M9 G - Quadratwurzeln abschätzen

Einleitung

M9 G - Quadratwurzeln abschätzen

Mini-Beschreibung: Ordne eine Quadratwurzel zwischen benachbarte bekannte Quadratzahlen ein und schätze ihren Wert.

Zielgruppe: Klasse 9, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau.

Beispiel:

$49<60<64$

also

$7<\sqrt{60}<8$

Lernziele

Du kannst nach diesem aiMOOC:

1. Quadratzahlen erkennen und nutzen.
2. eine Zahl zwischen zwei benachbarte Quadratzahlen einordnen.
3. daraus eine Quadratwurzel abschätzen.
4. einen Schätzwert an der Zahlengeraden prüfen.
5. erklären, warum Deine Abschätzung stimmt.
6. Ergebnisse eines Taschenrechners, einer App oder einer KI kritisch prüfen.

Lehrplanbezug G-Niveau

Im Bildungsplan Mathematik Sekundarstufe I Baden-Württemberg gehört zum G-Niveau der Zusammenhang zwischen Quadrieren und Wurzelziehen sowie das Abschätzen von Quadratwurzeln mithilfe bekannter Quadratzahlen.

Bildungsplan Baden-Württemberg: Leitidee Zahl – Variable – Operation

Vorwissen-Check

Kannst Du diese Quadratzahlen ohne Taschenrechner ergänzen?

Ergänze.

$4^2=$

$6^2=$

$8^2=$

$10^2=$

Merke: Wurzelziehen macht das Quadrieren rückgängig.

$8^2=64⟺\sqrt{64}=8$

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Grundidee: Zwischen zwei Quadratzahlen

Für $\sqrt{60}$ suchst Du zwei bekannte Quadratzahlen:

$7^2=49$

$8^2=64$

Dann vergleichst Du:

$49<60<64$

Daraus folgt:

$7<\sqrt{60}<8$

Merksatz: Liegt eine Zahl zwischen zwei Quadratzahlen, dann liegt ihre Quadratwurzel zwischen den zugehörigen positiven ganzen Zahlen.

Allgemein:

$n^2<a<(n+1{)}^2$

führt zu

$n<\sqrt{a}<n+1$

Dynamische Zahlengerade

Bewege in der GeoGebra-Aktivität Punkte auf der Zahlengeraden. Beobachte, wo Quadratwurzeln zwischen ganzen Zahlen liegen.

Arbeitsauftrag: Suche nacheinander die Bereiche für $\sqrt{20}$, $\sqrt{40}$ und $\sqrt{70}$. Notiere jeweils nur die beiden benachbarten ganzen Zahlen.

Flächenmodell

Ein Quadrat mit Seitenlänge $s$ hat die Fläche

$A=s^2$.

Ist die Fläche bekannt, gilt:

$s=\sqrt{A}$.

Für $A=60$:

$7^2=49<60<64=8^2$

Also muss die Seitenlänge eines Quadrats mit $60{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ Fläche zwischen $7\mathrm{c}\mathrm{m}$ und $8\mathrm{c}\mathrm{m}$ liegen.

Beobachte: Verändere die Seitenlänge. Prüfe, wie sich die Fläche verändert. Kehre dann die Frage um: Welche Seitenlänge gehört zu einer vorgegebenen Fläche?

Schritt-für-Schritt-Methode

Schritt 1: Suche die nächstkleinere bekannte Quadratzahl.

Bei $\sqrt{52}$:

$7^2=49$

Schritt 2: Suche die nächstgrößere bekannte Quadratzahl.

$8^2=64$

Schritt 3: Schreibe die Einordnung.

$49<52<64$

Schritt 4: Ziehe daraus die Grenzen für die Wurzel.

$7<\sqrt{52}<8$

Schritt 5: Prüfe: Liegt Dein Ergebnis an der Zahlengeraden zwischen $7$ und $8$?

Animierter Rechenweg: Intervallschachtelung

Die folgende GeoGebra-Aktivität zeigt, wie ein Intervall Schritt für Schritt enger wird.

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Für G-Niveau wichtig: Zuerst reicht die sichere Einordnung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine genauere Näherung ist eine zusätzliche Kontrolle.

Interaktive Beispiele

Beispiel 1: $\sqrt{30}$

$5^2=25$

$6^2=36$

$25<30<36$

$5<\sqrt{30}<6$

<details> <summary>Hilfestufe 1</summary> Suche in der Reihe $1,4,9,16,25,36,49,\dots$ die beiden Zahlen direkt um $30$. </details>

<details> <summary>Feedback</summary> Richtig ist die Einordnung zwischen $5$ und $6$. Prüfe durch Quadrieren der beiden Grenzen. </details>

Beispiel 2: $\sqrt{90}$

<details> <summary>Hilfestufe 1</summary> Welche Quadratzahlen liegen direkt unter und über $90$? </details>

<details> <summary>Hilfestufe 2</summary> $9^2=81$ und $10^2=100$. </details>

<details> <summary>Lösung und Feedback</summary> $81<90<100$, also $9<\sqrt{90}<10$. </details>

Beispiel 3: genauer schätzen

Für $\sqrt{60}$ weißt Du:

$7<\sqrt{60}<8$

Prüfe Zehntel:

$\mathrm{7,}{7}^2=\mathrm{59,29}$

$\mathrm{7,}{8}^2=\mathrm{60,84}$

Damit gilt sogar:

$\mathrm{7,7}<\sqrt{60}<\mathrm{7,8}$

<details> <summary>Feedback</summary> Der Taschenrechner liefert ungefähr $\mathrm{7,746}$. Das passt zur Abschätzung. Die Abschätzung selbst wird durch das Quadrieren der Grenzen begründet. </details>

Übungen mit Hilfestufen

Übung A

Schätze $\sqrt{45}$ zwischen zwei ganzen Zahlen ab.

<details> <summary>Hilfestufe 1</summary> Suche zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen um $45$. </details>

<details> <summary>Hilfestufe 2</summary> $6^2=36$ und $7^2=49$. </details>

<details> <summary>Lösung und Feedback</summary> $36<45<49$, also $6<\sqrt{45}<7$. </details>

Übung B

Schätze $\sqrt{75}$ zwischen zwei ganzen Zahlen ab.

<details> <summary>Hilfestufe 1</summary> Vergleiche mit $8^2$ und $9^2$. </details>

<details> <summary>Lösung und Feedback</summary> $64<75<81$, also $8<\sqrt{75}<9$. </details>

Übung C

Ein quadratischer Platz hat eine Fläche von $50{\mathrm{m}}^2$. Zwischen welchen ganzen Meterwerten liegt seine Seitenlänge?

<details> <summary>Hilfestufe 1</summary> Die Seitenlänge ist $\sqrt{50}$. </details>

<details> <summary>Lösung und Feedback</summary> $49<50<64$, also $7<\sqrt{50}<8$. Die Seitenlänge liegt zwischen $7\mathrm{m}$ und $8\mathrm{m}$. </details>

Typische Fehler

Fehler 1: Nur die Zahl unter der Wurzel halbieren.

Falsch:

$\sqrt{60}=30$

Richtig ist die Suche nach Quadratzahlen:

$49<60<64$

Fehler 2: Die Quadratzahlen mit den Wurzelwerten verwechseln.

$7^2=49$, aber $\sqrt{49}=7$.

Fehler 3: Grenzen nennen, aber nicht begründen.

Besser:

$7^2=49<60<64=8^2$

also

$7<\sqrt{60}<8$.

Fehler 4: Einer digitalen Ausgabe blind vertrauen.

Prüfe immer mindestens durch Quadrieren geeigneter Grenzen.

Selbstkontrolle

Entscheide ohne Taschenrechner:

1. Liegt $\sqrt{15}$ zwischen $3$ und $4$?
2. Liegt $\sqrt{40}$ zwischen $6$ und $7$?
3. Liegt $\sqrt{82}$ zwischen $9$ und $10$?
4. Ist $\sqrt{64}=8$?
5. Ist $\sqrt{70}$ größer als $8$?

<details> <summary>Lösungen</summary> 1: Ja, weil $9<15<16$.
2: Ja, weil $36<40<49$.
3: Ja, weil $81<82<100$.
4: Ja.
5: Ja, weil $64<70$. </details>

Digitale Werkzeuge sinnvoll nutzen

Ein Rechner, GeoGebra oder eine KI kann Dir einen Näherungswert liefern. Du musst das Ergebnis trotzdem prüfen.

Beispiel:

Digitale Ausgabe: $\sqrt{60}\approx \mathrm{7,746}$

Plausibilitätscheck:

$7^2=49<60<64=8^2$

Der Wert $\mathrm{7,746}$ liegt zwischen $7$ und $8$. Das Ergebnis ist plausibel.

Datenschutz: Gib für Mathematikübungen keine personenbezogenen Daten ein.

KI-Hinweis: KI-Ausgaben können Fehler enthalten. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische Begründung und keinen Beweis.

Transfer

Ein quadratisches Beet hat $70{\mathrm{m}}^2$ Fläche.

Gesucht ist die ungefähre Seitenlänge.

$8^2=64$

$9^2=81$

also

$8<\sqrt{70}<9$.

Die Seitenlänge liegt zwischen $8\mathrm{m}$ und $9\mathrm{m}$.

Denkfrage: Ist die Seitenlänge näher bei $8$ oder bei $9$? Begründe mit einer zusätzlichen Probe.

Kompetenzcheck

Kreuze für Dich an:

1. Ich kenne wichtige Quadratzahlen mindestens von $1^2$ bis $12^2$.
2. Ich finde die Quadratzahl direkt unter einer gegebenen Zahl.
3. Ich finde die Quadratzahl direkt über einer gegebenen Zahl.
4. Ich kann daraus eine Wurzel zwischen zwei ganzen Zahlen einordnen.
5. Ich kann meinen Rechenweg mit einer Ungleichung darstellen.
6. Ich kann einen digitalen Näherungswert auf Plausibilität prüfen.

HSA-Vorbereitung: Wenn Du mindestens fünf Punkte sicher kannst, bearbeite anschließend Aufgaben mit gemischten Wurzeln ohne Taschenrechner.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Quadratzahlen helfen Dir besonders oft?
2. Welcher Schritt beim Abschätzen ist für Dich am wichtigsten?
3. Wie kannst Du prüfen, ob ein digitaler Näherungswert sinnvoll ist?
4. Welche Aufgabe möchtest Du noch einmal üben?

Folgekurs

Weiter geht es mit M9 G - Quadratwurzeln genauer bestimmen und M9 G - Quadratwurzeln anwenden.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Zwischen welchen ganzen Zahlen liegt $\sqrt{20}$? (4 und 5) (!3 und 4) (!5 und 6) (!6 und 7)

Welche Quadratzahlen begrenzen die Zahl 50? (49 und 64) (!36 und 49) (!64 und 81) (!25 und 36)

Welche Aussage ist richtig? ($7<\sqrt{60}<8$) (!$6<\sqrt{60}<7$) (!$8<\sqrt{60}<9$) (!$5<\sqrt{60}<6$)

Welche Quadratzahl gehört zu 9? (81) (!72) (!90) (!99)

Welche Quadratwurzel ist genau eine ganze Zahl? ($\sqrt{64}$) (!$\sqrt{60}$) (!$\sqrt{70}$) (!$\sqrt{80}$)

Zwischen welchen Zahlen liegt $\sqrt{35}$? (5 und 6) (!4 und 5) (!6 und 7) (!7 und 8)

Warum gilt $8<\sqrt{70}<9$? (Weil 64 kleiner als 70 und 70 kleiner als 81 ist) (!Weil 8 plus 9 gleich 17 ist) (!Weil 70 durch 8 teilbar ist) (!Weil 70 näher an 100 als an 0 liegt)

Welche Rechnung prüft die untere Grenze für $\sqrt{45}$? ($6^2=36$) (!$6+6=12$) (!$45:6=\mathrm{7,5}$) (!$5^2=25$)

Was bedeutet $\sqrt{49}=7$? ($7^2=49$) (!$49^2=7$) (!$7+7=49$) (!$49:2=7$)

Wie prüfst Du einen digitalen Wert für $\sqrt{90}$ am einfachsten auf Plausibilität? (Mit den Quadratzahlen 81 und 100) (!Mit den Zahlen 45 und 180) (!Nur mit der letzten Nachkommastelle) (!Gar nicht)

Memory

$5^2$	$25$
$6^2$	$36$
$7^2$	$49$
$8^2$	$64$
$9^2$	$81$
$10^2$	$100$

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
zwischen 4 und 5	$\sqrt{22}$
zwischen 5 und 6	$\sqrt{30}$
zwischen 6 und 7	$\sqrt{40}$
zwischen 7 und 8	$\sqrt{55}$
zwischen 8 und 9	$\sqrt{70}$

Kreuzworträtsel

Radikand	Wie heißt die Zahl unter dem Wurzelzeichen?
Quadrat	Welche Form hat im Flächenmodell vier gleich lange Seiten?
Wurzel	Welche Rechenoperation macht das Quadrieren rückgängig?
Grenze	Wie nennt man einen Randwert eines Intervalls?
Schätzung	Wie nennt man einen begründeten ungefähren Wert?
Intervall	Wie heißt ein Zahlenbereich zwischen zwei Grenzen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Um $\sqrt{60}$ abzuschätzen, suche ich zuerst bekannte . Direkt unter 60 liegt . Direkt über 60 liegt . Deshalb liegt $\sqrt{60}$ zwischen und . Zur Kontrolle kann ich die beiden Grenzen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Quadratzahlen-Karte: Gestalte eine kleine Lernkarte mit den Quadratzahlen von $1^2$ bis $12^2$.
2. Zahlengerade: Zeichne eine Zahlengerade von 0 bis 10 und markiere die ungefähren Positionen von $\sqrt{10}$, $\sqrt{20}$ und $\sqrt{50}$.
3. Flächenmodell: Zeichne Quadrate mit den Flächen $25$, $36$ und $49$ Flächeneinheiten und beschrifte ihre Seitenlängen.
4. Fehler finden: Erfinde eine falsche Abschätzung einer Quadratwurzel und korrigiere sie mit zwei Quadratzahlen.

Standard

1. Schätzweg erklären: Erkläre schriftlich, warum $6<\sqrt{40}<7$ gilt.
2. Alltagsaufgabe: Erfinde eine Sachaufgabe mit einer quadratischen Fläche zwischen $36$ und $49$ Quadratmetern.
3. Digitaler Vergleich: Schätze drei Quadratwurzeln zuerst ohne Hilfsmittel und vergleiche danach mit GeoGebra oder Taschenrechner.
4. Erklärvideo: Produziere ein kurzes Erklärvideo zum Abschätzen von $\sqrt{75}$. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. Genauer schätzen: Begrenze $\sqrt{50}$ zunächst zwischen zwei ganzen Zahlen und danach zwischen zwei Zehnteln.
2. Strategien vergleichen: Vergleiche die Einordnung mit Quadratzahlen und die Intervallschachtelung. Beschreibe, wann welcher Weg sinnvoll ist.
3. Plausibilitätsprüfung: Prüfe fünf vorgegebene digitale Näherungswerte und begründe jeweils, ob sie möglich sind.
4. KI-Prüfauftrag: Lass Dir von einer KI eine Abschätzung erklären. Prüfe jeden Rechenschritt selbst durch Quadrieren und dokumentiere gefundene Fehler.

Lernkontrolle

1. Begründen statt raten: Erkläre, warum aus $64<70<81$ die Aussage $8<\sqrt{70}<9$ folgt.
2. Fehleranalyse: Eine Person behauptet $7<\sqrt{70}<8$. Finde den Fehler und korrigiere die Aussage.
3. Flächentransfer: Ein Quadrat besitzt $95{\mathrm{c}\mathrm{m}}^2$ Fläche. Bestimme zwei ganze Zahlen, zwischen denen seine Seitenlänge liegt, und begründe.
4. Digitale Kontrolle: Ein Rechner zeigt für $\sqrt{45}$ den Wert $\mathrm{8,7}$. Prüfe ohne erneute Wurzelberechnung, ob das stimmen kann.
5. Darstellungswechsel: Stelle dieselbe Abschätzung für $\sqrt{55}$ als Ungleichung, auf einer Zahlengeraden und mit einem Flächenmodell dar.
6. Transferaufgabe: Finde selbst eine Zahl $a$, für die $9<\sqrt{a}<10$ gilt, und begründe Deine Wahl.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis ist wichtig:

1. bekannte Quadratzahlen sicher zu verwenden.
2. die beiden passenden Nachbarquadratzahlen zu finden.
3. eine korrekte Ungleichung aufzuschreiben.
4. die Wurzel daraus zwischen zwei Zahlen einzuordnen.
5. die Abschätzung durch Quadrieren zu begründen.
6. einen Sachzusammenhang mit einer Quadratfläche zu erklären.
7. digitale Ergebnisse auf Plausibilität zu prüfen.
8. den Rechenweg verständlich und ohne personenbezogene Daten zu dokumentieren.

OERs zum Thema

Freie und weiterführende Medien:

1. Wikimedia Commons: SquareNumbers.svg
2. Wikimedia Commons: Square-root.svg
3. Wikimedia Commons: Quadratwurzel von 2 auf der Zahlengeraden
4. GeoGebra: Square Roots on the Number Line, CC BY 4.0
5. GeoGebra: Berechnen der Wurzel durch Intervallschachtelung
6. Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Reelle Zahlen und Wurzeln

Verknüpfte Lernbereiche

Quadratwurzeln Quadratzahlen Wurzelziehen Zahlengerade Ungleichungen Quadrat Flächeninhalt Intervallschachtelung Plausibilitätsprüfung