M9 G - Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen

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M9 G - Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen

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M9 G - Laplace-Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mini-Beschreibung: Du berechnest Wahrscheinlichkeiten bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen und deutest das Ergebnis als Anteil. Du arbeitest mit Würfel-, Karten- und Glücksradmodellen.

Niveau: Klasse 9, Baden-Württemberg, G-Niveau. Der Kurs ist kleinschrittig aufgebaut und unterstützt die Vorbereitung auf den Hauptschulabschluss.

Einstieg

Ein fairer Würfel hat sechs mögliche Ergebnisse. Bei einem fairen Würfel sind alle sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Gesucht ist zum Beispiel das Ereignis:

$E=\{\text{2, 4, 6}\}$

Es gibt drei günstige Ergebnisse und sechs mögliche Ergebnisse.

$P(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=\mathrm{0,5}=50\mathrm{\%}$

Merke:

$P(E)=\frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}$

Das gilt bei einem Laplace-Experiment: Alle einzelnen Ergebnisse müssen gleich wahrscheinlich sein.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Laplace-Experiment: erkennen, ob Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
2. Ergebnismenge: mögliche Ergebnisse übersichtlich angeben.
3. Ereignis: günstige Ergebnisse bestimmen.
4. Wahrscheinlichkeit: mit $P(E)=\frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}$ rechnen.
5. Bruch: Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl und Prozentwert darstellen.
6. Interpretation: ein Ergebnis wie $25\mathrm{\%}$ als Anteil deuten.
7. Selbstkontrolle: prüfen, ob eine Wahrscheinlichkeit zwischen $0$ und $1$ beziehungsweise zwischen $0\mathrm{\%}$ und $100\mathrm{\%}$ liegt.

Vorwissen-Check

Prüfe zuerst kurz Dein Vorwissen.

Aufgabe	Ergänzung
$\frac{1}{2}$	50 %
$\frac{1}{4}$	25 %
$\frac{3}{4}$	75 %
$\mathrm{0,2}$	20 %
$1$	100 %

Selbstcheck: Wenn Dir Brüche und Prozentwerte noch schwerfallen, wiederhole zuerst Brüche und Prozentrechnung.

Das Laplace-Prinzip

Ein Laplace-Modell hat endlich viele mögliche Ergebnisse. Jedes einzelne Ergebnis ist gleich wahrscheinlich.

Bei einem fairen Würfel gilt:

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

$|\Omega |=6$

Für jede einzelne Augenzahl gilt:

$P(1)=P(2)=\dots =P(6)=\frac{1}{6}$

Für ein Ereignis $E$ zählt man zuerst die günstigen Ergebnisse.

$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega |}$

oder anschaulich:

$P(E)=\frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}$

Visuelle Schrittfolge

Schritt 1: Schreibe oder zähle alle möglichen Ergebnisse.

Schritt 2: Markiere die Ergebnisse, die zum Ereignis passen.

Schritt 3: Setze beide Anzahlen in die Laplace-Formel ein.

Schritt 4: Kürze den Bruch und wandle ihn bei Bedarf in Prozent um.

Beispiel zum Aufklappen: Gerade Zahl beim Würfeln

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$
$E=\{2,4,6\}$
$|E|=3$ und $|\Omega |=6$
$P(E)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$
Deutung: Bei sehr vielen Würfen erwartet man ungefähr die Hälfte der Würfe mit einer geraden Augenzahl.

Wahrscheinlichkeiten als Anteil verstehen

Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Anteil am Ganzen.

$0\le P(E)\le 1$

und gleichbedeutend:

$0\mathrm{\%}\le P(E)\le 100\mathrm{\%}$

$0$ ───── $\frac{1}{4}$ ───── $\frac{1}{2}$ ───── $\frac{3}{4}$ ───── $1$
$0\mathrm{\%}$ ── $25\mathrm{\%}$ ── $50\mathrm{\%}$ ── $75\mathrm{\%}$ ── $100\mathrm{\%}$

Denkfrage: Wo liegt $\frac{3}{8}$ ungefähr auf dieser Zahlengeraden?

Lösung anzeigen

$\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$. Der Wert liegt zwischen $25\mathrm{\%}$ und $50\mathrm{\%}$.

Modell 1: Würfel

Ein fairer sechsseitiger Würfel besitzt sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse.

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als $4$ zu würfeln?

$\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$

$E=\{5,6\}$

$P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx \mathrm{33,3}\mathrm{\%}$

Interpretation: Ungefähr ein Drittel der möglichen Würfelergebnisse ist günstig.

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Übung mit Hilfestufen: Würfel

Aufgabe: Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine Augenzahl kleiner als $5$.

Hilfe 1

Schreibe zuerst alle möglichen Augenzahlen auf.

Hilfe 2

Günstig sind $1,2,3,4$.

Lösung und Feedback

$P(E)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\approx \mathrm{66,7}\mathrm{\%}$.
Wenn Du $\frac{4}{6}$ erhalten hast, ist das bereits korrekt. Kürzen macht das Ergebnis übersichtlicher.

Modell 2: Karten

Für die Aufgaben in diesem Kurs verwenden wir ein Kartenpaket mit $52$ Karten ohne Joker.

Es gibt vier Farben mit jeweils $13$ Karten. Rot sind Herz und Karo, also zusammen $26$ Karten.

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Karte zu ziehen?

$P(\text{rot})=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$

Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen?

Es gibt $4$ Asse.

$P(\text{Ass})=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\approx \mathrm{7,7}\mathrm{\%}$

Übung mit Hilfestufen: Karten

Aufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus $52$ Karten eine Herz-Karte zu ziehen?

Hilfe 1

Eine Farbe enthält $13$ Karten.

Hilfe 2

Setze $13$ günstige und $52$ mögliche Ergebnisse ein.

Lösung und Feedback

$P(\text{Herz})=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}=25\mathrm{\%}$.
Prüfe die Deutung: Eine von vier Kartenfarben ist Herz.

Modell 3: Glücksrad

Ein Glücksrad ist ein Laplace-Modell, wenn die einzelnen Felder gleich groß sind und die Drehung fair ist.

Für ein einfaches Lernmodell nehmen wir ein Glücksrad mit $8$ gleich großen Feldern. Davon sind $3$ grün.

$P(\text{grün})=\frac{3}{8}=\mathrm{0,375}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$

Bruchdarstellung:

🟩 🟩 🟩 ⬜ ⬜ ⬜ ⬜ ⬜

$\frac{3}{8}$ der gleich großen Felder sind günstig.

Achtung: Nicht jedes Glücksrad ist ein Laplace-Modell

Sind die Felder unterschiedlich groß, darfst Du nicht einfach die Anzahl der Felder zählen.

Bei gleich großen Feldern:

$P(E)=\frac{\text{günstige Felder}}{\text{alle Felder}}$

Bei unterschiedlich großen Feldern muss die Größe der Flächen beziehungsweise Winkel berücksichtigt werden. Das wird hier nicht vertieft.

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= Beispiel A: Würfel

Ereignis: „Eine Zahl durch $3$ teilbar“.

$E=\{3,6\}$

$P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx \mathrm{33,3}\mathrm{\%}$

Warum?

Von sechs gleich wahrscheinlichen Augenzahlen sind genau zwei günstig.

= Beispiel B: Karten

Ereignis: „Eine Dame ziehen“.

$|E|=4$

$|\Omega |=52$

$P(E)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\approx \mathrm{7,7}\mathrm{\%}$

= Beispiel C: Glücksrad

Ein Glücksrad hat $10$ gleich große Felder. $4$ davon tragen einen Stern.

$P(\text{Stern})=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}=40\mathrm{\%}$

Schnellcheck: $40\mathrm{\%}$ bedeutet: $40$ von $100$ gleichartigen Anteilen.

Typische Fehler

Fehler	Besser
günstige und mögliche Ergebnisse vertauschen	oben günstig, unten möglich
ungleich große Glücksradfelder einfach zählen	zuerst Gleichwahrscheinlichkeit prüfen
$\frac{3}{8}=\mathrm{3,8}\mathrm{\%}$	$\frac{3}{8}=\mathrm{37,5}\mathrm{\%}$
Wahrscheinlichkeit größer als $100\mathrm{\%}$	Rechnung prüfen
Ergebnis ohne Deutung	Anteil in einem Satz erklären

Merksatz: Erst prüfen, ob ein Laplace-Modell vorliegt. Dann zählen. Dann rechnen. Danach das Ergebnis deuten.

Selbstkontrolle

Prüfe jede Lösung mit drei Fragen:

1. Liegt das Ergebnis zwischen $0$ und $1$?
2. Sind günstige Ergebnisse höchstens so viele wie mögliche Ergebnisse?
3. Passt der Prozentwert zur Situation?

Beispiel:

$\frac{7}{5}=\mathrm{1,4}=140\mathrm{\%}$

Das kann bei einer normalen Wahrscheinlichkeit nicht stimmen. Die Zählung oder der Bruch muss falsch sein.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Digitale Hilfsmittel können Würfe, Karten oder Glücksräder simulieren. Eine Simulation liefert aber meist eine relative Häufigkeit. Die Laplace-Formel liefert für das Modell eine theoretische Wahrscheinlichkeit.

Beispiel:

Bei $100$ simulierten Würfen kann eine Sechs auch $13$-mal auftreten.

$\frac{13}{100}=13\mathrm{\%}$

Die theoretische Wahrscheinlichkeit bleibt beim fairen Würfel:

$P(6)=\frac{1}{6}\approx \mathrm{16,7}\mathrm{\%}$

Je mehr Versuche durchgeführt werden, desto näher kann die relative Häufigkeit an die theoretische Wahrscheinlichkeit herankommen. Einzelne Simulationen beweisen die Wahrscheinlichkeit nicht.

Datenschutz: Gib bei Online-Simulationen keine Namen, Adressen oder andere personenbezogene Daten ein.

KI-Hinweis: KI-Ausgaben können Rechenfehler enthalten. Prüfe Anzahl der Ergebnisse, Formel und Rechnung selbst. Eine KI-Antwort ersetzt keine mathematische Begründung.

Transfer

Ein Gewinnspiel verwendet $20$ gleich große Lose. Davon sind $3$ Gewinne.

$P(\text{Gewinn})=\frac{3}{20}=\mathrm{0,15}=15\mathrm{\%}$

Transferfrage: Würdest Du bei $100$ Teilnahmen genau $15$ Gewinne erwarten?

Nein. $15\mathrm{\%}$ beschreibt eine Wahrscheinlichkeit. Bei einer endlichen Anzahl von Versuchen können die tatsächlichen Ergebnisse abweichen.

Kompetenzcheck

1. Würfel

Gesucht: Zahl mindestens $5$.
$E=\{5,6\}$
$P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx \mathrm{33,3}\mathrm{\%}$.

2. Karten

Gesucht: ein König aus $52$ Karten.
$P(E)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\approx \mathrm{7,7}\mathrm{\%}$.

3. Glücksrad

$5$ günstige von $12$ gleich großen Feldern.
$P(E)=\frac{5}{12}\approx \mathrm{41,7}\mathrm{\%}$.

Reflexion

Beantworte für Dich:

1. Kann ich erklären, wann ein Laplace-Modell vorliegt?
2. Kann ich günstige und mögliche Ergebnisse unterscheiden?
3. Kann ich einen Bruch in Prozent umwandeln?
4. Kann ich mein Ergebnis als Anteil deuten?
5. Prüfe ich digitale Ergebnisse selbst nach?

Folgekurs

Als nächster Schritt passt Mehrstufige Zufallsexperimente: Dort werden mehrere Zufallsschritte nacheinander betrachtet. Vorher solltest Du die Laplace-Formel sicher anwenden können.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann liegt ein Laplace-Experiment vor? (Alle einzelnen Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich) (!Es gibt genau zwei Ergebnisse) (!Das Ergebnis ist immer sicher) (!Die Ergebnisse treten immer abwechselnd auf)

Wie lautet die Laplace-Formel? (P von E ist günstige Ergebnisse geteilt durch mögliche Ergebnisse) (!P von E ist mögliche Ergebnisse geteilt durch günstige Ergebnisse) (!P von E ist günstige Ergebnisse mal mögliche Ergebnisse) (!P von E ist günstige Ergebnisse plus mögliche Ergebnisse)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine gerade Zahl beim fairen Würfel? (50 Prozent) (!16,7 Prozent) (!33,3 Prozent) (!66,7 Prozent)

Wie viele mögliche Ergebnisse hat ein fairer sechsseitiger Würfel? (6) (!3) (!12) (!36)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Herz-Karte aus 52 Karten ohne Joker? (25 Prozent) (!13 Prozent) (!50 Prozent) (!75 Prozent)

Wie viele Asse enthält ein normales 52-Karten-Paket ohne Joker? (4) (!2) (!13) (!26)

Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder, davon 3 grüne. Wie groß ist P grün? (3 von 8) (!8 von 3) (!3 von 5) (!5 von 8)

Welche Aussage zu Wahrscheinlichkeiten ist richtig? (Sie liegen zwischen 0 und 1) (!Sie sind immer größer als 1) (!Sie sind immer ganze Zahlen) (!Sie können beliebig negativ sein)

Was bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von 40 Prozent als Anteil? (40 von 100) (!4 von 1000) (!60 von 100) (!100 von 40)

Was musst Du vor dem Anwenden der Laplace-Formel prüfen? (Ob die einzelnen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind) (!Ob das Ergebnis eine ganze Zahl ist) (!Ob mindestens 100 Versuche gemacht wurden) (!Ob eine Tabelle vorhanden ist)

Memory

Laplace-Experiment	gleich wahrscheinliche Ergebnisse
günstige Ergebnisse	passen zum gesuchten Ereignis
mögliche Ergebnisse	alle Ergebnisse des Modells
Würfel	sechs gleich wahrscheinliche Augenzahlen
Kartenpaket	52 Karten ohne Joker
Wahrscheinlichkeit	Anteil zwischen null und eins

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
günstige Ergebnisse	Zähler der Laplace-Formel
mögliche Ergebnisse	Nenner der Laplace-Formel
50 Prozent	ein Halb
25 Prozent	ein Viertel
Laplace-Modell	gleich wahrscheinliche Einzelergebnisse

Kreuzworträtsel

Laplace	Nach welchem Mathematiker ist das Modell benannt?
Wuerfel	Welches Spielgerät besitzt meist sechs Augenzahlen?
Ereignis	Wie heißt eine Menge günstiger Ergebnisse?
Kartenstapel	Woraus kann beim Kartenmodell gezogen werden?
Gluecksrad	Welches drehbare Zufallsgerät besitzt Felder?
Prozentwert	Welche Darstellungsform nutzt das Prozentzeichen?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Bei einem Laplace-Experiment sind die einzelnen Ergebnisse . Im Zähler der Laplace-Formel steht die Anzahl der . Im Nenner steht die Anzahl der . Beim fairen Würfel gibt es mögliche Augenzahlen. Eine Wahrscheinlichkeit von einem Halb entspricht . Ein Ergebnis von drei Achteln entspricht .

= Leicht: Würfel

Aufgabe: Ein fairer Würfel wird einmal geworfen. Berechne $P(E)$ für $E=\{1,2\}$.

Hilfe

Es gibt $2$ günstige und $6$ mögliche Ergebnisse.

Feedback

$P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx \mathrm{33,3}\mathrm{\%}$.

= Standard: Karten

Aufgabe: Aus $52$ Karten wird eine Karte gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Karte.

Hilfe

Pik und Kreuz sind schwarz. Zusammen sind das $26$ Karten.

Feedback

$P(\text{schwarz})=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}=50\mathrm{\%}$.

= HSA-Vorbereitung: Glücksrad

Ein Glücksrad besitzt $12$ gleich große Felder. Auf $5$ Feldern steht ein Gewinn.

Aufgabe: Berechne und deute die Gewinnwahrscheinlichkeit.

Hilfe 1

Setze $5$ günstige und $12$ mögliche Ergebnisse ein.

Hilfe 2

$\frac{5}{12}\approx \mathrm{0,4167}$.

Lösung und Rückmeldung

$P(\text{Gewinn})=\frac{5}{12}\approx \mathrm{41,7}\mathrm{\%}$.
Deutung: Etwa $\mathrm{41,7}\mathrm{\%}$ der gleich wahrscheinlichen Felder sind Gewinnfelder. Das bedeutet nicht, dass bei zwölf Drehungen sicher genau fünf Gewinne auftreten.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Würfelmodell: Zeichne die sechs Würfelergebnisse und markiere alle Ergebnisse, die größer als $3$ sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit.
2. Kartenmodell: Erstelle eine Skizze mit vier Kartenfarben und notiere den Anteil jeder Farbe an $52$ Karten.
3. Glücksradmodell: Entwirf ein Glücksrad mit $8$ gleich großen Feldern und genau $25\mathrm{\%}$ Gewinnwahrscheinlichkeit.
4. Prozentdarstellung: Stelle $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$ jeweils als Bruch, Dezimalzahl und Prozentwert dar.

Standard

1. Ereignis beschreiben: Erfinde zu einem Würfel ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{3}$ und begründe Deine Wahl.
2. Karten untersuchen: Formuliere zwei verschiedene Ereignisse beim Ziehen einer Karte, die jeweils Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{4}$ besitzen.
3. Glücksrad vergleichen: Zeichne zwei verschiedene Glücksräder mit gleich großen Feldern, bei denen die Gewinnwahrscheinlichkeit jeweils $50\mathrm{\%}$ beträgt.
4. Simulation prüfen: Simuliere $50$ Würfe mit einem digitalen Würfel. Vergleiche die relative Häufigkeit der Sechs mit $\frac{1}{6}$. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. Fehleranalyse: Erkläre, warum bei einem Glücksrad mit verschieden großen Feldern die Anzahl der Felder allein nicht genügt.
2. Modellkritik: Finde ein Alltagsbeispiel, das nur dann ein Laplace-Modell ist, wenn eine bestimmte Fairness-Annahme gilt. Beschreibe diese Annahme.
3. Darstellungswechsel: Erstelle ein Lernplakat, das denselben Wahrscheinlichkeitswert als Bruch, Dezimalzahl, Prozentwert und markierten Anteil zeigt.
4. Prüfaufgabe entwerfen: Formuliere eine eigene HSA-nahe Aufgabe zu Würfel, Karten oder Glücksrad und schreibe eine vollständige Musterlösung mit Rechenweg und Deutung.

Lernkontrolle

1. Modell prüfen: Ein Glücksrad hat vier Felder, aber eines davon ist doppelt so groß wie die anderen. Erkläre, warum die Laplace-Formel mit bloßem Felderzählen hier nicht direkt eingesetzt werden darf.
2. Darstellungen verbinden: Begründe, warum $\frac{3}{4}$, $\mathrm{0,75}$ und $75\mathrm{\%}$ denselben Anteil beschreiben.
3. Würfel übertragen: Ein Ereignis beim Würfeln hat Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$. Nenne zwei verschiedene passende Ereignisse und begründe.
4. Karten übertragen: Erkläre, warum die Wahrscheinlichkeit für Herz aus einem normalen Kartenpaket $\frac{1}{4}$ beträgt, ohne alle $52$ Karten einzeln aufzuschreiben.
5. Simulation bewerten: Bei $60$ digitalen Würfen erscheint die Sechs $14$-mal. Vergleiche die relative Häufigkeit mit der theoretischen Wahrscheinlichkeit und erkläre, warum beide Werte verschieden sein dürfen.
6. Fehler korrigieren: Eine Person rechnet $P(E)=\frac{12}{5}$. Erkläre, woran Du sofort erkennst, dass das Ergebnis nicht stimmen kann, und nenne eine mögliche Ursache.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis zu diesem Thema solltest Du zeigen können:

1. Du erkennst Laplace-Situationen.
2. Du bestimmst günstige und mögliche Ergebnisse.
3. Du verwendest $P(E)=\frac{\text{günstige Ergebnisse}}{\text{mögliche Ergebnisse}}$ korrekt.
4. Du wandelst einfache Brüche in Dezimalzahlen und Prozentwerte um.
5. Du deutest eine Wahrscheinlichkeit als Anteil.
6. Du erklärst Deinen Rechenweg nachvollziehbar.
7. Du prüfst, ob ein Ergebnis zwischen $0$ und $1$ liegt.
8. Du kannst erklären, warum Simulation und theoretische Wahrscheinlichkeit nicht immer exakt übereinstimmen.

OERs zum Thema

Weiterführende freie Informationen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Stochastik, Diskrete Gleichverteilung

Medien- und Quellenhinweise

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien besitzen auf ihrer jeweiligen Dateibeschreibungsseite Angaben zu Urheber, Quelle und freier Lizenz beziehungsweise Gemeinfreiheit.

1. Die Faces.svg
2. Theoretische Wahrscheinlichkeit Spielwürfel
3. English pattern playing cards deck.svg
4. Basic roulette wheel.svg
5. Pierre-Simon Laplace.jpg
6. Laplace-Formel
7. Wahrscheinlichkeitstheorie

Verknüpfte Lernbereiche

Wahrscheinlichkeitsrechnung Laplace-Experiment Ergebnismenge Ereignis Bruch Prozentrechnung Relative Häufigkeit Zufallsexperiment