M8 G - Lineare Zusammenhänge in Tabellen und Graphen erkennen

Einleitung

Erkenne gleichmäßige Veränderungen in Tabellen und geradlinigen Graphen. Du arbeitest mit Kosten-, Weg- und Füllstandsmodellen und beschreibst zunehmende und abnehmende Zusammenhänge mit passenden Sätzen. Der Kurs ist für Klasse 8, G-Niveau, Baden-Württemberg gedacht.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

Wertetabellen auf gleichmäßige Änderungen prüfen.
Graphen als zunehmend oder abnehmend beschreiben.
erkennen, ob Punkte auf einer Geraden liegen und damit zu einem linearen Zusammenhang passen.
Kosten-, Weg- und Füllstandsmodelle aus Tabelle und Graph deuten.
Deinen Rechenweg mit Änderung, Darstellung und Begründung nachvollziehbar zeigen.
digitale Graphen als Hilfe nutzen und Ergebnisse durch Rechnen oder Ablesen prüfen.

Einordnung in Mathematik Klasse 8

Im G-Niveau steht hier das sichere Erkennen und Beschreiben im Mittelpunkt: Zusammenhang in Tabelle, Graph und Text wiederfinden, einfache lineare Veränderungen deuten und zwischen Darstellungen wechseln. Der Kurs orientiert sich an der Leitidee funktionaler Zusammenhang des Bildungsplans Baden-Württemberg für die Sekundarstufe I.

Bildungsplan Baden-Württemberg: Funktionaler Zusammenhang

Vorwissen-Check

Du brauchst nur wenige Grundlagen.

Frage	Dein Check
Kannst Du $8 - 5$ berechnen?	Ergebnis: $3$
Kannst Du den Punkt $(2 \| 4)$ lesen?	$x = 2$ , $y = 4$
Weißt Du, was „steigt“ und „fällt“ bedeutet?	mehr / weniger

Mini-Aufgabe: Die Werte sind $4, 7, 10, 13$ . Was verändert sich von Zahl zu Zahl?
Lösung: Immer $+ 3$ . Genau solche gleichmäßigen Änderungen suchst Du gleich in Tabellen.

Input: Lineare Zusammenhänge erkennen

Die Grundidee: immer gleich viel

Ein Zusammenhang ist in diesem Kurs linear, wenn bei gleichen Schritten der ersten Größe die zweite Größe immer um denselben Betrag verändert wird.

$Δ y = konstante Änderung$

Merksatz: Gleiche Schritte nach rechts und gleiche Änderungen nach oben oder unten ergeben im Koordinatensystem eine Gerade.

Schritt 1: Tabelle prüfen

Beispiel Kostenmodell: Ein Ausleihgerät kostet $2$ € Grundpreis und pro Stunde $3$ € mehr.

Stunden $x$	Kosten $K$ in €
0	2
1	5
2	8
3	11

Schritt für Schritt:

Vergleiche benachbarte $x$ -Werte: immer $+ 1$ .
Vergleiche die Kosten: $5 - 2 = 3$ , $8 - 5 = 3$ , $11 - 8 = 3$ .
Die Änderung ist immer $+ 3$ . Der Zusammenhang ist zunehmend und linear.
Satzstarter: „Wenn die Zeit um $1$ Stunde steigt, steigen die Kosten immer um $3$ €.“

Als kurze Rechenbeschreibung passt hier $K = 3 x + 2$ . Wichtig ist zuerst, dass Du das gleichmäßige Muster erkennst.

Interaktives Beispiel: Kosten

Aufgabe: Ergänze die Kosten bei $x = 4$ Stunden.

Hilfe 1: Schau auf die Änderung von Zeile zu Zeile.

Hilfe 2: Rechne $11 + 3$ .

Feedback: $K = 14$ €. Deine Begründung kann lauten: „Die Kosten steigen pro Stunde gleichmäßig um $3$ €.“

Schritt 2: Von der Tabelle zum Graphen

Zu jeder Tabellenzeile gehört ein Punkt. Für das Kostenmodell sind das zum Beispiel $(0 | 2)$ , $(1 | 5)$ und $(2 | 8)$ . Liegen die Punkte auf einer Geraden, passt das zur gleichmäßigen Änderung.

Zeichenweg:

Achsen mit Größe und Einheit beschriften.
Punkte aus der Wertetabelle eintragen.
Prüfen, ob die Punkte geradlinig liegen.
Gerade nur dann zeichnen, wenn das Sachmodell Zwischenwerte sinnvoll zulässt.

Schritt 3: Vom Graphen zur Tabelle

Lies zuerst die Achsen und ihre Skalierung. Wähle dann gut erkennbare Punkte auf der Geraden.

Sicherheitsregel: Nicht nur „sieht gerade aus“ sagen. Lies mindestens drei Punkte ab und vergleiche die Änderungen.

Wegmodell: gleichmäßige Bewegung

Ein Fahrrad legt in jeweils $2$ Minuten weitere $100$ Meter zurück.

Zeit $t$ in min	Weg $s$ in m
0	0
2	100
4	200
6	300

Hier gilt bei $+ 2$ Minuten immer $+ 100$ Meter. Pro Minute sind das $50$ Meter. Der Zusammenhang ist zunehmend linear.

$s = 50 t$

Interaktives Beispiel: Weg

Aufgabe: Wie weit ist das Fahrrad nach $8$ Minuten gekommen?

Hilfe 1: Von $6$ auf $8$ Minuten sind es wieder $+ 2$ Minuten.

Hilfe 2: Ergänze wieder $+ 100$ Meter.

Feedback: $400$ Meter. Prüfe: $50 \cdot 8 = 400$ .

Füllstandsmodell: gleichmäßige Abnahme

Ein Behälter enthält anfangs $120$ Liter. Jede Minute fließen $20$ Liter heraus.

Zeit $t$ in min	Füllstand $F$ in l
0	120
1	100
2	80
3	60
4	40

Die Änderung ist immer $- 20$ Liter pro Minute. Der Zusammenhang ist abnehmend linear.

$F = 120 - 20 t$

Satzstarter: „Wenn die Zeit um $1$ Minute steigt, sinkt der Füllstand immer um $20$ Liter.“

Interaktives Beispiel: Füllstand

Aufgabe: Welcher Füllstand ist nach $5$ Minuten zu erwarten?

Hilfe 1: Der letzte Tabellenwert ist $40$ .

Hilfe 2: Rechne $40 - 20$ .

Feedback: $20$ Liter. Der Graph fällt, weil der Füllstand gleichmäßig abnimmt.

Nicht linear: Gegenbeispiel

Nicht jede Tabelle mit steigenden Zahlen ist linear.

$x$	$y$
0	0
1	2
2	5
3	9

Die Änderungen sind $+ 2$ , $+ 3$ , $+ 4$ . Sie sind nicht gleich. Deshalb ist dieser Zusammenhang nicht linear.

Zunehmend oder abnehmend sprachlich beschreiben

Beobachtung	Passender Satzstarter
Graph steigt	„Je größer …, desto größer …“
Graph fällt	„Je größer …, desto kleiner …“
Änderung $> 0$	„… nimmt gleichmäßig zu.“
Änderung $< 0$	„… nimmt gleichmäßig ab.“

Dynamisches Koordinatensystem: bewegliche Gerade

Verändere in der GeoGebra-Datei die Schieberegler. Beobachte nur zwei Dinge:

Was passiert, wenn die Steigung positiv wird?
Was passiert, wenn die Steigung negativ wird?
Wo schneidet die Gerade die senkrechte Achse?

Denkfrage: Stelle eine steigende und danach eine fallende Gerade ein. Formuliere zu beiden einen Satz mit „nimmt gleichmäßig zu“ beziehungsweise „nimmt gleichmäßig ab“.

Wertetabelle digital prüfen

Nutze die folgende interaktive Wertetabellen-Übung. Rechne zuerst selbst und nutze die digitale Rückmeldung erst danach.

Digital-Regel: Prüfe ein digitales Ergebnis mit mindestens einer eigenen Rechnung oder einem zweiten Ableseschritt. KI-Ausgaben können Fehler enthalten; sie ersetzen keinen mathematischen Beweis und keine eigene Begründung. Gib in Übungen keine Namen, Adressen oder andere personenbezogene Daten ein.

Visueller Schnellcheck in vier Schritten

Schritt	Prüffrage
1	Sind die Schritte in $x$ gleich?
2	Ist die Änderung in $y$ gleich?
3	Liegen die Punkte geradlinig?
4	Kannst Du die Änderung in einem Satz erklären?

Kurzform: Tabelle → Änderungen markieren → Punkte prüfen → Zusammenhang in Worten begründen.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Kostenmodell

Ein Lieferdienst verlangt eine feste Startgebühr von $4$ € und danach pro Kilometer $2$ €.

km	Kosten in €
0	4
1	6
2	8
3	10

Aufgaben: Prüfe die Änderung, entscheide „zunehmend oder abnehmend“ und nenne die Kosten bei $5$ km.

Hilfe 1: Rechne die Differenzen der Kosten.

Hilfe 2: Pro weiterem Kilometer kommen $2$ € dazu.

Feedback: Linear und zunehmend. Bei $5$ km: $14$ €. Rechenweg: $4 + 5 \cdot 2 = 14$ .

Übung 2: Wegmodell

Eine Person geht gleichmäßig. In $3$ Minuten schafft sie $180$ Meter, in $6$ Minuten $360$ Meter und in $9$ Minuten $540$ Meter.

Aufgaben: Ergänze den Wert für $12$ Minuten und begründe, warum der Zusammenhang linear ist.

Hilfe 1: Die Zeit steigt immer um $3$ Minuten.

Hilfe 2: Der Weg steigt dabei immer um $180$ Meter.

Feedback: $720$ Meter. Begründung: Gleiche Zeitschritte führen immer zur gleichen Wegzunahme.

Übung 3: Füllstandsmodell

Ein Tank verliert pro Minute $15$ Liter. Zu Beginn sind $90$ Liter enthalten.

Aufgaben: Erstelle eine kurze Wertetabelle für $0$ , $1$ , $2$ , $3$ Minuten und beschreibe den Graphen.

Hilfe 1: Starte mit $90$ .

Hilfe 2: Ziehe pro Zeile $15$ ab.

Feedback: Werte: $90, 75, 60, 45$ . Der Graph ist eine fallende Gerade.

Übung 4: Fehler finden

Eine Tabelle hat die Werte $10, 14, 18, 23$ bei $x = 0, 1, 2, 3$ . Jemand sagt: „Die Werte steigen, also ist der Zusammenhang linear.“

Hilfe 1: „Steigend“ reicht nicht.

Hilfe 2: Berechne alle drei Änderungen.

Feedback: Änderungen: $+ 4, + 4, + 5$ . Der Zusammenhang ist nicht linear.

Typische Fehler

Skalierung übersehen: Auf der Achse können zwei Kästchen zum Beispiel $10$ Einheiten bedeuten.
Nur zwei Tabellenwerte prüfen: Kontrolliere mehrere Änderungen.
„Steigt“ mit „linear“ verwechseln: Auch ein gekrümmter Graph kann steigen.
Bei Abnahme das Minuszeichen vergessen: $- 20$ beschreibt eine Abnahme.
Startwert und Änderung verwechseln: Beim Kostenmodell sind $2$ € Startwert und $3$ € die Änderung pro Stunde.
Digitale Anzeige ungeprüft übernehmen: Zoomen, Rundungen oder falsche Eingaben können täuschen.

Selbstkontrolle

Aussage	Ja / noch üben
Ich prüfe gleiche Schritte.	☐ / ☐
Ich berechne mehrere Änderungen.	☐ / ☐
Ich erkenne steigende und fallende Geraden.	☐ / ☐
Ich nenne Größe und Einheit.	☐ / ☐
Ich begründe meine Entscheidung.	☐ / ☐

Selbsttest: Bei $x = 0, 1, 2, 3$ lauten die Werte $30, 25, 20, 15$ . Linear?
Antwort: Ja. Immer $- 5$ . Der Zusammenhang ist abnehmend linear.

Transfer

Transfer 1: Handytarif als Kostenmodell

Ein Tarif hätte einen Grundpreis von $6$ € und jede zusätzliche Einheit würde $2$ € kosten. Zeichne eine Tabelle mit vier Zeilen und skizziere den erwarteten Graphen. Erkläre, welche Zahl den Startwert und welche die gleichmäßige Änderung beschreibt.

Transfer 2: Wasser sparen

Ein Behälter wird mit konstantem Abfluss geleert. Überlege, welche Messwerte Du in regelmäßigen Zeitabständen erfassen würdest. Erkläre, woran Du in den Daten eine gleichmäßige Abnahme erkennst.

Transfer 3: Schulweg

Erfinde ein einfaches Weg-Zeit-Modell mit gleichmäßiger Bewegung. Tausche Deine Tabelle mit einer anderen Person. Die andere Person soll ohne Zusatztext entscheiden, ob der Zusammenhang zunimmt oder abnimmt und wie stark er sich je Zeitschritt verändert.

Kompetenzcheck

Kreuze erst nach eigener Bearbeitung an.

Ich kann …	sicher	noch üben
lineare Änderungen in Tabellen erkennen	☐	☐
steigende und fallende Graphen beschreiben	☐	☐
Tabelle und Graph verbinden	☐	☐
ein Sachmodell sprachlich deuten	☐	☐
digitale Ergebnisse prüfen	☐	☐

Reflexion

Erkläre in zwei Sätzen, woran Du einen linearen Zusammenhang erkennst.
Nenne einen typischen Fehler, den Du jetzt vermeiden kannst.
Entscheide, ob Dir Tabelle oder Graph beim Erkennen leichter fällt, und begründe.
Beschreibe, wie Du eine digitale oder KI-generierte Lösung kontrollieren würdest.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Diesen aiMOOC als Battle spielen

Woran erkennst Du in einer Tabelle einen linearen Zusammenhang bei gleichen x-Schritten? (Die y-Werte ändern sich immer um denselben Betrag) (!Die y-Werte sind immer positiv) (!Die Tabelle hat mindestens vier Zeilen) (!Der erste y-Wert ist null)

Welche Beschreibung passt zu einem steigenden geradlinigen Graphen? (Die abhängige Größe nimmt gleichmäßig zu) (!Die abhängige Größe nimmt gleichmäßig ab) (!Die abhängige Größe ändert sich zufällig) (!Der Zusammenhang muss nicht linear sein)

Die Werte lauten 5, 8, 11, 14. Wie groß ist die konstante Änderung? (3) (!2) (!4) (!5)

Die Werte lauten 80, 70, 60, 50. Wie beschreibst Du den Zusammenhang? (Abnehmend linear) (!Zunehmend linear) (!Nicht linear) (!Konstant)

Was solltest Du vor dem Ablesen eines Graphen prüfen? (Die Skalierung und Beschriftung der Achsen) (!Nur die Farbe der Geraden) (!Nur den ersten Punkt) (!Die Länge der Überschrift)

Ein Füllstand sinkt jede Minute um 20 Liter. Welche Änderung gehört dazu? (Minus 20 Liter pro Minute) (!Plus 20 Liter pro Minute) (!Minus 20 Minuten pro Liter) (!Plus 20 Minuten pro Liter)

Bei gleichen Zeitschritten wächst der Weg immer um 100 Meter. Was passt dazu? (Ein zunehmender linearer Zusammenhang) (!Ein abnehmender linearer Zusammenhang) (!Ein zufälliger Zusammenhang) (!Ein gekrümmter Zusammenhang)

Welche Zahlenfolge ist bei gleichen x-Schritten nicht linear? (2, 5, 9, 14) (!2, 5, 8, 11) (!20, 15, 10, 5) (!7, 7, 7, 7)

Was ist eine gute Kontrolle für ein digitales Graphenergebnis? (Einen Wert selbst nachrechnen oder erneut ablesen) (!Das Ergebnis ungeprüft übernehmen) (!Nur auf eine schöne Darstellung achten) (!Persönliche Daten eingeben)

Was zeigt bei einem Kostenmodell der Wert bei x gleich null häufig? (Den Startwert oder Grundpreis) (!Die Änderung pro Schritt) (!Die größte mögliche Steigung) (!Die Anzahl der Tabellenzeilen)

Memory

Wertetabelle	geordnete Zahlenpaare
Gerade	Graph eines linearen Zusammenhangs
Zunahme	positive Änderung
Abnahme	negative Änderung
Startwert	Wert bei x gleich null
Skalierung	Einteilung der Achsen
Steigung	Änderung pro Schritt

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
zunehmend linear	gleiche positive Änderung
abnehmend linear	gleiche negative Änderung
nicht linear	wechselnde Änderung
Startwert	Wert zu Beginn
Skalierung	Einteilung im Koordinatensystem

Kreuzworträtsel

Steigung	Wie heißt die Änderung einer Geraden pro Schritt?
Gerade	Welche Form hat der Graph eines linearen Zusammenhangs?
Tabelle	Welche Darstellung ordnet Werte in Zeilen und Spalten?
Zunahme	Wie heißt eine gleichmäßige positive Veränderung?
Abnahme	Wie heißt eine gleichmäßige negative Veränderung?
Achsen	Welche Linien geben im Koordinatensystem die Skalen vor?

LearningApps

Lückentext

Bei gleichen Schritten in der ersten Größe prüfst Du die

der zweiten Größe.

Ist diese Änderung immer gleich, liegt ein

Zusammenhang vor.

Im Koordinatensystem liegen die passenden Punkte auf einer

.

Ein steigender Graph beschreibt eine gleichmäßige

.

Ein fallender Graph beschreibt eine gleichmäßige

.

Beim Ablesen musst Du die

der Achsen beachten.

Der Wert bei x gleich null kann einen

beschreiben.

Ein digitales Ergebnis soll durch eigenes Rechnen oder

geprüft werden.

Offene Aufgaben

Leicht

Wertetabelle erstellen: Erfinde eine Tabelle mit fünf Zeilen, in der die zweite Größe immer um $+ 4$ steigt.
Abnahme beschreiben: Erfinde ein Füllstandsmodell mit einer einfachen gleichmäßigen Abnahme und formuliere einen Satzstarter vollständig.
Graph skizzieren: Zeichne zu den Werten $0, 20, 40, 60$ bei gleichen Zeitschritten einen passenden Graphen.
Fehler markieren: Schreibe eine nicht lineare Zahlenfolge mit vier Werten und markiere die unterschiedlichen Änderungen.

Standard

Kostenmodell: Entwickle ein eigenes Kostenmodell mit Grundpreis und Preis pro Einheit. Stelle Text, Tabelle und Graph gegenüber.
Weg-Zeit-Modell: Beobachte eine erfundene gleichmäßige Bewegung und erstelle eine Wertetabelle mit Einheit.
Füllstand: Plane ein Modell, bei dem ein Behälter gleichmäßig geleert wird. Zeichne den erwarteten Graphen und erkläre die Abnahme.
Erklärvideo: Produziere ein kurzes Lernvideo ohne personenbezogene Daten, in dem Du an einer Tabelle erklärst, wie man Linearität erkennt.

Schwer

Darstellungswechsel: Erstelle eine Aufgabe, bei der nur ein Graph gegeben ist. Eine andere Person soll daraus Tabelle und Beschreibung gewinnen.
Modellkritik: Erfinde Messdaten, die fast, aber nicht genau linear sind. Diskutiere, ob ein lineares Modell trotzdem sinnvoll sein könnte.
Digitale Prüfung: Lass ein digitales Werkzeug oder eine KI eine lineare Tabelle erzeugen. Prüfe jede Änderung selbst und dokumentiere mögliche Fehler.
Mini-Projekt: Vergleiche ein Kosten-, Weg- und Füllstandsmodell. Erkläre Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Graphen in einer selbst gestalteten Lernkarte.

Lernkontrolle

Kosten vergleichen: Zwei Tarife haben unterschiedliche Startwerte und Änderungen pro Einheit. Erstelle je eine Tabelle und erkläre, wie sich die Graphen unterscheiden.
Fehleranalyse: Ein Graph wirkt geradlinig, aber die Achse ist ungleichmäßig beschriftet. Erkläre, warum die Skalierung vor einer Aussage geprüft werden muss.
Modellwahl: Entscheide bei drei kurzen Alltagssituationen, ob ein lineares Modell sinnvoll ist, und begründe jeweils mit der Art der Änderung.
Darstellungswechsel: Gegeben ist eine abnehmende Wertetabelle. Skizziere einen Graphen und formuliere einen passenden Sachtext.
Transfer: Ein Behälter verliert zunächst gleichmäßig Flüssigkeit, später schneller. Erkläre, warum ein einzelner linearer Graph das gesamte Geschehen nicht passend beschreibt.
Digitale Kontrolle: Ein KI-System behauptet, die Folge $3, 6, 10, 15$ sei linear. Widerlege oder bestätige die Aussage mit nachvollziehbarem Rechenweg.