vor dem Wurzelziehen muss bei $a{x}^2=c$ zuerst freigestellt werden. Ist die rechte Seite danach negativ, gibt es im Bereich der reellen Zahlen . Jede gefundene Lösung sollte durch eine kontrolliert werden. Der Graph von $y=x^2$ heißt .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Quadratmodell: Zeichne ein Quadrat mit Fläche $36{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ und erkläre, welche Seitenlänge geometrisch sinnvoll ist und welche zweite Zahl die Gleichung $x^2=36$ löst.
2. Rechenkarte: Gestalte eine Lernkarte mit den drei Schritten „$x^2$ freistellen – Wurzel ziehen – Probe“ und ergänze ein eigenes Beispiel.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde eine falsche Lösung zu $x^2=64$, markiere den Fehler und verbessere sie.
4. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von $-10$ bis $10$ und markiere die Lösungen von $x^2=9$, $x^2=25$ und $x^2=81$.

Standard

1. Graph und Gleichung: Zeichne $y=x^2$ und die Gerade $y=16$. Markiere die Schnittpunkte und vergleiche mit der Rechnung zu $x^2=16$.
2. Erklärvideo: Produziere ein höchstens 90 Sekunden langes Video zu $3x^2=75$. Zeige Freistellen, Wurzelziehen und Probe.
3. Sachaufgabe: Erfinde eine Flächenaufgabe, die zu $x^2=100$ führt. Erkläre, warum im Sachzusammenhang nur eine der beiden rechnerischen Lösungen verwendet wird.
4. Digitale Prüfung: Löse $2x^2=50$ mit einem digitalen Werkzeug und anschließend von Hand. Vergleiche beide Wege und prüfe das Ergebnis durch Einsetzen.

Schwer

1. MSA-Brücke Irrationale Lösung: Löse $3x^2=6$ exakt und näherungsweise. Erkläre den Unterschied zwischen $\pm \sqrt{2}$ und einer Dezimalzahl.
2. MSA-Brücke Fallunterscheidung: Erstelle je eine Gleichung der Form $a{x}^2=c$ mit zwei, einer und keiner reellen Lösung und begründe Deine Auswahl.
3. Darstellungswechsel: Zeige dieselbe Aufgabe als Gleichung, am Parabelgraphen und auf einer Zahlengeraden. Erkläre, wie die drei Darstellungen zusammenpassen.
4. KI-Prüfung Mathematik: Lass ein KI-Werkzeug einen Rechenweg zu einer selbst gewählten reinquadratischen Gleichung erzeugen. Prüfe jeden Schritt durch eigene Rechnung und Probe, ohne personenbezogene Daten einzugeben.

Lernkontrolle

1. Begründung der zwei Lösungen: Erkläre ohne bloßes Auswendiglernen, warum $x^2=49$ zwei Lösungen besitzt, und nutze dazu Rechnung und Graph.
2. Fehleranalyse: Eine Schülerin schreibt bei $2x^2=32$ sofort $x=\sqrt{32}$. Erkläre den Fehler und entwickle den korrekten Lösungsweg.
3. Transfer Sachkontext: Ein Quadrat hat Fläche $225{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$. Löse die zugehörige Gleichung und begründe, welche rechnerische Lösung als Seitenlänge sinnvoll ist.
4. Darstellungen verbinden: Beschreibe, wie sich die Anzahl der Lösungen von $x^2=a$ am Graphen von $y=x^2$ und der Geraden $y=a$ erkennen lässt.
5. Digitales Ergebnis prüfen: Ein Rechner gibt für $x^2=7$ den Wert $\mathrm{2,646}$ aus. Erkläre, was an dieser Angabe unvollständig ist und wie Du eine vollständige Lösung formulierst.
6. Strategie übertragen: Entwickle einen allgemeinen Lösungsplan für $a{x}^2=c$ mit $a\ne 0$ und erkläre, an welcher Stelle Du über die Anzahl reeller Lösungen entscheidest.

Lernnachweis

Für Deinen Lernnachweis ist wichtig:

1. Du kannst $x^2=a$ und $a{x}^2=c$ schrittweise lösen.
2. Du kannst bei positiver rechter Seite beide Lösungen angeben.
3. Du kannst den Sonderfall $x=0$ erkennen.
4. Du kannst erklären, warum eine negative rechte Seite bei $x^2=a$ keine reelle Lösung liefert.
5. Du kannst jede Lösung durch Einsetzen prüfen.
6. Du kannst Quadratmodell, Zahlengerade und Parabel zur Begründung nutzen.
7. Du kannst exakte Wurzelschreibweise und Dezimalnäherung unterscheiden.
8. Du kannst digitale Ergebnisse kritisch prüfen und einen eigenen Rechenweg begründen.

OERs zum Thema

Weitere freie Medien im Kurs: Die eingebundenen Grafiken stammen aus Wikimedia Commons. Die jeweiligen Dateibeschreibungsseiten enthalten Urheber- und Lizenzangaben.

Verknüpfte Lernbereiche

Reinquadratische Gleichungen Quadratzahl Quadratwurzel Quadratische Gleichung Parabel Quadratische Funktion Zahlengerade Probe Reelle Zahl