M8 G - Einsetzungsverfahren kennenlernen – MSA-Brücke

M8 G - Einsetzungsverfahren kennenlernen – MSA-Brücke

Mini-Beschreibung: Lerne an einfachen Gleichungssystemen das Einsetzungsverfahren als mögliches Verfahren auf dem Weg zum MSA kennen. Du arbeitest kleinschrittig, mit übersichtlichen Zahlen, farbiger Variablenersetzung und vielen Selbstkontrollen.

Zielgruppe: Klasse 8, Mathematik, Baden-Württemberg, G-Niveau als MSA-Brücke.

Zwei lineare Gleichungen können zwei Geraden beschreiben. Schneiden sich die Geraden, gehört der Schnittpunkt zu beiden Gleichungen. Genau diese gemeinsame Lösung suchen wir.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen erkennen.
2. eine bereits freigestellte Variable in die zweite Gleichung einsetzen.
3. das Einsetzungsverfahren in einer klaren Schrittfolge durchführen.
4. Deine Lösung durch Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen prüfen.
5. Deinen Rechenweg kurz begründen und digitale Ergebnisse kritisch kontrollieren.

Satzstarter: „Ich ersetze … durch …, weil beide Terme denselben Wert haben.“

Kurzer Einstieg

Stell Dir zwei Bedingungen vor:

(I) $y=x+1$

(II) $x+y=7$

In Gleichung (I) steht bereits, was $y$ ist. Deshalb können wir in Gleichung (II) das $y$ ersetzen.

$y$ wird ersetzt durch $x+1$.

Dann entsteht nur noch eine Gleichung mit einer Variablen:

$x+(x+1)=7$

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Vorwissen-Check

Prüfe kurz, ob diese Grundlagen sitzen.

1. Löse: $x+3=8$

Lösung anzeigen

$x=5$

2. Setze $x=4$ ein: $y=x+2$

Lösung anzeigen

$y=4+2=6$

3. Welche Gleichung ist schon nach $y$ aufgelöst?

A: $x+y=9$

B: $y=2x+1$

Antwort anzeigen

B ist bereits nach $y$ aufgelöst.

Wenn Dir diese Aufgaben noch schwerfallen, wiederhole zuerst Lineare Gleichungen und Äquivalenzumformung.

Die Animation erinnert an eine wichtige Grundidee: Bei Gleichungen müssen Umformungen den Wert erhalten.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

Ein lineares Gleichungssystem, kurz LGS, besteht hier aus zwei linearen Gleichungen mit denselben Variablen.

Beispiel:

(I) $y=x+1$

(II) $x+y=7$

Gesucht ist ein Zahlenpaar $(x;y)$, das beide Gleichungen erfüllt.

Auch wenn die Grafik ein anderes LGS zeigt, erkennst Du die Grundidee: Der gemeinsame Schnittpunkt der Geraden ist die gemeinsame Lösung.

Das Einsetzungsverfahren in 4 Schritten

Merksatz: Beim Einsetzungsverfahren ersetzt Du eine Variable durch einen gleichwertigen Term.

Schritt 1: Suche eine Gleichung, in der eine Variable schon allein steht.

$y=x+1$

Schritt 2: Ersetze diese Variable in der anderen Gleichung.

Aus

$x+y=7$

wird

$x+(x+1)=7$

Schritt 3: Löse die neue Gleichung.

$x+x+1=7$

$2x+1=7$

$2x=6$

$x=3$

Schritt 4: Setze den gefundenen Wert zurück ein.

$y=x+1$

$y=3+1$

$y=4$

Lösung: $(3;4)$

Farbig einsetzen

Die Farbe zeigt Dir, was ersetzt wird.

(I) $y$$=x+1$

(II) $x+$$y$$=7$

Ersetze jetzt das blaue $y$ durch den blauen Term:

$x+$$(x+1)$$=7$

Warum Klammern? Die Klammer zeigt deutlich: Der ganze Term $x+1$ ersetzt die Variable $y$.

Visuelle Schrittfolge zum Aufklappen

Bild 1: Ausgangssystem

(I) $y=x+1$
(II) $x+y=7$

Bild 2: Einsetzen

$x+(x+1)=7$

Bild 3: Nach x lösen

$2x+1=7$
$2x=6$
$x=3$

Bild 4: Rückeinsetzen

$y=3+1=4$
Lösung: $(3;4)$

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Interaktives Beispiel 1

Löse:

(I) $y=x+2$

(II) $x+y=8$

Dein erster Schritt: Ersetze $y$ in Gleichung (II).

Hilfestufe 1

Nutze $y=x+2$.

Hilfestufe 2

Schreibe: $x+(x+2)=8$

Lösung und Feedback

$x+(x+2)=8$
$2x+2=8$
$2x=6$
$x=3$
$y=3+2=5$
Lösung: $(3;5)$
Feedback: Wenn Du zuerst eingesetzt, dann nach $x$ gelöst und danach zurück eingesetzt hast, war Deine Reihenfolge richtig.

Interaktives Beispiel 2

Löse:

(I) $x=y+1$

(II) $x+y=9$

Diesmal steht $x$ allein.

$x$ wird ersetzt durch $y+1$.

Hilfestufe 1

Setze $y+1$ für $x$ in Gleichung (II) ein.

Hilfestufe 2

$(y+1)+y=9$

Lösung und Feedback

$2y+1=9$
$2y=8$
$y=4$
$x=4+1=5$
Lösung: $(5;4)$

Probe: Stimmt die Lösung wirklich?

Für $(3;4)$ beim System

(I) $y=x+1$

(II) $x+y=7$

prüfen wir beide Gleichungen.

Probe in (I):

$4=3+1$

$4=4$ ✓

Probe in (II):

$3+4=7$

$7=7$ ✓

Merksatz: Erst wenn das Zahlenpaar beide Gleichungen erfüllt, ist die Lösung geprüft.

Übungen mit Hilfestufen

Übung A – sehr einfach

(I) $y=x+3$

(II) $x+y=11$

Hilfe 1

Ersetze $y$ durch $x+3$.

Hilfe 2

$x+(x+3)=11$

Lösung

$2x+3=11$
$2x=8$
$x=4$
$y=7$
Lösung: $(4;7)$

Übung B – mit Minuszeichen

(I) $y=x-1$

(II) $x+y=5$

Hilfe 1

Setze $x-1$ für $y$ ein.

Hilfe 2

$x+(x-1)=5$

Lösung

$2x-1=5$
$2x=6$
$x=3$
$y=2$
Lösung: $(3;2)$

Übung C – x steht allein

(I) $x=y+2$

(II) $x+y=10$

Hilfe 1

Ersetze $x$ in Gleichung (II).

Hilfe 2

$(y+2)+y=10$

Lösung

$2y+2=10$
$2y=8$
$y=4$
$x=6$
Lösung: $(6;4)$

Typische Fehler

Fehler 1: Nur den ersten Teil eines Terms einsetzen.

Falsch: $y=x+2$, aber später nur $x$ einsetzen.

Richtig: Der ganze Term $x+2$ ersetzt $y$.

Fehler 2: Die Klammer vergessen.

Übersichtlicher ist:

$x+(x+2)=8$

Fehler 3: Nach dem ersten Wert aufhören.

$x=3$ ist noch nicht die vollständige Lösung. Du brauchst auch $y$.

Fehler 4: Die Probe weglassen.

Eine kleine Probe erkennt viele Rechenfehler sofort.

Selbstkontrolle

Löse ohne Hilfe:

(I) $y=2x$

(II) $x+y=9$

Selbstkontrolle anzeigen

$x+2x=9$
$3x=9$
$x=3$
$y=6$
Lösung: $(3;6)$

Selbstcheck:

1. Habe ich die richtige Variable ersetzt?
2. Habe ich nur noch eine Variable in der neuen Gleichung?
3. Habe ich den ersten Wert zurück eingesetzt?
4. Habe ich beide Ausgangsgleichungen geprüft?
5. Kann ich meinen Rechenweg in einem Satz erklären?

Vom Rechnen zum Bild

Eine Lösung eines linearen Gleichungssystems entspricht bei zwei Geraden einem gemeinsamen Punkt.

Das Einsetzungsverfahren berechnet diesen gemeinsamen Punkt, ohne dass Du ihn nur aus einer Zeichnung ablesen musst.

Sachaufgabe als MSA-Brücke

In einer Jugendherberge kosten ein Frühstück $x$ Euro und ein Lunchpaket $y$ Euro.

Es gilt:

(I) $y=x+2$

(II) $2x+y=14$

Frage: Wie teuer sind Frühstück und Lunchpaket?

Hilfestufe 1

Setze $x+2$ für $y$ ein.

Hilfestufe 2

$2x+(x+2)=14$

Lösung mit Deutung

$3x+2=14$
$3x=12$
$x=4$
$y=6$
Das Frühstück kostet 4 Euro, das Lunchpaket 6 Euro.
Probe: $2\cdot 4+6=14$.

Satzstarter für die Begründung: „Ich setze $x+2$ für $y$ ein, weil …“

Digital arbeiten – aber prüfen

Du darfst ein digitales Mathematikwerkzeug verwenden, um eine Lösung zu kontrollieren. Dabei gilt:

1. Gib keine personenbezogenen Daten ein.
2. Prüfe, ob das digitale Ergebnis beide Ausgangsgleichungen erfüllt.
3. Vergleiche das Ergebnis mit Deinem eigenen Rechenweg.
4. Eine KI-Ausgabe kann Fehler enthalten.
5. Eine KI-Ausgabe ersetzt keine mathematische Begründung und keinen Beweis.

Denkfrage: Ein Tool nennt $(4;5)$ als Lösung für $y=x+1$ und $x+y=7$. Wie kannst Du in weniger als einer Minute zeigen, dass diese Ausgabe falsch ist?

Kontrolle

In Gleichung (II) gilt $4+5=9$ und nicht $7$. Das Zahlenpaar kann also nicht die Lösung sein.

Medien zum Weiterlernen

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Datei:Lineare Gleichungssysteme und Lösungsverfahren - kolleg24 Mathematik.webm

Das freie kolleg24-Video zeigt lineare Gleichungssysteme und mehrere Lösungsverfahren. Für diesen Kurs konzentrierst Du Dich auf das Einsetzungsverfahren.

Transfer

Bisher war eine Variable bereits freigestellt. Beim nächsten Schritt der MSA-Brücke kann es nötig sein, zuerst selbst umzuformen.

Beispiel:

$x+y=7$

Nach $y$ auflösen:

$y=7-x$

Danach kann dieser Term wieder in eine zweite Gleichung eingesetzt werden.

Noch nicht das Ziel dieses Kurses: komplizierte Brüche, große Zahlen oder drei Variablen. Hier sollst Du zuerst das Grundprinzip sicher verstehen.

Kompetenzcheck

Ordne Dich selbst ein.

Sicher: Ich kann ein einfaches LGS mit bereits freigestellter Variable lösen und prüfen.

Fast sicher: Ich kenne die Schritte, brauche aber noch Hilfestufen.

Noch unsicher: Ich verwechsle Einsetzen, Rückeinsetzen oder Probe.

Bearbeite zum Check:

(I) $y=x+4$

(II) $2x+y=10$

Ergebnis anzeigen

$2x+(x+4)=10$
$3x+4=10$
$3x=6$
$x=2$
$y=6$
Lösung: $(2;6)$

Reflexion

Vervollständige drei Sätze:

1. Beim Einsetzungsverfahren ersetze ich …
2. Besonders hilfreich finde ich …
3. Bei meiner nächsten Aufgabe achte ich besonders auf …

Folgekurs

Als Nächstes passt:

M8 G - Einsetzungsverfahren anwenden – MSA-Brücke

Dort kannst Du zuerst eine Gleichung selbst nach $x$ oder $y$ auflösen und danach einsetzen.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist beim Einsetzungsverfahren die Grundidee? (Eine Variable wird durch einen gleichwertigen Term ersetzt) (!Beide Gleichungen werden addiert) (!Nur eine Gleichung wird gelöst) (!Die Variablen werden vertauscht)

Welche Gleichung ist bereits nach y aufgelöst? (y = x + 2) (!x + y = 2) (!2x + y = 7) (!x = y + 2)

Was entsteht aus x + y = 8, wenn y = x + 2 eingesetzt wird? (x + x + 2 = 8) (!x + y + 2 = 8) (!x + 2 = 8) (!2y + 2 = 8)

Was ist die Lösung von x + x + 2 = 8? (x = 3) (!x = 2) (!x = 4) (!x = 5)

Wenn x = 3 und y = x + 2 gilt, welchen Wert hat y? (y = 5) (!y = 1) (!y = 3) (!y = 6)

Warum ist eine Probe sinnvoll? (Sie prüft, ob das Zahlenpaar beide Gleichungen erfüllt) (!Sie ersetzt den gesamten Rechenweg) (!Sie macht das Einsetzen überflüssig) (!Sie ändert die Ausgangsgleichungen)

Was solltest Du beim Ersetzen eines ganzen Terms nutzen? (Eine Klammer) (!Ein Komma) (!Ein Prozentzeichen) (!Eine Wurzel)

Welche vollständige Lösung hat y = x + 1 und x + y = 7? (x = 3 und y = 4) (!x = 4 und y = 4) (!x = 2 und y = 5) (!x = 3 und y = 3)

Was fehlt noch, wenn Du beim LGS nur x = 3 gefunden hast? (Der Wert der zweiten Variablen) (!Eine dritte Gleichung) (!Ein Winkel) (!Eine Prozentzahl)

Wie gehst Du mit einem KI-Ergebnis in Mathematik um? (Du prüfst es mit Rechnung und Probe) (!Du übernimmst es immer ungeprüft) (!Du ersetzt damit jede Begründung) (!Du gibst dafür persönliche Daten ein)

Memory

Einsetzen	Variable durch gleichwertigen Term ersetzen
Rückeinsetzen	Zweite Variable bestimmen
Probe	Beide Ausgangsgleichungen prüfen
Lösungspaar	Zwei passende Variablenwerte
Schnittpunkt	Gemeinsamer Punkt zweier Geraden
Klammer	Eingesetzten Term übersichtlich zusammenhalten

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Schritt
Einsetzterm wählen	Variable steht bereits allein
Einsetzen	Variable in der anderen Gleichung ersetzen
Lösen	Gleichung mit nur einer Variablen berechnen
Rückeinsetzen	Zweiten Variablenwert bestimmen
Probe	Beide Ausgangsgleichungen kontrollieren

Kreuzworträtsel

Einsetzen	Wie heißt das Ersetzen einer Variablen durch einen gleichwertigen Term?
Variable	Wie heißt ein Platzhalter wie x oder y?
Klammer	Was hilft dabei, einen eingesetzten Term deutlich zusammenzuhalten?
Loesung	Wie heißt ein Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt?
Probe	Wie heißt die Kontrolle des Ergebnisses?
Schnittpunkt	Wie heißt der gemeinsame Punkt zweier sich schneidender Geraden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Ein lineares Gleichungssystem besteht hier aus zwei linearen mit denselben Variablen.

Beim Einsetzungsverfahren wird eine Variable durch einen gleichwertigen ersetzt.

Nach dem Einsetzen soll die neue Gleichung nur noch eine enthalten.

Der eingesetzte Term wird zur besseren Übersicht häufig in eine geschrieben.

Nach dem Lösen der neuen Gleichung wird der gefundene Wert in eine passende Gleichung .

So erhältst Du den Wert der zweiten .

Die vollständige Lösung wird als angegeben.

Mit der Probe kontrollierst Du beide .

Bei zwei Geraden entspricht die gemeinsame Lösung ihrem .

Digitale Ergebnisse und KI-Ausgaben müssen mathematisch werden.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Schrittfolge Einsetzungsverfahren: Gestalte eine Karte mit den vier Schritten Einsetzen, Lösen, Rückeinsetzen und Probe.
2. Farbcodierung in Mathematik: Markiere in drei einfachen LGS jeweils die Variable und den einzusetzenden Term in derselben Farbe.
3. Fehler finden: Erfinde einen einfachen falschen Rechenweg und markiere genau die Stelle, an der der Fehler entsteht.
4. Mathematischer Satzstarter: Formuliere drei Sätze mit „Ich ersetze … durch …, weil …“.

Standard

1. Erklärplakat: Erstelle ein übersichtliches Lernplakat zum Einsetzungsverfahren mit einem vollständig gerechneten Beispiel.
2. Audio-Erklärung: Nimm eine höchstens zweiminütige Erklärung auf, in der Du ein LGS Schritt für Schritt löst. Nutze keine personenbezogenen Daten.
3. Schnittpunkt und Rechnung: Zeichne zwei passende Geraden zu einem einfachen LGS und vergleiche den Schnittpunkt mit Deiner rechnerischen Lösung.
4. Digitale Kontrolle: Löse ein LGS zuerst selbst und kontrolliere es danach mit einem digitalen Werkzeug. Dokumentiere Abweichungen.

Schwer

1. Sachaufgabe Gleichungssystem: Erfinde eine Alltagssituation, die sich mit zwei linearen Gleichungen beschreiben lässt, und löse sie.
2. Verfahrensvergleich: Erkläre an einem einfachen Beispiel, warum das Einsetzungsverfahren besonders günstig ist, wenn eine Variable bereits allein steht.
3. KI-Prüfauftrag Mathematik: Lass Dir ohne persönliche Daten einen Rechenweg erzeugen, prüfe jede Zeile und kennzeichne mathematisch richtige und falsche Schritte.
4. MSA-Brücke: Nimm ein LGS, bei dem noch keine Variable allein steht, forme zuerst eine Gleichung um und führe danach das Einsetzungsverfahren durch.

Lernkontrolle

1. Begründen statt nur rechnen: Erkläre, warum $y=x+2$ in einer anderen Gleichung vollständig durch $x+2$ ersetzt werden darf.
2. Fehleranalyse: Untersuche einen Rechenweg, in dem beim Einsetzen eine Klammer fehlt, und beschreibe die mögliche Fehlerfolge.
3. Darstellungswechsel: Erkläre den Zusammenhang zwischen einem rechnerischen Lösungspaar und dem Schnittpunkt zweier Geraden.
4. Transfer Sachaufgabe: Formuliere zu einem einfachen Preisproblem zwei lineare Gleichungen und löse das entstehende LGS.
5. Digitale Validierung: Prüfe ein vorgegebenes digitales Ergebnis durch Einsetzen in beide Ausgangsgleichungen und entscheide anhand der Rechnung, ob es stimmt.
6. Verfahrenswahl: Begründe an einem Beispiel, warum das Einsetzungsverfahren günstig ist, wenn $x$ oder $y$ bereits allein steht.

Lernnachweis

Für einen Lernnachweis solltest Du zeigen können, dass Du:

1. ein einfaches lineares Gleichungssystem erkennst.
2. eine bereits freigestellte Variable korrekt einsetzt.
3. die entstehende lineare Gleichung nachvollziehbar löst.
4. den zweiten Variablenwert durch Rückeinsetzen bestimmst.
5. die Lösung in beiden Ausgangsgleichungen prüfst.
6. Deinen Rechenweg mit passenden mathematischen Begriffen begründest.
7. ein digitales Ergebnis kritisch kontrollierst.

OERs zum Thema

Freie und weiterführende Medien

Die verwendeten Wikimedia-Commons-Dateien besitzen auf ihrer jeweiligen Dateiseite Angaben zu Urheber, Quelle und freier Lizenz beziehungsweise Gemeinfreiheit.

Bildungsplan-Bezug: Im baden-württembergischen Bildungsplan wird für Klasse 8 das lineare Gleichungssystem mit zwei Variablen, grafischer und rechnerischer Lösung sowie unter anderem dem Einsetzungsverfahren genannt.

Bildungsplan Baden-Württemberg – Mathematik, lineares Gleichungssystem

Verknüpfte Lernbereiche

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichung Variable Äquivalenzumformung Lineare Funktion Koordinatensystem Schnittpunkt Einsetzungsverfahren