M8 M - Die erste binomische Formel verstehen und anwenden

M8 M - Die erste binomische Formel verstehen und anwenden

Kurzbeschreibung: Du leitest $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ aus einem Quadratflächenmodell her und nutzt die Formel als Rechenstrategie. Du erkennst das Muster in Termen wie $(x+3{)}^2$, wechselst zwischen Bild und Term und begründest Deine Rechenschritte fachsprachlich.

Zielgruppe: Klasse 8, Mathematik, Baden-Württemberg, M-Niveau.

Einleitung

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $a+b$. Seine Fläche ist deshalb

$(a+b{)}^2$.

Teilst Du beide Seiten des Quadrats an derselben Stelle in die Längen $a$ und $b$, entstehen vier Teilflächen. Genau darin steckt die erste binomische Formel.

Leitfrage: Warum fehlt bei $(a+b{)}^2$ nicht nur $a^2$ und $b^2$, sondern zusätzlich zweimal die Fläche $ab$?

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Beobachtungsauftrag zum Video: Stoppe an der Stelle, an der das große Quadrat zerlegt ist. Benenne jede Teilfläche und erkläre anschließend, warum das Mittelglied den Faktor $2$ enthält.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du

1. Muster erkennen: Terme der Form $(a+b{)}^2$ sicher erkennen.
2. Flächenmodell deuten: die vier Teilflächen eines Quadrats mit Seitenlänge $a+b$ beschreiben.
3. Formel begründen: $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ geometrisch und algebraisch nachvollziehen.
4. Terme umformen: Beispiele wie $(x+3{)}^2$ zunehmend selbstständig ausmultiplizieren.
5. Darstellungen wechseln: zwischen Quadratmodell, Produktform und Summenform wechseln.
6. Begründen: Lösungswege vergleichen und fachsprachlich erklären.
7. Digitale Ergebnisse prüfen: Ergebnisse aus digitalen Werkzeugen oder KI rechnerisch und durch Einsetzen kontrollieren.

Vorwissen-Check

Check 1: Quadratfläche

Ein Quadrat hat die Seitenlänge $x$. Welche Fläche hat es?

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Die Fläche ist $x^2$, denn $x\cdot x=x^2$.

Check 2: Distributivgesetz

Multipliziere $3(x+4)$ aus.

Feedback anzeigen

$3(x+4)=3x+12$. Der Faktor vor der Klammer wird mit beiden Summanden multipliziert.

Check 3: Produkt gleicher Klammern

Schreibe $(x+3{)}^2$ als Produkt.

Feedback anzeigen

$(x+3{)}^2=(x+3)(x+3)$.

Das Quadratflächenmodell

Das große Quadrat hat Seitenlänge $a+b$. Deshalb ist seine Gesamtfläche

$(a+b{)}^2$.

Die Zerlegung liefert vier Flächen:

$a^2$

$ab$

$ab$

$b^2$

Zusammen ergibt das

$a^2+ab+ab+b^2$

und damit

$a^2+2ab+b^2$.

Merksatz: Beim Quadrieren einer Summe entstehen zwei Quadrate und zwei gleich große Mischrechtecke.

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Dynamisches Quadratmodell

Verändere im GeoGebra-Modell die Seitenlängen. Beobachte dabei besonders die beiden Rechtecke.

Arbeitsauftrag: Stelle mindestens drei verschiedene Werte für $a$ und $b$ ein. Prüfe jeweils, ob die Fläche des großen Quadrats gleich der Summe der vier Teilflächen ist. Notiere keine personenbezogenen Daten.

Visuelle Schrittfolge

Schritt 1: Quadratseite erkennen:

$a+b$

Schritt 2: Gesamtfläche bilden:

$(a+b{)}^2$

Schritt 3: Teilflächen addieren:

$a^2+ab+ab+b^2$

Schritt 4: Gleichartige Terme zusammenfassen:

$a^2+2ab+b^2$

Begründung: Die beiden Rechtecke haben jeweils die Seitenlängen $a$ und $b$. Deshalb kommt $ab$ zweimal vor.

Von der Fläche zum Term

Auch ohne Bild gilt

$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)$.

Mit dem Distributivgesetz:

$(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2$

und damit

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Die Flächendarstellung und das Ausmultiplizieren beschreiben also denselben Zusammenhang.

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Videoauftrag: Achte darauf, wann die Formel eine Rechenstrategie ist. Halte das Video vor einem Beispiel an, rechne selbst und vergleiche erst danach.

Termanimation: Muster erkennen

Beispiel: $(x+3{)}^2$

$(x+3{)}^2$
↓
$x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2$
↓
$x^2+6x+9$

Musterfrage: Wo findest Du in $x^2+6x+9$ die drei Teile $a^2$, $2ab$ und $b^2$?

Antwort: Hier ist $a=x$ und $b=3$. Deshalb entstehen $x^2$, $2\cdot x\cdot 3=6x$ und $3^2=9$.

Noch ein Beispiel

$(y+5{)}^2$

$(y+5{)}^2$
↓
$y^2+2\cdot y\cdot 5+5^2$
↓
$y^2+10y+25$

Selbstfrage: Kannst Du vor dem Rechnen vorhersagen, welches Mittelglied entsteht?

Interaktive Beispiele mit Hilfestufen

Beispiel A: $(m+4{)}^2$

Forme den Term um.

Hilfe 1

Vergleiche mit $(a+b{)}^2$. Setze $a=m$ und $b=4$.

Hilfe 2

Schreibe zuerst $m^2+2\cdot m\cdot 4+4^2$.

Feedback und Lösung

$(m+4{)}^2=m^2+8m+16$. Prüfe: Das Mittelglied enthält beide Summanden und den Faktor $2$.

Beispiel B: $(2x+3{)}^2$

Forme den Term um. Achte darauf, dass der erste Summand vollständig quadriert wird.

Hilfe 1

Hier ist $a=2x$ und $b=3$.

Hilfe 2

Nutze $(2x{)}^2+2\cdot (2x)\cdot 3+3^2$.

Feedback und Lösung

$(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$.

Übungen mit Hilfestufen

Aufgabe 1: Forme $(x+7{)}^2$ um.

Hilfe

Nutze $a=x$ und $b=7$.

Feedback

$(x+7{)}^2=x^2+14x+49$.

Aufgabe 2: Forme $(3z+2{)}^2$ um.

Hilfe

Quadriere zuerst den ganzen ersten Summanden: $(3z{)}^2$.

Feedback

$(3z+2{)}^2=9z^2+12z+4$.

Aufgabe 3: Ergänze gedanklich: $(p+6{)}^2=p^2+◻+36$.

Hilfe

Das Mittelglied ist $2ab$.

Feedback

Gesucht ist $12p$.

Aufgabe 4: Ein Quadrat hat Seitenlänge $x+4$. Gib seinen Flächeninhalt ohne Klammern an.

Hilfe

Modelliere zuerst die Fläche als $(x+4{)}^2$.

Feedback

$A=x^2+8x+16$.

Typische Fehler

Fehler 1:

$(a+b{)}^2=a^2+b^2$

Das ist falsch. Die beiden Mischrechtecke fehlen.

Richtig:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Fehler 2:

$(2x+3{)}^2=2x^2+12x+9$

Der erste Summand wurde nicht vollständig quadriert.

Richtig:

$(2x{)}^2=4x^2$

also

$(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$.

Fehler 3: Das Mittelglied wird als $ab$ statt $2ab$ geschrieben.

Gegencheck: Suche im Flächenmodell die zwei gleich großen Rechtecke.

Selbstkontrolle

Rechne zuerst ohne digitale Hilfe.

1. Selbstkontrolle 1: Forme $(x+2{)}^2$ um.
2. Selbstkontrolle 2: Forme $(2a+5{)}^2$ um.
3. Selbstkontrolle 3: Entscheide, ob $x^2+10x+25$ zu $(x+5{)}^2$ gehört, und begründe.
4. Selbstkontrolle 4: Zeichne zu $(x+2{)}^2$ ein passendes Quadratflächenmodell.

Lösungen zur Selbstkontrolle

$(x+2{)}^2=x^2+4x+4$.

$(2a+5{)}^2=4a^2+20a+25$.

$x^2+10x+25=(x+5{)}^2$, weil $10x=2\cdot x\cdot 5$ und $25=5^2$.

Beim Flächenmodell entstehen $x^2$, zweimal $2x$ und $4$.

Transfer: geschickter rechnen

Die Formel ist auch eine Rechenstrategie.

Beispiel:

$103^2=(100+3{)}^2$

$=100^2+2\cdot 100\cdot 3+3^2$

$=10000+600+9$

$=10609$

Denkfrage: Warum ist diese Strategie bei Zahlen nahe bei $100$ besonders praktisch?

Transferaufgabe

Berechne $52^2$ mithilfe von $(50+2{)}^2$. Vergleiche Deinen Weg mit einer schriftlichen Multiplikation.

Feedback

$52^2=50^2+2\cdot 50\cdot 2+2^2=2500+200+4=2704$. Die binomische Formel nutzt hier die Nähe zu einer einfachen Zahl.

Mediengestütztes Vertiefen

Die Grafik zeigt, dass Zerlegungen von Potenzen geometrisch sichtbar gemacht werden können. Für diesen Kurs genügt der Fall mit dem Quadrat.

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Prüfauftrag: Das Video ist englischsprachig. Nutze die Bilder als geometrischen Beweis und prüfe unabhängig davon selbst, ob jede Teilfläche korrekt beschriftet ist.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Digitale Werkzeuge, Taschenrechner und KI können beim Üben helfen. Sie ersetzen aber keine mathematische Begründung.

1. Plausibilitätsprüfung: Setze einfache Werte für $a$ und $b$ ein und vergleiche beide Seiten der Formel.
2. Darstellungsprüfung: Frage, ob ein digitales Ergebnis auch zum Quadratflächenmodell passt.
3. Rechenprüfung: Multipliziere die beiden Klammern notfalls mit dem Distributivgesetz aus.
4. Datenschutz: Gib beim Arbeiten mit Online-Werkzeugen keine personenbezogenen Daten ein.
5. KI und Mathematik: Übernimm eine KI-Ausgabe erst, wenn Du Rechenweg und Begründung selbst geprüft hast. Eine KI-Antwort ist kein mathematischer Beweis.

Kompetenzcheck M-Niveau

Kannst Du es selbstständig?

1. Muster erkennen: Ich erkenne einen Term der Form $(a+b{)}^2$, auch wenn statt $a$ und $b$ andere Terme stehen.
2. Darstellungen wechseln: Ich kann Formel, Produktform und Quadratflächenmodell miteinander verbinden.
3. Modellieren: Ich kann eine Quadratfläche mit Seitenlänge $x+c$ als Term darstellen.
4. Lösungswege vergleichen: Ich kann binomische Formel und Ausmultiplizieren vergleichen.
5. Fachsprache: Ich kann erklären, warum das Mittelglied $2ab$ entsteht.
6. Selbstkontrolle: Ich kann ein Ergebnis durch Einsetzen oder erneutes Ausmultiplizieren prüfen.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Reflexionsfrage 1: Welche Darstellung hilft Dir am meisten: Bild, Produkt oder Formel? Begründe.
2. Reflexionsfrage 2: An welcher Stelle entsteht der Faktor $2$?
3. Reflexionsfrage 3: Welchen Fehler wirst Du künftig besonders prüfen?
4. Reflexionsfrage 4: Wann ist die Formel eine geschickte Rechenstrategie?

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Formel ist die erste binomische Formel? (a plus b zum Quadrat ergibt a Quadrat plus 2ab plus b Quadrat) (!a plus b zum Quadrat ergibt a Quadrat plus b Quadrat) (!a plus b zum Quadrat ergibt 2a Quadrat plus 2b Quadrat) (!a plus b zum Quadrat ergibt a Quadrat plus ab plus b Quadrat)

Wie viele Teilflächen entstehen im üblichen Quadratmodell? (Vier) (!Zwei) (!Drei) (!Fünf)

Welche Fläche haben die beiden gleich großen Rechtecke jeweils? ($ab$) (!$a^2$) (!$b^2$) (!$2ab$)

Was ist das richtige Ergebnis für $(x+3{)}^2$? ($x^2+6x+9$) (!$x^2+9$) (!$x^2+3x+9$) (!$2x^2+6x+9$)

Was ist das Mittelglied bei $(y+4{)}^2$? ($8y$) (!$4y$) (!$16y$) (!$8y^2$)

Welche Produktform gehört zu $(m+5{)}^2$? (m plus 5 mal m plus 5) (!m plus 5 mal m minus 5) (!m Quadrat plus 5 Quadrat) (!zweimal m plus 5)

Was ist $(2x{)}^2$? ($4x^2$) (!$2x^2$) (!$4x$) (!$2x$)

Welche Summe beschreibt die vier Teilflächen vor dem Zusammenfassen? ($a^2+ab+ab+b^2$) (!$a^2+ab+b^2$) (!$a^2+2a+2b+b^2$) (!$2a^2+2b^2$)

Welche Aussage erklärt den Faktor $2$ im Mittelglied? (Es gibt zwei Rechtecke mit der Fläche $ab$) (!Das Quadrat hat zwei Seiten) (!Beide Variablen werden quadriert) (!Die Klammer wird zweimal addiert)

Welcher Term ist gleich $(x+5{)}^2$? ($x^2+10x+25$) (!$x^2+5x+25$) (!$x^2+25$) (!$x^2+10x+10$)

Memory

Seitenlänge $a+b$	Gesamtfläche $(a+b{)}^2$
Quadrat mit Seite $a$	Fläche $a^2$
Rechteck mit Seiten $a$ und $b$	Fläche $ab$
Zwei Mischrechtecke	Mittelglied $2ab$
Quadrat mit Seite $b$	Fläche $b^2$

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Bedeutung
Quadratfläche des ersten Summanden	$a^2$
Doppelte Mischfläche	$2ab$
Quadratfläche des zweiten Summanden	$b^2$
Quadrat einer Summe	$(a+b{)}^2$
Produkt gleicher Klammern	$(a+b)(a+b)$

Kreuzworträtsel

Quadrat	Welche geometrische Form besitzt das zentrale Flächenmodell?
Binom	Wie heißt ein Term mit zwei Gliedern?
Rechteck	Welche Form haben die beiden Mischflächen?
Flaeche	Welche Größe wird im geometrischen Modell zerlegt?
Variable	Wie nennt man einen Buchstaben als Platzhalter für Zahlen?
Produkt	Wie heißt das Ergebnis einer Multiplikation?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein Quadrat mit Seitenlänge $a+b$ hat die Fläche . Bei der Zerlegung entsteht ein Quadrat mit der Fläche . Außerdem entstehen zwei gleich große Rechtecke mit der Fläche . Zusammen liefern diese Rechtecke das Mittelglied . Das zweite kleine Quadrat hat die Fläche . Deshalb gilt die erste binomische Formel . Für $(x+3{)}^2$ ist der zweite Summand der Klammer . Das Mittelglied wird dann zu . Der konstante Summand im Ergebnis ist . Ein Ergebnis sollte zusätzlich durch Ausmultiplizieren oder Einsetzen werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Quadratmodell zeichnen: Zeichne ein Quadrat mit Seitenlänge $x+3$, zerlege es in vier Teilflächen und beschrifte diese.
2. Formel in eigenen Worten: Erkläre mit höchstens vier Sätzen, warum das Mittelglied $2ab$ entsteht.
3. Fehlerbild: Gestalte eine kleine Skizze, die zeigt, warum $(a+b{)}^2=a^2+b^2$ falsch ist.
4. Rechenkarten: Erstelle drei Karten mit Termen wie $(x+2{)}^2$ und schreibe die Lösungen auf die Rückseite.

Standard

1. Darstellungswechsel: Wähle $(y+4{)}^2$ und stelle denselben Zusammenhang als Quadratbild, Produkt und ausmultiplizierten Term dar.
2. Lösungswege vergleichen: Löse $(m+6{)}^2$ einmal mit der Formel und einmal mit dem Distributivgesetz. Vergleiche die Wege.
3. Modellierungsaufgabe: Erfinde eine Flächensituation, die durch $(x+5{)}^2$ beschrieben wird, und löse sie.
4. Erklärvideo planen: Entwirf ein Storyboard für ein 60-Sekunden-Video zur ersten binomischen Formel. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. Strategie beim Kopfrechnen: Finde drei Quadratzahlen nahe bei $100$, die sich mit der ersten binomischen Formel besonders günstig berechnen lassen, und begründe Deine Auswahl.
2. Umkehrmuster untersuchen: Prüfe, ob $x^2+14x+49$ als Quadrat eines Binoms geschrieben werden kann, und erkläre Dein Vorgehen.
3. Dynamisches Modell untersuchen: Nutze das GeoGebra-Modell mit mehreren Werten. Formuliere eine allgemeine Begründung, warum die Formel unabhängig von den gewählten positiven Seitenlängen gilt.
4. KI-Antwort prüfen: Lass Dir von einem digitalen Werkzeug eine Beispielrechnung zur ersten binomischen Formel erzeugen. Prüfe jeden Rechenschritt, verbessere mögliche Fehler und begründe selbstständig, warum das Ergebnis stimmt. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Lernkontrolle

1. Begründen statt aufsagen: Erkläre anhand eines selbst gezeichneten Quadratmodells, warum $(a+b{)}^2$ nicht gleich $a^2+b^2$ ist.
2. Darstellungen verbinden: Zeige für $(x+4{)}^2$, wie Bild, Produktform und Summenform zusammenpassen.
3. Fehler analysieren: Jemand schreibt $(3x+2{)}^2=9x^2+6x+4$. Finde den Fehler, verbessere ihn und begründe.
4. Rechenstrategie wählen: Berechne $102^2$ mit einer geeigneten Zerlegung und erkläre, warum die binomische Formel hier günstig ist.
5. Transfer leisten: Ein Quadrat wird an jeder Seite von $x$ auf $x+5$ vergrößert. Beschreibe mithilfe der ersten binomischen Formel, wie sich der Flächeninhalt zusammensetzt.
6. Digitale Kontrolle: Prüfe ein digitales Ergebnis zu $(2y+7{)}^2$ durch einen zweiten unabhängigen Rechenweg und dokumentiere beide Wege.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können:

1. Formelkenntnis: die erste binomische Formel korrekt notieren und ihre Bestandteile benennen.
2. Herleitung: die Formel mit einem Quadratflächenmodell nachvollziehbar begründen.
3. Anwendung: Terme wie $(x+3{)}^2$ und $(2x+3{)}^2$ sicher umformen.
4. Darstellungswechsel: zwischen geometrischer Darstellung, Produktform und Summenform wechseln.
5. Fehleranalyse: typische Fehlvorstellungen erkennen und korrigieren.
6. Transfer: die Formel als Rechenstrategie und in Flächenproblemen einsetzen.
7. Kommunikation: Rechenweg und Begründung fachsprachlich darstellen.
8. Medienkompetenz: digitale Ergebnisse kritisch prüfen und keine personenbezogenen Daten eingeben.

OERs zum Thema

Freie Medien aus Wikimedia Commons:

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Die verwendeten Commons-Grafiken sind auf ihren Dateiseiten mit freien Lizenzen dokumentiert. Prüfe bei einer Weiterverwendung die jeweilige Dateiseite und die dort genannten Lizenzbedingungen.

Dynamische OER: GeoGebra-Material „Erste binomische Formel“ von Thomas Hänel: https://www.geogebra.org/m/SHCrbQp7

Bildungsplanbezug: Mathematik Sekundarstufe I Baden-Württemberg, Klassen 7/8/9, insbesondere Zahl – Variable – Operation, mathematische Darstellungen, Argumentieren, Modellieren und Arbeiten mit Medien: https://www.bildungsplaene-bw.de/%2CLde/BP2016BW_ALLG_SEK1_M.V2

Verknüpfte Lernbereiche

Erste binomische Formel Binom Term Variable Distributivgesetz Flächeninhalt Quadrat Mathematisches Modellieren Mathematisches Argumentieren Binomische Formeln

Folgekurs

Als nächster Schritt bietet sich M8 M - Die zweite binomische Formel verstehen und anwenden an. Vergleiche dort besonders, wie sich das Vorzeichen im Mittelglied verändert.