M8 M - Lineare Gleichungssysteme rechnerisch lösen

Einleitung

Mini-Beschreibung: Bestimme die Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen mithilfe eines geeigneten rechnerischen Verfahrens.

Du arbeitest auf M-Niveau in Klasse 8. Ziel ist nicht nur ein richtiges Ergebnis: Du sollst Deinen Rechenweg übersichtlich darstellen, ein passendes Verfahren auswählen, die Lösung prüfen und den Zusammenhang zur graphischen Lösung erklären.

$\begin{array}{cc}2x+y& =7\\ x-y& =2\end{array}$

Ein lineares Gleichungssystem ist gelöst, wenn ein Zahlenpaar $(x|y)$ beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

Graphische Idee: Jede lineare Gleichung beschreibt eine Gerade. Der gemeinsame Schnittpunkt der beiden Geraden ist die Lösung des Gleichungssystems.

Datei:Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren - kolleg24 Mathematik.webm

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. ein LGS mit zwei Variablen erkennen und eine Lösung als Zahlenpaar angeben,
2. je nach Form das Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren oder Additionsverfahren auswählen,
3. einen Rechenweg schrittweise und fachsprachlich nachvollziehbar darstellen,
4. rechnerische und graphische Lösung miteinander verknüpfen,
5. Ergebnisse durch Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen prüfen,
6. digitale Ergebnisse kritisch kontrollieren und begründen.

Vorwissen-Check

Löse zunächst ohne digitalen Gleichungslöser:

A $3x+5=17$

B Stelle $x+y=5$ nach $y$ um.

C Berechne für $y=2x-1$ den Wert von $y$ bei $x=3$.

Lösungen anzeigen

A: $x=4$
B: $y=5-x$
C: $y=5$

Wenn Dir B schwerfällt, wiederhole kurz Äquivalenzumformungen und lineare Funktionen.

Drei rechnerische Verfahren

Merksatz: Alle drei Verfahren verfolgen dasselbe Ziel: Aus zwei Gleichungen mit $x$ und $y$ entsteht zuerst eine Gleichung mit nur einer Variablen.

Einsetzungsverfahren

Günstig, wenn eine Variable bereits allein steht oder leicht freigestellt werden kann.

$\begin{array}{cc}\text{I: }y& =2x-1\\ \text{II: }x+y& =8\end{array}$

Schritt 1 – einsetzen

$x+(2x-1)=8$

Schritt 2 – eine Variable bestimmen

$3x-1=8\Rightarrow 3x=9\Rightarrow x=3$

Schritt 3 – zurück einsetzen

$y=2\cdot 3-1=5$

Lösung: $L=\{(3|5)\}$

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Gleichsetzungsverfahren

Günstig, wenn beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst sind.

$\begin{array}{cc}\text{I: }y& =3x-5\\ \text{II: }y& =x-1\end{array}$

Da beide Terme gleich $y$ sind:

$3x-5=x-1$

$2x=4\Rightarrow x=2$

$y=2-1=1$

Lösung: $L=\{(2|1)\}$

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Additionsverfahren

Günstig, wenn sich eine Variable beim Addieren oder Subtrahieren direkt aufhebt oder die Koeffizienten leicht passend gemacht werden können.

$\begin{array}{cc}\text{I: }x+2y& =4\\ \text{II: }3x-y& =5\end{array}$

Zweite Gleichung mit $2$ multiplizieren:

$6x-2y=10$

Nun addieren:

$(x+2y)+(6x-2y)=4+10$

$7x=14\Rightarrow x=2$

Einsetzen in I:

$2+2y=4\Rightarrow y=1$

Lösung: $L=\{(2|1)\}$

Welches Verfahren passt?

Einsetzen: Eine Variable steht schon allein.
Gleichsetzen: Beide Gleichungen stehen nach derselben Variablen aufgelöst.
Addieren: Koeffizienten sind gleich, entgegengesetzt oder leicht passend zu machen.

Es gibt oft mehrere sinnvolle Wege. Auf M-Niveau sollst Du zunehmend selbstständig entscheiden und Deine Wahl kurz begründen.

Verbindung zur graphischen Lösung

Rechnerisch erhältst Du meist einen exakten Schnittpunkt. Graphisch kannst Du die Lösung sichtbar machen und häufig näherungsweise ablesen.

$\begin{array}{cc}y& =-x+5\\ y& =\frac{1}{2}x+2\end{array}$

Der Schnittpunkt liegt bei $(2|3)$. Genau dasselbe Zahlenpaar erhältst Du durch Gleichsetzen:

$-x+5=\frac{1}{2}x+2$

$3=\frac{3}{2}x\Rightarrow x=2,y=3$

Wie viele Lösungen gibt es?

Eine Lösung: Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.

Keine Lösung: Die Geraden sind verschieden und parallel.

Beispiel:

$\begin{array}{cc}y& =2x+1\\ y& =2x-3\end{array}$

Gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte: kein Schnittpunkt.

Unendlich viele Lösungen: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

$\begin{array}{cc}y& =-x+4\\ 2x+2y& =8\end{array}$

Die zweite Gleichung lässt sich zu $y=-x+4$ umformen.

Interaktive Beispiele und Übungen

Beispiel 1: Verfahren wählen

Gegeben:

$\begin{array}{cc}y& =4x-7\\ 2x+y& =11\end{array}$

Denkfrage: Welches Verfahren ist besonders direkt?

Hilfestufe 1

In der ersten Gleichung steht $y$ bereits allein.

Hilfestufe 2

Setze $4x-7$ für $y$ in die zweite Gleichung ein.

Feedback und Lösung

$2x+(4x-7)=11$
$6x=18\Rightarrow x=3$
$y=4\cdot 3-7=5$
Also $L=\{(3|5)\}$. Das Einsetzungsverfahren ist hier besonders kurz.

Beispiel 2: Addieren

Gegeben:

$\begin{array}{cc}2x+y& =7\\ x-y& =2\end{array}$

Hilfestufe 1

Beim Addieren verschwindet $y$.

Hilfestufe 2

Addiere die linken und rechten Seiten: $3x=9$.

Feedback und Lösung

$x=3$. Dann $3-y=2$, also $y=1$.
$L=\{(3|1)\}$.

Beispiel 3: Gleichsetzen und graphisch denken

Gegeben:

$\begin{array}{cc}y& =-x+6\\ y& =2x\end{array}$

Hilfestufe 1

Beide rechten Seiten sind gleich $y$.

Hilfestufe 2

Setze $-x+6=2x$.

Feedback und Lösung

$6=3x\Rightarrow x=2$ und $y=4$.
Graphisch ist $(2|4)$ der Schnittpunkt der beiden Geraden.

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Typische Fehler

Vorzeichenfehler: Wird eine ganze Gleichung mit $-1$ oder einer anderen Zahl multipliziert, müssen alle Terme und die rechte Seite mitmultipliziert werden.

Nur eine Variable angegeben: Ein LGS mit zwei Variablen braucht normalerweise ein Zahlenpaar $(x|y)$.

Probe nur in einer Gleichung: Eine Lösung muss beide Ausgangsgleichungen erfüllen.

Graph zu ungenau abgelesen: Nutze den Graphen zur Kontrolle, aber überprüfe den Schnittpunkt rechnerisch, wenn eine exakte Lösung verlangt ist.

Digitales Ergebnis ungeprüft übernommen: Rechner, CAS oder KI können Fehler enthalten oder Eingaben missverstehen. Prüfe Ergebnis, Rechenweg und Probe selbst. Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen Beweis.

Digitale Werkzeuge sinnvoll nutzen

Ein Graphenzeichner kann zwei Geraden schnell darstellen. Vergleiche den angezeigten Schnittpunkt mit Deiner Rechnung.

Verwende bei digitalen Aufgaben nur erfundene oder schulisch freigegebene Daten und keine personenbezogenen Daten.

Prüffrage: Passt das digitale Ergebnis in beide Ausgangsgleichungen?

Selbstkontrolle

Bearbeite zuerst ohne Lösungshinweis.

1. $y=x+2$ und $2x+y=8$

2. $y=5-x$ und $y=2x-1$

3. $3x+y=10$ und $x-y=2$

Ergebnisse

1: $L=\{(2|4)\}$
2: $L=\{(2|3)\}$
3: $L=\{(3|1)\}$

Transfer

Am Schulkiosk gelten erfundene Preise: Zwei Sandwiches und ein Getränk kosten $9\text{€}$. Ein Sandwich und zwei Getränke kosten $6\text{€}$.

Setze $s$ für den Sandwichpreis und $g$ für den Getränkepreis.

$\begin{array}{cc}2s+g& =9\\ s+2g& =6\end{array}$

1. Wähle ein geeignetes rechnerisches Verfahren.
2. Bestimme $s$ und $g$.
3. Prüfe das Ergebnis in beiden Gleichungen.
4. Erkläre in einem Satz, was die Lösung in der Sachsituation bedeutet.

Kontrolle

$g=1$ und $s=4$. Also kostet das Sandwich $4\text{€}$ und das Getränk $1\text{€}$.

Kompetenzcheck

Du hast das Ziel erreicht, wenn Du ohne Musterlösung:

1. bei einem LGS ein passendes Verfahren auswählst und die Wahl begründest,
2. Äquivalenzumformungen sicher durchführst,
3. beide Variablen bestimmst und die Lösung als Zahlenpaar angibst,
4. die Probe in beiden Ausgangsgleichungen ausführst,
5. den Schnittpunkt der Geraden mit der rechnerischen Lösung verbindest,
6. einen digitalen Lösungsvorschlag rechnerisch überprüfen kannst.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Wann ist das Einsetzungsverfahren besonders günstig? (Wenn eine Variable bereits allein steht) (!Wenn beide Geraden parallel sind) (!Wenn keine Variable vorkommt) (!Nur wenn alle Zahlen positiv sind)

Was bedeutet die Lösung eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen? (Ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt) (!Eine Zahl, die nur die erste Gleichung erfüllt) (!Der y-Achsenabschnitt der ersten Geraden) (!Die Summe aller Koeffizienten)

Welche graphische Bedeutung hat eine eindeutige Lösung? (Die Geraden schneiden sich in genau einem Punkt) (!Die Geraden sind immer parallel) (!Die Geraden liegen auf den Koordinatenachsen) (!Die Geraden haben keinen gemeinsamen Punkt)

Welche Gleichung entsteht beim Gleichsetzungsverfahren aus y=3x-5 und y=x-1? (3x-5=x-1) (!3x-5=x+1) (!3x+5=x-1) (!3x-5=y-1)

Was ist beim Additionsverfahren das zentrale Ziel? (Eine Variable durch Addieren oder Subtrahieren zu beseitigen) (!Beide Variablen sofort auf null zu setzen) (!Nur die rechten Seiten zu addieren) (!Jede Gleichung graphisch zu zeichnen)

Welche Lösung hat y=2x und y=-x+6? (x=2 und y=4) (!x=4 und y=2) (!x=2 und y=2) (!x=3 und y=3)

Was gilt bei zwei verschiedenen parallelen Geraden? (Das Gleichungssystem hat keine Lösung) (!Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung) (!Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen) (!Beide Gleichungen sind immer identisch)

Wozu dient die Probe? (Sie prüft, ob das Zahlenpaar beide Ausgangsgleichungen erfüllt) (!Sie ersetzt den Rechenweg vollständig) (!Sie bestimmt automatisch das passende Verfahren) (!Sie prüft nur die erste Gleichung)

Was musst Du tun, wenn Du eine Gleichung mit 2 multiplizierst? (Alle Terme auf beiden Seiten mit 2 multiplizieren) (!Nur den ersten Term mit 2 multiplizieren) (!Nur die rechte Seite mit 2 multiplizieren) (!Nur die Variable y mit 2 multiplizieren)

Wie solltest Du ein digitales Ergebnis zu einem LGS behandeln? (Durch Einsetzen und eigenen Rechenweg prüfen) (!Ungeprüft übernehmen) (!Nur den Graphen ansehen) (!Die Ausgangsgleichungen danach löschen)

Memory

Einsetzungsverfahren	Einen Ausdruck für eine Variable in die andere Gleichung einsetzen
Gleichsetzungsverfahren	Zwei Ausdrücke für dieselbe Variable gleichsetzen
Additionsverfahren	Gleichungen so addieren oder subtrahieren, dass eine Variable entfällt
Schnittpunkt	Graphische Darstellung der gemeinsamen Lösung
Probe	Lösung in beide Ausgangsgleichungen einsetzen
Parallele Geraden	Verschiedene Geraden ohne gemeinsamen Punkt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Situation
Einsetzungsverfahren	Eine Variable steht bereits allein.
Gleichsetzungsverfahren	Beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst.
Additionsverfahren	Gegensätzliche Koeffizienten heben sich auf.
Schnittpunkt	Gemeinsamer Punkt der beiden Geraden.
Probe	Zahlenpaar in beide Gleichungen einsetzen.

Kreuzworträtsel

Addition	Bei welchem Rechenvorgang können sich entgegengesetzte Terme aufheben?
Einsetzen	Wie heißt der zentrale Schritt beim Einsetzungsverfahren?
Schnittpunkt	Wie heißt die graphische Lösung zweier sich kreuzender Geraden?
Gerade	Welcher Graph gehört zu einer linearen Gleichung mit zwei Variablen?
Variable	Wie nennt man eine unbekannte Größe wie x oder y?
Probe	Wie heißt die Kontrolle durch Einsetzen der Lösung?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Einsetzungsverfahren wird ein Ausdruck für eine Variable in die eingesetzt. Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Ausdrücke für dieselbe Variable . Beim Additionsverfahren soll eine Variable durch geschicktes Addieren oder Subtrahieren . Graphisch entspricht eine eindeutige Lösung dem der Geraden. Eine Lösung muss immer in eine wahre Aussage ergeben. Digitale Ergebnisse werden durch einen eigenen Rechenweg und eine kontrolliert.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Verfahrenskarte: Gestalte eine kleine Lernkarte, die Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren mit je einem Erkennungsmerkmal unterscheidet.
2. Rechenweg erklären: Löse ein selbst gewähltes LGS und sprich den Rechenweg als kurze Audio-Erklärung ein.
3. Graph und Rechnung: Zeichne zwei Geraden zu einem LGS und markiere den Schnittpunkt. Vergleiche ihn mit Deiner rechnerischen Lösung.
4. Fehlerdetektiv: Erfinde einen typischen Vorzeichenfehler und schreibe direkt darunter die korrigierte Rechnung.

Standard

1. Methodenvergleich: Löse dasselbe LGS mit zwei verschiedenen Verfahren und vergleiche Länge, Übersichtlichkeit und Fehleranfälligkeit.
2. Sachaufgabe: Erfinde eine kurze Alltagssituation mit zwei unbekannten Preisen, stelle ein LGS auf und löse es.
3. Digitaler Graphencheck: Zeichne ein selbst erstelltes LGS digital, lies den Schnittpunkt ab und prüfe ihn rechnerisch. Verwende keine personenbezogenen Daten.
4. Erklärbild: Erstelle eine visuelle Schrittfolge zum Additionsverfahren mit Pfeilen, Zwischenrechnungen und einer abschließenden Probe.

Schwer

1. Verfahrensentscheidung: Erstelle drei LGS, bei denen jeweils ein anderes Verfahren besonders günstig ist, und begründe Deine Auswahl.
2. Lösungsvielfalt: Entwickle je ein LGS mit genau einer, keiner und unendlich vielen Lösungen und erkläre die graphische Bedeutung.
3. KI-Prüfung: Lasse ein digitales Werkzeug oder eine KI ein selbst erstelltes LGS lösen. Prüfe jeden Schritt, kennzeichne mögliche Schwächen und liefere eine eigene Begründung.
4. Modellieren: Entwickle aus einer realistischen, aber erfundenen Situation ein LGS, löse es, interpretiere die Lösung und diskutiere, ob das Modell sinnvoll ist.

Lernkontrolle

1. Verfahrenswahl begründen: Du erhältst drei unterschiedlich dargestellte LGS. Wähle jeweils ein geeignetes Verfahren und begründe die Wahl, bevor Du rechnest.
2. Darstellungswechsel: Löse ein LGS rechnerisch, zeichne anschließend beide Geraden und erkläre, warum der Schnittpunkt zu Deinem Zahlenpaar passt.
3. Fehleranalyse: Untersuche einen fehlerhaften Additionsweg, finde die erste falsche Umformung und korrigiere den Weg ab dieser Stelle.
4. Modellierung prüfen: Entscheide bei einer Sachsituation, welche zwei Variablen sinnvoll sind, stelle die Gleichungen auf und deute das Ergebnis mit Einheiten.
5. Digitale Kontrolle: Vergleiche eine digitale Lösung mit einer handschriftlichen Rechnung und entscheide anhand einer Probe, welche Darstellung zuverlässig begründet ist.
6. Lösungsvielfalt erklären: Beschreibe rechnerisch und graphisch, woran Du keine beziehungsweise unendlich viele Lösungen erkennst.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis sind besonders wichtig:

1. nachvollziehbare Umformungen ohne ausgelassene entscheidende Schritte,
2. eine begründete Wahl des Lösungsverfahrens,
3. die vollständige Lösung als Zahlenpaar beziehungsweise Lösungsmenge,
4. eine Probe in beiden Ausgangsgleichungen,
5. die Verbindung von Rechnung und Graph,
6. eine verständliche Deutung bei Sachaufgaben,
7. eine kritische Kontrolle digitaler Ergebnisse.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welches Verfahren erkennst Du inzwischen am schnellsten?
2. An welcher Stelle passieren Dir noch Vorzeichen- oder Umformungsfehler?
3. Wie hilft Dir der Graph beim Verstehen der rechnerischen Lösung?
4. Was prüfst Du, bevor Du einem digitalen Ergebnis vertraust?

Folgekurs

Als Nächstes kannst Du das sichere Lösen auf anspruchsvollere LGS und Modellierungsaufgaben übertragen. Sinnvolle Verknüpfungen sind Lineare Funktionen, Sachaufgaben mit Gleichungssystemen, Lösungsmenge und später das gaußsche Eliminationsverfahren.

OERs zum Thema

Freie Medien in diesem aiMOOC stammen aus Wikimedia Commons. Das eingebettete kolleg24-Video ist dort unter einer freien Lizenz veröffentlicht. YouTube-Videos dienen als ergänzende Erklärangebote; prüfe vor einer schulischen Weiterverwendung die jeweils angegebenen Nutzungsbedingungen.

Verknüpfte Lernbereiche

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichung Lineare Funktion Äquivalenzumformung Einsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Schnittpunkt Koordinatensystem Modellieren