M8 E - Vernetzte Kompetenzaufgaben lösen

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M8 E - Vernetzte Kompetenzaufgaben lösen

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M8 E - Vernetzte Kompetenzaufgaben lösen

Mini-Beschreibung: Löse Aufgaben, die mehrere mathematische Bereiche oder Darstellungen miteinander verbinden und keinen unmittelbaren Standardalgorithmus vorgeben. Du modellierst, argumentierst, löst Probleme, wechselst Darstellungen und prüfst digitale Ergebnisse kritisch.

Zielgruppe: Mathematik, Klasse 8, Baden-Württemberg, E-Niveau. Im E-Niveau untersuchst Du selbstständig, verallgemeinerst, begründest, suchst Gegenbeispiele und modellierst mehrschrittig.

Leitidee: Situation → Modell → Rechnung → Prüfung → Begründung

Der Kurs orientiert sich an den prozessbezogenen Kompetenzen des baden-württembergischen Mathematik-Bildungsplans: argumentieren, Probleme lösen, modellieren, Darstellungen nutzen und mit Medien mathematisch arbeiten.

Lernziele

Nach diesem aiMOOC kannst Du:

1. Modellieren: Reale Situationen vereinfachen, Größen auswählen, Annahmen nennen und ein mathematisches Modell bilden.
2. Problemlösen: Strategien wie Skizze, Rückwärtsarbeiten, Zerlegen, systematisches Probieren und Darstellungswechsel einsetzen.
3. Argumentieren: Rechenwege begründen, Behauptungen prüfen und Gegenbeispiele finden.
4. Darstellungen vernetzen: Text, Skizze, Tabelle, Graph, Term und Gleichung ineinander übersetzen.
5. Digitale Werkzeuge prüfen: Graphen, dynamische Geometrie, Tabellenkalkulation oder KI als Hilfsmittel nutzen und Ergebnisse mathematisch kontrollieren.
6. Verallgemeinern: Aus einem Beispiel eine Regel mit Variablen entwickeln und ihre Grenzen angeben.

Vorwissen-Check

Bearbeite die fünf Mini-Aufträge ohne Taschenrechner. Wenn Du bei mindestens drei sicher bist, kannst Du direkt starten.

1. Berechne die Steigung zwischen $A(0|1)$ und $B(4|3)$.
2. Stelle für eine Gerade mit Steigung $2$ und y-Achsenabschnitt $-1$ eine Gleichung auf.
3. Berechne die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Kathetenlängen $6$ und $8$.
4. Erkläre, was der Maßstab $1:50$ bedeutet.
5. Begründe, warum die Augensumme $7$ bei zwei Würfeln häufiger vorkommt als die Summe $2$.

Kurzcheck:

1. $m=\frac{3-1}{4-0}=\frac{1}{2}$
2. $y=2x-1$
3. $c=\sqrt{6^2+8^2}=10$
4. Eine Längeneinheit in der Zeichnung entspricht fünfzig gleichen Längeneinheiten in Wirklichkeit.
5. Für die Summe $7$ gibt es sechs geordnete Würfelpaare, für die Summe $2$ nur eines.

Werkzeugkasten für vernetzte Aufgaben

Kein Standardalgorithmus? Dann arbeite in Schleifen.

1. Verstehen: Was ist gesucht? Welche Angaben sind relevant?
2. Darstellen: Fertige eine Skizze, Tabelle oder einen Graphen an.
3. Modellieren: Lege Variablen, Annahmen und Beziehungen fest.
4. Rechnen: Nutze passende Verfahren.
5. Prüfen: Stimmen Einheit, Größenordnung und Kontext?
6. Begründen: Warum ist Dein Weg tragfähig? Gibt es Alternativen oder Gegenbeispiele?

Darstellungswechsel bei einer linearen Beziehung:

$y=\mathrm{0,25}x$

$(x,y)=(0,0),(4,1),(8,2)$

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\mathrm{0,25}$

Eine graphische Darstellung kann eine Vermutung sichtbar machen. Sie ersetzt aber keine Begründung.

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Interaktives Beispiel 1: Rampe planen

Eine Rampe überwindet eine Höhe von $\mathrm{0,9}$ m auf einer waagerechten Strecke von $\mathrm{3,6}$ m. Eine interne Planungsregel lautet: Pro waagerechtem Meter darf die Höhe höchstens um $\mathrm{0,25}$ m steigen.

Schritt 1 – Funktionale Sicht

$m=\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{3,6}}=\mathrm{0,25}$

Damit passt das Modell

$y=\mathrm{0,25}x$

Schritt 2 – Geometrische Sicht

Die Rampenlänge ist die Hypotenuse:

$s=\sqrt{\mathrm{3,}{6}^2+\mathrm{0,}{9}^2}$

$s\approx \mathrm{3,71}$

Die Rampe erfüllt die vorgegebene interne Regel genau.

Schritt 3 – Maßstab

Im Maßstab $1:50$ werden aus $\mathrm{3,6}$ m genau $\mathrm{7,2}$ cm und aus $\mathrm{0,9}$ m genau $\mathrm{1,8}$ cm.

Schritt 4 – Verallgemeinerung

Für jede waagerechte Strecke $x>0$ mit derselben Steigung gilt:

$y=\mathrm{0,25}x$

$s=\sqrt{x^2+(\mathrm{0,25}x{)}^2}=x\sqrt{\mathrm{1,0625}}$

Denkfrage: Warum bleibt das Verhältnis $\frac{s}{x}$ konstant?

Dynamische Geometrie: Öffne GeoGebra Geometrie, zeichne eine Gerade mit $y=\mathrm{0,25}x$ und einen verschiebbaren Punkt darauf. Konstruiere das entstehende rechtwinklige Dreieck. Beobachte, welche Quotienten beim Ziehen konstant bleiben. Nutze das Werkzeug ohne personenbezogene Daten.

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Interaktives Beispiel 2: Höhe indirekt bestimmen

Ein senkrechter Messstab ist $\mathrm{1,5}$ m hoch und wirft gleichzeitig mit einem Turm einen $2$ m langen Schatten. Der Turmschatten ist $18$ m lang.

Modellannahmen: ebener Boden, parallele Sonnenstrahlen, Messungen zur gleichen Zeit.

Aus ähnlichen Dreiecken folgt:

$\frac{h}{18}=\frac{\mathrm{1,5}}{2}$

$h=\mathrm{13,5}$

Prüfung: Der Turmschatten ist neunmal so lang wie der Stabschattens. Also muss auch die Höhe neunmal so groß sein:

$9\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{13,5}$

Gegenbeispiel zur Modellannahme: Auf stark geneigtem Gelände kann dieselbe Rechnung ungeeignet sein, weil die Schattenlängen nicht mehr im selben geometrischen Modell verglichen werden.

Interaktives Beispiel 3: Würfelspiel prüfen

Zwei faire Würfel werden geworfen. Person A gewinnt bei Augensumme $7$, Person B bei Augensumme $8$.

Für $7$ gibt es sechs passende geordnete Paare:

$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$

Daher:

$P(7)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

Für $8$ gibt es fünf passende Paare:

$P(8)=\frac{5}{36}$

Das Spiel ist so nicht fair.

Faire Veränderung: Person B gewinnt bei Summe $6$ oder $12$.

$P(6\text{oder}12)=\frac{5+1}{36}=\frac{1}{6}$

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Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Aufgabe A: Innenhof diagonal verkabeln

Ein rechteckiger Innenhof ist $36$ m lang und $24$ m breit. Ein Kabel soll diagonal verlegt werden. Pro Meter kostet es $\mathrm{1,20}$ Euro, zusätzlich fallen $8$ Euro Grundkosten an.

Auftrag: Bestimme die benötigte Diagonallänge, formuliere die Kostenfunktion und berechne die Kosten für die Diagonalverlegung.

Hilfe 1: Skizziere ein rechtwinkliges Dreieck.

Hilfe 2: $d=\sqrt{36^2+24^2}$

Hilfe 3: $K(x)=8+\mathrm{1,20}x$

Feedback: $d=\sqrt{1872}\approx \mathrm{43,27}$

$K(\mathrm{43,27})\approx \mathrm{59,92}$

Prüfe selbst, ob in einer realen Bestellung Reserve oder ganze Meter berücksichtigt werden müssten. Das gehört zur Modellkritik.

Aufgabe B: Aussage über Steigungen prüfen

Behauptung: „Wenn man beide Koordinaten eines Punktes verdoppelt, verdoppelt sich auch die Steigung der Geraden durch den Ursprung.“

Auftrag: Prüfe die Behauptung, begründe oder widerlege sie und gib bei Bedarf ein Gegenbeispiel an.

Hilfe 1: Starte mit $P(4|2)$.

Hilfe 2: Vergleiche $\frac{2}{4}$ und $\frac{4}{8}$.

Feedback: Die Behauptung ist falsch. Beide Quotienten sind gleich. Eine gleichmäßige Streckung vom Ursprung verändert die Steigung nicht.

Aufgabe C: Daten und Modell

Ein Wassertank enthält anfangs $120$ Liter. Pro Minute fließen gleichmäßig $18$ Liter hinzu. Die Kapazität beträgt $480$ Liter.

Auftrag: Stelle ein Modell auf, bestimme die Füllzeit und nenne eine reale Bedingung, unter der das Modell unpassend wäre.

Hilfe 1: $V(t)=120+18t$

Hilfe 2: Setze $V(t)=480$.

Feedback: $480=120+18t$

$t=20$

Das Modell setzt einen konstanten Zufluss voraus. Ein schwankender Zufluss wäre ein Grund für eine Anpassung.

Typische Fehler

1. Einheitenfehler: Meter, Zentimeter und Maßstab werden vermischt. Schreibe Einheiten bewusst neben Zwischenergebnisse.
2. Steigungsfehler: $\Delta x$ und $\Delta y$ werden vertauscht. Nutze $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
3. Pythagorasfehler: Der Satz des Pythagoras wird auf ein nicht rechtwinkliges Dreieck angewendet. Prüfe zuerst die Voraussetzung.
4. Wahrscheinlichkeitsfehler: Augensummen werden für gleich wahrscheinlich gehalten. Zähle die zugehörigen Ergebnisse im Ergebnisraum.
5. Modellfehler: Eine Rechnung wird akzeptiert, obwohl Annahmen oder Einheiten nicht zur Situation passen.
6. Rundungsfehler: Zu früh gerundete Zwischenwerte verändern das Endergebnis. Runde möglichst spät.
7. Digitalfehler: Ein Graph, CAS-Ergebnis oder eine KI-Antwort wird als Beweis behandelt. Prüfe unabhängig mit Rechnung, Beispiel oder Gegenbeispiel.

Digitale Ergebnisse kritisch prüfen

Digitale Werkzeuge helfen beim Experimentieren, Darstellen und Kontrollieren. Sie entscheiden aber nicht automatisch, ob ein Modell sinnvoll oder eine Begründung korrekt ist.

Prüfregel:

1. Passt die Eingabe?
2. Stimmen Einheit und Größenordnung?
3. Kannst Du einen Wert unabhängig nachrechnen?
4. Gilt die Aussage immer oder nur im gezeigten Beispiel?
5. Gibt es ein Gegenbeispiel?
6. Ist eine KI-Antwort nur plausibel formuliert oder mathematisch begründet?

Wichtig: Verwende bei Online-Werkzeugen keine personenbezogenen Daten. KI-Ausgaben können Ideen liefern, ersetzen aber keinen mathematischen Beweis.

Selbstkontrolle

Bewerte Dich jeweils mit sicher, teilweise oder noch üben.

1. Ich kann aus einem Sachkontext relevante Größen auswählen.
2. Ich kann zwischen Skizze, Graph, Tabelle, Term und Gleichung wechseln.
3. Ich kann einen Lösungsweg mit mindestens zwei mathematischen Bereichen verbinden.
4. Ich kann Annahmen eines Modells nennen und prüfen.
5. Ich kann eine Behauptung durch Begründung oder Gegenbeispiel untersuchen.
6. Ich kann ein digitales Ergebnis unabhängig kontrollieren.
7. Ich kann aus einem Zahlenbeispiel eine allgemeine Beziehung mit Variablen entwickeln.

Transfer

Neue Situation: Solarpanel auf einem Flachdach

Ein rechteckiges Dach ist $12$ m lang und $8$ m breit. Ein Wartungsweg verläuft diagonal. In einem Plan ist das Dach im Maßstab $1:100$ dargestellt.

1. Bestimme die Länge des Wartungswegs.
2. Gib seine Planlänge in Zentimetern an.
3. Formuliere eine Kostenfunktion mit Grundkosten $25$ Euro und $\mathrm{4,50}$ Euro pro Meter Weg.
4. Erkläre, welche Größen im Modell exakt und welche in der Realität nur näherungsweise bekannt sein könnten.
5. Verallgemeinere die Diagonale eines Rechtecks mit Seitenlängen $a$ und $b$.

Ziel:

$d=\sqrt{a^2+b^2}$

Die Formel allein reicht nicht. Begründe, warum sie im Modell anwendbar ist.

Kompetenzcheck E-Niveau

Aufgabe 1 – untersuchen: Eine Gerade verläuft durch den Ursprung und einen Punkt $P(a|b)$. Untersuche, was mit der Steigung passiert, wenn beide Koordinaten mit demselben positiven Faktor $k$ multipliziert werden.

$m^{\prime }=\frac{kb}{ka}=\frac{b}{a}=m$

Aufgabe 2 – verallgemeinern: Zeige für die Rampenfamilie $y=mx$, dass das Verhältnis von Rampenlänge zu waagerechter Länge nur von $m$ abhängt.

$\frac{s}{x}=\sqrt{1+m^2}$

Aufgabe 3 – Gegenbeispiel: Widerlege die Aussage „Ein größerer Zahlenwert im Graphen bedeutet immer eine größere Steigung“.

Aufgabe 4 – modellieren: Entwickle für eine eigene reale Messsituation ein Modell mit mindestens zwei Darstellungen und prüfe mindestens eine Modellannahme.

Aufgabe 5 – begründen: Erkläre, warum ein mit GeoGebra beobachtetes Muster eine Vermutung stützen, aber keinen allgemeinen Beweis ersetzen kann.

Reflexion

Beantworte kurz:

1. Welche Darstellung hat Dir bei einer schwierigen Aufgabe zuerst geholfen?
2. Wo hast Du während des Lösens Deine Strategie geändert?
3. Welche Annahme war für ein Modell besonders wichtig?
4. Welches Gegenbeispiel hat eine Behauptung widerlegt?
5. Welche digitale Ausgabe hast Du unabhängig geprüft?
6. Welche Regel konntest Du aus einem Beispiel verallgemeinern?

Folgekurs

Als nächster Schritt eignet sich ein aiMOOC zu M8 E - Modellierungsaufgaben mit Funktionen und Geometrie, in dem Du offene Realsituationen mit linearen Funktionen, Ähnlichkeit, Pythagoras, Daten und digitalen Werkzeugen noch stärker verknüpfst.

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Welche Reihenfolge passt zu einer vernetzten Modellierungsaufgabe? (Situation verstehen Modell bilden rechnen prüfen begründen) (!Formel suchen Werte einsetzen Ergebnis übernehmen) (!Graph zeichnen Ergebnis raten Text abschreiben) (!Taschenrechner öffnen Zahl eingeben Lösung beenden)

Was muss vor der Anwendung des Satzes des Pythagoras geprüft werden? (Das Dreieck ist rechtwinklig) (!Alle Seiten sind gleich lang) (!Der Graph ist linear) (!Die Wahrscheinlichkeit beträgt ein Halb)

Was beschreibt die Steigung einer Geraden? (Änderung von y im Verhältnis zur Änderung von x) (!Nur den Schnittpunkt mit der x Achse) (!Die Länge der Geraden) (!Die Anzahl ihrer Punkte)

Was ist beim Maßstab eins zu fünfzig richtig? (Eine Zeichnungslänge entspricht fünfzig gleichen Längeneinheiten in Wirklichkeit) (!Die Wirklichkeit ist fünfzigmal kleiner) (!Alle Flächen werden nur halbiert) (!Jede Länge wird um fünfzig Zentimeter verkürzt)

Warum ist die Augensumme sieben bei zwei Würfeln häufiger als die Summe zwei? (Es gibt mehr passende Würfelpaare) (!Sieben ist eine größere Zahl) (!Jeder Würfel zeigt bevorzugt hohe Zahlen) (!Die Summe zwei ist unmöglich)

Was ist ein Gegenbeispiel? (Ein Beispiel das eine allgemeine Behauptung widerlegt) (!Eine zweite Schreibweise derselben Rechnung) (!Eine zufällige Schätzung) (!Eine ungenaue Messung)

Was gehört zur Prüfung eines mathematischen Modells? (Annahmen Einheiten und Realitätsbezug kontrollieren) (!Nur das Endergebnis bunt markieren) (!Immer dieselbe Formel verwenden) (!Alle Größen auf ganze Zahlen runden)

Welche Aussage über digitale Werkzeuge ist richtig? (Sie können Vermutungen unterstützen müssen aber kritisch geprüft werden) (!Jeder gezeichnete Graph ist automatisch ein Beweis) (!KI Antworten sind immer mathematisch korrekt) (!Ein Taschenrechner ersetzt jede Begründung)

Was kennzeichnet eine Aufgabe auf E Niveau in diesem Kurs besonders? (Selbstständig untersuchen verallgemeinern und begründen) (!Nur Ergebnisse auswendig lernen) (!Nur eine vorgegebene Formel einsetzen) (!Auf Begründungen verzichten)

Warum sind Darstellungswechsel beim Problemlösen nützlich? (Sie können Beziehungen sichtbar machen die in einer Darstellung verborgen bleiben) (!Sie machen jede Rechnung überflüssig) (!Sie garantieren immer eine ganze Zahl) (!Sie verhindern jede Modellannahme)

Memory

Modellierung	Realität mathematisch vereinfachen
Gegenbeispiel	Allgemeine Behauptung widerlegen
Steigung	Änderungsquotient bestimmen
Hypotenuse	Seite gegenüber dem rechten Winkel
Maßstab	Zeichnung und Wirklichkeit vergleichen
Validierung	Ergebnis im Kontext prüfen
Verallgemeinerung	Regel mit Variablen formulieren

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Funktion im Lösungsprozess
Skizze	Struktur sichtbar machen
Variable	Veränderliche Größe benennen
Graph	Zusammenhang visuell darstellen
Gegenbeispiel	Allgemeine Aussage widerlegen
Validierung	Modell am Kontext prüfen

Kreuzworträtsel

Modellierung	Wie heißt das Übersetzen einer realen Situation in Mathematik?
Steigung	Welcher Begriff bezeichnet den Änderungsquotienten einer Geraden?
Hypotenuse	Wie heißt die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck?
Gegenbeispiel	Womit kann eine allgemeine Behauptung widerlegt werden?
Wahrscheinlichkeit	Welcher Begriff beschreibt die Chance eines Zufallsereignisses?
Validierung	Wie heißt das Prüfen eines Modells an der Realität?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Eine reale Situation wird beim in eine mathematische Struktur übersetzt.

Ein Wechsel zwischen Term und Graph ist ein .

Bei einer Geraden beschreibt die die Änderung von y im Verhältnis zur Änderung von x.

Der Satz des Pythagoras setzt ein Dreieck voraus.

Ein einzelnes passendes Beispiel beweist noch keine Behauptung.

Zum Widerlegen einer Behauptung genügt oft ein .

Nach der Rechnung muss das Ergebnis im Kontext werden.

Ein digitales Ergebnis sollte unabhängig werden.

Aus mehreren Beispielen kann eine allgemeine Regel durch entstehen.

Eine KI-Ausgabe ersetzt keinen mathematischen .

Offene Aufgaben

Leicht

1. Mathe-Fotospur: Fotografiere oder skizziere eine Alltagssituation mit erkennbarer Steigung, ohne Personen oder personenbezogene Daten. Markiere mögliche Größen und Variablen.
2. Darstellungswechsel: Nimm eine lineare Gleichung Deiner Wahl und stelle sie als Wertetabelle, Graph und kurzen Sachkontext dar.
3. Fehlerdetektiv: Erfinde einen plausiblen falschen Rechenweg zu einer Pythagoras-Aufgabe und erkläre, an welcher Stelle der Fehler entsteht.
4. Würfelmodell: Entwickle ein kleines Würfelspiel und prüfe rechnerisch, ob es fair ist.

Standard

1. Rampenmodell: Plane eine Rampe mit selbst gewählten Maßen, stelle Funktion und Dreieck dar und begründe alle Annahmen.
2. Schattenmessung: Entwirf eine Messmethode zur indirekten Höhenbestimmung und beschreibe, wann das Modell scheitert.
3. GeoGebra-Untersuchung: Verändere bei $y=mx$ den Wert von $m$, dokumentiere Muster und formuliere eine Vermutung.
4. Datencheck: Erfinde eine lineare Füll- oder Kostenfunktion und beschreibe eine reale Situation, in der das lineare Modell nicht mehr passt.

Schwer

1. Gegenbeispiel-Sammlung: Formuliere drei falsche allgemeine Aussagen zu Funktionen, Geometrie oder Wahrscheinlichkeit und widerlege jede mit einem Gegenbeispiel.
2. Mehrschritt-Modellierung: Entwickle eine Aufgabe, die Maßstab, Pythagoras und lineare Kosten verbindet. Löse sie vollständig und prüfe das Modell.
3. Beweis oder Beobachtung: Erzeuge mit dynamischer Geometrie eine Vermutung und ergänze danach eine nachvollziehbare allgemeine Begründung.
4. KI-Prüfauftrag: Lass Dir von einer KI einen Lösungsansatz zu einer selbst erfundenen vernetzten Aufgabe vorschlagen, gib keine personenbezogenen Daten ein und überprüfe jeden mathematischen Schritt unabhängig.

Lernkontrolle

1. Transferaufgabe Rampe: Zwei Rampen haben unterschiedliche Länge, aber dieselbe Steigung. Untersuche, welche Größen proportional sind, verallgemeinere mit Variablen und begründe.
2. Modellkritik Tank: Ein Tank wird laut Modell mit konstantem Zufluss gefüllt. Entwickle zwei reale Situationen, in denen dieses Modell scheitert, und beschreibe passende Modelländerungen.
3. Argumentationsaufgabe Würfel: Jemand behauptet, alle Augensummen von zwei Würfeln seien gleich wahrscheinlich. Widerlege die Aussage auf zwei verschiedene Arten.
4. Darstellungsvergleich: Gegeben sind ein Graph und eine Wertetabelle, die scheinbar denselben Zusammenhang beschreiben. Entwickle ein Verfahren, mit dem Du entscheidest, ob sie wirklich zusammenpassen.
5. Geometrischer Transfer: Begründe, warum eine maßstäbliche Vergrößerung eines rechtwinkligen Dreiecks seine Winkel nicht verändert und wie sich Seitenlängen und Flächeninhalte verändern.
6. Digitaler Prüfauftrag: Ein digitales Werkzeug liefert ein überraschendes Ergebnis. Entwickle eine Prüfkette aus mindestens drei unabhängigen Kontrollen und wende sie auf ein eigenes Beispiel an.

Lernnachweis

Für einen erfolgreichen Lernnachweis ist wichtig:

1. Du strukturierst offene Aufgaben selbstständig.
2. Du verknüpfst mindestens zwei mathematische Bereiche oder Darstellungen.
3. Du dokumentierst Rechenweg, Darstellung und Begründung nachvollziehbar.
4. Du nennst Modellannahmen und prüfst ihre Grenzen.
5. Du verallgemeinerst mindestens einen Zusammenhang mit Variablen.
6. Du kannst eine falsche allgemeine Aussage durch ein Gegenbeispiel widerlegen.
7. Du prüfst digitale Resultate unabhängig.
8. Du unterscheidest Beobachtung, Vermutung und Beweis.
9. Du verwendest keine personenbezogenen Daten in digitalen Werkzeugen.

OERs zum Thema

Weitere offene und fachliche Quellen:

1. Mathematik – Gemeinsamer Bildungsplan Sekundarstufe I Baden-Württemberg
2. Wikimedia Commons – Linear Function Graph
3. Wikimedia Commons – Similar Triangles
4. Wikimedia Commons – Dice Distribution
5. Wikimedia Commons – Probability tree diagram

Verknüpfte Lernbereiche

Vernetzte Kompetenzaufgaben Mathematische Modellierung Problemlösen Argumentieren und Beweisen Lineare Funktion Satz des Pythagoras Ähnlichkeit Maßstab Wahrscheinlichkeit Darstellungswechsel Dynamische Geometrie Medienkompetenz