M8 E - Sachprobleme mit linearen Gleichungssystemen modellieren

Einleitung

Zwei unbekannte Größen und zwei unabhängige Bedingungen führen häufig zu einem linearen Gleichungssystem. Du übersetzt ein Sachproblem in zwei Gleichungen, löst das System und prüfst die Lösung im Kontext.

Zielgruppe: Klasse 8, E-Niveau, Baden-Württemberg.

Modellierungskette: Problem → Variablen → zwei Gleichungen → Lösung → Probe → Deutung.

Medienauftrag: Beschreibe, woran Du erkennst, dass mehrere Gleichungen zusammengehören. Vermute, was ein gemeinsames Lösungspaar leisten muss.

Lernziele

1. Modellieren: Du entwickelst aus Zahlen-, Preis-, Mischungs- und Geometriesituationen zwei Variablen und zwei Gleichungen.
2. Lineares Gleichungssystem: Du löst LGS mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additionsverfahren und grafisch.
3. Begründen: Du wählst ein geeignetes Verfahren und begründest Deine Wahl.
4. Probe: Du prüfst ein Lösungspaar in beiden Ausgangsgleichungen.
5. Interpretation: Du deutest die Lösung mit passenden Einheiten im Sachzusammenhang.
6. Transfer: Du verallgemeinerst Strukturen und entwickelst Gegenbeispiele.
7. Digitale Werkzeuge: Du prüfst digitale Ergebnisse kritisch. KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Vorwissen-Check

A: Löse $3x+5=20$.

Lösung: $x=5$.

B: Stelle $2x+y=9$ nach $y$ um.

Lösung: $y=9-2x$.

C: Prüfe, ob der Punkt mit den Koordinaten $x=2$ und $y=5$ die Gleichung $y=2x+1$ erfüllt.

Lösung: Ja, denn $5=2\cdot 2+1$.

D: Ein Rechteck hat Umfang 40 cm. Vereinfache $2l+2b=40$.

Lösung: $l+b=20$.

Vom Sachproblem zum LGS

Schritt	Aktion
1	Unbekannte Größen benennen und Einheit festlegen
2	Erste Bedingung in eine Gleichung übersetzen
3	Zweite unabhängige Bedingung in eine Gleichung übersetzen
4	Gleichungssystem lösen
5	Lösung in beiden Gleichungen prüfen
6	Ergebnis im Kontext deuten

Merksatz: Eine berechnete Zahl ist erst dann eine brauchbare Sachlösung, wenn sie beide Gleichungen erfüllt und zur Situation passt.

Beispiel 1: Zahlensituation

Zwei Zahlen haben die Summe 58. Die größere Zahl ist um 14 größer als die kleinere.

Variablen: $x$ steht für die größere Zahl, $y$ für die kleinere Zahl.

LGS:

$x+y=58$
$x-y=14$

Addieren:

$2x=72$
$x=36$

Einsetzen:

$36+y=58$
$y=22$

Probe:

$36+22=58$
$36-22=14$

Deutung: Die gesuchten Zahlen sind 36 und 22.

Hilfestufe 1: „Zusammen“ führt zur Summengleichung.

Hilfestufe 2: „Um 14 größer“ führt zur Differenzgleichung.

Feedback: Das Additionsverfahren ist günstig, weil sich $+y$ und $-y$ sofort aufheben.

Beispiel 2: Preissituation

Drei Schülertickets und zwei Erwachsenentickets kosten 24 €. Zwei Schülertickets und drei Erwachsenentickets kosten 26 €.

Medienauftrag: Unterscheide in der Situation Anzahl und Preis. Welche Größe wird gezählt, welche in Euro gemessen?

Variablen: $s$ ist der Preis eines Schülertickets in Euro, $e$ der Preis eines Erwachsenentickets in Euro.

LGS:

$3s+2e=24$
$2s+3e=26$

Schritt 1: Erste Gleichung mit 3, zweite mit 2 multiplizieren.

$9s+6e=72$
$4s+6e=52$

Schritt 2: Subtrahieren.

$5s=20$
$s=4$

Schritt 3: Einsetzen.

$3\cdot 4+2e=24$
$e=6$

Deutung: Ein Schülerticket kostet 4 €, ein Erwachsenenticket 6 €.

Hilfestufe: Die Koeffizienten stammen aus den Ticketanzahlen.

Feedback: Prüfe beide Käufe: $3\cdot 4+2\cdot 6=24$ und $2\cdot 4+3\cdot 6=26$.

Beispiel 3: Mischungssituation

Aus einer 30-%-Lösung und einer 70-%-Lösung sollen 20 Liter einer 50-%-Lösung entstehen.

Medienauftrag: Erkläre, warum Gesamtvolumen und gelöster Anteil gleichzeitig berücksichtigt werden müssen.

Variablen: $x$ ist die Literzahl der 30-%-Lösung, $y$ die Literzahl der 70-%-Lösung.

Volumen:

$x+y=20$

Gelöster Anteil:

$\mathrm{0,30}x+\mathrm{0,70}y=10$

Einsetzen mit $x=20-y$:

$\mathrm{0,30}(20-y)+\mathrm{0,70}y=10$
$6+\mathrm{0,40}y=10$
$y=10$
$x=10$

Deutung: Benötigt werden 10 Liter jeder Ausgangslösung.

Hilfestufe: Die erste Gleichung beschreibt die Gesamtmenge, die zweite die Konzentration.

Feedback: Nur die Volumengleichung würde nicht ausreichen, um eine eindeutige Mischung zu bestimmen.

Beispiel 4: Geometriesituation

Ein Rechteck hat Umfang 50 cm. Die Länge ist 5 cm größer als die Breite.

Variablen: $l$ ist die Länge in Zentimetern, $b$ die Breite in Zentimetern.

Umfang:

$2l+2b=50$
$l+b=25$

Zweite Bedingung:

$l-b=5$

Addieren:

$2l=30$
$l=15$
$b=10$

Zusatzfrage Fläche:

$A=15\cdot 10=150$

Die Fläche beträgt 150 Quadratzentimeter.

Hilfestufe: Beim Umfang kommt jede Seitenlänge zweimal vor.

Feedback: Die Flächenberechnung ist ein zusätzlicher Kontextschritt nach dem Lösen des LGS.

Lösungsverfahren vergleichen

Untersuche immer die Struktur des Systems. Beispiel:

$x+y=10$
$2x+3y=24$

Einsetzungsverfahren

$x=10-y$
$2(10-y)+3y=24$
$20+y=24$
$y=4$
$x=6$

Günstig, wenn eine Variable bereits allein steht oder leicht isoliert werden kann.

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Videoauftrag: Notiere einen Schritt, in dem eine Variable durch einen Term ersetzt wird, und prüfe ihn selbst.

Gleichsetzungsverfahren

$x=10-y$
$x=12-\frac{3}{2}y$
$10-y=12-\frac{3}{2}y$
$y=4$
$x=6$

Günstig, wenn beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen aufgelöst werden können.

Additionsverfahren

Erste Gleichung mit $-2$ multiplizieren:

$-2x-2y=-20$
$2x+3y=24$

Addieren:

$y=4$
$x=6$

Günstig, wenn sich eine Variable direkt oder nach einfacher Multiplikation beseitigen lässt.

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Videoauftrag: Formuliere drei Entscheidungssätze für Einsetzen, Gleichsetzen und Addieren.

Grafisches Lösen

Jede Gleichung beschreibt eine Gerade. Die gemeinsame Lösung ist ihr Schnittpunkt.

Für das Beispiel gilt:

$y=10-x$
$y=8-\frac{2}{3}x$

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten $x=6$ und $y=4$.

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Videoauftrag: Begründe, warum ein abgelesener Schnittpunkt je nach Skalierung nur ein Näherungswert sein kann.

Entscheidungshilfe

Struktur	Verfahren
Eine Variable steht bereits allein	Einsetzen
Beide Gleichungen sind nach derselben Variablen aufgelöst	Gleichsetzen
Koeffizienten lassen sich leicht aufheben	Addieren
Lage der Geraden soll sichtbar werden	Grafisch lösen

E-Niveau: Begründe Deine Verfahrenswahl immer mit der Struktur des konkreten LGS.

Interaktive Beispiele

Beispiel A: Tickets

100 Tickets werden verkauft. Ein Schülerticket kostet 5 €, ein Erwachsenenticket 8 €. Insgesamt werden 680 € eingenommen.

Variablen: $s$ und $e$ sind die jeweiligen Ticketanzahlen.

Hilfestufe 1: $s+e=100$.

Hilfestufe 2: $5s+8e=680$.

Hilfestufe 3: Multipliziere die erste Gleichung mit $-5$ und addiere.

Feedback: $e=60$ und $s=40$. Beide Werte sind nichtnegativ und ganzzahlig; das passt zum Ticketkontext.

Beispiel B: Rechteck

Ein Rechteck hat Umfang 64 cm. Die Länge ist doppelt so groß wie die Breite.

Hilfestufe 1: $l+b=32$.

Hilfestufe 2: $l=2b$.

Feedback: $b=\frac{32}{3}$ und $l=\frac{64}{3}$. Nicht jede Geometriesituation führt zu ganzen Zahlen.

Beispiel C: Digitale Lösung prüfen

Eine KI nennt zu

$x+y=12$
$4x+7y=63$

die Werte $x=7$ und $y=5$.

Probe:

$7+5=12$
$4\cdot 7+7\cdot 5=63$

Die Werte erfüllen das angegebene LGS. Ob das LGS selbst ein Sachproblem korrekt beschreibt, kann nur durch Vergleich mit den ursprünglichen Angaben entschieden werden.

Digitale Regel: Prüfe Eingabe, Rechnung, Plausibilität und Kontext. Verwende keine personenbezogenen Daten. KI-Ausgaben ersetzen keinen mathematischen Beweis.

Übungen mit Hilfestufen und Feedback

Übung 1: Zahlen

Die Summe zweier Zahlen ist 91, ihre Differenz 17. Bestimme beide Zahlen.

Hilfe 1: Verwende $x+y=91$.

Hilfe 2: Ergänze $x-y=17$.

Feedback: Addieren liefert $2x=108$, also $x=54$ und $y=37$.

Übung 2: Preise

Zwei Hefte und drei Stifte kosten 9 €. Drei Hefte und ein Stift kosten 8 €. Bestimme die Einzelpreise.

Hilfe 1: $2h+3s=9$ und $3h+s=8$.

Hilfe 2: Stelle die zweite Gleichung nach $s$ um oder verwende Addition.

Feedback: $h=\frac{15}{7}$ und $s=\frac{11}{7}$. Dezimalwerte sind im Preiskontext möglich; prüfe aber, ob die Aufgabe realistisch gemeint ist.

Übung 3: Mischung

Aus einer 20-%- und einer 60-%-Lösung sollen 30 Liter einer 40-%-Lösung entstehen.

Hilfe 1: $x+y=30$.

Hilfe 2: $\mathrm{0,20}x+\mathrm{0,60}y=12$.

Feedback: $x=15$ und $y=15$.

Typische Fehler

1. Variablenfehler: Variablen werden benutzt, ohne ihre Bedeutung festzulegen.
2. Abhängige Gleichungen: Zwei Gleichungen beschreiben nur dieselbe Information, etwa $x+y=20$ und $2x+2y=40$.
3. Einheitenfehler: Anzahl, Preis, Länge und Volumen werden verwechselt.
4. Kontextfehler: Ein algebraisch korrekter Wert wird ungeprüft übernommen, obwohl er im Sachproblem unmöglich ist.
5. Digitaler Fehler: Ein falsch eingegebenes LGS wird von einem Rechner korrekt gelöst und trotzdem als richtige Modellierung akzeptiert.

Selbstkontrolle

1. Variablen festlegen: Ich kann Bedeutung und Einheit zweier Variablen angeben.
2. Gleichungen aufstellen: Ich erkenne zwei unabhängige Bedingungen.
3. Lösungsverfahren: Ich kann ein Verfahren passend auswählen.
4. Probe: Ich prüfe beide Ausgangsgleichungen.
5. Interpretation: Ich deute die Lösung im Sachkontext.
6. Kritisches Prüfen: Ich unterscheide zwischen korrekter Rechnung und korrektem Modell.

Transfer

Für die allgemeine Zahlensituation

$x+y=S$
$x-y=D$

gilt durch Addition:

$2x=S+D$
$x=\frac{S+D}{2}$

und durch Subtraktion:

$2y=S-D$
$y=\frac{S-D}{2}$

E-Niveau-Denkfrage: Unter welchen Bedingungen an $S$ und $D$ sind beide Lösungen ganze Zahlen? Finde ein Gegenbeispiel.

Kompetenzcheck

1. Ich kann ein mehrschrittiges Sachproblem selbstständig modellieren.
2. Ich kann erklären, warum zwei Bedingungen unabhängig sein müssen.
3. Ich kann dasselbe LGS mit mindestens zwei Verfahren lösen und vergleichen.
4. Ich kann grafische und rechnerische Lösung verknüpfen.
5. Ich kann unpassende Lösungen im Kontext verwerfen.
6. Ich kann Strukturen verallgemeinern und Gegenbeispiele entwickeln.
7. Ich kann digitale Ergebnisse nachvollziehbar prüfen.

Reflexion

1. Modellierungsentscheidung: Welche Textstelle war für Deine erste Gleichung entscheidend?
2. Verfahrenswahl: Warum war Dein Verfahren günstig?
3. Fehleranalyse: Wie kann eine korrekte Rechnung trotzdem zu einer falschen Sachlösung gehören?
4. Darstellungswechsel: Was bedeutet der Schnittpunkt im Sachproblem?
5. Verallgemeinerung: Welche Struktur lässt sich auf andere Aufgaben übertragen?

Folgekurs

M8 E - Lineare Gleichungssysteme untersuchen und Lösungen begründen

Interaktive Aufgaben

Quiz: Teste Dein Wissen

Was ist beim Modellieren zuerst sinnvoll? (Variablen mit Bedeutung festlegen) (!Sofort beide Gleichungen addieren) (!Nur einen Graphen zeichnen) (!Das Ergebnis raten)

Welche Gleichung beschreibt zusammen 40 Tickets? (x plus y gleich 40) (!x minus y gleich 40) (!x mal y gleich 40) (!x durch y gleich 40)

Was muss ein Lösungspaar erfüllen? (Beide Gleichungen gleichzeitig) (!Nur die erste Gleichung) (!Immer ganze Zahlen) (!Immer positive Preise)

Welche Zahlen haben Summe 58 und Differenz 14? (36 und 22) (!44 und 14) (!29 und 29) (!58 und 14)

Welche Gleichung beschreibt insgesamt 20 Liter aus zwei Teilmengen? (x plus y gleich 20) (!x minus y gleich 20) (!x mal y gleich 20) (!x durch y gleich 20)

Welche vereinfachte Umfangsgleichung gilt bei 50 cm Rechteckumfang? (l plus b gleich 25) (!l plus b gleich 50) (!l mal b gleich 25) (!l minus b gleich 50)

Welches Verfahren ist oft günstig wenn eine Variable allein steht? (Einsetzungsverfahren) (!Nur grafisches Lösen) (!Immer Additionsverfahren) (!Kein Verfahren)

Was ist das Ziel des Additionsverfahrens? (Eine Variable beseitigen) (!Beide Variablen null setzen) (!Eine Parabel erzeugen) (!Nur Koeffizienten ablesen)

Wie prüfst Du eine digitale Lösung? (In beide Gleichungen einsetzen und Kontext prüfen) (!Nur die Anzeige übernehmen) (!Immer auf ganze Zahlen runden) (!Eine Gleichung löschen)

Was gehört zum E-Niveau? (Modell begründen verallgemeinern und kritisch prüfen) (!Nur zwei Zahlen nennen) (!Nur einen Screenshot abgeben) (!Die Sachangaben ignorieren)

Memory

Modellieren	Realsituation mathematisch darstellen
Variable	Unbekannte Größe
Gleichung	Bedingung in mathematischer Form
Lösungspaar	Erfüllt beide Gleichungen
Schnittpunkt	Grafische gemeinsame Lösung
Probe	Kontrolle des Ergebnisses

Drag and Drop

Ordne die richtigen Begriffe zu.	Thema
Variablen wählen	Unbekannte Größen festlegen
Erste Bedingung	Erste Gleichung aufstellen
Zweite Bedingung	Zweite Gleichung aufstellen
LGS lösen	Werte bestimmen
Kontext prüfen	Lösung deuten

...

Kreuzworträtsel

Schnittpunkt	Wie heißt die grafische gemeinsame Lösung zweier sich schneidender Geraden?
Variable	Wie heißt eine unbekannte Größe?
Addition	Welcher Rechenvorgang steckt im Namen eines Lösungsverfahrens?
Probe	Wie heißt die Kontrolle einer Lösung?
Modellieren	Wie heißt das Übersetzen einer Realsituation in Mathematik?
Kontext	Worin muss eine Sachlösung gedeutet werden?

Lückentext

Vervollständige den Text.

Beim Modellieren legst Du zuerst die fest.

Aus jeder unabhängigen Bedingung entsteht eine .

Beim grafischen Lösen entspricht das Lösungspaar dem der Geraden.

Beim Einsetzungsverfahren ersetzt Du eine Variable durch einen .

Beim Additionsverfahren soll eine verschwinden.

Eine rechnerische Lösung wird durch die kontrolliert.

Am Ende deutest Du das Ergebnis im der Aufgabe.

Offene Aufgaben

Leicht

1. Variablen-Karte: Erfinde drei kurze Alltagssituationen mit je zwei unbekannten Größen und definiere die Variablen.
2. Gleichungsdetektiv: Formuliere ein Zahlenrätsel mit zwei unabhängigen Bedingungen.
3. Geometrie-Skizze: Zeichne einen rechteckigen Gegenstand und erfinde zwei Bedingungen für Länge und Breite.
4. Preisproblem: Erfinde zwei Käufe mit zwei Warenarten und stelle ein LGS auf.

Standard

1. Ticketmodell: Entwickle eine vollständige Ticketaufgabe, löse sie und führe eine Probe durch.
2. Mischungsmodell: Erstelle eine Aufgabe mit zwei Konzentrationen und begründe beide Gleichungen.
3. Verfahrensvergleich: Löse dasselbe LGS mit zwei verschiedenen Verfahren und vergleiche die Rechenwege.
4. Digitaler Graphencheck: Stelle ein LGS in einem Graphenwerkzeug dar und prüfe den Schnittpunkt rechnerisch. Verwende keine personenbezogenen Daten.

Schwer

1. Verallgemeinerung: Leite aus $x+y=S$ und $x-y=D$ allgemeine Formeln für $x$ und $y$ her.
2. Gegenbeispiel: Entwickle eine Sachsituation, deren Gleichungen keine gemeinsame Lösung besitzen, und erkläre die Bedeutung.
3. Mehrschrittige Modellierung: Entwickle ein Problem, bei dem nach dem LGS noch Fläche, Gewinn oder Restmenge bestimmt werden muss.
4. KI-Kritik: Lass zu einer eigenen Aufgabe einen KI-Lösungsvorschlag erzeugen und prüfe Variablen, Gleichungen, Rechenweg, Probe und Deutung selbst. Dokumentiere mindestens eine notwendige Kontrolle.

Lernkontrolle

1. Festival-Tickets: 120 Tickets zu 6 € oder 9 € ergeben 900 € Einnahmen. Modelliere, löse, prüfe und interpretiere.
2. Mischung mit Entscheidung: Mische eine 20-%- und eine 60-%-Lösung zu 30 Litern mit 40 %. Stelle das LGS auf und begründe Dein Verfahren.
3. Rechteck-Transfer: Ein Rechteck hat Umfang 72 cm und die Länge ist 8 cm größer als die Breite. Bestimme Seiten und Fläche und erkläre beide Gleichungen.
4. Verfahrenswahl: Löse ein selbst gewähltes LGS mit Einsetzungs- und Additionsverfahren. Vergleiche die Umformungen.
5. Lösungsvielfalt: Erfinde je ein LGS mit genau einer, keiner und unendlich vielen Lösungen und beschreibe mögliche Sachbedeutungen.
6. Digitale Fehleranalyse: Entwickle eine Prüfkette aus Eingabekontrolle, Einsetzen, Plausibilität und Kontextdeutung und wende sie auf ein Beispiel an.

Lernnachweis

1. Variablen: Bedeutung und Einheit sind klar.
2. Modell: Zwei unabhängige Bedingungen werden korrekt formuliert.
3. Rechenweg: Umformungen sind nachvollziehbar.
4. Verfahrenswahl: Die Auswahl wird begründet.
5. Probe: Beide Ausgangsgleichungen werden geprüft.
6. Kontext: Die Lösung wird mit Bedeutung und Einheit interpretiert.
7. Transfer: Ein Zusammenhang wird verallgemeinert oder durch ein Gegenbeispiel untersucht.
8. Digitale Kompetenz: Rechner- und KI-Ausgaben werden kritisch geprüft; personenbezogene Daten werden nicht verwendet.

Verknüpfte Lernbereiche

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungen Lineare Funktionen Koordinatensystem Einsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Additionsverfahren Modellieren Sachaufgaben